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ANLISIS
MATEMTICO II
Carlos Felipe Piedra Cceda.
Licenciado en Matemtica.
Con estudios de Maestra en Ingeniera Matemtica.
VOLMENES - I
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VOLUMEN DE UN SLIDO
DE REVOLUCIN
Slido de revolucin es el que se obtiene al girar una regin del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolucin.
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Diferencial de volumen
xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MTODO DEL DISCO
2i i iV f x x
-
TEOREMA
Sea f una funcin continua en el intervalo [a, b] y f(x) 0 en [a, b]. El volumen del slido obtenido al girar alrededor del eje X la regin limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i in
i
b
a
V f x x
f x dx
-
Ejemplo 1: Calcule el volumen del slido generado al rotar alrededor del eje X la regin acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.
-
Ejemplo 2: Calcule el volumen del slido de revolucin generado al rotar alrededor del eje Y la regin limitada por la curva y + x2 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.
y
-
Ejemplo 3: Calcula el volumen del slido que se obtiene al girar la regin R, alrededor del eje Y.
y
xyyxR2
0;41/, 2
-
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
El volumen obtenido al girar la regin limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y ser igual a:
d
c
dyygV2
-
MTODO DE LA ARANDELA
Cuando la regin a girar est limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.
Diferencial de volumen
f(xi) g(xi)
xi
ii xxgxfV 22
a b x
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)
-
TEOREMA
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del slido generado al rotar alrededor del eje X la regin limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b ser:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i in
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx
-
Ejemplo 4: Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor del eje X la regin acotada por la parbola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.
-
Ejemplo 5:
-
Ejemplo 6: Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y