4 Transporte y asignacin 4.1 Solucin de Problemas de Transporte 4.1.1Definicin del problema de transporte y El Mtodo de Aproximacin de Vogel (VAM) DEFINICIN Y APLICACIN DEL MODELO DE TRANSPORTE El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercanca de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. El costo de transporte unitario de la mercanca a cada destino.

Como solo hay una mercanca un destino puede recibir su demanda de una o ms fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviar de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La suposicin bsica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al nmero de unidades transportadas. La definicin de unidad de transporte variar dependiendo de la mercanca que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercanca. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.

Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es: Minimiza Z= i=1 m j=1 n C i j X i j Sujeta a: j=1 n X i j = bj , X i j >=0 i=1,2,, m j=1,2,, n

para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma anloga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envos a un destino satisfaga su demanda. El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1m

ai debe ser

cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulacin resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: X i j = ai, X i j = bj, i=1,2,..., m j=1,2,..., n

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, adems de su utilidad en la representacin a travs de modelos de ciertas situaciones prcticas, es importante para el desarrollo del mtodo de solucin que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y tambin sus implicaciones prcticas. Ejemplo 1 (Modelo de transporte estndar) MG Auto Company tiene plantas en Los ngeles, Detroit y Nueva Orlens. Sus centros de distribucin principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre prximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribucin son de 2 300 y 1 400 vehculos. El costo del transporte de un automvil por tren es de 8 centavos por

milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centros de distribucin son: Denver Los ngeles 1 000 Detroit 1 250 Nueva Orleans 1 275 Miami 1 690 1 350 850

Esto produce en costo por automvil a razn de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C modelo original: Denver 80 100 102 Miami 215 108 68ij

del

Los ngeles Detroit Nueva Orleans

Mediante el uso de cdigos numricos que representan las plantas y centros de distribucin, hacemos que Xij

represente el nmero de automviles transportados

de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad. Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32 Sujeto a: X 11 X 11 X 12 X 12 X 21 X 21 X 22 X 22 X 31 X 31 X 32 X 32 = 1 000 = 1 500 = 1 200 = 2 300 = 1 400

X ij para todas las i y j Un mtodo mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos

de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:

Ejemplo 2 (Modelo de transporte con desequilibrio) En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automviles (en vez de 1 500). Se dice que la situacin esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante (=3 700 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribucin. Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, enve su produccin a todos los centros de distribucin. Fsicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representar la cantidad faltante en ese destino. La nica informacin que falta para completar el modelo son los costos de transporte unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habr ningn envo fsico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situacin desde otro ngulo diciendo que se incurre en un costo de penalizacin por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribucin. En este caso los costos de transporte unitarios sern iguales a los costos de penalizacin unitarios en los diversos destinos. Los ngeles Denver 80 Miami 215 1 000

Detroit Nueva Orlens Planta ficticia De manera anloga,

100 108 1 300 102 68 1 200 0 0 200 si la oferta en mayor que la demanda podemos aadir un

destino ficticio que absolver la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automvil enviado de una planta a un centro de distribucin ficticio representa un excedente en la planta. Denver Miami Destino Ficticio Los ngeles 80 215 0 1 000 Detroit 100 108 0 1 500 Nueva Orlens 102 68 0 1 200 La aplicacin del modelo de transporte no se limita al problema de transporte. El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos. Ejemplo 3 (Modelo de inventario de produccin) Una compaa construye una planta maestra para la produccin de un artculo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a travs de: 1. 2. 3. Produccin excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo Produccin en el mes actual. Produccin excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses posterior.

anteriores. El costo de produccin variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. Una unidad producida para consumo posterior incurrir en un costo de almacenamiento razn de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artculos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalizacin de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de produccin para elaborar el producto vara cada mes. Los clculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de produccin a costo mnimo. Este problema se puede formular como un modelo de transporte. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de produccin y transporte se establece de la manera siguiente: Sistema de Produccin 1. Fuente i 1. Periodo de produccin i 2. Destino j 2. Periodo de demanda j 3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de produccin del periodo i 4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j 5. Costo de transporte de la fuente i 5. Costo de producto e inventario del

Sistema de Transporte

al destino j

periodo i al j

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte: Periodo 1 1 4 2 6 3 8 4 10 Demanda: 100 2 4.5 4 6 8 200 3 5 4.5 4 6 180 4 5.5 5 4.5 4 300 Capacidad 50 180 280 270

Demanda

El costo de transporte unitario del periodo i al j es: Costo de produccin en i, Cij = Costo de produccin en i / costo de almacenamiento en i a j Costo de produccin en i / costo de penalizacin en i a j La definicin de C indica que la produccin en el periodo i i>j para el mismo i=j i j) incurre en un costo de penalizacin adicional. SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE. Los pasos bsicos de la tcnica de transporte son: Paso 1: determnese una solucin factible.

hechos con

Paso 2: determnese la variable que entra, que se elige entre las variables no bsicas. Si todas estas variables satisfacen la condicin de optimidad (del mtodo simplex), detngase; de lo contrario, dirjase al paso 3. Paso 3: determnese la variable que sale (mediante el uso de la condicin de factibilidad) de entre las variables de la solucin bsica actual; despus obtngase la nueva solucin bsica. Regrese al paso 2. OBTENCIN DE SOLUCIONES BSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTES Podemos obtener una solucin bsica factible (sbf) para un problema de transporte balanceado mediante el mtodo de la esquina Noroeste, el mtodo de costo mnimo, o el mtodo de Vogel.

OBTENER LA SOLUCIN PTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE Paso 1: Si el problema no est balanceado, balancelo. Paso 2: Utilice uno de los mtodos descritos anteriormente para Paso 3: Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las Paso 4: Si Ui + Vj Cij es menor o igual a cero, para todas las

obtener una solucin bsica factible. variables bsicas para encontrar (U1,U2...Um V1,V2...Vn) para la sbf actual. variables no bsicas, entonces la sbf actual es ptima. Si no es as se introduce la variable con valor ms positivo de Ui + Vj Cij en la base. Para hacer esto, encuentre un circuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un circuito cerrado) que contiene la variable que entra y algunas de las variables

bsicas. Despus, tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado marque las que se encuentren alejadas en nmero par (0,2,4,6,...) de celdas de la variable que entra como celdas pares. Tambin marque las celdas en el circuito cerrado, que se encuentra un nmero impar de celdas de la variable que entra como celdas impares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable toma el menor valor. Llame este valor teta. La variable correspondiente a esta celda impar saldr de la base. Para realizar el pivoteo, disminuye el valor de cada celda impar en teta y aumenta el valor de cada celda par en teta. Los valores de las variables que no se encuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. Ahora se complet el bloqueo. S teta es igual a cero, la variable que entra ser igual a cero, y una variable impar que tiene un valor actual de cero, saldr de la base. En este caso, exista un sbf degenerada antes del pivoteo y resultar despus del pivoteo. Si ms de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base; se obtendr una vez ms una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva sbf. Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para un problema de maximizacin, proceda como se especific, pero cambie el paso 4 por el paso 4. Paso 6: Si Ui + Vj Cij es mayor o igual a cero, para todas las en la base mediante el variables no bsicas, entonces, la sbf actual es ptima. De otra manera, coloque la variable con el valor ms negativo de Ui + Vj Cij procedimiento de pivoteo. SOLUCION INICIAL MEJORADA En esta seccin presentamos dos procedimientos que determinan la solucin inicial a travs de la seleccin de las rutas econmicasdel modelo. A. MODELO DEL COSTO MINIMO

Asgnese el ms grande valor posible a la variable con el menor costo unitario de toda la tabla. Tchese el rengln o columna satisfecha. Despus de ajustar la

oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, reptase el proceso asignando el valor ms grande posible a la variable con el costo unitario no tachado ms pequeo. El procedimiento esta completo cuando queda exactamente un rengln o bien una columna sin tachar. 1 1 0 2 3 5 5 12 0 15 10 15 7 15 14 15 16 10 9 10 18 5 2 0 3 20 0 20 25 4 11 15

Determinacin general del modelo de transporte requiere que: m i=1 ai = n bj j=1

Este requisito da origen a una ecuacin dependiente, lo que significa que el modelo de transporte tiene slo m + n 1 ecuaciones independientes. Por lo tanto, como en el mtodo simplex, una solucin factible bsica inicial debe incluir m + n 1 variables bsicas. Normalmente, si el modelo de transporte se formula como una tabla simplex, sera necesario utilizar variables artificiales para asegurar una solucin bsica inicial. Sin embargo, cuando se utiliza la tabla de transporte, una solucin factible bsica inicial se puede obtener fcil y directamente. Presentamos un procedimiento llamado regla de la esquina noroeste para este fin. Destino 1 Fuente 1 X11 2 X21 3 X31 0 X32 12 X22 14 X33 10 X12 7 X23 16 X34

2 0

3 20 X13 9

4 11 X14 20 X24 18

Oferta15 25 5

DemandaB.

5

15

15

10

MODELO DE LA ESQUINA NOROESTE

El mtodo de la esquina noroeste comienza con la asignacin de la mxima cantidad admisible a travs de la oferta y la demanda de la variable x11 (la de la esquina noroeste de la tabla). Despus se tacha la columna (rengln) satisfecha, lo que indica que las variables restantes de la columna (rengln) tachada son iguales a cero. Si se satisfacen una columna y un rengln al mismo tiempo, slo una (una u otro) puede ser tachada. (Esta condicin garantiza la ubicacin automtica de variables bsicas cero, si las hay). Despus de ajustar las cantidades de oferta y demanda de todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible mxima se asigna al primer elemento no tachado de la nueva columna (rengln). El proceso se completa cuando se deja sin tachar exactamente un rengln o una columna. El procedimiento que se acaba de describir se aplica ahora en el ejemplo: 1. 2. 3. 4. 5. 6. x11 = 5, se tacha la columna 1. Por lo tanto, no se puede hacer otra x12 = 10, se tacha el rengln 1 y faltan 5 unidades en la columna 2. x22 = 5, se tacha la columna 2 y faltan 20 unidades en el rengln 2. x23 = 15, se tacha la columna 3 y faltan 5 unidades en el rengln 2. x24 = 5, se tacha el rengln 2 y faltan 5 unidades en la columna 4. x34 = 5, se tacha el rengln 3 o la columna 4. Como slo un rengln o una columna se mantienen sin tachar, el proceso llega a su fin. La solucin bsica inicial resultante se presenta a continuacin. Las variables bsicas son x11 = 5, x22 =10, x23 =15, x24 =5 y x34 = 5. Las variables restantes son no bsicas en el nivel cero. El costo de transporte asociado es: 5 x 10 +10 x 0 + 5 x 7+ 15 x 9 + 5 x 20 +5 x 18 = $410. 1 2 1 5 2 10 5 3 15 4 5 15 25 asignacin en la columna 1. La cantidad que falta en el rengln 1 son 10 unidades.

3 5 15 15

5 10

5

Cuando se satisfacen al mismo tiempo una columna y un rengln, la siguiente variable que se agregar a la solucin bsica estar necesariamente en el nivel cero. La siguiente tabla ilustra este aspecto. La columna 2 y el rengln 2 se satisfacen simultneamente.

1 2 3

1 5 5

2 5 5 10 5

3 0 8 8

4 7 7 10 5 15 15 5 0

Si se tacha la columna 2, x23 se vuelve bsica en el nivel cero en el paso siguiente, ya que la demanda restante del rengln 2 vale ahora cero.(Este caso se presenta en la tabla anterior). Si en cambio se cruza el rengln 2, x32 sera la variable bsica cero. Las soluciones iniciales de las dos ltimas tablas incluyen el nmero adecuado de variables bsicas, o sea, m + n-1 = 6. La regla de la esquina noroeste produce siempre el nmero adecuado de variables bsicas. DETERMINACION DE LA VARIABLE DE ENTRADA (METODO DE MULTIPLICADORES) La variable que entra se determina mediante el uso de la condicin de Optimalidad del mtodo simplex. Los clculos de los coeficientes de la funcin objetivo estn basados en las relaciones primales-duales. Primero presentamos la mecnica del mtodo y despus damos una explicacin con base en la teora de la dualidad. Otro mtodo, llamado procedimiento Saltando Piedras, tambin sirve para determinar la variable que entra.

En el mtodo de multiplicadores asociamos los multiplicadores u i y vj con el rengln i y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable bsica xij de la solucin actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuacin que sigue: ui + vj = cij , para cada variable bsica xij Estas ecuaciones producen m+n-1 ecuaciones con m+n incgnitas. Los valores de los multiplicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m+n-1 multiplicadores desconocidos restantes. Al hacer esto, la evaluacin de cada variable no bsica Xpq esta dada por: Cpq = up vq - cpq Despus se selecciona la variable que entra como la variable no bsica con la variable no bsica con la variable cpq mas positiva. Si aplicamos este procedimiento a las variables no bsicas estn dadas como: X11: X12: X22: X23: X24: X34: U1 U1 U2 U2 U2 U3 + + + + + + V1 V2 V2 V3 V4 V4 = = = = = = C11 C12 C22 C23 C24 C34 = = = = = = 10 0 7 9 20 18

Haciendo u1= 0 los valores de los multiplicadores se determinan sucesivamente como V1=10, V2=0, U2=7, V3=2, V4=13, y U3=5. Las evaluaciones de las variables no bsicas estn dadas de la manera siguiente: X13 : c13 = u1 + v3 c13 = 0+2-20 = -18 X14 : c14 X21 : c21 = u1+ v4 c14 = 0+13-11 = 2 = 5+10-0 = 15 = 5+0-14 = -9 = 5+2-16 = -9 = u2 + v1 c21 = 7+10-12 = 5

X31 : c31 = u3+v1 c3 X32 : c32 = u3+v2 c32 X33 : c33 = u3 +v3 c33 que entra.

Como x31 tiene la variable cpq mas positiva, esta se selecciona como la variable Las ecuaciones ui+vj = cij que utilizamos para determinar los multiplicadores, tienen una estructura tan sencilla que es necesario escribirlos en forma explicita.

DETERMINACION DE LA VARIABLE QUE SALE (Construccin de un ciclo) Este paso es equivalente a aplicar la condicin de factibilidad del mtodo simplex. Sin embargo, como todos los coeficientes de restriccin del modelo de transportes original son cero o uno, las razones de condicin de factibilidad tendrn siempre su denominador igual a uno .Por lo tanto los valores de las variables bsicas producirn directamente las razones asociadas. Para el fin de determinar la razn mnima, construimos un ciclo cerrado para la variable actual que entra. El ciclo empieza y termina en la variable no bsica designada. Este consta de los segmentos sucesivos horizontales y verticales cuyos puntos extremos deben de ser variables bsicas salvo para los puntos extremos que estn asociados con la variable que entra. Esto significa que todo elemento de esquina del ciclo debe ser una celda que contenga una variable bsica. La tabla 6-10 ilustra un ciclo para la variable que entra dada en la solucin bsica de la tabla 6-8.Obsrvese que para la solucin bsica dada solo se puede construir un ciclo nico para cada variable no bsica. La variable que sale se selecciona de entre las variables de esquina del ciclo que disminuirn cuando las variables del ciclo que entra aumenten arriba del nivel cero. Estas situaciones se indican en la tabla siguiente a travs de las variables contenidas en el cuadro etiquetado con los signos menos.

1 10 5 12 0 X 31 5 0

2 0 10 5 15 14 + 7

3 20 9 15 16 15

4 11 20 5 + 18 5 10 5 15 25

La solucin bsica de la tabla de abajo es degenerada, ya que las variables bsicas x11 y x22 son cero. Ahora se revisa la optimidad de la nueva solucin bsica de la tabla 6-11 calculando los nuevos multiplicadores como se indica en la tabla 6-12. Los valores de Cpq estn dados por los nmeros de la esquina de cada celda no bsica. La variable no bsica x21 con la variable Cpq positiva mayor entra en la solucin. El ciclo cerrado asociado con x21 muestra que x21 o x22 pueden ser la variable que sale. Seleccionamos arbitrariamente x11 como la que sale de la solucin.

1 1 0 2 3 5 5 V1=10 U1=0 0 U2=7 +5 12 X 21 + 10 12 0 10

2 0 15 7 0 14 15 V2=0 0 15 0 + 7

3 20 9 15 16 15 V3=2 20 -18 9 15

4 11 20 10 18 10 V4=13 11 +2 20 10 25 15 5 15 25

U3=1 0 5 5

0

14

16

18

5

-24 15

-24 15

-15 10

La tabla de arriba muestra la nueva solucin bsica que sigue de la tabla siguiente. Los nuevos valores de ui, vj y Cpq se vuelven a calcular. La tabla muestra la variable que entra y la que sale como x14 y x24, respectivamente. Al efectuar este cambio en la tabla de abajo obtenemos la nueva solucin de la tabla final. Como todas las variables Cpq de la tabla final son no positivas se ha llegado a la solucin ptima. V1=5 U1=0 -5 U2=7 0 U3= -5 5 5 -19 15 -19 15 -10 10 0 12 0 + 14 10 15 7 15 16 V2=0 0 -18 9 10 V3=2 20 +2 V4=13 11 X 14 + 20 18 15 25 5

V1=5 U1=0 -5 U2=7 0 U3= -5 5 5 0 12 10

V2=0 0 5 7 10 14 -19 15

V3=2 20 -18 9 15 16 -19 15

V4=11 11 10 20 -2 18 -12 10 5 25 15

C.

MODELO DE APROXIMACIN DE VOGUEL (VAM)

Para cada rengln y columna que queda bajo consideracin, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmtica entre el costo unitario ms pequeo (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese rengln o columna. (Si se tiene un empate para el costo ms pequeo de los restantes de un rengln o columna, entonces la diferencia es 0). En el rengln o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria). Para hacer ms concreta esta descripcin, se ilustrar el procedimiento general, utilizando el mtodo de aproximacin de Vogel para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina noroeste. Iniciamos el mtodo calculando las primeras diferencias para cada rengln y columna. De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor, que resulta ser para la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (c ij) menor y en esa celda realizamos la primera asignacin: 3 2 4Demanda DIF. 3 1 4 1 Recursos 5 1 0 1 10 2 0 31

DIF.

7 4 32

6 3 81 2

4

22 5310

Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrndola en un crculo y escribindole como superndice el nmero que le corresponda en la secuencia de seleccin. Observemos en la figura anterior que nicamente eliminamos el segundo rengln ya que la tercera columna nos servir despus para hacer la asignacin de una variable bsica degenerada.

Continuando con la aplicacin del mtodo, tenemos que calcular nuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un rengln y esto puede ocasionar que las diferencias aritmticas entre el costo unitario ms pequeo y el que le sigue ya no sean las mismas: 3 2 4Demanda DIF. 3 1 1 4 1 1 42

7 43 2

6 3 82 0 3 2 1 2 1

4

Recursos 5 1 0 1 10 10

DIF.

22 53

31

Como siguiente paso deberamos calcular las nuevas diferencias de columnas, pero ya que solamente queda un rengln dentro de las posibilidades no es posible encontrar la diferencia aritmtica entre el costo menor y el que le sigue, (esto no significa que solamente un rengln quede bajo consideracin ya que podemos observar que ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todava bajo consideracin), por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.Recursos DIF. 5 2 1 0 1 p

3

3

1

7

0

6

1

4

2

4

23

22

0

4

3

3

8

53

1

10 Demanda DIF. 3 1 1 4 1 42

1

2 0 3 21

1 2 1

10

La solucin inicial bsica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable bsica degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera Poltica de Transporte factible es de: x11 c11 x12 c12 x13 c13 x14 c14 x23 c23 x32 c32 Costo 3 (3) + 1 (7) + 0 (6) + 1 (4) + 2 (3) + 3 (3) =

= 35 unidades

Es necesario aclarar que sta puede o no ser la solucin final del problema, es necesario aplicar a esta primera solucin factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor poltica de transporte que minimice todava ms el costo total. Comparacin de criterios alternativos para el paso 1. Se compararn estos dos criterios para elegir la siguiente variable bsica. La virtud principal de la regla de la esquina noroeste es la facilidad y rapidez con que se aplica. Sin embargo, como no le da importancia a los costos unitarios cij, por lo general la solucin que se obtiene distar mucho de la ptima. Si se realiza un esfuerzo un poco mayor para encontrar la solucin inicial bsica factible, es posible que se reduzca mucho el nmero de iteraciones que despus necesita el mtodo smplex de transporte para encontrar la solucin ptima. El objetivo del otro criterio es precisamente encontrar una solucin as. El mtodo de aproximacin de Vogel ha sido el ms popular durante muchos aos, en parte porque es relativamente fcil hacerlo a mano. Este criterio toma en cuenta los costos unitarios en forma efectiva ya que la diferencia representa el mnimo costo adicional en que se incurre por no hacer una asignacin en la celda que tiene el menor costo en esa columna o rengln. Podemos decir, que el mtodo de aproximacin de Vogel proporciona una mejor solucin inicial que el criterio de la esquina noroeste, en otras palabras es ms cualitativo. El siguiente paso despus de hallar una solucin inicial bsica factible (por cualquiera de los dos criterios expuestos anteriormente) es verificar si esta solucin inicial es efectivamente ptima aplicando la prueba de optimalidad.

La prueba de optimalidad estndar del mtodo smplex para el problema de transporte, se puede reducir de la siguiente manera: Una solucin bsica factible es ptima si y slo si cij i j 0 para toda (i,j) u v tal que xij es no bsica. As, lo nico que hay que hacer para realizar esta prueba es obtener los valores de ui y vj para la solucin bsica factible actual y despus calcular los valores cij i j segn se describe enseguida. u v Como el valor de cij i j debe ser cero si xij es una variable bsica, ui y vj u v satisfacen el conjunto de ecuaciones: cij = ui + vj para cada (i,j) tal que xij es bsica.

Existen m+n variables bsicas y por tanto hay m+n ecuaciones de este tipo. 1 1 Como el nmero de incgnitas (las ui y vj) es m+n, se puede asignar un valor arbitrario a cualquiera de estas variables sin violar las ecuaciones. La eleccin de esta variable y su valor no afecta el valor de ningn cij i j, aun cuando xij sea no u v bsica, por lo que la nica diferencia (menor) estriba en la facilidad para resolver estas ecuaciones. Una eleccin conveniente para lograr esto es seleccionar la ui que tiene el mayor nmero de asignaciones en su rengln (los empates se rompen de manera arbitraria) y asignarle un valor de cero. Gracias a la sencilla estructura de estas ecuaciones, resulta muy fcil obtener algebraicamente los valores del resto de las variables. Para ejemplificar la prueba de optimalidad, consideremos la solucin inicial bsica factible obtenida por la regla de la esquina noroeste para nuestro ejemplo en cuestin:

v1

v2

v3

v4

Recursos

ui

u1 3 u2 u3 Demanda vj 3 2

3 2 2 4 0 4

7 4 3 2 2

6 3 8 1 1

4 2 5

5 2 3 Costo=5 2

Para este problema, existen m+n 1=3+4 1=6 variables bsicas, que dan origen al siguiente conjunto de ecuaciones: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 8 = u3+v3 5 = u3+v4 Observemos que resultaron ser 6 ecuaciones que involucran 7 incgnitas (tres de las ui y cuatro de las vj), por lo que este sistema de ecuaciones no es cuadrado. La forma de resolverlo es dando un valor arbitrario a una de las incgnitas, para que, a partir de l encontremos el valor de las dems. La regla para hacer esta asignacin arbitraria nos dice que sea para la ui ( rengln) que haya tenido el mayor nmero de asignaciones. En nuestro ejemplo, el rengln 1 tuvo dos asignaciones, el rengln 2 tuvo una asignacin y por ltimo el tercer rengln tuvo tres asignaciones, por lo que asignamos el valor de cero a la incgnita u3. De esta asignacin resulta lo siguiente: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 v2 = 3 8 = u3+v3 v3 = 8 5 = u3+v4 v4 = 5

Hemos obtenido el valor de tres incgnitas ms, v2, v3 y v4, los cuales nos ayudarn para hallar el valor de las incgnitas restantes: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 8 = u3+v3 5 = u3+v4 si u1=4, entonces v1= 1 si v2=3, entonces u1= 4 si v2=3, entonces u2= 1 v2 = 3 v3 = 8 v4 = 5

De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incgnitas y procedemos a colocarlos en la tabla como sigue: v1 u1 3 u2 u3 Demanda vj 3 1 2 2 4 0 4 3 2 8 3 2 4 3 2 1 5 3 8 1 Costo=5 2 2 5 2 3 1 0 v2 7 v3 6 v4 Recursos 4 5 ui 4

Ahora calculemos los valores cij i j para las variables no bsicas, ya que u v para las bsicas, este valor es cero (por la forma de las ecuaciones con que se hallaron los valores de las incgnitas ui y vj), y coloquemos estos valores en la esquina inferior izquierda de cada celda: Para la celda (1,3): 6 4 8 = 6 Para la celda (1,4): 4 4 5 = 5 Para la celda (2,1): 2 1 ( = 2 1) Para la celda (2,3): 3 1 8 = 6 Para la celda (2,4): 2 1 5 = 4 Para la celda (3,1): 4 0 ( = 5 1)

v1 u1 3 u2

v2

3 2 0

72

v3

v4

6 0 4 2 0 3 0 6 3 6 8 02 8 1 5

4

Recursos 5

ui 4

2

5 2

2

1

u3

2 4 5

0 4 3

2

1

4 5 3 0Costo=5 2

0

Demanda vj

3 1

En este momento se puede aplicar la prueba de optimalidad para verificar los valores de cij i j obtenidos. Como cuatro de estos valores (c13 1 3= c14 1 u v u v 6, u v4= c23 2 3= c24 2 4= son negativos, se concluye que la solucin 5, u v 6, u v 4), bsica factible actual no es ptima. Entonces, el mtodo smplex de transporte debe proceder a hacer una iteracin para encontrar una mejor solucin bsica factible. Es necesario aclarar que sta puede o no ser la solucin final del problema, es necesario aplicar a esta primera solucin factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor poltica de transporte que minimice todava ms el costo total. Comparacin de criterios alternativos para el paso 1. Se compararn estos dos criterios para elegir la siguiente variable bsica. La virtud principal de la regla de la esquina noroeste es la facilidad y rapidez con que se aplica. Sin embargo, como no le da importancia a los costos unitarios cij, por lo general la solucin que se obtiene distar mucho de la ptima. Si se realiza un esfuerzo un poco mayor para encontrar la solucin inicial bsica factible, es posible que se reduzca mucho el nmero de iteraciones que despus necesita el mtodo smplex de transporte para encontrar la solucin ptima. El objetivo del otro criterio es precisamente encontrar una solucin as. El mtodo de aproximacin de Vogel ha sido el ms popular durante muchos aos, en parte porque es relativamente fcil hacerlo a mano. Este criterio

toma en cuenta los costos unitarios en forma efectiva ya que la diferencia representa el mnimo costo adicional en que se incurre por no hacer una asignacin en la celda que tiene el menor costo en esa columna o rengln. Podemos decir, que el mtodo de aproximacin de Vogel proporciona una mejor solucin inicial que el criterio de la esquina noroeste, en otras palabras es ms cualitativo. El siguiente paso despus de hallar una solucin inicial bsica factible (por cualquiera de los dos criterios expuestos anteriormente) es verificar si esta solucin inicial es efectivamente ptima aplicando la prueba de optimalidad. La prueba de optimalidad estndar del mtodo smplex para el problema de transporte, se puede reducir de la siguiente manera: Una solucin bsica factible es ptima si y slo si cij i j 0 para toda (i,j) u v tal que xij es no bsica. As, lo nico que hay que hacer para realizar esta prueba es obtener los valores de ui y vj para la solucin bsica factible actual y despus calcular los valores cij i j segn se describe enseguida. u v Como el valor de cij i j debe ser cero si xij es una variable bsica, ui y vj u v satisfacen el conjunto de ecuaciones: cij = ui + vj para cada (i,j) tal que xij es bsica.

Existen m+n variables bsicas y por tanto hay m+n ecuaciones de este tipo. 1 1 Como el nmero de incgnitas (las ui y vj) es m+n, se puede asignar un valor arbitrario a cualquiera de estas variables sin violar las ecuaciones. La eleccin de esta variable y su valor no afecta el valor de ningn cij i j, aun cuando xij sea no u v bsica, por lo que la nica diferencia (menor) estriba en la facilidad para resolver estas ecuaciones. Una eleccin conveniente para lograr esto es seleccionar la ui que tiene el mayor nmero de asignaciones en su rengln (los empates se rompen de manera arbitraria) y asignarle un valor de cero. Gracias a la sencilla estructura de estas ecuaciones, resulta muy fcil obtener algebraicamente los valores del resto de las variables.

Para ejemplificar la prueba de optimalidad, consideremos la solucin inicial bsica factible obtenida por la regla de la esquina noroeste para nuestro ejemplo en cuestin: v1 u1 u2 u3 Demanda 33

v2 3 2 44 2 2 0

v3 7 4 32 2

v4 6 3 81 1

Recursos 4 5 2 52 3

ui

Costo=5 2

vjPara este problema, existen m+n 1=3+4 1=6 variables bsicas, que dan origen al siguiente conjunto de ecuaciones: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 8 = u3+v3 5 = u3+v4 Observemos que resultaron ser 6 ecuaciones que involucran 7 incgnitas (tres de las ui y cuatro de las vj), por lo que este sistema de ecuaciones no es cuadrado. La forma de resolverlo es dando un valor arbitrario a una de las incgnitas, para que, a partir de l encontremos el valor de las dems. La regla para hacer esta asignacin arbitraria nos dice que sea para la ui ( rengln) que haya tenido el mayor nmero de asignaciones. En nuestro ejemplo, el rengln 1 tuvo dos asignaciones, el rengln 2 tuvo una asignacin y por ltimo el tercer rengln tuvo tres asignaciones, por lo que asignamos el valor de cero a la incgnita u3. De esta asignacin resulta lo siguiente: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 v2 = 3 8 = u3+v3 v3 = 8 5 = u3+v4 v4 = 5

Hemos obtenido el valor de tres incgnitas ms, v2, v3 y v4, los cuales nos ayudarn para hallar el valor de las incgnitas restantes: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u3+v2 8 = u3+v3 5 = u3+v4 si u1=4, entonces v1= 1 si v2=3, entonces u1= 4 si v2=3, entonces u2= 1 v2 = 3 v3 = 8 v4 = 5

De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incgnitas y procedemos a colocarlos en la tabla como sigue: v1 u1 u2 u3 Demanda 31 3

v2 3 2 44 3 2 2 0

v3 7 4 32 8 2

v4 6 3 81 5 1

Recursos 4 5 2 52 3

ui4 1

0

Costo=5 2

vj

Ahora calculemos los valores cij i j para las variables no bsicas, ya que u v para las bsicas, este valor es cero (por la forma de las ecuaciones con que se hallaron los valores de las incgnitas ui y vj), y coloquemos estos valores en la esquina inferior izquierda de cada celda: Para la celda (1,3): 6 4 8 = 6 Para la celda (1,4): 4 4 5 = 5 Para la celda (2,1): 2 1 ( = 2 1) Para la celda (2,3): 3 1 8 = 6 Para la celda (2,4): 2 1 5 = 4 Para la celda (3,1): 4 0 ( = 5 1)

v1 u1 u2 u33

v2 3 2 02 2

v3 7 0 4 2 0 3 0 6 6 3 6 8 02 8

v4

Recursos 4 5 5 22

ui4 1

2 4 5

0 4 3

2

1 1 5

4 5 3 0 Costo=5 2

0

Demanda

31

vj

En este momento se puede aplicar la prueba de optimalidad para verificar los valores de cij i j obtenidos. Como cuatro de estos valores (c13 1 3= c14 1 u v u v 6, u v4= c23 2 3= c24 2 4= son negativos, se concluye que la solucin 5, u v 6, u v 4), bsica factible actual no es ptima. Entonces, el mtodo smplex de transporte debe proceder a hacer una iteracin para encontrar una mejor solucin bsica factible. Una iteracin. Igual que para mtodo smplex estndar, una iteracin del mtodo smplex de transporte debe determinar una variable bsica entrante (paso 1), una variable bsica que sale (paso 2) y despus identificar la nueva solucin bsica factible que resulta (paso 3). Paso 1: como cij i j representa la tasa a la que cambia la funcin objetivo si se u v incrementa la variable no bsica xij, la variable que entra debe tener un valor de cij ui j negativo, para que el costo total Z disminuya. Entonces, los candidatos en la v tabla anterior son x13, x14, x23 y x24 . Entre ellos se elige el valor negativo ms grande (en trminos absolutos) de cij i j como la variable bsica entrante, que en u v este caso corresponde a x13 y x23. En los casos en que haya empate para la eleccin de la variable bsica entrante, este empate se rompe de manera arbitraria, ya que tarde o temprano llegaremos a la misma solucin

independientemente de la eleccin de la variable. Pero, observemos lo siguiente: ya que debemos elegir la variable bsica entrante, es decir, aquella que comenzar a tener un valor (ya que antes no lo tena porque era variable no bsica), entonces, es conveniente que elijamos aquella que tenga el costo menor, ya que el valor de la variable entrante multiplicado por su respectivo costo ser la contribucin al costo total. En nuestro caso, el costo asociado a x13 es 6 y el costo asociado a x23 es 3, por lo que la variable que debemos elegir como entrante es x23. Paso 2: si se incrementa el valor de la variable bsica entrante, se establece una reaccin en cadena de cambios compensatorios en otras variables bsicas (asignaciones) para seguir satisfaciendo las restricciones de recursos y demanda. La primera variable bsica que disminuya su valor hasta cero ser la variable bsica que sale. En general, siempre existe slo una reaccin en cadena (en cualquier direccin) que se puede completar con xito para conservar la factibilidad, cuando la variable bsica entrante aumenta su valor. Esta reaccin en cadena se puede identificar si se hace una seleccin entre las celdas que tienen variables bsicas: primero, la celda donadora en la columna que tiene la variable bsica; despus, la celda receptora en el rengln que corresponde a la celda donadora; luego, la celda donadora en la columna en que se encuentra esta celda receptora, y as sucesivamente, hasta que la reaccin en cadena conduce a una celda donadora en el rengln que tiene a la variable bsica entrante. Cuando una columna o rengln tiene ms de una celda adicional con variable bsica, puede ser necesario explorar el camino que se va aseguir para averiguar cul debe seleccionarse como celda donadora o receptora. (Todas las dems menos la adecuada llegarn tarde o temprano a un camino sin salida en un rengln o columna que no tiene otra celda con una variable bsica). Despus de identificar la reaccin en cadena. La celda donadora que tiene la asignacin menor proporciona en forma automtica la variable bsica que sale. (En caso de un empate para la celda donadora, se puede elegir cualquiera para proporcionar la variable bsica que sale).

Si x23 es la variable bsica entrante, la reaccin en cadena de la tabla anterior se resume enseguida. (Siempre se indicar la variable bsica entrante colocando un signo + encuadrado dentro de su celda): v1 u1 u2 u3 0 2 4 5 Demanda 31 3

v2 3 2 02 2 0 4 3

v3 7 0 4 6 6+ 2 2 8

v4 6 3 41 1 5

Recursos 4 5 5 2 5 02 3

ui4 1

2 + 3 0

8

0

0

Costo=5 2

vj

Al aumentar x23 debe disminuir x33 en la misma cantidad para conservar la demanda de 2 en la columna 3; esto a su vez requiere que se aumente x32 en esa cantidad para mantener la oferta de 3 en el rengln 3 y esto a su vez exige una disminucin en el valor de x22 para conservar la demanda de 4 en la columna 2. Esta disminucin en x22 completa con xito la reaccin en cadena ya que tambin conserva la oferta del rengln 2. El resultado final es que las celdas (2,3) y (3,2) se convierten en celdas receptoras, cada una con su asignacin adicional proveniente de las celdas donadoras (2,2) y (3,3). Estas celdas estn indicadas en la tabla anterior por medio de los signos + y Observe que tuvo que elegirse la celda (3,2) como ). celda receptora para el rengln 3 y no la (3,4), ya que esta ltima no hubiera tenido celda donadora en la columna 4 para continuar la reaccin en cadena. Note adems que, a excepcin de la variable bsica entrante, todas las celdas receptoras y donadoras en la reaccin en cadena deben corresponder a variables bsicas en la solucin bsica factible actual. Cada celda donadora disminuye su asignacin en una cantidad exactamente igual al aumento que tiene la variable bsica entrante (y las otras celdas receptoras). Entonces, la celda donadora que comienza con la asignacin

ms pequea este caso las celdas (2,2) y (3,3) debe ser la primera en llegar a en una asignacin de cero conforme se incrementa la variable entrante x23. As, x22 x23 se pueden convertir en la variable bsica que sale. Cuando existe empate para la variable bsica que sale, ste puede romperse de manera arbitraria, es decir, eligiendo cualquiera de las variables donadoras con la asignacin ms pequea como variable bsica saliente. Como una regla emprica, podemos seleccionar como variable bsica saliente aqulla que tenga asociado el mayor costo unitario, ya que como esta variable perder completamente su valor (es decir, se convertir de variable bsica a variable no bsica), esperaramos que el costo total de transporte disminuya. As, escogeramos a x33 como variable bsica saliente. Paso 3: la nueva solucin bsica factible se identifica sumando el valor (antes de los cambios) de la variable bsica que sale a las asignaciones de cada celda receptora y restando esta misma cantidad de las asignaciones de cada celda donadora. En la tabla anterior se observa que el valor de la variable bsica que sale x33 es 2, por lo que esta porcin de la tabla smplex de transporte cambia, como se ilustra en la siguiente tabla para la nueva solucin. (Como x 33 es no bsica en la nueva solucin, su nueva asignacin es cero y ya no se muestra en la tabla). v1 u1 0 u2 2 u3 5 Demanda 3 4 04

v2 3 2 0 3 0 2 0 2 7

v3 6 6 4 2 3 6 02

v4

Recursos 45 2 3

ui

5 2 3 4 8 01

2 5

1

Costo=4 0

vjEn este momento se puede sealar una interpretacin til de las cantidades cij i j que se obtienen en la prueba de optimalidad. Debido al cambio de 2 u v

unidades en las asignaciones de las celdas donadoras a las receptoras, el costo total cambia en: Z = 2(3 8+3 = 2( = = 2(c23 2 3) 4) 6) 12 u v es decir, el costo total de transporte se decrementa en 12 unidades con respecto al costo anterior que era de 52 unidades. Notemos que hemos obtenido una nueva poltica de transporte, la cual podemos resumir as:

La nueva solucin bsica factible es x11=3, x12=2, x22=0 (variable bsica degenerada), x23=2, x32=2 y x34=1 y el costo total de transporte asociado es de: x11 c11 x12 c12 x22 c22 x23 c23 x32 c32 x34 c34 Costo 3 (3) + 2 (7) + 0 (4) + 2 (3) + 2 (3) + 1 (5) =

= 40 unidades

Antes de completar la solucin del problema ejemplo, se har un resumen de las reglas del mtodo smplex de transporte. Resumen del mtodo smplex de transporte Inicializacin: Se construye una solucin inicial bsica factible. Se realiza la prueba de optimalidad. Prueba de optimalidad: Se obtiene ui y vj eligiendo el rengln con el mayor nmero de asignaciones y estableciendo su ui = 0, y despus resolviendo el sistema de ecuaciones cij = ui+vj para cada (i,j) tal que xij es bsica. Si cij i j 0 para toda u v (i,j) tal que xij es no bsica, entonces la solucin actual es ptima por lo que el proceso se detiene. De lo contrario, se regresa a una iteracin.

Iteracin:

1. Se determina la variable bsica entrante: se elige la variable no bsica xij que tiene el valor negativo ms grande (en trminos absolutos) para cij i j. u v 2. Se determina la variable bsica que sale identificando la reaccin en cadena (encontrar un circuito) que se necesita para conservar la factibilidad cuando se aumenta el valor de la variable bsica entrante. Entre las celdas donadoras se selecciona la variable bsica que tiene el menor valor. 3. Se determina la nueva solucin bsica factible: se suma el valor de la variable bsica que sale a las asignaciones de las celdas receptoras y se resta este valor a las asignaciones de las celdas donadoras. Continuando con la aplicacin de este procedimiento a nuestro problema, tenemos que calcular los nuevos valores de las ui y vj y despus los valores cij i j u v correspondientes a las variables no bsicas para determinar si todos cumplen con la prueba de optimalidad: Nuevamente existen m+n 1=3+4 1=6 variables bsicas, que dan origen al siguiente conjunto de ecuaciones: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u2+v3 3 = u3+v2 5 = u3+v4 Observemos que nuevamente resultaron ser 6 ecuaciones que involucran 7 incgnitas (tres de las ui y cuatro de las vj). Ya que hay empate en el nmero de asignaciones que tiene cada rengln (2 asignaciones en cada rengln), asignemos el valor de cero a la incgnita u1. De esta asignacin resulta lo siguiente: 3 = u1+v1 v1=3 7 = u1+v2 v2=7 4 = u2+v2 3 = u2+v3 3 = u3+v2 5 = u3+v4

Hemos obtenido el valor de dos incgnitas ms, v1, y v2, los cuales nos ayudarn para hallar el valor de las incgnitas restantes: 3 = u1+v1 7 = u1+v2 4 = u2+v2 3 = u2+v3 3 = u3+v2 5 = u3+v4 v1=3 v2=7 si v2=7, entonces u2= 3 si u2= entonces v3=6 3, si v2=7, entonces u3= 4 si u3= entonces v4=9 4,

De esta forma hemos obtenido el valor de todas las incgnitas y procedemos a colocarlos en la tabla como sigue: v1 u1 u2 u33

v2 3 2 42 0 2 4 7

v3 7 4 2 3 6 3 8

v4

Recursos 4 5 2 52 3

ui 03 4

2

1 1 9

Demanda

33

vj

2 6

Costo=4 0

Ahora calculemos los valores cij i j para las variables no bsicas y u v coloquemos estos valores en la esquina inferior izquierda de cada celda: Para la celda (1,3): 6 0 6 = 0 Para la celda (1,4): 4 0 9 = 5 Para la celda (2,1): 2 ( 3 = 2 3) Para la celda (2,4): 2 ( 9 = 3) 4 Para la celda (3,1): 4 ( 3 = 5 4) Para la celda (3,3): 8 ( 6 = 6 4)

v1 u1 0 u2 2 u3 4 5 Demanda 33 3

v2 3 0 2 02 0 2 4 7

v3 7 0 4 20 3 02 6 2

v4 6 5 3 8 61 9

Recursos 4 5 22 3

ui 03 4

41

5 0

Costo=4 0

vj

Aplicando la prueba de optimalidad para verificar los valores de cij i j u v obtenidos, vemos que dos de estos valores ( c14 1 4= c24 2 4= son u v 5, u v 4) negativos, se concluye que la solucin bsica factible actual no es ptima. Entonces, el mtodo smplex de transporte debe proceder a hacer una iteracin para encontrar una mejor solucin bsica factible. Aplicando el procedimiento descrito anteriormente, se llega al siguiente conjunto de tablas smplex de transporte que se muestra enseguida y que dan solucin al problema planteado: v1 u1 u2 2 u3 4 5 Demanda 33 3

v2 3 2 0 00 2 4 7 2 7

v3 6 3 8 62 6

v4 5 41 1 9 +

Recursos 4 5 22 3

ui 03 4

0 0 4 20 + 3 0

2

5

0

Costo=4 0

vj

v1 u1 0 u2 2 u3 4 5 Demanda 33

v2 3 22 01 0 3 4

v3 7 00 4 0 3 02

v4 6 52 1

Recursos 4 5 22 3

ui

3 8 61

4

5 0

Costo=3 5

vjLa nueva solucin bsica factible es x11=3, x12=1, x14=1, x22=0 (variable bsica degenerada), x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado es de: x11 c11 x12 c12 x14 c14 x22 c22 x23 c23 x32 c32 Costo 3 (3) + 1 (7) + 1 (4) + 0 (4) + 2 (3) + 3 (3) = Como en esta ltima tabla todas como ptimo, lo cual concluye el algoritmo.

= 35 unidades

las cij i j son no negativas u v

(comprobarlo!), la prueba de optimalidad identifica este conjunto de asignaciones