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MatemáticasGlosario 9-12

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS


SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

+ Adición = Igualh Altura → Implica∠ Ángulo ∞ Infinito

F(x) Antiderivada de f(x) ∫ f (x ) Integral, de f(x)A Área ∩ Intersección

l Arista, lado limx→ a

❑ Limite cuando x tiene de a a

b Base limx→ a+¿ ❑¿

¿ Limite cuando x tiene de a a por la derecha

r Coeficiente de correlación lineal limx→ a−¿❑¿

¿ Limite cuando x tiene de a a por la izquierda

C Combinación log10 Logaritmo base 10A , A Complemento de A ln Logaritmo natural∘ Composición de funciones ± Mas ‘ menos

C Conjunto de números complejos A−1 Matriz inversa

Z Conjunto de números enteros (a bc d ) Matriz 2 x 2

Z−¿¿ Conjunto de números enteros negativos Adj( A) Matriz Adjunta

Z+¿ ¿ Conjunto de números enteros positivos AT Matriz Traspuesta

N Conjunto de números naturales I n Matriz unidadQ Conjunto de números racionales MCD Máximo común divisorR Conjunto de números reales ≥ Mayor o igual … ∅ Conjunto vacío ¿ Mayor que…k Constante x Media aritmética

cos x Coseno M e Medianacot x Cotangente ≤ Menor o igual que…

f´, ddx Derivada, respecto a x ¿ Menor que…

s Desviación estándar mcm Mínimo común múltiploDM Desviación media M o Modadet Determinante ‖z‖,‖v‖ Módulodx Diferencial de x × Multiplicación ó productod Distancia n n-ésimo≠ Distinto ∄ No existe

Dom Dominio ⊄ No incluido en…

2


a ij Elemento de una matriz ∉ No pertenece a …∃ Existe e Número e! Factorial π Número pi

f(x) Función ∀ Para cualquierf−1(x) Función inversa ∥ Paralela a

≡ Idéntico m PendienteP Permutaciones Α α Alpha

P(x) Polinomio en x Β β BetaP Probabilidad del suceso A Γ γ Gama

P( A∨B) Probabilidad condicionada Δ δ DeltaP(x, y, z) Punto en el espacio Ε ε EpsilonP(x, y) Punto en el plano Ζ ζ Zeta

❑√ x Raíz Cuadrada Η η Etan√ x Raíz enésina Θ θ ThetaAB Rayo Ι ι OitaAB Recta Κ κ Kappa- Resta Λ λ Lambda

sec (x) Secante Μ μ MuAB Segmento Ν ν Nu

sin (x) Seno Ξ ξ Xi⟺ Si y sólo si Ο ο Omicron+ Suma Π π PiSn Suma de n términos Ρ ρ RhoΣ Sumatoria Σ σ ς SigmaS Superficie Τ τ TauSb Superficie de la base Υ υ UpsilonSl Superficie lateral Φ φ Phi

tan (x) Tangente Χ χ Chi% Tanto por ciento Ψ ψ Psian Término n-ésimo Ω ω Omegai Unidad imaginaria ≈ semejante∪ Unión de conjuntos ¿ congruente|x| Valor absolutoVR Variacionesv VectorV Volumen

3


FÓRMULAS

4


Formulario BINOMIO DE NEWTON

Forma abreviada del Binomio de Newton

( x+ y )2=x2+2 xy+ y2 ( x− y )2=x2−2 xy+ y2

( x+ y )3=x3+3 x2 y+3 x y2+ y3 ( x− y )3=x3−3 x2 y+3 x y2− y3

( x+ y )4=x4+4 x3 y+6 x2 y2+4 x y3+ y4

( x− y )4=x4−4 x3 y+6 x2 y2−4 x y3+ y4

( x+ y )n=xn+n xn−1 y+n (n−1 )

2 !xn−2 y2+…+nx yn−1+ yn

( x− y )n=xn−n xn−1 y+ n (n−1 )2!

xn−2 y2−…± nx yn−1∓ y n

COMBINATORIA

Combinatoria con repetición

CRm, n=(m+n−1 ) !n ! (m−1 )!

Combinatorias ordinarias o sin repetición

Cm,n=m!

n! (m−n )!

Permutaciones con repetición

PRna , b ,c ,…= n!

a !b !c !

Permutaciones ordinarias o sin repetición

Pn=n!

Variaciones con repetición Permutaciones ordinarias o sin repetición

5


VRm, n=mn V m, n=

m!(m−n ) !

COMPLEJOS

Número complejo en forma rectangular: a+bi , donde i=√−1Número complejo en forma polar: rα, (r , α)Conjugado de un número complejo: a+bi→ a−biOpuesto de un número complejo: a+bi→−a−bi

Operaciones en forma rectangular

Suma: (a+bi )=(c+di )=( a+c )+(b+d ) iDiferencia: (a+bi )−(c+di )=( a−c )+(b−d ) iProducto: (a+bi ) (c+di )=ac+adi+cbi+bd i2=ac+adi+cbi−bd ¿ (ac−bd )+ (ad+cb ) i , donde i2=−1

Potencia: (a+bi)n=∑k=0

n

(nk)an−1bk

¿ (a+b ) (a+b )⋯ (a+b ) , noveces

Operaciones en forma polar

División: rα

pβ=R γ , donde R= r

p, y γ=β−α

Potencia: (r α )n=R ,donde R=rn y γ=nαProducto: rα pβ=R , donde R=rp y γ=α+ β

Transformación de un número complejo

Forma rectangulara forma polar

Forma polara forma rectangular

Módulo: m=√a2+b2 Parte real: a=r cosα

Argumento: tan α=ba Parte imaginaria: b=rsin α

CÓNICAS

Elipse: x2

a2 + y2

b2 =1; (x−x0)

2

a2 +( y− y0)

2

b2 =1

Hipérbola: x2

a2 −y2

b2 =1;(x−x0)

2

a2 −( y− y0)

2

b2 =1

6


Circunferencia:Ecuación general: x2+ y2+ Ax+By+C=0Ecuación canónica: x2+ y2=R2

Ecuación con centro C (a ,b) y radio R, ¿

CUADRÁTICA

Las soluciones de p ( x )=a x2+bx+c, para a≠ 0, es x=−b±√b2−4ac2a

Si b2−4 ac>0, entonces p(x) tiene dos soluciones reales diferentes.Si b2−4 ac=0, entonces p(x) tiene una solución única.Si b2−4 ac<0, entonces p(x) tiene dos soluciones complejas, no reales.

DERIVADAS

Función Derivaday= f ( x ) y ´= lim

h →0

f ( x+h )−f (x )h

y=a, a es una constante y ´=0

y=n√ f y '= f '

n⋅n√( f )n−1.

y= f⋅g y '=f '⋅g+g'⋅f .

y= fg

y '= f '⋅g−g'⋅fg2 .

y=a⋅xn y '=n⋅a⋅xn-1 .y=( f )n y '=n⋅( f )n−1⋅f ' .

y=ln ( x ) y '= 1x

.

y=ln ( f ) y '= f '

f.

y= loga (x ) y '=1x⋅loga( e ).

y= loga ( f ) y '= f '

f⋅log a(e ) .

y=ax y '=ax⋅ln( a) .y=af y '= f '⋅a f⋅ln(a ).y=ex

y '=e x .

7


Función Derivaday=e f y '=f '⋅e f .y=sen x y '=cos x .y=sen ( f ) y '=f '⋅cos ( f ) .

y=senn ( f ) y '=n⋅senn−1 ( f )⋅f '⋅cos (f ) .y=cos x y '=−senx .y=cos ( f ) y '=− f '⋅sen ( f ) .

y=cosn ( f ) y '=−n⋅cosn−1 ( f )⋅f '⋅sen ( f ) .

y=tan x y '=sec2 x= 1cos2 x

=1+tg2 x .

y=tan ( f ) y '= f ´sec2 f = f '

cos2 ( f )= f '⋅[1+tg2 ( f ) ] .

y=tan n (f ) y '=n⋅tgn−1 ( f )⋅ f '

cos2 ( f ).

y=cot gx y '= −1sen2 x

=−( 1+cot g2 x) ..

y=cot g ( f ) y '= − f '

sen2 ( f ) .

y=cot gn (f ) y '=−n⋅cot gn−1 ( f )⋅ f '

sen2 (f ).

y=sec x y '=sec x⋅tgx .y=sec (f ) y '= f '⋅sec ( f )⋅tg ( f ) .y=csc x y '=−cos ecx⋅cot gx .y=csc ( f ) y '=−f '⋅cosec (f )⋅cot g ( f ) .

y=arcsenx y '= 1√1−x2

.

y=arcsen (f ) y '= f '

√1−( f )2 .

y=arccos x y '= −1√1−x2

.

y=arccos ( f ) y '= −f '

√1−( f )2.

y=arctan x y '= 11+ x2

.

y=arctan ( f ) y '= f '

1+ (f )2 .

8


Función Derivada

y=arc cot gx y '= −11+ x2

.

y=arc cot g (f ) y '= −f '

1+ (f )2.

y=arc sec x y '= 1|x|⋅√ x2−1

.

y=arc sec ( f ) y '= f '

|f|⋅√ ( f )2−1.

y=arc csc x y '= −1|x|⋅√ x2−1

.

y=arc csc ( f ) y '= − f '

|f|⋅√ ( f )2−1.

ESTADÍSTICA

Estadística unidimensional

Medidas de tendencia central

Media aritmética: x=x1n1+x2n2+⋯ xn nn

n1+n2+⋯+nn=∑ x i ni

Nx=∑ x i f

Mediana: M e=Li+c

N2

−N i−1

ni

Moda: M o=Li+c dd−¿+d+¿¿¿

Medidas de dispersión

Rango: V M−V m , dondeV M es el valor mayor yV mes el valor menor

Desviación media: DM=∑|xi−x|ni

N

Varianza: s2=∑ ( x i−x )2

N o s2=∑ ni x i

2

N− (x )2

9


Desviación estándar: s=√∑ ( x i−x )2

N o s=√∑ ni xi

2

N− (x )2

Coeficiente de variación de Pearson: CV = sx

100

Estadística bidimensional

Coeficiente de correlación: r=sw

sx−sy

Covarianza: sxy=∑ ni ( xi−x ) ( y i− y )

N o Sxy=

∑ ni xi y i

N−x y

Recta de regresión: y− y=a ( x−x ) , dondea=Sxy

Sx2

10


Distribución binomial

Función densidad: f ( x )=(nk ) pk qn−k

Función de distribución: F (k )=∑k=0

k

(nk ) pk qn−k

Distribución normal

Función de densidad: f ( x i )=1

s√2πe

−12 ( x i−x

s )

Tipificación: N ( x , s ) → N (1 , 0 ) : Z=x i−z

s

Intervalos normales:[ x−s , x+s ] → p=0.682

[ x−2 s , x+2 s ] → p=0.954[ x−3 s , x+3 s ] → p=0.997

FIGURAS DEL PLANO

Figura Definición Fórmulas Ilustracióncírculo Área o superficie

plana contenida dentro de una circunferencia.

Diámetro: d=2rPerímetro: P=2 πrÁrea: A=π r2

circunferencia Curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, el centro, situado en el mismo plano.

Diámetro: d=2rLongitud: L=2 πr

corona circular Figura plana formada por la región del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas

Área: A=π ( R2−r2 )

cuadrado Cuadrilátero regular formada por cuatro lados de igual longitud y por cuatro ángulos rectos.

Angulo central: β=90 °Angulo interior: α=90 °Perímetro: P=4 lÁrea: A=l2

Suma de los ángulos interiores: Sn=360°

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Figura Definición Fórmulas Ilustracióndecágono Polígono que tiene

diez lados y diez ángulos

Angulo central: β=36 °Angulo interior: α=144 °Perímetro: P=5 alÁrea: A=10lSuma de los ángulos interiores: Sn=1440°

dodecágonoPolígono que tiene doce ángulos y doce lados

Ángulo central: β=30 °Ángulo interior: α=150 °Perímetro: P=6a lÁrea: A=12lSuma de los ángulos interiores: Sn=1800°

heptágonoPolígono de siete ángulos y siete lados.

Ángulo central:

β=360 °7

=51.43 °

Ángulo interior:

α=900 °7

=128.57 °

Perímetro: P=7 al2

Área: A=7 lSuma de los ángulos interiores: Sn=900 °

hexágono Polígono de seis ángulos y seis lados

Ángulo central: β=60 °Ángulo interior: α=120 °Perímetro: P=3 alÁrea: A=6 lSuma de los ángulos interiores: Sn=720°

octágonoPolígono de ocho ángulos y ocho lados

Ángulo central: β=45°Ángulo interior: α=135 °Perímetro: P=4alÁrea: A=8 lSuma de los ángulos interiores: Sn=1080°

Pentágono Polígono de cinco ángulos y cinco lados.

Ángulo central: β=72 °Ángulo interior: α=108 °

Perímetro: P=5 al2

Área: A=5lSuma de los ángulos interiores: Sn=540°

12


Figura Definición Fórmulas Ilustración

Polígono regular

Polígono cuyos ángulos y lados tienen la misma medida

Ángulo central:

β=360 °n

=51.43 °

Ángulo interior:

α=180 (n−2 ) °

nPerímetro: P=nl

Radio: r=√a2+ l2

4Suma de los ángulos interiores: Sn=180° (n−2 )

Rectángulo Que tiene ángulos rectos.

Paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos.

Perímetro: P=2 (a+b )Área: A=ab

Rombo Paralelogramo que tiene los lados iguales y dos de sus ángulos mayores que los otros dos.

Perímetro: P=4aÁrea: A=ah

Romboide Cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos entre si.

Perímetro: P=2 (a+b )Área: A=ab

Sector circular Porción de círculo comprendida entre un arco y los dos radios que pasan por sus extremidades.

Área: A=π r2 a360

(a es grados)

A=α r2

2 (α en radianes)

Trapecio Cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados.

Perímetro: P=a=B+b+c

Área: A=( B+b )h

2

triángulo Polígono de tres lados.

Perímetro: P=a+b+c

Área: A=b h2

A=√ p ( p−a ) ( p−b )(p−c )

13



A=12

absenC

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FIGURAS DEL ESPACIO


Cilindro Cuerpo limitado por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que la cortan.

Área lateral: Al=2πr hÁrea de base:

Ab=π r 2

Área total: At=2πr (h+r )Volumen: V=π r2 h

cono recto Cuerpo de revolución que se obtiene de la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos (el que determina el eje).

Área lateral: Al=πrgÁrea de base: Ab=π r 2

Área total: At=πrg+π r2

At=πr (g+r )Volumen:

V=13

π r2


cono truncado

Parte de un cono comprendida entre la base y otro plano que corta todas sus generatrices.

Área lateral: Al=πg (R+r )

Área de base: Ab=π R2+π r2

Área total: At=πg ( R+r )+π R2+π r2

At=π [g ( R+r )+R2 ]

Volumen:

V=13

π−hR−r

( R3−r3 )

V=π h ( R2+Rh+h2 )

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cubo o hexaedro

Sólido regular limitado por seis cuadrados iguales.

Radio: R=l √32

Apotema: a= l2

Área: A=6 l2

Volumen: V=l3

Figura Definición Fórmulas Ilustracióncuña esférica

Parte de un esfera limitada por su superficie y por dos semicírculos máximos que comparten el miso diámetro.

Área:

A=4 π r2α360°

si αen grados

A=2r 2 α si αen radianesVolumen:

V= π r3 α270 °

si αen grados

V=2 r3 α3

si αen radianes

dodecaedro Sólido de doce caras. Aquel cuyas caras son pentágonos regulares.

Radio: R= l √62√3−√5

Apotema: a= l√25+11√5√40

Área: A=3l2 √25+√10√5

Volumen: V=5 l3

6√7+3√5

√2icosaedro

Sólido limitado por 20 caras. Aquel cuyas caras son todos triángulos equiláteros iguales.

Radio: R=l √10+2√54

Apotema: a= l2=√ 7+3√5

6Área: A=3l2 √25+√10√5Área: V=5 l2 √3

Volumen:V=5 l3

6 √ 7+3√52

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octaedro Poliedro de ocho caras o planos.

Radio: R=√22

l

Apotema: a=√66

l

Área: A=2l √3

Volumen:V=√23

l3

ortoedro Paralelepípedo cuyas caras forman ángulos diedros rectos.

Área: A=2 ( ab+bc+ac )

Volumen: V=abc

pirámide Sólido que tiene por base un polígono cualquiera y cuyas caras, tantas en número como los lados de aquel, son triángulos que se juntan en un solo punto, llamado vértice.

Área lateral: Al=n( ap ) l

2, n es el

numero de lados de la base

Área total: At=n(ap+ab ) l

2

Volumen: V=13

Abase h

Figura Definición Fórmulas Ilustraciónprisma Cuerpo limitado por

dos polígonos planos, paralelos e iguales que se llaman bases, y por tantos paralelogramos cuantos lados tenga cada base. Si estas son triángulos, el prisma se llama triangular; si pentágonos, pentagonal, etc.

Área lateral: Al=nal, n es el numero de lados de la base

Área total: At=nl ¿ Volumen: V=nl ab a

tetraedro Sólido determinado por cuatro planos o caras.regular. Aquel cuyas caras son triángulos equiláteros.

Radio: R= l

2√ 23

Apotema: a= l2√6

Área: A=a2 √3

Volumen:V= l3 √212

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GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ángulo plano-plano cos α=|nπ ∙ nω||nπ|∙|nω|

Ángulo recta-recta tan α= m'

1+m ∙m'

cos α=|u∙ v||u|∙|v|

Ángulo vector-vectorcos α= u∙ v

|u|∙|v|

Distancia punto-punto dist (P1 , P2)=√ ( x2−x1 )2+( y2− y1 )2

dist ¿

Distancia punto-plano dist ( P ,π )=|a x0+b y0+c|

√a2+b2

dist ( P ,π )=|a x0+b y0+c z0+d|

√a2+b2+c2

Punto medio de un segmento M=( x0−x1

2,

y0− y1

2 )( x0−x1

2,

y0− y1

2,

z0−z1

2 )Ecuación de una recta en el espacio

Ecuación continuax−x0

v x,

y− y0

v y,z−z0

v z

Ecuaciones paramétricasx=x0+λ vx

y= y0+ λ v y

z=z0+λ vz

Ecuación vectorial ( x , y , z )=x0+ y0+z0+ λ(vx , , v y , v z)

Ecuación de una recta en el plano

Ecuación canónicaxl+ y

p=1

Ecuaciones continuas

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x−x0

v x=

y− y0

v y

Ecuación explícita y=ax+b

Ecuación implícita Ax+By+C=0

Ecuaciones paramétricas{ x=x0+λ ( x1−x0 )

y= y0+λ ( y1− y0 )

o

{x=x0+λ vx

y= y0+λ v y

Ecuación punto-pendiente y− y0=m ( x−x0 )

Ecuación del plano (en el espacio)Ecuación implícita A ( x−x0 )+B ( y− y0 )+C ( z−z0 )

|ux vx x−x0

u y v y y− y0

uz vz z−z0|=0

Ecuaciones paramétricas { x=x0+ λ ux+μ v x

y= y0+λ u y+μ v y

z=z0+λ uz+μ vz

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INTEGRALES

∫ adx=a∫dx=ax+C .

∫ xn dx= xn+1

n+1+C , si n≠−1 .

∫ [ f ( x ) ]n f ' (x ) dx= [ f ( x ) ]n+1

n+1+C , si n≠−1 .

∫ f ' ( x )f ( x )

dx= ln [ f ( x ) ]+C .

∫ ex dx=e x+C .∫ e f ( x ) f ' ( x ) dx=ef ( x )+C .

∫ af ( x ) f ' ( x ) dx= af ( x )

ln a+C , si a>0 , a≠1.

∫ sen xdx=−cos x+C .

∫ sen [ f ( x ) ] f ' ( x ) dx=−cos [ f (x ) ]+C .

∫cos xdx=sen x+C .

∫cos [ f ( x ) ] f ' ( x ) dx=sen [ f ( x ) ]+C .

∫ f ' ( x )cos2 [ f ( x ) ]

dx=tan [ f ( x ) ]+C .

∫ f ' (x )sen2 [ f ( x ) ]

dx=−cot g [ f (x ) ]+C .

∫ f ' ( x )

√1−[ f ( x ) ]2dx=arcsen [ f ( x ) ]+C .

∫ −f ' ( x )

√1−[ f ( x ) ]2dx=arccos [ f ( x ) ]+C .

∫ f ' ( x )

1+ [ f ( x ) ]2dx=arctan [ f (x ) ]+C .

20


∫ tan x dx=−ln (cos x )+C .

∫cot gxdx= ln (senx )+C .

∫sec2 xdx= tan x+C .

∫csc2 xdx=−cot gx+C .

∫sec x tan x dx=sec x+C .

∫cos ecx cot gxdx=−cosecx+C .

∫sen xcos2 x

dx=sec x+C .

∫cos xsen2 x

dx=−cosecx+C .

∫ f ' ( x ) dx

√ [ f ( x ) ]2−a2= ln [ f ( x )+√ [ f ( x ) ]2−a2 ]+C .

∫ f ' ( x )dx

√ [ f ( x ) ]2+a2=ln [ f ( x )+√[ f (x ) ]2+a2 ]+C .

∫ dxx √x2−1

=arc sec x+C .

∫ f ' ( x )dx

f ( x ) √[ f ( x ) ]2−a2=

1a

arc sec f ( x )a

+C .

∫ −dxx √x2−1

=arccos ecx+C .

LOGARITMOS

log a ( MN )=log a M +log a N

log a( MN )=loga M−loga N

log a M r=r loga M

log a M=¿ log Mlog a

= ln Mln a

¿

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POTENCIAS

an ∙ am=an+m an

am =an−m

am∙ bm=(a ∙ b )m an

bn =( ab )

n

a−n= 1an ( a

b )−n

=( ba )

n

(an )m=anm a1=a

a0=1 , paraa≠ 0

PROBABILIDAD

Teorema de Laplace: P= casos favorablescasos posibles

Probabilidad de la IntersecciónEventos independientes: p ( A i ∩B )=p ( Ai ) p(B)

Eventos dependientes: P ( A ∩B )=p ( A ) p( BA )

Probabilidad condicionada: p( BA )= p ( A ∩ B )

p (A ), paraP (A )≠ 0

Probabilidad de la unión:Eventos incompatibles: p ( A∪B )=p ( A )+P (B)Eventos compatibles: p ( A∪B )=p ( A )+ p ( B )−p (A ∩B)

Probabilidad del evento contrario: q=1−p, si p y q son las probabilidades de los eventos contrarios.

Probabilidad total:P (B )=p ( A1 ) p ( BA1 )+p ( A2 ) p( B

A2 )+⋯+ p ( An ) p ( BAn )

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Teorema de Bayes: p( Ai

B )=p ( A i ) ∙ p( B

Ai )p ( A1 ) p( B

A1 )+⋯+ p ( An ) p( BAn )

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RADICALES

n√a ∙ n√b=n√a ∙ b n√an√b

=n√ ab

( n√am )p=

n√amp

n√m√a=nm√a

nk√amk=n√amn√am=a

mn

SUCESIONES

Sucesión aritmética Sucesión aritmética

an=a1+(n−1 ) d an=a1 ∙ rn−1

aq=a p+ (q−p ) d aq=a p∙ rq−r

Pn=√( a1 ∙ an )n

S=an ∙ r−ai

r−1

S=a1rn−1r−1

S=a1+an

2∙ n r=p+1√ b

a

d=b−ap+1

Sucesión geométrica limitada

S=a1

1−r

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TRIGONOMETRÍA

Definiciones

sin θ= opuestohipotenusa

csc θ=hipotenusaopuesto

cosθ= adyacentehipotenusa

secθ=hipotenusaadyacente

tanθ= opuestoadyacent e

cot θ=adyacenteopuesto

sin θ= yr

csc θ= ry

cosθ= xr

secθ= rx

tanθ= yx

cot θ= xy

Razones trigonométricas

0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 °

sin α 012

√22

√32

1 0

cos α 1 √32

√22

12 0 -1

tan α 0 √33

1 √3 ∞ 0

25


Identidades

sin θ= 1csc x

sec x ¿ 1cos x

tan x ¿ 1cot x

csc x¿ 1sin x

cos x ¿ 1sec x

cot x= 1tan x

tan x= sin xcos x

cot x= cos xsin x

sin2 x+cos2 x=1 1+ tan2 x=sec2 x 1+cot2 x=csc2 x

Doble ángulo

sin 2u=2sin u cosu

cos2u=cos2 u−sin 2ucos2 u=2cos2u−1cos2u=1−2 sin2u

tan2u= 2 tan u1−tan2 u

Potencia

sin2 u=1−cos2u2

cos2u=1+cos 2u2

tan2u=1−cos2 u1+cos2u

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Producto a suma

sin u sin v=12 [cos (u−v )−cos (u+v ) ]

cosucos v=12 [cos (u−v )+cos (u+v ) ]

sin ucos v=12 [sin (u+v )+sin (u−v ) ]

cosu sin v=12 [sin (u+v )−sin (u−v ) ]

Suma y Diferenciasin (u ± v )=sin u cos v± cosu sin vcos (u± v )=cosucos v∓sin u sin v

tan (u ± v )= tanu ± tan v1∓ tan u tan v

Suma a producto

sin u+sin v=2 sin(u+v2 )cos ( u−v

2 )sin u−sin v=2 cos (u+v

2 )sin( u−v2 )

cosu+cosv=2cos ( u+v2 )cos (u−v

2 )cosu−cos v=−2 sin( u+v

2 )sin( u−v2 )

Ley de Seno

sin Aa

= sin Bb

= sin Cc

Ley de Coseno

a2=b2+c2−2 bc cos Ab2=a2+c2−2 ac cos Bc2=a2+b2−2ab cos C

27


VECTORES

Módulo: |v|=√vx2 +v y

2

Argumento: α=arctan ( v y

vx)

Operaciones

Suma: u+ v=(ux ,u y)+ (v x , uy )=(ux+v x , uy+u y)Resta: u−v= (ux , uy )−( v x , v y )=(ux−vx ,u y−v y)Producto de un vector por un escalar: k ∙ v=k ∙ ( vx , v y )= (kv x , k v y )Producto escalar: u ∙ v=(ux ,u y )∙ ( vx ,u y )=(ux ∙ vx )+(uy ∙ v y )

u ∙ v=|u||v|cos α

Producto cruz:u × v=| i j kux u y uz

vx v y vz|, donde i , j , k constituyenlabase

Fuente: Guía Operacional Matemática 9 de Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). Puerto Rico 28

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