w20150305202952797_7000170729_06-26-2015_144221_pm_13. CONCERVACION DE LA ENERGIA MECANICA 2015.pdf

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FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: DINAMICA

SESION 13: CONCERVACIN DE LA

ENERGA

AUTOR: Ing JORGE RONDO VASQUEZ

TRUJILLO

-

PER


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I. OBJETIVOS

Aplicar el principio de conservacin de

energa a una partcula o un sistema de

partculas


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FUERZAS CONSERVATIVAS Si el trabajo de una fuerza es

independiente de la trayectoria

seguida,

entonces

el

trabajo

se

puede

expresar

en

la

forma

La

funcin

V(

x,y,z

)

se

llama

funcin

potencial

o

energa

potencial

.

Y

a

la

fuerza

se

llama

fuerza

conservativa

.

Si la partcula se desplaza en una

trayectoria cerrada el trabajo de la

fuerza

conservativa

es

nulo,

es

decir

1 2 1 1 1 2 2 2, , , ,U V x y z V x y z

0F dr


4/30

FUERZAS CONSERVATIVAS Si los puntos estn muy prximos

A(x,

y,

z)

y

A(

x+dx

,

y+dy

,

z+dz

)

.

El

trabajo

elemental

ser

Es decir el trabajo de una fuerza

conservativa

es

una

diferencial

exacta

.

Utilizando

la

definicin

de

trabajo

, , , ,

( , , )

dU V x y z V x dx y dy z dz

dU dV x y z

, ,

x y z

x y z

x y z

V V VF dx F dy F dz dx dy dz

x y zV V V

F F Fx y z

V V VF F i F j F k i j k

x y z

F grad V


5/30

CONSERVACIN DE LA ENERGA

Cuando una partcula se

mueve bajo

la accin de una fuerza

conservativa

,

la

suma

de

la

energa

cintica

y

la

energa

potencial de

la

partcula

permanece

constante

1 2 1 2 2 1

1 1 2 2

U V V T T

T V T V E

Donde E es la energa

mecnica

total

1 1

1 1

0,T V Wl

T V Wl

22 2

2 2

2, 0

2 2

W glmvT Wl V

g

T V Wl


6/30

FUERZAS NO CONSERVATIVAS Si

sobre

una

partcula

actan

fuerzas

conservativas y no

conservativas

como por ejemplo

la fuerza defriccin, el trabajo

de sta ltima

depende

de

la

trayectoria

seguida

.

Por tanto para resolver

estos

problemas se usa la

ecuacinsiguiente

Si

sobre

la

partcula

actan

fuerzas

elsticas,

gravitacionales

y

fuerzas

no

conservativas como

el

rozamiento entonces

se

tiene

Donde

1 2 2 1

2

2 11

2 2

2 11 1

2

1 2 2 11

'

2 2 1 1

( ).

. .

.

nc c

nc c

nc

nc

U T T

F F dr T T

F dr F dr T T

F dr V V T T

U T V T V

'

g e ncT V V U

2 2

2 1

2 1

2 2

2 1

'

1

2

1

2

g

e

nc

T m v v

V mg h h

V k x x

U trabajo no conservativo


7/30

MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZACENTRAL

Cuando sobre una partcula actauna fuerza central, puede aplicarse

losprincipiosdeconservacindela

energaydelmomentunangular.Es

decir0

0 0 0

0 0

2 2

0

0

Constant

sin sin

2 2

H

r mv rmv

T V T V

mv GMm mv GMm

r r


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MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZACENTRAL

Lasecuacionesanteriorestambinpuedenutilizarsepara determinarlosvaloresmximosymnimosderencasodeunsatlite lanzado

desdePoenlaformamostrada


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EJEMPLO 01 Uncollarde9kgdeslizasinrozamientoalolargodeunaguavertical

como se muestra en la figura. El collar unido al muelle tiene unalongitudnaturalde100mm yunaconstantede540N/m.Sielcollar

parte del reposo e la posicin 1, determine la velocidad del collar

cuandopasaporlaposicin2trashabersedesplazado150mm


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Solucin Aplicandoel principio de conservacin

de la energaentre lasposiciones1 y2 tenemos

Posicin1:

221 1

12 2

1

1

540 N m 0.1 m 2.7J

2.7 J

0

e

e g

V kx

V V V

T

Posicin2:

221 1

22 2

2

2 2 212 2 2 22

540 N m 0.15 m 6.1J

9)(9.81 N 0.15 m 13.3 J

(6.1 J) (13.35) 7.2 J

19 4.52

e

g

e g

V kx

V Wy

V V V

T mv v v

Conservacinde la energa:

1 1 2 2

2

20 2.7 J 4.5 7.2 J

T V T V

v

2 1.48 m sv


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Ejemplo 02 La pastilla de 200 g se comprime contra el muelle de

constantek=540N/myluegosesueltadesdeelreposoen A. Despreciando la friccin. Determine la menor

compresindelmuelleparaquelapastillarecorraelbucle

ABCDEsinperdernuncaelcontactoconelmismo


12/30

Solucin

:n n

F ma

2

2 2 2 20.6 m 9.81m s 5.89m s

n D

D

W ma mg mv r

v rg

2 2 21 11 2 2

1

0 540 N m 270

0

e gV V V kx x x

T

2

212 2

0 (0.2)(9.81)(1.2) 2.35 J

1(0.2) (5.89) 0.589 J

2

e g

D

V V V Wy

T mv

1 1 2 2

2

0 270 0.589 J 2.35 J

T V T V

x

0.104 m 104 mmx

Cuando la pastilla pase por D su energacintica debe ser mnima y su velocidad y suenerga potencial es mxima

Aplicando el principio de conservacin se la

energa


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Ejemplo 03 Una esfera de masa M = 0,6 kg est unida a un cordn

elsticodeconstante k=100N/m, elcualtieneunalongitudnatural cuando la esferaestenel origenO. si la esferase

deslizasinrozamientoen lasuperficiehorizontal y queen la

posicinmostradasuvelocidades 20m/s. Determine:(a)las

distanciasmximaymnimadelaesferaalorigenOy(b)lasceleridadescorrespondientes


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0

0

0

Constant

sin 60

0.5 0.6 20 sin 60 0.6

8.66 (1)

A A m m

m m

m

m

H

r mv r mv

r v

vr

2 2 2 2

2 2

1 1 1 1100 0.5 0.6 20 100 0.6

2 2 2 2

50 0.3 132.5 (2)

A A B B

m m

m m

V T V T

r v

r v

SOLUCIN Aplicando el principio deconservacin del momentum angularse tiene

Principio de conservacin de la energa.


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EJEMPLOSDE CAPITULO

El anillo A de 7 kg se desliza sin

rozamiento apreciable por la barra

vertical. Cuando el anillo parte del

reposodesde laposicinmsbaja,

sealada en la figura, se mueve

hacia arriba bajo la accin de unafuerzaconstanteF=250Naplicada

mediante el cable. Determine la

constanteKdel resorteparaque la

compresin del resorte quedelimitadasolo a 75mm. Laposicin

delapoleapequeaBesfija.


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EJEMPLO 002 Estando en reposo, se suelta

un collar de 12 kg sobre unavarilla gua lisa, de forma

circular, en la posicin en que

se muestra. El resorte tiene

una longitud natural sindeformacin de 800 mm y un

mdulode 40N/m. Determine.

(a) la velocidad del collar

cuando pase por el punto P y

(b) La fuerza que la varilla

ejercesobreelcollarenP


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EJEMPLO 003 Laesferade 60 kgrepresentada

en la figura est restringida amoverse en la barra lisa BC y

estconectadoalosresortesR1y R2. El mdulo de R1 es 600

N/mysulongitudlibrees2m.Elmdulo de R2 es 300 N/m y su

longitud libre es 2,5 m. En la

posicin A la velocidad de la

esferaes3m/senelsentidodedescenso. Determine la

velocidad de la esfera cuando

llegaalaposicinA.


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EJEMPLO 004 LosdosbloquesAyBde20kgcada

uno mostrados en la figura estn

conectadosmedianteunabarrargida

de500mmymasadespreciable,yse

mueven en ranuras lisas. En La

posicin representada el bloque A

desciende con una velocidad igual a0,2m/s yel resortedeconstante k=

3000 N/m est comprimido 100 mm.

Lamagnitudyladireccindelafuerza

F = 5 0 0 N no vara durante elmovimiento. Determine la velocidad

delbloqueAcuandoseencuentraen

el punto A o sea despus de

descender300mm.


19/30

Ejemplo 006 La bola de 4kg y la varilla

livianaaellaunidarotanenunplano vertical en torno al ejefijo O. Si el conjunto seabandona desde el reposo en=0ysemuevebajolaaccinde la fuerza de 60N, que semantiene normal a la varilla,hallarlavelocidad vdelabolacuando tiendea90.Labola

puede tratarse como masapuntual.


20/30

Ejemplo 011 Losdosbloquesrepresentadosen

lafiguraestnunidosmedianteunhilo inextensible y sin peso. Se

sueltan, partiendo del reposo,

cuando el resorte est

indeformado. Los coeficientes derozamiento esttico y cintico

valen 0,20 y 0,10,

respectivamente,determine:(a)la

mximavelocidadde los bloquesy el alargamiento que en esa

condicin, sufre el resorte, (b) la

mximacadadelbloquede25N.


21/30

Ejemplo 012 Unavarillacirculardelgadasemantiene

inmvil en un plano vertical merced a

unsoporteA.Unidoaste,yarrollado

holgadamente alrededor de la varilla,

hayunmuelledeconstantek=44N/m

ylongitudnaturaligualaladelarcoAB.

Un cursor C de 225 g, no unido almuelle, puede deslizar sin rozamiento

porlavarilla.Sabiendoqueelcursorse

sueltadesdeelreposocuando=30,

determine.(a)laalturamximaalaque

llegaelcursorporencimadeB,(b)su

velocidadmxima.


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Ejemplo 010 Lamasadelanilloes2kgy

el mismo est unido alresorte de masadespreciablecuyarigidezes30 N/m y longitud natural

1,5m.ElanillosesueltaenA desde el reposo y subepor el vstago liso bajo laaccin de la fuerza

constante de 40 N.Determinelavelocidad vdelanillo cuando pasa por laposicinB.


23/30

Ejemplo Uncursorde540gramos

puede deslizar por unaguasemicircularlisaBCD.El resorte tiene unaconstantede320N/mysulongitud natural es 200mm. Sabiendo que elcursorsesueltaenreposo

en B, halle: (a) suvelocidadalpasarporCy(b) la fuerzaqueenC leejercelagua.


24/30

Ejemplo Los bloques A y B estn

unidos por un cable quetieneuna longitudde6,5mypasaporunapequeapolealisaC.Sielsistemasesueltadesdeel reposocuando xA = 4 m,determine la velocidadde

A cuando B llega a laposicin que se muestrapor medio de lneasinterrumpidas. Desprecie

lafriccin.


25/30

ejemplo LabarralivianaestarticuladaenO aunejedegiroy

llevalasdosmasaspuntualesde2kgy4kg.Silabarraseabandonadesdeelreposocon =60yoscilaenelplanovertical.Determine:(a)lavelocidad vdelamasade2kginmediatamenteantesdechocarconelresorteenlaposicinmarcadaatrazosy(b)lacompresinmximaxdelresorte.Sesupondrquexespequeademodoquela posicin de la barra cuando comprimeel resorte esprcticamentehorizontal.


26/30

Ejemplo El par de bloques representado en la figura estn

conectados medianteunhilo inextensibleysinpeso. El

resortetieneunaconstantek=1200N/m yunalongitudnaturalL0=30cm.Elrozamientoesdespreciable.Sisesuelta el sistema a partir del reposo cuando x = 0,determine:(a)laceleridaddelosbloquescuandox=10

cmy(b)Elmximodesplazamiento xmaxquealcanzarenelulteriormovimiento


27/30

Ejemplo Unsaquitoquecontiene1,5

kgdebolitasestsujetoalextremodeun hilo de800mm de longitud, segn seindica en la figura. La

mxima tensin que puederesistir el hiloesPmx =30N. Si el muchacho sacalentamente el saco delestante,determineelngulo quegirarelsacoantesderomperehilo.

l


28/30

Ejemplo Al sistema articuladose

aplica una fuerzahorizontalconstante P =700Ndel modoen quese indica. Estando laesfera de 14 kg inicialmente en repososobreelsoportecuando se aproxima al valorceroylabolaseacercaasuposicinmsalta.

Ej l


29/30

Ejemplo Unacorrederade 1,5 kgestunidaaunmuelleydesliza

porunaguacircular lisasituadaenun plano vertical.El

resortetienenunalongitudnaturalde 150 mmyunaconstante k=400N/m.SabiendoquelacorrederaestenequilibrioenAcuandorecibeunleveempellnparaponerlaenmovimiento.Determinesuvelocidadcuando:(a)pasaporelpuntoBy(b)pasaporelpuntoC.Silacorrederase

encuentra en un plano horizontal Cul sera susrespuestas?.


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