LA POTENCIACIÓN EN MATEMÁTICA:Normalmente los exponentes aluden a la idea de que un número denominado base debe ser multiplicado por sí mismo “ n veces”, y esta cantidad “n” es equivalente o igual a la que indica el supra índice que lleva esta base en la parte superior derecha, conviene recalcar aquí que el vocablo supra índice se usa en un sentido designativo del objeto matemático (una letra o un número o cualquiera otro objeto matemático) que se coloca en la parte superior derecha de un ente matemático. Tendencia fuertemente vinculada a la necesidad de acortar o simplificar las notaciones matemáticas, por supuesto que desde una perspectiva operatoria que facilite las abstracciones o la identificación de una característica común entre elementos con características semejantes.

La interpretación actual de esta notación o del par base-exponente como potencia no siempre ha sido la misma, pues se han generado ciertas diatribas y consensos en el transcurso de los años que van buscando una homogenización conceptual debido al auge que ha tomado la aplicación de este recurso en las diferentes disciplinas científicas. Su concepción actual alude esencialmente al uso de un par de objetos matemáticos; uno principal denominado base, el cual podría ser una variable, una constante (aritmética o literal) o una expresión algebraica, y uno secundario denominado exponente el cual podría ser de la misma o de diferente naturaleza que la base, es decir, que se vislumbra una relación entre un par de números (base y exponente) y un valor asignado (producto generado en la multiplicación).

Potenciación: base (B) y exponente (n) se le asigna el producto B.B.B. … B (n veces)

Históricamente el concepto básico de los exponentes se remonta al menos a la antigua Grecia, específicamente al tiempo del matemático y geómetra Euclides, pues es el quien acuña el término "potencia" para indicar el número de veces que un número debía multiplicarse por sí mismo. No obstante en siglo XIV el matemático y astrónomo francés Nicolás Oresme, escribió números para indicar el uso de potencias con la misma acepción de Euclides. Sin embargo, ninguno de ellos la uso en un sentido matemático.

El uso de los números como previo a convertirse en un supra índices para señalar los exponentes data del siglo XVII por parte de Pierre Hérigone usó símbolos como a3 para indicar a por a por a, aunque no elevó el exponente. El primero que utilizó los exponentes elevados fue David Humé, en 1636, escribió números romanos (como III o IX). En 1637, Rene Descartes usó exponentes positivos escritos a la manera moderna.

Los primeros usos de notación exponencial fueron invariablemente con exponentes positivos. Isaac Newton fue el primero que usó la notación moderna para un exponente negativo, en 1676. Nicolás Oresme utilizó exponentes fraccionarios en el siglo XIV, pero no con la notación moderna, que no aparecieron hasta Newton, en 1676.

Los exponentes y su uso en la notación científica estuvieron limitados hasta el siglo XIX. En aquel momento, se convirtió en normativo escribir los números más grandes con la notación científica. Como consecuencia, los números, como el 8.900.000.000, pasaron a ser 8,9 por 10 elevado a 9. Este aumento en el uso se produjo como resultado directo de los estudios astronómicos y microscópicos que requerían números extremadamente altos o bajos.

1. POTENCIACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES:En este conjunto existen dos leyes de composición interna la suma y la multiplicación de las cuales sabemos:

1.1. La suma:1.1.1. La relación + es una ley de composición interna en N , es decir: +: NxN →N es una función, tal que ⦡a ,b∈N⇒ (a+b )∈N1.1.2. La relación + es asociativa en N , es decir: +: NxN →N es una función, tal que ⦡a , b , c∈N⇒ (a+b )+c=a+( b+c )1.1.3. Existe elemento neutro en N respecto de la relación +, es decir: ∃ e+¿∈ N ̸ ⦡a∈N ,a+e+¿=a¿ ¿

1.1.4. Ningún elemento de N tiene simétrico respecto de la relación +, es decir: ⦡a∈N ,∄a' ∈N ̸ a+a'=e+¿ ¿1.1.5. La relación + es conmutativa, es decir: ⦡a , b∈N , a+b=b+a1.2. La multiplicación:

1.2.1. La relación • es una ley de composición interna en N , es decir: • : NxN → N es una función, tal que ⦡a , b∈N⇒ (a• b )∈N1.2.2. La relación • es asociativa en N , es decir: • : NxN → N es una función, tal que ⦡a ,b , c∈N⇒ (a •b ) •c=a• (b• c )1.2.3. Existe elemento neutro en N respecto de la relación • , es decir: ∃ e•∈N ̸ ⦡a∈ N , a• e•=a1.2.4. Ningún elemento de N tiene inverso multiplicativo (e•) respecto de la relación • , es decir: ⦡a∈N ,∄e•∈N ̸ a• e•=e+¿ ¿

1.2.5. La relación • es conmutativa, es decir: ⦡a , b∈N , a •b=b• aEn el conjunto de los números naturales un elemento podría ser cero o mayor que cero y al hablar de potenciación, para el caso de dos pares de números, B y n, en el conjunto podría ocurrir:

Bn⟹ {(B=0 )n→ {n=0

n> 0⟹ {00⟹una indeterminación en matemática

¿0n>0⟹0n=0 •0 •…• 0⏟n veces

=0; por definición de larelación •, yaque⦡n∈N , n•0=0

(B>0 )n→{n=0

n>0 ⟹{B0⟹B0=1⇔ B ≠ 0 ; pordefinición .¿Bn>0⟹Bn=B • B • …• B⏟

nveces

De donde se desprende a simple vista las siguientes consideraciones:

a. Potencia de enésima una base nula:⦡n∈N →0n=0.b. Potencia nula de un numero natural diferente de cero: ⦡n∈N ¿→ n0=1.

Ahora bien de la expresión Bn=B • B• …• B⏟

nveces podemos abstraer que:

Bn=B • B• …• B⏟n veces

= (B • B •…• B )⏟s veces

• ( B •B • …•B )⏟p veces⏟

s+p veces

,donde s+p=n ; propiedad asociativa

Bn=B • B• …• B⏟s veces

• B • B• …• B⏟nveces

=B s• Bp⟹B s• Bp=B s+p , ya que n=s+p

Originando la siguiente consideración:

c. Multiplicación de potencias de igual base: ⦡ s , p , b∈N → bs •b p=bs+p ⇔ b≠ 0∧ s+ p≠ 0

Ahora si hacemos a B=S • P tendremos que:

( S • P )n= (S• P )• (S• P )• …• (S • P )⏟n veces

=S• S •…• S⏟n veces

• P • P •…• P⏟nveces

=Sn • Pn

; propiedad asociativa en la •.

Originándose la consideración:

d. La potenciación distribuye respecto a la multiplicación:⦡ s , p , n∈N → ( s • p )n=sn• pn

Ahora si hacemos a B=S+P tendremos que:( S+P )n= (S+P ) x (S+P ) x … x ( S+P )⏟n veces

Si aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma reiteradamente y de forma progresiva veremos que:

( S+P )n=∑k=0

n

(nk)• Sn−k • pn , con(n

k )= 1k !

•∏t=0

k−1

(n−t )=n• (n−1 ) • (n−2 ) • (n−2 )• …• (n−k+1 )k !

Nota:El factorial de un numero natural se interpreta como

n!=1• 2• 3• 4. • ...• (n−2 )• ( n−1 ) •n

Originando la consideración:e. La potenciación no distribuye respecto a la suma: :⦡ s , p , n∈N → ( s+ p )n ≠ sn+pn

FÓRMULAS SINTETIZADAS

1 ⦡n∈N →0n=0

2 ⦡n∈N ¿→ n0=1.

3 ⦡ s , p ,b∈N → bs •b p=bs+p ⇔ b≠ 0∧ s+ p ≠ 0

4 ⦡ s , p , n∈N → ( s • p )n=sn• pn

5⦡ s , p ,b∈N → (S+P )n=∑

k=0

n

(nk )• Sn−k • pnAuxiliares:

n !=1• 2• 3• 4. • ...• (n−2 )• ( n−1 ) •n

(nk)= 1k ! ∏t=0

k−1

(n−t )=n• (n−1 )• (n−2 )• (n−2 ) •…• (n−k+1 )k !

2. POTENCIACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS:En este conjunto existen dos leyes de composición interna la suma y la multiplicación de las cuales sabemos:

2.1. La suma:2.1.1. La relación + es una ley de composición interna en Z, es decir, +: ZxZ → Z es una función, tal que ⦡a ,b∈Z⇒ ( a+b )∈Z2.1.2. La relación + es asociativa en Z, es decir, +: ZxZ → Z es una función, tal que ⦡a , b , c∈Z⇒ (a+b )+c=a+ (b+c )2.1.3. Existe elemento neutro en Z respecto de la relación +, es decir, ∃ e+¿∈ Z ̸ ⦡a∈ Z ,a+e+¿=a ¿ ¿

2.1.4. Todo elemento de Z tiene simétrico respecto de la relación +, menos el cero, es decir, ⦡a∈Z ,∃a'∈Z ̸ a+a'=e+¿¿

2.1.4. La relación + es conmutativa, es decir, ⦡a , b∈Z ,a+b=b+a2.2. La multiplicación:2.2.1. La relación • es una ley de composición interna en Z, es decir, • : ZxZ → Z es una función, tal que ⦡a , b∈Z⇒ ( a• b )∈Z2.2.2. La relación • es asociativa en Z, es decir, • : ZxZ → Z es una función, tal que ⦡a , b , c∈Z⇒ (a •b )• c=a • (b • c )2.2.3. Existe elemento neutro en Z respecto de la relación • , es decir, ∃ e•∈Z ̸ ⦡a∈Z , a • e•=a2.2.4. Todo elemento de Z tiene inverso multiplicativo (e•) respecto de la relación • a excepción del cero, es decir,

⦡a∈Z ,∃e•∈Z ̸ a • e•=e+¿¿

2.2.5. La relación • es conmutativa, es decir, ⦡a , b∈Z , a•b=b • a

Al hablar de potenciación en el conjunto Z considerando dos elementos, B y n, y que ellos de forma independiente podrían adquirir valores numéricos iguales a cero, mayores que cero o menores que cero, ocurrir las siguientes situaciones:

Bn⟹ {( B=0 )n→{n=0

n>0n<0⟹ {0

0⟹una indeterminación en matemática. 0n>0⟹0n=0 • 0 •…•0⏟

nveces

=0 ; por definiciónde larelación• , ya que⦡n∈N ,n •0=0

0n<0⟹ (0 )−1.n=(0n )−1= 1on =

10

,conn>0 ;unaideterminación enmatemática.

( B>0 )n →{n=0

n>0n<0⟹ { B0⟹B0=1⇔B ≠ 0 ; por definición.

Bn>0⟹ Bn=B • B •…• B⏟n veces

Bn<0⟹B−1 • n=( Bn )−1= (B • B •…• B )−1⏟

n veces

= 1Bn ∈Q;se genera un número racional

( B<0 )n→{n=0

n>0n<0⟹ {

B0⟹ (−1 • B )0=(−1 )0• B0=1•1=1⇔ B≠ 0 ; por definición.

Bn> 0⟹ (−1 •B )n=−1 •−1• …•−1⏟n veces

• B • B •…• B⏟n veces

={ Bn si n es par−1 • Bn s ines impar

Bn<0⟹ (−1 • B )−1 • n=[ (−1 • B )n ]−1=[ (−1 )−1 ]n• (B • B •…• B )−1⏟

n veces

= 1(−1 )n • Bn ∈Q;se genera un número racional

Nota: Queda a consideración del estudiante deducir de estas relaciones las consideraciones que se desprenden del conjunto de los números enteros.

FÓRMULAS SINTETIZADAS1 ⦡n , B∈Z /n>0 , Bn=B• B • …• B⏟

nveces2 ⦡n∈Z¿+¿ →0n=0¿

3 ⦡n∈Z¿→ n0=1.

4⦡n∈Z

+¿ → (−1)n={ 1 si n es par−1 sines impar

¿

5 ⦡ s , p ,b∈Z /s>0∧ p>0→ bs •b p=bs+p ⇔ b≠ 0

6 ⦡ s , p , n∈Z /n>0 → ( s • p )n=sn• pn

7⦡ s , p ,b∈Z /n>0 → ( S+P )n=∑

k=0

n

(nk )• Sn−k • pnAuxiliares:

n !=1• 2• 3• 4. • ...• (n−2 )• ( n−1 ) •n

(nk)= 1k ! ∏t=0

k−1

(n−t )=n• (n−1 )• (n−2 )• (n−2 ) •…• (n−k+1 )k !

POTENCIACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES:

En este conjunto existen dos leyes de composición interna la suma y la multiplicación de las cuales sabemos:

La suma:2. La relación + es una ley de composición interna en Q, es decir, +:QxQ→ Q es una función, tal que ⦡a , b∈Q⇒ (a+b )∈Q3. La relación + es asociativa en Q, es decir, +:QxQ→ Q es una función, tal que ⦡a ,b , c∈Q⇒ (a+b )+c=a+(b+c )4. Existe elemento neutro en Q respecto de la relación +, es decir, ∃ e+¿∈Q ̸ ⦡a∈Q ,a+ e+¿=a ¿ ¿

5. Todo elemento de Q tiene simétrico respecto de la relación +, menos el cero, es decir, ⦡a∈Q ,∃a' ∈Q ̸ a+a'=e+¿ ¿

6. La relación + es conmutativa, es decir, ⦡a , b∈Q ,a+b=b+a

La multiplicación:3. La relación • es una ley de composición interna en Q, es decir, •:QxQ →Q es una función, tal que ⦡a ,b∈Q⇒ (a •b )∈Q4. La relación • es asociativa en Q, es decir, •:QxQ →Q es una función, tal que ⦡a , b , c∈Q⇒ (a• b ) •c=a • (b• c )5. Existe elemento neutro en Q respecto de la relación • , es decir, ∃ e•∈Q ̸ ⦡a∈Q , a• e•=a

6. todo elemento de Q tiene inverso multiplicativo (e•) respecto de la relación • a excepción del cero, es decir,

⦡a∈Q ,∃e•∈Q ̸ a• e•=e+¿ ¿

7. La relación • es conmutativa, es decir, ⦡a ,b∈Q , a•b=b •a

Al hablar de potenciación en el conjunto Q, se debe tener presente que un elemento n de allí, es de la forma a/b o ab

, donde deben considerarse

los eventos; ab<0⟹ (a<0∧b>0 )∨ (a>0∧b<0 ), ab

=0⟹a=0y ab>0⟹ (a<0∧b<0 )∨ (a>0∧b>0 ), donde podría

ocurrir:

Bn⟹ {( B=0 )n→{n=0

n>0n<0⟹ {0

0⟹una indeterminación en matemática. 0n>0⟹0n=0 • 0 •…•0⏟

nveces

=0 ; por definiciónde larelación• , ya que⦡n∈N ,n •0=0

0n<0⟹ (0 )−1.n=(0n )−1= 1on =

10

,conn>0 ;unaideterminación enmatemática.

( B>0 )n →{n=0

n>0n<0⟹ { B0⟹B0=1⇔B ≠ 0 ; por definición.

Bn>0⟹ Bn=B • B •…• B⏟n veces

Bn<0⟹B−1 • n=( Bn )−1= (B • B •…• B )−1⏟

n veces

= 1Bn ∈Q;se genera un número racional

( B<0 )n→{n=0

n>0n<0⟹ {

B0⟹ (−1 • B )0=(−1 )0• B0=1•1=1⇔ B≠ 0 ; por definición.

Bn> 0⟹ (−1 •B )n=−1 •−1• …•−1⏟n veces

• B • B •…• B⏟n veces

={ Bn si n es par−1 • Bn si n es impar

Bn<0⟹ (−1 • B )−1 • n=[ (−1 • B )n ]−1=[ (−1 )−1 ]n• (B • B •…• B )−1⏟

n veces

= 1(−1 )n • Bn ∈Q;se genera un número racional

Nota: Queda a consideración del estudiante deducir de estas relaciones las propiedades que se desprenden del conjunto del conjunto de los números enteros