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CURSO BCURSO BÁÁSICO PARA EL DISESICO PARA EL DISEÑÑO DE O DE ELEMENTOS PREFABRICADOSELEMENTOS PREFABRICADOS

Ing. David Felipe Rodríguez Díaz

Ing. Rolando Drago

Ing. Juan Juárez Lira

ANTECEDENTESANTECEDENTES

Antecedentes delAntecedentes delCemento y el ConcretoCemento y el Concreto

• 1824: - James Parker, Joseph Aspdin patentan el Cemento Portland, materia que obtuvieron de la calcinación a alta temperatura de una Caliza Arcillosa.

• 1845: - Isaac Johnson obtiene el prototipo del cemento moderno, quemando a alta temperatura una mezcla de caliza y arcilla hasta la formación del "clinker".

• 1854: El Constructor William Wilkinson patenta un sistema de armaduras de hierro para la mejora de construcción de edificaciones resistentes al fuego.

• 1855: Joseph –Lousi Lambot publicó el libro: Aplicaciones del hormigón al arte de la construcción, expuesto en la exposición mundial de París del año anterior. Construyó una lancha de concreto reforzada con alambres.

• 1861: Francoise Coignet en 1861 ideó la aplicación en estructuras como techos, paredes, bóvedas y tubos.

• Década de 1860: Joseph Monier patentó varias aplicaciones del concreto.

Antecedentes: Cemento / ConcretoAntecedentes: Cemento / Concreto

• 1868: - Se realiza el primer embarque de cemento Portland de Inglaterra a los Estados Unidos.

• 1871: - La compañía Coplay Cement produce el primer cemento Portland en lo Estados Unidos.

• 1894: Se complementan estudios del “Sistema Monier: Armazones de hierro cubiertos en cemento” iniciados en 1866 por G.A. Wayss de las empresasFreytag und Heidschuch y Martenstein, los estudios fueron concluidos porEdmond Coignet y De Tédesco.

• 1904: -La American Standard For Testing Materials (ASTM), publica por primera vez sus estándares de calidad para el cemento Portland.

• 1906: - En C.D. Hidalgo Nuevo Leon se instala la primera fabrica para la producción de cemento en México, con una capacidad de 20,000 toneladas por año.

• 1928: El día 2 de Octubre de 1928, Eugenio Freyssinet y su amigo Seailles registraban en Paris la patente No 680,547, definiendo con toda precisión la idea teórica de la pre compresión permanente de los hormigones o de otras materias y todas sus formas posibles de realización.

•

• Mi suerte, mi gran suerte, ha sido el ser asediado, desde

niño, por una vocación vehemente. He amado este

arte de la construcción que he concebido, tal y como hicieron mis ancestros artesanos, como modo de reducir al mínimo el

trabajo humano necesario para lograr un objetivo útil.

Nací constructor. Era para mi tanto una necesidad ineludible como una fuente inagotable de

felicidad imponer al material en bruto esas formas y

estructuras que surgían de mi imaginación.

• .Eugène Freyssinet

Eugenio Freyssinet (1879-1962)

Puente LuzancyPuente LuzancyRealizado por Freyssinet de 1941 a 1946 sobre el Rio Marne (Seine- Et Marne) con un claro de 55 metros de claro, 8 metros de ancho y 1.22 m en el centro del claro Formado por 3 trabes cajón prefabricadas y pretensadas a base deDovelas.

Profesor: Gustave MagnelProfesor: Gustave Magnel

Universidad de Ghent BUniversidad de Ghent Béélgicalgica

Publica sus apuntes de Diseño de Concreto Presforzado y los traduce al Inglés.El Decía:“Si no puedes diseñar una estructura de concreto Presforzado pensando en reducción de costos y tiempos no la construyas, sobre todo sé un ingeniero con conciencia profesional. Realiza la estructura correcta”.

Puente Walnut Lane MemorialPuente Walnut Lane Memorial

• Es un puente en Filadelfia, Pennsylvania construido en 1950. Fue el primer gran puente de vigas de concreto pretensado diseñado y construido en los Estados Unidos.

La forma del puente es simple, como muchos puentes en autopistas de los EE.UU. El tablero del puente con el apoyo de trece vigas de concreto. Estas vigas fueron pretensados ��con cables de postensado formado por cuatro tendones embebidos en el concreto. Aunque este tipo de construcción se ha utilizado en Europa, el Walnut Lane Memorial Bridge fue innovador en los Estados Unidos y dio lugar a la aplicación exitosa de esta tecnología en este país.

Diseñado por El Prof. Gustave Magnel

Algunos ejemplos en Algunos ejemplos en MMééxicoxico

• EdificaciónEstacionamientosNaves IndustrialesIglesiasEscuelasAuditoriosCentros ComercialesBibliotecasEdificios de ViviendaAgencias

AutomotricesFunción PúblicaHospitalesLaboratoriosHotelesBancos

Edificios Industriales

Tiendas y Centros ComercialesTiendas y Centros Comerciales

5 Meses de Construcci5 Meses de Construccióón, 45,000 mn, 45,000 m²²

Edificios PEdificios Púúblicos, Universidades.blicos, Universidades.

Escuelas, FachadasEscuelas, Fachadas

Puentes y Distribuidores VialesPuentes y Distribuidores Viales

Puentes de Gran AlturaPuentes de Gran Altura

• Especiales

EstadiosAlcantarillasPrisionesFachadasMuros de contenciónTanquesalmacenamientoEstructuras HíbridasAplicaciones dePresfuerzoPostensado linealPostensado CircularMuros M. E.Túneles

• PuentesPeatonales- cimentación- subestructuraAlfardas y rampas- superestructura

Puentes Vehiculares- subestructura- superestructura

Pasos Inferiores

Pasos a Desnivel, Encauce de RPasos a Desnivel, Encauce de Rííosos

Estadio AztecaEstadio Azteca

Estadio de Atletismos para los Juegos PanamericanosEstadio de Atletismos para los Juegos PanamericanosGuadalajara 2011Guadalajara 2011

• Edificación

EstacionamientosNaves IndustrialesIglesiasEscuelasAuditoriosCentros ComercialesBibliotecasEdificios de ViviendaAgencias

AutomotricesFunción PúblicaHospitalesLaboratoriosHotelesBancos

• Puentes

Pasos InferioresPuentes Vehiculares- subestructura- superestructura

Peatonales- cimentación- subestructuraAlfardas y rampas- superestructura

• Especiales

EstadiosAlcantarillasPrisionesFachadasMuros de contenciónTanques

almacenamientoEstructuras HíbridasAplicaciones de

PresfuerzoPostensado lineal y

circularTúnelesMuros M. E.

Estructuras Prefabricadas

DiseDiseñño de Concreto o de Concreto Presforzado Presforzado 1ª Parte - Conceptos Básicos

del presfuerzo2ª Parte – Repaso conceptos

de mecánica de materiales.

3ª Parte – Propiedades de los Materiales empleados en prefabricación.

4ª Parte - Ejercicio de Diseño5ª Parte – Cálculo de Pérdidas por

los métodos del AASHTO y del PCI. Cálculo de Deformaciones.

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

1ª PARTE:CONCEPTOS BÁSICOS

CONCEPTO DE PRESFUERZO

CONCEPTO DE PRETENSADO

CONCEPTO DE POSTENSADO

DEFORMACIONES DE UN ELEMENTO PRESFORZADO

ETAPAS CARGA DEFORMACIÓN DE ELEMENTOS PRESFORZADOS

PRESFUERZO TOTAL Y PRESFUERZO PARCIAL

PERDIDAS DE PRESFUERZO

ESFUERZOS PERMISIBLES

CONCEPTOS BASICOS DEL PRESFUERZOCONCEPTOS BASICOS DEL PRESFUERZO

• El concreto Presforzado consiste en crear deliberadamente esfuerzos permanentes en un elemento estructural para mejorar su comportamiento de servicio y aumentar su resistencia.

• Gracias a la combinación del concreto y el acero de presfuerzo es posible producir en un elemento estructural, esfuerzos y deformaciones que contrarresten total o parcialmente a los producidos por las cargas gravitacionales que actúan en un elemento, lográndose así diseños mas eficientes.

DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLEXIONANTESDIAGRAMAS DE MOMENTOS FLEXIONANTES• Como trabaja el presfuerzo:

TRABES PRETENSADAS

TRABES POSTENSADAS

+

+

+

+‐

PRETENSADO

POSTENSADO

PRETENSADO PRETENSADO

Producción en serie:

Características:1) Se tensan los torones “antes” del colado.2) Se requieren de muertos de anclaje o

moldes autotensables.

3) Se aplica a producción en serie en plantas prefabricadoras.

4) Se reutilizan moldes e instalaciones.

5) El anclaje se da por adherencia.

6) Se requiere enductar torones para controlar los esfuerzos durante la transferencia.

Aplica a:Trabes de puentes y edificios, Losas extruidas, Viguetas, Losas T, TT, TTV.

Características:1) Se tensan los torones una vez que se ha

realizado el colado.2) Se realiza en el lugar de la obra

principalmente.3) Se requiere dejar ductos ahogados y

ubicados según las trayectorias de cálculo.4) Una vez colocados y tensados los torones

se requiere inyectar los ductos con mortero para proteger a los torones.

5) La acción del postensado se ejerce externamente por medio de anclajes especiales.

Aplica a:Dovelas y Trabes para puentes, Losas con presfuerzo bidireccional,

Diafragmas de puentes, Vigas hiperestáticas.

Viga

Viga

Tendon apoyado

Anclaje

VigaDiafragmas Bloque extremo

Solido Gato

Anclaje Gato

Tendon conducto( a )

( b )

( c )

Losa

POSTENSADO

Gato

DEFORMACIDEFORMACIÓÓN TIPICA DE TRABES PRETENSADASN TIPICA DE TRABES PRETENSADAS

Fluencia del acero de presfuerzo

P P

Pp = Peso propio

Wm = Carga muertaWv = Carga viva

K1( Σ w) = Suma de cargas factorizadas

K2( Σ w) = Cargas incrementadas

TRANSFERENCIA

SERVICIO

Pp + Presfuerzo

1)

Wm + Wv

(Pp + Cm + Cv) + Presfuerzo

2)

K1 ( Σ W )3)

Agrietamiento a tension del concreto

K2 ( Σ W )4)

ETAPAS DE UN ELEMENTO ETAPAS DE UN ELEMENTO PRESFORZADOPRESFORZADO

Para prefabricados se debe analizar:1. Sacar del molde2. En transporte3. En montaje4. Condiciones finales

Contra flechas Flechas

PRESFUERZO PARCIAL Y TOTAL

El término de presfuerzo parcial se aplica a aquellos elementos que contienen en suarmado longitudinal, tanto su refuerzo ordinario como presforzado para resistir el momentoflexionante que actúe en este.

A su vez un elemento se considera con presfuerzo total cuando su índice de presfuerzo, “Ip” esta comprendido entre 0.9 y 1 incluyendo los valores extremos. Si el índice de presfuerzo es menor a 0.9 pero mayor o igual a 0.6, se considera una sección parcialmente presforzada y si elíndice de presfuerzo es menor a 0.6 se considera una sección sin presfuerzo, la expresión paraobtener el índice de presfuerzo es la siguiente.

MrpIp =

Mrp + Mrr

Una forma más sencilla de obtener el índice de presfuerzo es con la siguiente formula:

Asp FspIp =

Asp Fsp + As Fy

Asp = Área de acero de presfuerzoAs = Área de acero de refuerzoFsp = Esfuerzo en el acero presforzado cuando alcanza su resistenciaFy = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo ordinario

Mrp = Momento resistente provocado por el acero de preesfuerzoMrr = Momento resistente provocado por el acero de refuerzoIp = Índice de presfuerzo

REFUERZO, PRESFUERZO REFUERZO, PRESFUERZO PARCIAL Y PRESFUERZO TOTALPARCIAL Y PRESFUERZO TOTAL

MR

Deflexión

A

B

C

C Ip (0.9 – 1) 0.9 Ip 1 Totalmente presforzada

B Ip 0.6 Ip 0.9 Parcialmente presforzada

A Ip Ip 0.6 Reforzada o sin presfuerzo

⇒

⇒

⇒

≤ ≤

≤ <

<

A B CEdificacion

en sitioEdificacion

PrefabricadaPuentes, Losas

o Trabes

La magnitud de la fuerza de presfuerzo en un elemento no es constante, sino que esta va perdiendo fuerza durante su vida útil. A este fenómeno se le conoce con el nombre de perdida de preesfuerzo. Existen dos tipos de perdidas de presfuerzo, aquellas que se presentan instantáneamente al aplicar el presfuerzo, y aquellas que dependen del tiempo para que se presenten. También existen pérdidas que dependen de las cargas aplicadas a dichos elementos.

Las perdidas de presfuerzo que son inmediatas, se presentan por las siguientes razones:

*Deslizamiento del anclaje, ya que al momento en que la fuerza pretensora se transfiere de los gatos a los anclajes, las cuñas de fricción que se emplean para sostener los cables de presfuerzo, se deslizan una distancia pequeña antes de sujetar firmemente al cable, provocando que este se afloje perdiendo consecuentemente algo de presfuerzo.

*Por acortamiento elástico del concreto, ya que al transferirse la fuerza de presfuerzo al concreto, se provoca un acortamiento elástico en este, a medida de que este elemento se va comprimiendo. Dicho acortamiento provoca que los cables de presfuerzo también sufran un acortamiento ocurriendo por tal motivo una perdida de presfuerzo.

*Fricción. Solo en elementos postensados, debido a la curvatura intencional óaccidental.



Por otro lado las perdidas de presfuerzo que dependen del tiempo se deben a las siguientes razones.

*Por contracción del concreto al momento de que este se seca, lo que provoca una reducción en la deformación del presfuerzo traduciéndose en perdidas.

*Por relajamiento del acero esta es una propiedad del acero que se presenta en el momento en que a la pieza se le aplican las cargas de servicio. Se puede decir que el relajamiento es la perdida de esfuerzo de un material que se mantiene esforzado a una longitud constante. La magnitud del relajamiento varia dependiendo del tipo y del grado de acero, aunque las causas principales son el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial.

*Se presentan también por escurrimiento ó flujo plástico del concreto, el cual es la propiedad de que el material se deforma continuamente bajo un estado de esfuerzo o de carga. Primeramente la deformación es elástica hasta que alcanza un valor constante, y este fenómeno se traduce en perdidas de preesfuerzo a lo largo del tiempo.

METODOS PARA ESTIMACION DE PERDIDAS

A) METODOS DE ESTIMACIÓN GLOBAL:

Se aplica en caso de no tener información para evaluar las perdidas de presfuerzo. En elementos pretensados se pueden suponer que la suma de las pérdidas varían entre 20 y 25 % de la fuerza aplicada por el gato.

En postensados la suma de pérdidas, incluyendo las de fricción se puede suponer de un 25 a un 30 % de la fuerza aplicada por el gato.

B) ESTIMACIÓN INDIVIDUAL: Se suma la contribución de cada una de ellas para obtener la perdida total.

C) ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO DE INTERVALOS

CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL METODO DE EVALUACION DE PERDIDAS

PRETENSADO POSTENSADO

Estimación PreliminarA

Estimación IndividualB

Estimación PreliminarA

Estimación DefinitivaC

Se efectúan estableciendo como mínimo cuatro intervalos de tiempo, que toman en cuenta la edad del concreto en la cual ocurre la perdida.

B) ESTIMACIÓN INDIVIDUAL: Se suma la contribución de cada una de ellas para obtener la perdida total.

C) ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO DE INTERVALOS

ESFUERZOS PERMISIBLESEN LA TRANSFERENCIA

Existen ciertas restricciones en cuanto a los esfuerzos máximos a que pueden ser sujetados tanto el concreto como el acero de los elementos pretensados y estos son los siguientes:

Los esfuerzos permisibles en el concreto inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo, y antes de las perdidas de presfuerzo dependiente del tiempo deben ser menores a:

*Esfuerzo a la fibra extrema a compresión 0.6 f’ci

*Esfuerzo en la fibra extrema a tensión 0.8 f’ci

*Esfuerzo en la fibra extrema de tensión, en los extremos del elemento simplemente apoyado 1.6 f’ci

f´ci = En Kg/cm², es la resistencia a compresión del concreto a la edad en que ocurre la transferencia. Esto ocurre en el concreto pretensado en el momento de que se cortan los cables o se disipa la presión del gato.

Cuando el esfuerzo a tensión excede a este valor, se requiere de acero de refuerzo en esta área de la sección para que resista la fuerza total de tensión.

• Los esfuerzos máximos cuando se aplican las cargas muertas y vivas de servicio son:

o Esfuerzo a la fibra extrema a compresión 0.45 f’c

o Esfuerzo en la fibra extrema a tensión 0.6 f’c

o Estos valores pueden excederse con tal que se justifique que el comportamiento estructuraldel elemento será el correcto, y siempre y cuando el valor a tensión no sea mayor a 3.2 f’c

• En el caso de que el valor a tensión sea mayor a este, se puede colocar acero de refuerzo en la fibra a tensión, de tal forma que se considera un elemento parcialmente presforzado si su índice de presfuerzo así lo indica.

• f´c = Kg/cm²

• En lo que se refiere a los esfuerzos permisibles en el acero de presfuerzo, se entiende lo siguiente:

o Debidos a la fuerza aplicada por el gato 0.8FSR (15, 200 Kg/cm²)

o Inmediatamente después de la transferencia 0.7FSR (13,300 Kg/cm²)

• FSR= Es el esfuerzo resistente del acero de presfuerzo, (19,000 Kg/cm²)

ESFUERZOS PERMISIBLES EN SERVICIO

CONCEPTOS BASICOSCONCEPTOS BASICOS

2ª PARTE:REPASO

UNIDADES/ CONCEPTOS BASÍCOS

LEY DE HOOKE / MÓDULO DE ELASTICIDAD

MOMENTO DE PRIMER ORDEN DE UN ÀREA Y CENTROIDE

MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN Ò MOMENTO DE INERCIA

ECUACIÓN GENERAL DE ESFUERZOS (ESCUADRÍA)

CALCULO DE ESFUERZO EN ELEMENTOS PRESFORZADOS

RESUMEN DE ETAPAS Y ESFUERZOS

FLEXIÓN

CORTANTE

CONCEPTOS BASICOS / UNIDADES

Pa, MPamm.mm.mm³(N mm) , (KN ml)N KN.

Kg./cm²cmcmcm³Kg. cm, Kg.m, Ton.mKg, Ton.

Módulo de elasticidadInerciaCentroideMódulo de SecciónMomento FlexiónanteCortante

EICSMV

Kg/cm²Limite de capacidad.

Fuerza por unidad de área

RESISTENCIA Y

ESFUERZO

mm.cm,mCambio de forma, ley de HookeDEFORMACIÓN

mm.²1cm ² = 100 mm ²

cm.², m²1m² = 10,000 cm²

Las dimensiones que quedan comprendidas dentro de un cuerpo.AREA

Newton, KN1N = 0.10197 KgfKg/ml x 0.00981=Kn/ml

Kg., Ton1 Kgf = 9.81 N1 Ton/ml x 9.81 = 9.81 KN/ml

Acción capaz de producir un movimiento ó deformación

FUERZA

UNIDADESMKS SIDEFINICIÓNCONCEPTO

2m1N1Pa =

22.101cmKgMPa =

261x101 N/MMPa =

MPa,Pa

4

MPa0986.0cmKg1 2 =

4

Lδ

∈=

LEY DE HOOKE : MLEY DE HOOKE : MÓÓDULO DE ELASTICIDADDULO DE ELASTICIDAD

Ley de Hooke.

(Robert Hooke matemático Ingles 1635-1703 )

AEPL

=δ

∈Ε=∴σ

AEP

E=∈=

σ

Para estructuras dentro del rango elástico tenemos que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación ε

Alargamiento unitario

E = Módulo de elasticidad ó módulo de Young [ Kg/ cm² ]Tomas Young científico Ingles (1773-1829 )

Parámetro que caracteriza el comportamiento elástico de los materiales ySe obtiene experimentalmente mediante una prueba de tracción.

Esta ecuación se puede reescribir como:

LL

E =∈⇒= δδ

(2)

(1)

B B

C

P

C

L

A δ

∈=

Sustituyendo (2) en (1) tenemos:

MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN DE UN ÁREA “Q”Momento de Primer Órden: Centroide de un área:

Momento de primer orden del Área A respecto a X

Análogamente el momento de primer orden respecto a Y

AQxy=

AQy

=X

El eje centroidal de una área irregular ócompuesta es igual a la suma de Momentos Estáticos de las áreas en que se divide entre la suma total del Área.

ydAQx A∫=

dAQy A X∫=

∴

0 X

y

X

Y

0 X

y

A

c

A

dA

X

Y

EJEMPLO: MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN Y CENTROIDE

1) Cálculo del Momento de Primer orden:

2) Localización del eje centroidal

20

Y=46 60

y

C

20 20

A

2y =30

xd =24

d =162

2

A1

1y =70

1

40

SECCIÓN b h A y Q=A y

A1

A2

80

40

20

60

1,600

2,400

70

30

112,000

72,000

∑ = 4,000 cm² 184,000 cm³

cm64000,4

000,184===

AtQxy

MOMENTO DE SEGUNDO ÓRDEN Ó MOMENTO DE INERCIA.

Radio de giroMomento de Inercia es una medida escalar que

refleja la distribución de la masa de un cuerpo en rotación respecto al eje de giro. Indica la resistencia de un cuerpo a rotar respecto de un eje determinado A

Ixxr =

21 AdIIx += x

dAxIy A2∫=

dAyIx A2∫=

0 X

y

A

dA

X

Y y1

0 X

y

A

dA

cd

X1

Teorema de los ejes paralelos

EJEMPLO DE MOMENTO DE INERCIA IxSeleccionamos un elemento de área diferencial dA como

una franja horizontal de longitud b y espesor dy, como todos los puntos de las franjas están a la misma distancia y del eje X, el momento de inercia de la franja respecto dicho eje es:

Integrando desde

2

2

2

2

322

31

h

h

h

hbybdyydAyIx A −−

=∫=∫=

12121 3

hbh

bh

AIr ===

)(dI 22 bdyydAyx ==

333

121

8831 )( bhhhb =+=

Radio de giro ry

22hhastah

+−b

h

y

x0

b

h

y

x0

h2

dyy

h2

EJEMPLO: Determine el Ix del área mostrada con respecto al eje centroidal x

1) Localización del eje centroidal

SECCIÓN b h A y Q=A y

A1

A2

80

40

20

60

1,600

2,400

70

30

112,000

72,000

42

2

11 m1,334,400c2400x16720,0002

222 AxII =+=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= dx

∑ = 4,000 cm² 184,000 cm³

4331 53,333.3cmx80x20121

121xI === bh

[ Dimensiones en cm]

2) MOMENTO DE INERCIA

Momento de Inercia del Área 1

2211 1600x2453,33311A1)I(xI +=+= dx

Momento de Inercia del Área 2

000,72060x40x121

121

23311 )xI( === bh

4

21333,309,2400,334,1933,974xIxII cmx =+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=cm64

000,4000,184

===AiQxy

20

Y=46 60

y

C

20 20

A

2y =30

xd =24

d =162

2

A1

1y =70

1

40 4974,933cm=

Momento de Inercia Total

PROPIEDADES GEOMETRICAS DE AREAS PLANAS

PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LA SECCIÒN

y1

y2

C

73.8473.563.851.0039.00y2 (cm)

81.361.551.240.0732.00y1 (cm)

21,565,20010,261,0705,257,6382,056,660926,273I (cm4)

6,4634,9743,6292,325

71

A (cm²)

VIVIIIIIIPeralte 91 115 135 160

1,743

Wo(Kg/m)

418 558 871 1,194 1,551

TIPO

TRABES TIPO AASHTO


TIPO

PERALTE

NU 900

90

NU 1100

110

NU 1350

135

UN 1600

160

NU 1800

180

NU 2000

200

A (cm²) 4,168.32 4,467.40 4,841.06 5,214.74 5,513.81 5,812.88

I (cm4)4,589,490.94 7,587,024.8 12,584,091.18 19,083,461.65 25,445,392.49 32,906,923.52

y1 (cm) 40.89 49.78 60.96 72.14 81.28 90.68

y2 (cm) 49.11 60.22 74.04 87.87 98.72 109.32

Wo(Kg/m) 1,000 1,072 1,161 1,251 1,323 1,395

TRABES TIPO NEBRASKA

y1

y2

C

97.5

122.5

18


TRABES TIPO CAJÒN

PERALTE 85 115 135 150 170

A = cm² 5,142.7 5,737.7 6,095.5 6,367 6,734

I =cm44,905,294 10,541,098 15,669,164 20,306,424 27,602,737

y1=cm 51.6 69.2 80.6 89.1 100.3

y2=cm 33.4 45.8 54.4 60.9 69.7

WoKg/m 1,234 1,377 1,463 1,528 1,616

C

y2

y1

200

15

9

ECUACION GENERAL DE LA ESCUADRIA

IMyx

Mcx

σ

σ Ó

=

=I

⇒CI

xIyMyy

IxMx

APaσ ±±±=

Esfuerzo flexionante.

Y2eje neutro

P P

Wo

Y1e

Ecuación General de la escuadría

Para cualquier distancia Y

Depende solo de la geometría de la sección transversal y se conoce como módulo elástico de sección y se denota por S

CIS =∴

Sustituyendo en el flex.

SM=σ =σ Elementos mecánicos

Elementos geométricos

Ó usando el módulo de sección

SyMy

SxMx

APaσ ±±±=

δ

σ

APxσ ±=

Esfuerzo Axial. aσ

• EQUILIBRIO DE FUERZAS

ExternasFUERZAS EN UN CUERPO

Internas

Entre dos cuerpos se genera una fuerza en el punto en que se tocan.

Equilibrio = exteriores + interiores = 0

DISEÑO

EXTERIORES INTERIORES

Simplemente apoyado:

Empotrado:

Cantiliver:

APOYOS

ESFUERZOS EN ELEMENTOS PRESFORZADOS

Siempre que el concreto y el acero de un elemento estén trabajado dentro del rango elástico, se pueden calcular los esfuerzos tanto de la fibra inferior como de la superior del elemento provocados por la fuerza presforzante inicial mediante la superposición de los efectos axiales y de flexión, por lo que:

(-) Compresión(+) Tensión

ƒ 1 = Esfuerzos en la fibra inferiorƒ 2 = Esfuerzos en la fibra superiorPi = Fuerza presforzanteA = Área de la sección simplee = Excentricidad del presfuerzo medida desde el centroide de la sección simpleY1 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra inferior. Y2 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra superiorI = Momento de inercia de la sección del elemento de la sección simple

2

1

2 YIeP

APf

YIeP

APfi

ii

ii

+−=

−−=e

P PY1

Y2

i i

En el momento en que se transfiere la fuerza presforzante al elemento, se presenta unacontaflecha en éste, lo que provoca que el elemento en vez de tener toda la superficie inferior de este como apoyo, solo le queden algunos puntos de apoyo en los extremos, por lo que el peso propio de la pieza provoca esfuerzos inmediatamente después de la aplicación de la fuerza presforzante y estos se calculan de la siguiente manera:


Esfuerzos debidos al presfuerzo

22

11

2 YIMoY

IPe

APf

YIMoY

IPe

APfi

−+−=

+−−=

(1) (2)

(1) Esfuerzo debido al presfuerzo(2) Esfuerzo debido al peso

propio

El siguiente estado de esfuerzos que se debe analizar es el momento en que se le aplica el firme a la sección. Sin embargo, al encontrarse este en estado fresco, es una carga que en este momento debe ser absorbida solamente por la sección simple del elemento, por lo que se presentan los siguientes esfuerzos.

Mf = Momento flexionante debido al peso del firme.

Una vez que el firme ha adquirido su resistencia necesaria, se aplican las cargas muertas y vivas adicionales. La sección se debe de revisar para ver que esfuerzos se presentan, ya incluyendo la sección compuesta.


*2

2

11

)(*2

2)(2)(2

1)()(

YIcMcvMcmf

IccYMcvMcm

IYMfMoY

IPe

APf

IccYMcvMcmY

IMfMoY

IPe

APfic

+=

+−

+−+−=

++

++−−= Mcm = Momento flexionante causado por las cargas muerta

Mcv = Momento flexionante causado por las cargas vivasEl subíndice “ c ” en algunas letras significa que es de la sección compuesta.F2* = Fibra superior, incluyendo el firme de la piezaY2* = Distancia a la fibra superior, ya incluyendo el firme de la sección

ETAPAS DE UN ELEMENTO ETAPAS DE UN ELEMENTO PREFABRICADOPREFABRICADO

PARAMETROS GEOMETRICOSEtapa Área Propiedades Concreto

Sección Simple Ass

IssIss

Sss = Y1 ó Y2

F’ci

Sección Compuesta Asc

IscIsc

Ssc = Y1”c , Y2”c ó Y2*

F’c

ƒp = Esfuerzo debido al presfuerzo axial.ƒpe= Esfuerzo debido al presfuerzo excéntrico.ƒpp= Esfuerzo debido al peso propio en sección simple.ƒf= Esfuerzo debido al peso del firme.ƒmc= Esfuerzo debido al peso de la carga muerta.ƒcv= Esfuerzo debido al peso de la carga viva.

e1Y1

Y2

Sección

Simple

Sección

Compuesta

Y2"c

Y2*

Eje neutro seccion compuesta

Eje neutro seccion simple

-

+

Compresión

TensiónY1"c Y1"c

hss

hsc

nbe

Asp

Sección Simple Sección Compuesta

Ejemplo 1: Presfuerzo axial

EJEMPLO 1) .- CALCULAR el ESFUERZO en L/2 y en APOYOS debidos a P

P

L=6.0 mts.

W=2 t/ml.

P=90 tons

أ ) Propiedades geométricas

433 000,2706015121

121I cmxxbh ===

Área= bh = 15 x 60 = 900 cm²

3000,930

000,270IS cmc

===

322

000,966015

6bhS cmx

===Ó

أأ ) Elementos Mecánicos

ton.m862

8WL 9M 22

===x

Kgcm000,900=

22 /100

900000,90 cmkgcmKg

AP

C −=−=−=σ

2100kg/cm9,000

900,000SM

IMcfcft ±==±=±==

v) Esfuerzos en L/2 debido a Wأ

ESTADO DE ESFUERZOS.Esfuerzos debido al presfuerzo axial (أأأ

ESTADOS DE ESFUERZOS EN EL EXTREMO

cσ cσSolo actúa la fuerza preforzante ya que el Momento en el extremo es 0

c=30

c=30

60E N

-100K g/cm .

C argaW

P res fuerzoA x ia l

P resf.E xcéntrico

T ota l.

+ + 0 cct

c =

200K g/cm .

-100 K g/cm . = 0 K g/cm .

2

2 2

2

=100 K g/cm .215 cm

cσ tσ cσ

PresfuerzoAxial

Presf.Excéntrico

+ o c =

= 100 Kg/cm.2=100Kg/cm.2

+ o

W

SM

APfcft ±−==

CASO 2) .- VIGA CON PRESFUERZO EN EL LIMITE DEL NUCLEO CENTRAL

Estado de Esfuerzos en L/2

⇒±S

MS

PeAP

mEcuación de la escuadríafi = Esfuerzo en la fibra inferiorfs = Esfuerzo en la fibra superior

−==fsfi

L=6 m

W=2 t/ml.

P=45 ton 60

15

P=45 ton

P

h/6e=10( + ) Tensión

( - ) Compresión

PresfuerzoAxial

Presf.Excéntrico

+

cc

45,000

t

900= - 45,000 x 10

9,000 --+

900,0009,000

Cargas Externas

t

c

Fibra Super = - 50 Kg/cm2

+

+ 50 Kg/cm2

ct +

t

c=

- 100 Kg/cm 2 - 100 Kg/cm2

Fibra Inferior = - 50 Kg/cm2 - 50 Kg/cm2 + 100 Kg/cm2

W=2 t/ml.

P=22.5 ton 60

15

P=22.5 ton e=0.25e=25 cm

L=6 m

CASO 3) .- PRESFUERZO UBICADO A 5 cm. DE LA FIBRA INFERIOR

SM

SPe

AP-fsfi m±==

Esfuerzos al centro del claro

9,000900,000

9,00022,500x25

90022,500- m±=

22 100kg/cmcmKg62.5

cmKg-25 m±=

2

+ 37.5 Kg/cm2

c

t +

t

c=

- 100 Kg/cm2 - 62.5 Kg/cm2

t

c

- 87.5 Kg/cm2 100 Kg/cm2 12.5 Kg/cm2+

COMPRESIÓN

TENSIÓN

- COMPRESIÓN

+ TENSIÓN

TC =

Partiendo de la base de que la compresión debe ser igual a la fuerza de tensión de los elementos, la profundidad del bloque de esfuerzos a compresión, se puede calcular de la siguiente manera:

Finalmente el momento resistente de la sección está dado por la siguiente expresión:

* Esta expresión esta afectada por un factor de reducción que en este caso para elementos a flexión, su valor es de 0.9, de tal forma que la expresión queda de la siguiente manera:

MnMr 9.0* =

FLEXION FLEXION

(*)

Se puede calcular de una forma aproximada el acero de preesfuerzo a la falla con la siguiente expresión, siempre que el esfuerzo efectivo en este no sea menor a 0.5 FSR.

Para elementos con cables adheridos.

fsp = Esfuerzo en el refuerzo presforzado a la resistencia nominal.

fsr = Resistencia especificada en el acero de presfuerzo (19,000 Kg/cm2)ρp = Porcentaje de acero

f’’c = Resistencia del concreto = 0.85 f*c; f*c= 0.8 f´c.

El porcentaje de acero esta dado por:

Ap = Área de presfuerzo en el área de tensión del elementob = Ancho de la cara compresiónd = Peralte efectivo de la sección

FLEXION FLEXION

RESISTENCIA AL CORTANTE RESISTENCIA AL CORTANTE

En elementos presforzados donde los cables están adheridos, la resistencia al cortante del concreto está dado por la siguiente expresión:

Fr = Factor de resistencia, el cual para el cortante es igual a 0.8b = Al ancho del almad = Peralte efectivo de la secciónf*c = 0.8 f’cdp = a la distancia de la fibra extrema a compresión al centroide de los cables de preesfuerzoM = Momento flexionanteV = Fuerza cortante

Sin embargo el valor mínimo de Vcr = 0.5Fr d b

Y no debe ser mayor a Vcr = 1.3Fr b d

cf *

cf *

En secciones con preesfuerzo parcial se aplican las siguientes ecuaciones para obtener la capacidad del concreto al cortante según el caso:

El refuerzo por tensión diagonal en vigas presforzadas estará formada por estribos perpendiculares al eje de la pieza, de grado no mayor a 4200 Kg/cm2, o por mallaelectrosoldada cuyo valor de fluencia no debe ser mayor a 4200 Kg/cm2.

La separación de los estribos cuando Vu es mayor a Vcr, está dada por la siguiente ecuación:

Av = Área transversal del refuerzo por tensión comprendido en una distancia S.= Es el ángulo que forma el refuerzo transversal con el eje de la pieza. α


Para la separación de los estribos en elementos totalmente presforzados existen las siguientes limitaciones:

*Esta no debe ser menor a 5 cm

*Si Vu es mayor que Vcr pero menor o igual que :

*La separación no debe ser mayor que 0.75 hh = peralte total de la pieza

*Si Vu es mayor la expresión (b)

*La separación de los estribos no deberá ser mayor que 0.37h

*Vu nunca debe ser mayor a:

)(*))((5.1 bcfdbFr −−−−−−−

cfdbFr *))((5.2


En el caso de que la sección sea parcialmente presforzada, la separación de los estribos se calcula con la misma ecuación, y las limitaciones serán las siguientes:

*La separación no debe ser menor de 5 cm

*Si Vu es mayor que Vcr, pero menor o igual a :

*La separación máxima de los estribos no debe ser mayor que 0.5 d

*Si Vu es mayor que la expresión (c), la separación máxima de los estribos es de 0.25d

En ningún caso se permite que Vu sea mayor que:

)(*))((5.1 ccfdbFr −−−−−

cfdbFr *))((0.2


MATERIALESMATERIALES

3ª PARTE:CARACTERÍSTICAS

DE LOS MATERIALES

CONCRETO, TIPOS.

VALORES DE DISEÑO Y MÓDULO DE ELASTICIDAD

TORÒN, E, Fpu.

ACERO DE REFUERZO

ACERO ESTRUCTURAL

MALLA ELECTROSOLDADA

CONCRETOCONCRETO

Simple

Reforzado

Presforzado

CONCRETO

Para resistir tensiones se emplea acero de refuerzo, el acero restringe el desarrollo de grietas originadas por la poca resistencia a la tensión. También el refuerzo aumenta la resistencia del elemento, para reducir las deformaciones debidas a las cargas de larga duración y para proporcionar confinamiento.

Resistencia a la compresión, pero débil a la tensión

Es la modalidad del concreto reforzado, en la que se crea un estado de esfuerzos a compresión ante la aplicación de las cargas. De este modo, los esfuerzos de tensión y producidos por las acciones quedan contrarrestados ó reducidos.

El concreto que se usa para presforzar se caracteriza por tener mayor resistencia con respecto al utilizado en las construcciones ordinarias. Los valores comunes se encuentran de fć=350 Kg/cm² a fć=500 Kg/cm² .

Se requiere de tales resistencias para poder hacer la transferencia del presfuerzo cuando haya alcanzado un fći = 280 Kg/cm² .

VALORES PARA DISEÑO DE ACUERDO A LAS NTC-CONCRETO.

VALORES MEDIDOS DE MÓDULO DE ELASTICIDAD. cfKE '=

CARACTERISTICAS DEL CONCRETO

EFECTO DE LA RELACIÒN AGUA – CEMENTO..

La resistencia del cemento depende del la relación agua / cemento; A mayor relación agua / cemento, menor resistencia.

CONTRACCIÓN POR SECADO

Uno de los efectos del fraguado del concreto es la disminución de volumen del mismo, esto es por la evaporación del agua excedente de la que se requiere para la hidratación del cemento. Esta contracción es proporcional a la cantidad de agua empleada en la mezcla, si se requieren contracciones mínimas, la relación agua- cemento debe ser mínima.

RELACIÓN DE POISSON

La relación entre deformación transversal y la longitudinal y su valor varia de 0.15 a 0.20.

DEFORMACIÓN POR FLUJO PLASTICO

Debido a la presencia de esfuerzos permanentes, las partículas que forman el concreto sufren un reacomodo que modifica las dimensiones de los elementos. Depende de la magnitud de las cargas permanentes; de las mezclas; de las condiciones de curado y de la edad en que el concreto empieza a ser cargado.

CARACTERISTICAS DEL CONCRETO

δ

E =

ε0.000050 e2 (0.40 δ)

s1 (0.000050)

s2 (0.40% δ)

s máx

S2 - S1

e2 - 0.000050

CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN DE TORÓN (diferentes diámetros)

E = 2,000,000 Kg/cm²

Fsr ò Fpu= 19,000 Kg/cm²

A(torón de ½)= 0.987 cm²

El esfuerzo de fluencia se calcula con la deformación unitaria del 1%. Para el toròn de ø ½” = 17,000 a 17,500 Kg/cm²para acero normal y de baja relación respectivamente

El esfuerzo máximo al que se tensan es igual a 0.8 fsr para toròn de ½”= 15,200 Kg / cm2

Se utilizan principalmente aceros de Baja relación ò LO-LAX.

ACERO DE REFUERZO

Es común el uso de acero de refuerzo en elementos de concreto presforzado para tomar los esfuerzos cortantes y de torsión, los esfuerzos por temperatura, los esfuerzos de tension durante latransferencia, los esfuerzos durante el transporte y dar confinamiento.

ACERO ESTRUCTURAL

Se emplea el Acero A-36 para accesorios metálicos que sirvan para diafragmas metálicos, conexiones en edificaciones fc = 2,530 Kg / cm²

MALLA ELECTROSOLDADA

Por su fácil colocación se usa principalmente como armado en aletas (losas) de trabes cajón, trabes T,TT y TTV

Fy = 5,000 Kg / cm²

• 4ª PARTEEJEMPLO DE

DISEÑO

EJEMPLO . DISEÑO DE TRABE DE CAJÓN PARA PUENTE

EJERCICIOS DE DISEÑO

CONCRETO PRESFORZADOEjemplo

EJEMPLO DE DISEÑO:Trabe Cajón 200/135 L=24.0m

MATERIALES:Trabe Prefabricada =f’c=350kg/cm²Firme de Compresión=f’c=250kg/cm²Acero de Presfuerzo=Fpu=19,000kg/cm²Torones de ½” Φ

15

135

200

Firme de Compresión

Condición de Apoyos:Trabe Simplemente Apoyada (Puente)

L=24 mts

Cargas:Carga Muerta= 254kg/m²X2= 508kg/m

Carga Viva= 1227kg/m²X2= 2454kg/m

SECCIONES MACIZAS

SECCIONES HUECAS

PROPIEDADES GEOMETRICAS

68

881

0

88

70

85

15

70

40

10 68 10

106 9938.3 38.3

81

8.6

200

7 3.4

15

10

1

135

15 40 15

10

10

Y1

Y2

Y1=77.93Centriode de la

Sección

106

8.6

124

7

106

81

11

6

200

3.4

124

200

CONCRETO PRESFORZADO

cmAiYAiY 93.77

80.601,5436,545.04.

==Σ

Σ=


Σ 5,601.8 cm² Σ 436,545.04 cm³

Ai ΣAi Yi AiYi Ii

CALCULO DEL CENTROIDE DE LA SECCION

6464.4

4025498.7

15085.2

SECCION

119.77

74.11

23.18

68613.16

96269.95

657050.68

-93420.6

-497648.65

-19123.5

-780

-6715

-825

2270.8

3075.8

13921.8

13141.8

6426.8

5601.8

10,600.93

550.8

805

10846

124.57

119.59

60.58

520.87

3280.4

12,089,524.4

1720 1720 130.7 224804

No.1

No.2

No.3

Mac

iza

Hue

ca

No.1

No.2

No.3

No.4

a) Propiedades Geométricas de la Sección Simple:

b) Propiedades Geométricas de la Sección Compuesta:

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

2* dAII c +=

4.1208952466.41*8054.328064.46*8.55087.52077.52*17203.10693 222 ++++++=I2222 75.54*8252.1508532.8*67157.402549884.41*7804.646435.17*10846 −−−−−−+

43.243,770'14 cmI =

cmYcmY

cmIcmA

07.572.93.771

30.243,770'1480.601,5

4

2

==

=

=

/350'

/250'2

sec

2

=

=

cmkgcF

cmkgcF

ción

firme

200

Y2=57.07

Y1=77.93

43.243,77014,

)2

82.3*6,7157.4,025,498()2

84.41*7804.(6,464

)2

66.41*8054.3,280()2

64.46*8.55087.520

cmI =

−+−+

++++

)2

75.54*8252.15,082(

)2

35.17*10,8464.12,089,524(

()2

77.52*1,7203.10,693(

2*

I

dACII

+

−+

++=

+=

CALCULO DE MOMENTO DE INERCIA


cmcmcmY

cmA

cmA

cmA

cmcmYA

cmYA

cmI

cmY

cmA

cmb

c

c

s

f

ss

ff

firme

firme

firme

firme

05.9826.137,8

32.851,797

26.137,8

80.601,5

46.535,2

32.851,79727.548,43693.77*80.601,5*

05.303,3615.142*46.535,2*

25.531,4712

)15*169(

5.1425.7135

46.535,215*169

169845.0*200

2

3

2

2

2

3

3

3

43

2

==

=

=

=

==

==

==

=+=

==

==

a) Propiedades Geométricas de la Sección Simple:

b) Propiedades Geométricas de la Sección Compuesta:

3.243,77014 cmI =

cmYcmY

cmIcmA

07.572.93.771

30.243,770'1480.601,5

4

2

=

==

=

845.0

350250

''

/350'

/250'

sec

2sec

2

=

==

=

=

N

cFcF

N

cmkgcF

cmkgcF

ción

firme

ción

firme

b=200nb=169

Centroide

Y2*=51.95Y2'=36.95

Y1'=98.05

15

135

77.93

20.12

44.45


SECCION COMPUESTASECCION COMPUESTA

Y1'

Centroide

Y2*Y2'

cmYcmYcmY

cmI

cmA

c

c

95.51*295.36'205.98'1

06.032,095'22

26.137,84

2

====

=

4

22

2

06.032,095'22

)12.20*80.601,53.243,770'14()45.44*46.535,225.531,47(

*

cmI

I

dAII

c

c

c

=

+++=

+= ∑


DATOS:

cmYcmY

cmI

cmA

07.572.93.771

30.243,770'14

80.601,54

2

==

=

=

Propiedades Geométricas:

Propiedades de la Sección Compuesta:Cargas

mlkgmmkgw

mlkgmmkgw

mlkgmmkgw

mlkgmkgmw

v

m

tF

o

/24542/1227

/5082/254

/7202/360

/1344/240056018.0

2

2

2/

32

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Materiales:

Trabe Prefabricada =f’c=350kg/cm²Firme de Compresión=f’c=250kg/cm²Acero de Presfuerzo=Fpu=19,000kg/cm²Torones de ½” Φ

cmYcmYcmY

cmI

cmA

c

c

95.51*295.36'205.98'1

06.032,095'22

26.137,84

2

====

=


kgkgT

cme

cmsgc

000,39228000,14

63.703.793.77

3.728

1013515...

=⋅=

=−=

=⋅+⋅

=

Pérdidas:

Por experiencia en Prefabricados las pérdidas totales son del 18 al 25% de las cuales el 40% aproximadamente son instantáneas.

Para este caso consideraremos 20% de pérdidas totales

Fuerza con pérdida total=392,000x0.20=78,400kg

Pérdidas Instantáneas=78,400x0.4=31,360kg

Revisaremos con 28torones de Φ ½”


55

c.g.

e


REVISIÓN POR TRANSFERENCIA

Presfuerzo=392,000-31,360 kg=360,640 kg

Se revisa con la fuerza de tensión después de las pérdidas instantáneas1.-

[ ] ( )simples imple

y IóyyM

IóyyPex

AP 2121

21 m±−=σ

Esfuerzos para la Fibra Inferior Esfuerzos para la Fibra Superior

Y2= 57.07

Y1= 77.93e= 70.63

Esfuerzos deb idos a lp resfuerzo ax ia l

-64 .38+

Esfuerzos deb idos a lp resfuerzo excéntrico

+ 98.84

Esfuerzos deb idos a lP op o

-37 .39 -2 .93

-147.72+ 51.05-134.39-64.38

+

=C(-)

T(+ )

C(-)

C(-)

T(+ )

cmkgfLM o⋅=

⋅== 800,676,9

8241344

8

22ω

21

21

72.14705.5139.13438.643.243,770,1493.77800,676,9

3.243,770,1493.7763.70640,360

8.601,5640,360

cmkgcmkg

−=+−−=

⋅+

⋅⋅−−=

σ

σ2

2

2

/93.239.3784.9838.643.243,770,1407.57800,676,9

3.243,770,1407.5763.70640,360

8.601,5640,360

cmkg−=−+−=

⋅−

⋅⋅+−=

σ

σ

222

222

2

2

/38.13/93.2/1682/

/38.13/72.147/1682/

)(/38.132808.0'8.0

)(/1682806.0'6.0

cmk gcmkgcmkgLFibra

cmkgcmk gcmkgLFibra

tensióncmkgcif

compresióncmk gcif

SUPE RIO R

INFE RIO R

+<−>−=

+<−>−=

∴

==

−=⋅=

∴

Esfuerzos Permisibles en Transferencia

•Fibra Extrema a Compresión = 0.6f’ci•Fibra Extrema a Tensión = 0.8 f’ci•Fibra Extrema a Tensión en los extremos de elementos simplemente apoyados = 1.6 f’ci

Donde:f’ci = Resistencia del concreto en el momento de la

transferencia (0.8f’c) = 0.8x350 kg/cm²=280 kg/cm²



Estado de Esfuerzos debidos a las Pérdidas a Largo Plazo

Tperdidas = Pérdidas Totales – Pérdidas InstantáneasFza perdida = 78,400 – 31,360A largo Plazo = 47,040 kg

Esfuerzos Fibra InferiorEsfuerzos Fibra Superior

93.2553.174.83.243,707'14

93.7763.70470408.5601

040,47

1

1

+=++=

⋅⋅++=

σ

σ

44.484.124.83.243,707'14

07.5763.70470408.5601

47040

2

2

−=−+=

⋅⋅−+=

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

( )IóyyPe

AP x

y21

21 m=+=σ

Y2=57.07

Y1=77.93e=70.63

Esfuerzos debidos alpresfuerzo axial

+8.4+

Esfuerzos debidos alpresfuerzo excéntrico

-12.84 -4.44

+25.93+17.53+8.4

=T(+)

C(-)

T(+)

T(+)

C(-)


1.-Se utiliza la Sección simple para la revisión de esfuerzos

2.-

Esfuerzos debidos al Firme de compresión

Esfuerzos Fibra Superior

Y2=57.07

Y1=77.93e=70.63

-20.03 kg/cm²

+27.35kg/cm²

C(-)

T(+)

( )( ) 25

1 /35.2730.243,770,14

93.771084.51 cmkgXIyM if +=+=

⋅+=σ

( )( ) 25

22 /03.20

30.243,770,1407.571084.51 cmkgX

IyM f −=−=

⋅−=σ

cmkgXwfLM firme ⋅=⋅

== 522

1084.518

247208

Esfuerzos Fibra Inferior

Esfuerzos debidos a la Carga Muerta

( )

cmkgXM

mkgLwM

CM

cmCM

⋅=

⋅==⋅

=

5

22

10576.36

576,36824508

8

( )sc

CMy I

óyyyM *2'2'1*2'2'1

,=σ

1.-Se utiliza la Sección compuesta

2.-

3.-

8.6 kg/cm²

C(-)

T(+)

16.23 kg/cm²

6.12 kg/cm²

b=200

Centroide

Y2*=51.95Y2'=36.95

Y1'=98.05

15

135

77.93

20.12


( )( )

( )( )

( )( ) )(/6.806.032,095,22

95.5110576.36

)(/12.606.032,095,22

95.3610576.36

)(/23.1606.032,095,22

05.9810576.36

25

'2

25

'2

25

'1

FirmecmkgX

iorFibraSupercmkgX

iorFibraInfercmkgX

−=−

=

−=−

=

+=+

=

σ

σ

σ


Esfuerzos debidos a la Carga Viva

( )sc

CVy I

óyyyM *2'2'1*2'2'1

,=σ

41.54 kg/cm²

C(-)

T(+)

78.41 kg/cm²

29.55 kg/cm²

b=200

Centroide

Y2*=51.95Y2'=36.95

Y1'=98.05

15

135

77.93

20.12

1.-Se utiliza la Sección compuesta

2.-

3.-

( )

cmkgXM

mkgLwM

CV

cvCV

⋅=

⋅==⋅

=

5

22

10688.176

688,1768

24454,28

( )( )

( )( )

( )( ) 25

25

25

/54.4106.032,095,22

95.5110688.176

/55.2906.032,095,22

95.3610688.176

/41.7806.032,095,22

05.9810688.176

cmkgX

cmkgX

cmkgX

Firme

Superior

Inferior

−=−=

−=−=

=+=

σ

σ

σ


b=200

Centroide

Y2*=51.95Y2'=36.95

Y1'=98.05

15

135

77.93

20.12 + + + + =

-2.93

-147.72 +25.93 +27.33 +16.23 +78.41 +0.18

-4.44 -20.03 -8.6 -41.54 -50.14

-6.12 -39.55 -63.1

T(+)

C(-)

C(-)

T(+)

C(-)

T(+)

C(-)

T(+)

C(-)

T(+)

C(-)

Estado Final de Esfuerzos

ESFUERZOS PERMISIBLES EN SERVICIO

1.-En la fibra extrema a compresión = 0.45 f’c2.-En la fibra extrema a tensión = 1.6 f’c (máximo 3.2 f’c)

*Solo si se justifica estructuralmente el buen comportamiento del elemento

1.- 0.45*f’c = 0.45*350 = -157.5kg/cm² (compresión)2.- 1.6 f’c = 1.6 √350 = +29.93kg/cm² (tensión)

RESUMENFibra inferior = -157.5kg/cm² > 0.18kg/cm² < 29.93kg/cm² Bien las fuerzas se encuentran Fibra superior = -157.5kg/cm² > -63.1kg/cm² < 29.93kg/cm² dentro de los esfuerzos permisibles

PERDIDAS TEORIA

1.-Pérdidas de presfuerzo.

La fuerza de presfuerzo en elementos postensados y pretensados, continuamente decrece con el tiempo.

A la reducción total del presfuerzo que ocurre durante la vida útil del elemento se le llama pérdida total

de presfuerzo. Es esencial estimar la magnitud de la pérdida total de presfuerzo , ya que aunque no

influye en la resistencia última , si afecta el comportamiento del elemento en condiciones de servicio.

La pérdida total de presfuerzo se debe a la contribución acumulativa de alguna a todas de las siguientes

razones:

1.-Acortamiento elástico.

Al aplicar a un elemento una carga de presfuerzo este se acorta y el tendón sufre este mismo

acortamiento causando que pierda parte de su esfuerzo.

2.-Relajación o flujo del acero de presfuerzo.

Es la pérdida de esfuerzo de un material que se mantiene esforzado a una longitud constante.

3.-Contracción del concreto.

La pérdida gradual con el tiempo del agua libre en el concreto , provoca una reducción en la

longitud del elemento lo cual se traduce en una pérdida de presfuerzo.

4.-Flujo plástico del concreto.

Es la deformación continua del material sujeto a un estado permanente de esfuerzo o carga.

Induce una disminución del esfuerzo de presfuerzo adicional al causado por el acortamiento

elástico la cual se incrementa con el tiempo.

5.-Pérdidas por fricción.

Ocurren durante el tensado de los cables de postensado y representa una diferencia en los

esfuerzos entre los anclajes y cualquier sección a lo largo del elemento.

6.-Deslizamiento del anclaje.

Ocurre en elementos postensados debido al asentamiento que sufre el anclaje y que se traduce

en pérdida de presfuerzo.

2.-Métodos para estimación de pérdidas.a).-Estimación de pérdida total.

En caso de no tener información para evaluar las pérdidas de presfuerzo, se puede suponer que la suma de las pérdidas varía entre 20 y 25% de la fuerzaaplicada por el gato.

b).-Evaluación de pérdida total.En el presente ejemplo se consideró el método del AASTHO para evaluar la pérdidatotal de presfuerzo.

c).-Evaluación de pérdida en intervalos de tiempo.Se consideraron las recomendaciones para estimar pérdidas de presfuerzopresentada por comité de pérdidas de presfuerzo del P.C.I.

PERDIDAS METODO DEL AASHTO

1).-Las pérdidads de presfuerzo pueden ser estimadas mediante el siguiente método.

Perdida total.

Δfs = SH + ES + CRc + CRs

Donde:

Δfs = Pérdida total excluyendo las de fricción en kg/cm2

SH = Pérdida debida a la contracción del concreto en kg/cm2

ES = Pérdida debida al acortamiento elástico en kg/cm2

CRc = Pérdida debida al flujo plástico del concreto en kg/cm2

CRs = Pérdida debida a la relajación del acero de presfuerzo en kg/cm2

1.1).-Contracción del concreto.

SH = 1,195.27 -10.5465 RH Para miembros presforzadosSH = 0.8(1,195.27 -10.5465 RH) Para miembros postensadosRH = Es la humedad relativa ambiental promedio anual en porcentaje

1.2).-Acortamiento elástico.

ES = (Es / Eci) fcir Para miembros presforzadosES = 0.5(Es / Eci) fcir Para miembros postensados

Donde:Es = Modulo de elasticidad del acero de presfuerzo

Eci = Modulo de elasticidad del concreto en la transferenciafcir = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de

presfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo y la carga muerta enla trabe inmediantamente despúes de la transferencia;En esta etapael esfuerzo inicial en el tendón ha sido reducido por elacortamiento elástico del concreto y por la relajación de lostendones durante la colocación y cura del contreto en miembrospretensados , o por el acortamiento elástico del concreto y lafricción de los tendones en miembros postensados. La reducción del esfuerzo inicial en los tendones debido a estos factores puede ser estimada o se puede tomar como 0.63 f's.

1.3).-Flujo plástico del concreto.CRc = 12 fcir - 7 fcds Para miembros presforzados y postensados

Donde:fcds = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de

presfuerzo debido a todas las cargas muertas excepto la carga

muerta presente cuando la carga de presfuerzo es aplicada

1.4).-Relajación del acero de presfuerzo.

1.4.1).-Elementos presforzados.CRs = 1,406.2 -0.4 ES -0.2(SH + CRc) Para Torones 250 a 270 K

1.4.2).-Elementos postensados.CRs = 1,406.2 -0.3 FR -0.4 ES -0.2(SH + CRc) Para Torones 250 a 270 KCRs = 1,265.4 -0.3 FR -0.4 ES -0.2(SH + CRc) Para alambre 240 KCRs = 2,109 Para barras 145 a 160 K

Donde:

FR = Reducción del esfuerzo debido a las pérdidas por fricción abajode 0.7 f's en el punto bajo consideración

ES,SH y CRc = Valores calculados para elementos pretensados o postensados.

2).-Para nuestro ejemplo, tenemos.

2.1).-Contracción del concreto.

SH = 1,195.27 -10.5465 RHRH = 70%SH = 457.02kg/cm2

2.2).-Acortamiento elástico.ES = (Es / Eci) fcirEs = 1960946.00 kg/cm2

f'ci = = 280 kg/cm2Eci = 14,000 (f'ci)^1/2Eci = 234264.81 kg/cm2

fs pp = 37.23 kg/cm2fs presf = -34.16 kg/cm2

0.9 fs presf = -30.75 kg/cm2 0.7 x 0.9 = 0.63fs = 6.48 kg/cm2

fi pp = -50.84kg/cm2fi presf = 201.69kg/cm2

0.9 fi presf = 181.52kg/cm2 0.7 x 0.9 = 0.63fi = 130.68kg/cm2

El esfuerzo en el concreto al nivel del acero de presfuerzo será:

fcir = (fi - fs) Hs / H + fsH = 135.00cme' = 7.32cm

Hs = 127.68cm

fcir = 123.94kg/cm2

Tenemos para ES :

ES = 1037.50kg/cm2

2.3).-Flujo plástico del concreto.CRc = 12 fcir - 7 fcds

fs cm = 26.17kg/cm2 Excepto peso propiofi cm = -43.66kg/cm2 Excepto peso propio

El esfuerzo en el concreto al nivel del acero de presfuerzo será:fcds = (fi - fs) Hs / H + fs

H = 135.00cme' = 7.32cm

Hs = 127.68cmfcds = -39.87kg/cm2

Tenemos para CRc :CRc = 1208.24kg/cm2

2.4).-Relajación del acero de presfuerzo.

CRs = 1,406.2 -0.4 ES -0.2(SH + CRc)

CRs = 658.15kg/cm2

2.5).-Perdida total.

Δfs = SH + ES + CRc + CRs

SH = 457.02kg/cm2

ES = 1037.50kg/cm2

CRc = 1208.24kg/cm2

CRs = 658.15kg/cm2

Δfs = 3360.90 kg/cm2

Considerando que el esfuerzo efectivo en el acero de presfuerzo durante la transferenciadel presfuerzo es 0.7 fpu tenemos :

fpu = 19000.00 kg/cm20.7 fpu = 13300.00 kg/cm2

El porcentaje de pérdida sera:% pérdida = 3360.90 / 13300.00 % pérdida = 0.25%

PERDIDAS METODO DEL PCI

1).-Las pérdidads de presfuerzo por etapas pueden ser estimadas mediante el siguiente método.

Pérdida total.

TL = DEF + ES + ∑( CR +SH + RET)

En donde:

TL = Pérdida total

DEF = En el acero de presfuerzo con cambio de dirección la pérdida DEF

se localiza en los accesorio de deflexión.

ES = Acortamiento elástico.

CR = Flujo plástico del concreto.

SH = Contracción del concreto.

RET = Relajación del acero de presfuerzo.

1.1).- Acortamiento elástico.

ES = fcr ( Es Eci)

En donde:

fcr = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero depresfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo y la carga muerta en

la trabe inmediantamente despúes de la transferencia.

Es = Modulo de elasticidad del acero de presfuerzo

Eci = Modulo de elasticidad del concreto en la transferencia

1.2).-Flujo plástico del concreto.

CR = UCR SCF MCF PCR fc Para cada intervalo de tiempo

En donde:

UCR = Flujo plástico últimoUCR = 95 - 284.5 Ec/10^6 >= 11 Curado normal sin exceder de 7 díasUCR = 63 - 284.5 Ec/10^6 >= 11 Para curado con vaporSCF = Efecto de tamaño y forma. Ver tabla 3

MCF = Efecto de la edad del concreto en la tranferencia del presfuerzoVer tabla 4

PCR = Porción del flujo plástico último dentro del intervalo de tiempot1 a t

PCR = AUCt - AUCt1AUC = Variación del flujo plástico con la edad del concreto Ver tabla 5

fc = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero depresfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo en el tiempo t1teniendo en cuenta la pérdida de presfuerzo en el intervalosiguiente.

1.3).- Contracción del concreto.

SH = USH SSF PSH Para cada intervalo de tiempo

En donde:

USH = Contracción última

USH = 1898.10 - 3000 Ec/10^6 >= 843.60 kg/cm2

SSF = Efecto de tamaño y forma. Ver tabla 6

PSH = Porción del flujo plástico último dentro del intervalo de tiempo

t1 a t

PSH = AUSt - AUSt1

AUS = Variación de la contracción con la edad del concreto Ver tabla 7

1.4).- Relajación del acero de presfuerzo.

1.4.1).- Para acero relevado de esfuerzos.RET = fst ((log 24t-log 24t1)/10)(fst/fpy-0.55)

En donde:fst/fpy-0.55> = 0.05

fpy = 0.85 fpu

1.4.2).- Para acero de baja relajación.RET = fst ((log 24t-log 24t1)/45)(fst/fpy-0.55)

En donde:fst/fpy-0.55 > = 0.05

fpy = 0.9 fpu

2).-Tablas.

Tabla no.3

Factores de flujo plástico para diferentes relaciones de volumen superficie.

Relación Vol./Sup. Factor de flujo Plástico SCF

1.00 1.05 2.00 0.96

>3.00 0.87 4.00 0.77 5.00 0.68 5.00 0.68

Tabla no.4

Factores de flujo plástico para diferentes edades de presfuerzo y periodos de curado.

Edad de transferencia del presfuerzo Periodo de cura Factor de flujo Plástico MCF(días) (días)

3 3 1.14 5 5 1.07 7 7 1.00 10 7 0.96 20 7 0.84 30 7 0.72 40 7 0.60

Tabla no.5

Variación del flujo plástico con respecto al tiempo posterior a la transferencia del presfuerzo.

Tiempo posterior a Fracción de flujo Plástico

Transferencia (días) Ultimo AUC

1 0.08

2 0.15

5 0.18

7 0.23

10 0.24

20 0.30

30 0.35

60 0.45

90 0.51

180 0.61

365 0.74

Fin de vida util 1.00

Tabla no.6

Factores de contracción para diferentes relaciones de volumen superficie.

Relación Vol./Sup.Factor de

contracción SSF

1.00 1.04 2.00 0.96 3.00 0.86 4.00 0.77 5.00 0.69 6.00 0.60

Tabla no.7

Tabla de factores de contracción para diferentes tiempos de curado.

Tiempo después del curado. Fracción de contracción última AUS

1.00 0.08 3.00 0.15 5.00 0.20 7.00 0.22 10.00 0.27 20.00 0.36 30.00 0.42 60.00 0.55 90.00 0.62 180.00 0.68 365.00 0.86 Fin de vida útil 1.00

3).-Para nuestro ejemplo, tenemos.

3.1).-Datos.

3.1.1).-Tipo de elemento.Trabe pretensada sección cajón ,curada con vapor , concreto de peso normal, con un firme de 15 cm para formar sección compuesta.

3.1.2).-Materiales.

3.1.2a).-Concretof'c = 350.00 kg/cm2 Ec = 261916 kg/cm2

f'ci = 280.00 kg/cm2 Eci = 234265 kg/cm2

3.1.2b).-Acero de presfuerzo.

Grado = 270 kfpu = 19000.00kg/cm2 fpy =16150.00 kg/cm2

Área de un torón =0.98 cm2 Es =1970000 kg/cm2

3.1.3).-Propiedades de la sección.

Sección simple

Peralte total = 135.00 cm

Área = 5568.43 cm2

Inercia = 14750311 cm4

Y. Superior = 57.07 cm

Y. Inferior = 77.93 cm

S. Superior = 258465 cm3

S. Inferior = 189274 cm3

Sección compuesta

Peralte total = 150.00 cm

Área = 8103.89 cm2

Inercia = 22061302 cm4

Y. Superior = 51.87 cm

Y. Inferior = 98.13 cm

S. Superior = 425342 cm3

3.1.4).-Cargas.

Condición Momento

Peso propio 96.22 t-m

Carga muerta 51.84 t-m

Sobre carga muerta 36.58 t-m

3.1.5).-Presfuerzo.

La trabe esta presforzada con 28 torones de 1/2" de diámetro, con un presfuerzo inicial

de 0.7 fpu con la siguiente excentricidad de los torones:

Lecho no.tor. ei no.tor.ei1 15.00 5.00 75.00 2 13.00 10.00 130.00 3 0.00 15.00 0.00 4 0.00 20.00 0.00

-------- --------28.00 205.00

e' = 205.00 / 28.00 = 7.32 cm

e = 57.07 - 7.32 = 49.75 cmPo = 19000 x 0.70 x 0.98 x 28.00

Po = 364952 kg

3.2).- Cálculo de datos básicos de pérdidas.

Volumen = 5568.43cm3Superficie = 631.18cm2

Relación volumen superficie = 5568.43 / 631.18 Relación volumen superficie = 8.82 / 2.54Relación volumen superficie = 3.47

SCF =0.823 Se calculó interpolando linealmente (tabla no.3)MCF =1.000 No se incluye para cura acelerada (tabla no.4)AUC =Varia Varia según las etapas consideradas (tabla no.5)SSF =0.817 Se calculó interpolando linealmente (tabla no. 6)

AUS =Varia Varia según las etapas consideradas (tabla no.7)

UCR = 63 - 284.5 Ec/10^6 >= 11 Para cura acelerada

UCR = 11.00 USH = 1898.10 - 3000 Ec/10^6 >= 843.60 kg/cm2

USH = 1112.35 kg/cm2

Los valores de UCR y USH estan basados en una humedad relativa ambiente del 70%

(UCR)(SCF) = 9.05

(USH)(SSF) = 909.24 kg/cm2

3.3).- Cálculo de pérdidas.

3.3.1).- Cálculo de esfuerzos al nivel del acero de presfuerzo.

3.3.1a).- Debido a las cargas.

fc = M x 10^5 x e / I

CondiciónM

(t-m)e

(cm)I

(cm4)Fc

(kg/cm2)--------- --------- --------- --------- ---------p.p.trabe 96.22 49.75 14750311 32.45

c.m. 51.84 49.75 14750311 17.48 s.c.m. 36.58 44.55 22061302 7.39

3.3.1b).- Debido al presfuerzo.

fe = Po/A + Po e^2 / I

CondiciónPo

(kg)A

(cm2)e

(cm)I

(cm4)Fe

(kg/cm2)--------- --------- --------- --------- --------- ---------Etapa 1 364952 5568.432 49.75 14750310.57 126.77

3.4).-Cálculo de pérdidas en cada etapa.Etapa 1 - Del tensado del presfuerzo a la transferencia.Etapa 2 - De la transferencia al colado del firme a los 30 días.Etapa 3 - Del colado del firme a un año.Etapa 4 - De un año al término de la vida útil (40 años)

3.4.1).- Pérdidas debidas a la relajación del acero de presfuerzo (RET)

RET = fst ((log 24t-log 24t1)/10)(fst/fpy-0.55)

Etapat1

(dias)t

(dias)t1

(dias)t

(dias)fst

(kg/cm2)fpy

(kg/cm2)RET

(kg/cm2)

--------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------

1 1/24 18/24 0.04 0.75 13300.00 16150.00 456.66

2 18/24 30 0.75 30 12400.88122 16150.00 432.81

3 30 365 30 365 11459.11022 16150.00 198.39

4 365 14600 365 14600 10705.07541 16150.00 193.54

3.4.2).-Pérdidas debidas a la contracción elástica (ES)

fcr = fe - fc

ES = fcr ( Es / Eci )

Se supondrá fe = 0.9 fe

Etapafe

(kg/cm2)fc

(kg/cm2)fcr

(kg/cm2)Es

(kg/cm2)Eci

(kg/cm2)ES

(kg/cm2)

--------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------

1 114.09 32.45 81.64 1970000 234265 686.55

2 0.00

3 0.00

4 0.00

3.4.3).- Pérdidas debidas a la contracción del concreto (SH)

SH = (USH)(SSF)(PSH)

Etapa USH SSF PSH SH (kg/cm2)

--------- --------- --------- --------- ---------

1 1112.35 0.82 0.00 0.00

2 1112.35 0.82 0.42 381.88

3 1112.35 0.82 0.44 400.06

4 1112.35 0.82 0.14 127.29

3.4.4).-Pérdidas debidas al flujo plástico del concreto (CR)

CR = (UCR)(SCF)(PCR)(fc)

PCR = (AUC)t - (AUC)t1

Etapa UCR SCF (AUC)t (AUC)t1 PCR fcr CR (kg/cm2)

--------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------

1 0.00 0.00 0.00 0.00 81.64 0.00

2 9.05 0.35 0.00 0.35 81.64 258.58

3 9.05 0.74 0.35 0.39 59.82 211.13

4 9.05 1.00 0.74 0.26 52.11 122.61

3.5).-Pérdidas totales.

EtapaRET

(kg/cm2)ES

(kg/cm2)SH

(kg/cm2)CR

(kg/cm2)Pérdida total

(kg/cm2)

--------- --------- --------- --------- --------- ---------

1 456.66 686.55 0.00 0.00 1143.21

2 432.81 0.00 381.88 258.58 1073.27

3 198.39 0.00 400.06 211.13 809.58

4 193.54 0.00 127.29 122.61 443.45

3.6).-Esfuerzo en el acero de presfuerzo.

fst = fsi - fperd + f pp + f cm + fscm

EtapaFsi

(kg/cm2)fperd.

(kg/cm2)f p.p.

(kg/cm2)f c.m.

(kg/cm2)fs.c.m.

(kg/cm2)Fst

(kg/cm2)--------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------

1 13300.00 1143.21 244.09 0.00 0.00 12400.882 12400.88 1073.27 0.00 131.50 0.00 11459.113 11459.11 809.58 0.00 0.00 55.55 10705.084 10705.08 443.45 0.00 0.00 0.00 10261.62

3.7).-Porcentaje de pérdidas.

% Presf.efect. = 10261.62 / 13300.00 = 0.77 %

Perd. total = 0.23 x 13300.00 = 3038.38 kg/cm2

D E F L E X I O N E S

1.- Deflexión.La deflexión se define como el movimiento total inducido en un punto de un miembro dela posición que tenía antes de la aplicación de una caga a la posición después de lacarga. En miembros con una carga uniforme y simplemente apoyados la deflexión máxima ocurreal centro del claro, que es la que nos interesa más. A la deformación hacia arriba causadapor el presfuerzo se le llama contraflecha y la consideraremos con signo (-), y a las deformaciones hacia abajo causadas por las cargas "flechas" y la denotaremos con signo (+). En miembros tanto de concreto reforzado como pretensado las deflexiones bajo una cargasostenida continúa incrementándose con el tiempo , debido principalmente a los efectos de lacontracción y flujo plástico del concreto y a la relajación del acero de presfuerzo, poresta causa las deflexiones se separan en dos partes ; las inmediatas y las diferidas.

2.-Método de la viga conjugada.

La viga conjugada es un metodo muy útil para encontrar las deflexiones en un miembro.

Las relaciones entre una viga conjugada y una viga real son las siguientes:

a).-El claro de la viga conjugada es igual al claro de la viga real.

b).-La carga de la viga conjugada es el diagrama M/EI de la viga real.

c).-El corte en cualquier sección de la viga conjugada es igual a la pendiente de

la sección correspondiente de la viga real.

d).-El momento en cualquier sección de la viga conjugada es igual a la flecha de

la sección correspondiente de la viga real.

3.-Consideraciones en el ejemplo.

La figura 1 muestra una viga en la cual actua una carga de presfuerzo con una excentricidade con respecto al eje neutro, es posible descomponer al presfuerzo en dos componentes, unacarga concéntrica P a través del centroide, y un momento Pe. Cargamos a la viga con eldiagrama de momentos, W = Pe y el momento al centro del claro nos dará la contraflechaΔpresf = pe L^2/(8 EI). Si los torones son desviados , engrasados o en trabes postensadas

en las cuales el trazo del cable es generalmente variable con respecto al eje neutro, parallevar a cabo nuestro cálculo de defelxiones es conveniente dividir en un cierto número detramos la longitud de la viga y entonces calcular el diagrama de momento flexionanteconsiderando estas secciones como se muestra en la figura 2. y en una hoja de cálculo calcular los momentosDe una viga conjugada que son las deflexiones de una viga real.

4.- Ejemplo de aplicación.

4.1).- Materiales

Concreto: f'c = 350.00 kg/cm2 f'ci = 280.00 kg/cm2

Acero de refuerzo: fy = 4200.00 kg/cm2

Acero de presfuerzo: fpu = 19000.00 kg/cm2

Eci = 14,000 (f'ci)^1/2 = 234264.81 kg/cm2Eci = 14,000 (f'c)^1/2 = 261916.02 kg/cm2

4.2).- Propiedades geométricas.

Etapa H Área I ys yi Ss SiS simple 135.00 5568.43 14750310.57 57.07 77.93 258464.99 189273.72S comp 135.00 8103.89 22061301.67 51.87 98.13 425341.70 224810.78

4.3).- Acciones en cada estado de carga.

4.3.1).- Peso propio.

Sección Vi Mti Mi

1 16.04 0.00 0.00

2 12.83 0.00 34.64

3 9.62 0.00 61.58

4 6.41 0.00 80.83

5 3.21 0.00 92.37

6 0.00 0.00 96.22

7 -3.21 0.00 92.37

8 -6.41 0.00 80.83

9 -9.62 0.00 61.58

10 -12.83 0.00 34.64

11 -16.04 0.00 0.00

4.3.2).- Carga muerta.

Sección Vi Mti Mi

1 8.64 0.00 0.00

2 6.91 0.00 18.66

3 5.18 0.00 33.18

4 3.46 0.00 43.55

5 1.73 0.00 49.77

6 0.00 0.00 51.84

7 -1.73 0.00 49.77

8 -3.46 0.00 43.55

9 -5.18 0.00 33.18

10 -6.91 0.00 18.66

11 -8.64 0.00 0.00

4.3.3).- Sobre carga muerta.

Sección Vi Mti Mi

1 6.10 0.00 0.00

2 4.88 0.00 13.17

3 3.66 0.00 23.41

4 2.44 0.00 30.72

5 1.22 0.00 35.11

6 0.00 0.00 36.58

7 -1.22 0.00 35.11

8 -2.44 0.00 30.72

9 -3.66 0.00 23.41

10 -4.88 0.00 13.17

11 -6.10 0.00 0.00

4.3.4).- Carga viva

Sección Vi Mti Mi

1 29.45 0.00 0.00

2 23.56 0.00 63.61

3 17.67 0.00 113.08

4 11.78 0.00 148.42

5 5.89 0.00 169.62

6 0.00 0.00 176.69

7 -5.89 0.00 169.62

8 -11.78 0.00 148.42

9 -17.67 0.00 113.08

10 -23.56 0.00 63.61

11 -29.45 0.00 0.00

4.4).-Acciones debido al presfuerzo, en la transferencia.

Sección Vi Mti Mi

1 0.00 0.00 0.00

2 0.00 0.00 257.69

3 0.00 0.00 257.69

4 0.00 0.00 257.69

5 0.00 0.00 257.69

6 0.00 0.00 257.69

7 0.00 0.00 257.69

8 0.00 0.00 257.69

9 0.00 0.00 257.69

10 0.00 0.00 257.69

11 0.00 0.00 0.00

En condiciones de servicio:

Se considerará 20% de pérdidas a corto y largo plazo (total) = 20 %

4.5).-Deflexiones debidas al presfuerzo.

E = 234264.81 kg/cm2 E = EciI = 14750310.57 cm4 Sección simple

Se considerará que en los dos primeros tramos en que dividimos la viga Estan engrasados 4 torones y en los demás tramos actúan todos.

4.5.1).-Momento debido al presfuerzo considerando 24 torones.

e' = 6.88

e = Yi - e´fpi = 0.7 * fpu = 13300 kg/cm2

P presf = Asp * fp fs = P / A + M / Ss

M presf = P * e fi = P / A - M / Si

Elemento e Asp P presf M presfTP 71.06 23.52 312816 22227488

4.5.2).-Momento debido al presfuerzo considerando 28 torones.

e' = 7.32

e = Yi - e´

fpi = 0.7 * fpu = 13300 kg/cm2

P presf = Asp * fp fs = P / A + M / Ss

M presf = P * e fi = P / A - M / Si

Elemento e Asp P presf M presf

TP 70.61 27.44 364952 25769144

4.5.3).- Cálculo de deflexiones debido al presfuerzo.

Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI1-2 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-062-3 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-063-4 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-064-5 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-065-6 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-066-7 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-067-8 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-068-9 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-06

9-10 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-0610-11 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-06

Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 120.00 2280.00 -1.54E-03 -3.52E+002-3 240.00 1920.00 120.00 2040.00 -1.54E-03 -3.15E+003-4 240.00 1680.00 120.00 1800.00 -1.79E-03 -3.22E+004-5 240.00 1440.00 120.00 1560.00 -1.79E-03 -2.79E+005-6 240.00 1200.00 120.00 1320.00 -1.79E-03 -2.36E+006-7 240.00 960.00 120.00 1080.00 -1.79E-03 -1.93E+007-8 240.00 720.00 120.00 840.00 -1.79E-03 -1.50E+008-9 240.00 480.00 120.00 600.00 -1.79E-03 -1.07E+00

9-10 240.00 240.00 120.00 360.00 -1.54E-03 -5.56E-0110-11 240.00 0.00 120.00 120.00 -1.54E-03 -1.85E-01

---------- ---------- ----------2400.00 -0.0169 -20.30

Teta AB = -0.0085

Sección Roti desplaz.

1 -0.0085 0.00

2 -0.0069 -1.84

3 -0.0054 -3.32

4 -0.0036 -4.39

5 -0.0018 -5.04

6 0.0000 -5.25

7 0.0018 -5.04

8 0.0036 -4.39

9 0.0054 -3.32

10 0.0069 -1.84

11 0.0085 0.00

4.6).- Debido al peso propio.

E = 234264.81 kg/cm2 E = EciI = 14750310.57 cm4 Sección simple

Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI1-2 0.00 34.64 34555 0.00E+00 1.00E-062-3 34.64 61.58 34555 1.00E-06 1.78E-063-4 61.58 80.83 34555 1.78E-06 2.34E-064-5 80.83 92.37 34555 2.34E-06 2.67E-065-6 92.37 96.22 34555 2.67E-06 2.78E-066-7 96.22 92.37 34555 2.78E-06 2.67E-067-8 92.37 80.83 34555 2.67E-06 2.34E-068-9 80.83 61.58 34555 2.34E-06 1.78E-069-10 61.58 34.64 34555 1.78E-06 1.00E-06

10-11 34.64 0.00 34555 1.00E-06 0.00E+00

Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 80.00 2240.00 1.20E-04 2.69E-012-3 240.00 1920.00 108.80 2028.80 3.34E-04 6.78E-013-4 240.00 1680.00 114.59 1794.59 4.95E-04 8.88E-014-5 240.00 1440.00 117.33 1557.33 6.01E-04 9.37E-015-6 240.00 1200.00 119.18 1319.18 6.55E-04 8.64E-016-7 240.00 960.00 120.82 1080.82 6.55E-04 7.08E-017-8 240.00 720.00 122.67 842.67 6.01E-04 5.07E-018-9 240.00 480.00 125.41 605.41 4.95E-04 2.99E-019-10 240.00 240.00 131.20 371.20 3.34E-04 1.24E-01

10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 1.20E-04 1.92E-02---------- ---------- ----------2400.00 0.004 5.293

Teta AB = 0.0022


1 0.0022 0.00

2 0.0021 0.51

3 0.0018 0.98

4 0.0013 1.34

5 0.0007 1.57

6 0.0000 1.64

7 -0.0007 1.57

8 -0.0013 1.34

9 -0.0018 0.98

10 -0.0021 0.51

11 -0.0022 0.00

4.7).- Debido a la carga muerta en 1a. Etapa.

E = 261916.02 kg/cm2 E = EcI = 14750310.57 cm4 Sección simple


10-11 18.66 0.00 38633 4.83E-07 0.00E+00


10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 5.80E-05 9.27E-03---------- ---------- ----------2400.00 0.0021 2.5506

Teta AB = 0.0011


1 0.0011 0.00

2 0.0010 0.25

3 0.0008 0.47

4 0.0006 0.64

5 0.0003 0.75

6 0.0000 0.79

7 -0.0003 0.75

8 -0.0006 0.64

9 -0.0008 0.47

10 -0.0010 0.25

11 -0.0011 0.00

4.8).- Debido a la carga muerta en 2a. Etapa.

E = 261916.02 kg/cm2 E = EcI = 22061301.67 cm4 Sección compuesta

Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI

1-2 0.00 13.17 57782 0.00E+00 2.28E-072-3 13.17 23.41 57782 2.28E-07 4.05E-073-4 23.41 30.72 57782 4.05E-07 5.32E-074-5 30.72 35.11 57782 5.32E-07 6.08E-075-6 35.11 36.58 57782 6.08E-07 6.33E-076-7 36.58 35.11 57782 6.33E-07 6.08E-077-8 35.11 30.72 57782 6.08E-07 5.32E-078-9 30.72 23.41 57782 5.32E-07 4.05E-079-10 23.41 13.17 57782 4.05E-07 2.28E-07

10-11 13.17 0.00 57782 2.28E-07 2.77E-22


10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 2.73E-05 4.38E-03---------- ---------- ----------2400.00 0.0010 1.2032

Teta AB = 0.0005


1 0.0005 0.00

2 0.0005 0.12

3 0.0004 0.22

4 0.0003 0.30

5 0.0001 0.36

6 0.0000 0.37

7 -0.0001 0.36

8 -0.0003 0.30

9 -0.0004 0.22

10 -0.0005 0.12

11 -0.0005 0.00

4.9).- Debido a la carga viva.

E = 261916.02 kg/cm2 E = EcI = 22061301.67 cm4 Sección compuesta


10-11 63.61 0.00 57782 1.10E-06 0.00E+00

Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 80.00 2240.00 1.32E-04 2.96E-012-3 240.00 1920.00 108.80 2028.80 3.67E-04 7.44E-013-4 240.00 1680.00 114.59 1794.59 5.43E-04 9.75E-014-5 240.00 1440.00 117.33 1557.33 6.60E-04 1.03E+005-6 240.00 1200.00 119.18 1319.18 7.19E-04 9.49E-016-7 240.00 960.00 120.82 1080.82 7.19E-04 7.77E-017-8 240.00 720.00 122.67 842.67 6.60E-04 5.57E-018-9 240.00 480.00 125.41 605.41 5.43E-04 3.29E-019-10 240.00 240.00 131.20 371.20 3.67E-04 1.36E-01

10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 1.32E-04 2.11E-02---------- ---------- ----------2400.00 0.0048 5.81

Teta AB = 0.0024


1 0.0024 0.00

2 0.0023 0.57

3 0.0019 1.07

4 0.0014 1.47

5 0.0007 1.72

6 0.0000 1.81

7 -0.0007 1.72

8 -0.0014 1.47

9 -0.0019 1.07

10 -0.0023 0.57

11 -0.0024 0.00

4.10).- Resumen de deflexiones (cm).

Sección Presf+PP.Inicial

Presf+PP.(1)Largo plazo

CM (2)Inicial

CM (2)Largo plazo Cvi Total

1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.002 -1.33 -1.15 0.37 0.73 0.57 -0.823 -2.34 -2.01 0.69 1.38 1.07 -1.214 -3.06 -2.60 0.95 1.90 1.47 -1.355 -3.47 -2.95 1.11 2.22 1.72 -1.376 -3.61 -3.06 1.17 2.33 1.81 -1.367 -3.47 -2.95 1.11 2.22 1.72 -1.378 -3.06 -2.60 0.95 1.90 1.47 -1.359 -2.34 -2.01 0.69 1.38 1.07 -1.2110 -1.33 -1.15 0.37 0.73 0.57 -0.8211 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(ΔPresf+ΔPP) Largo plazo = ((Δpresf inicial x 0.8) + Δ pp.)(Ec/Eci)(Iss/Isc))x2(ΔCM) Largo plazo = ((Δ CM)(Iss/Isc)+ ΔSCM)x2Deflexión permisible= 2400 / 1000 = 2.40

Deflexión máxima cv = 1.81 cm < 2.40 cm

REVISIÓN A LA RUPTURA

Momento último actuante (para puentes según el código AASHTO 93).

Φ = 1 para elementos de concreto presforzado, precolado yproducido en planta.

Nota: Los factores de carga varían según el Reglamento en Función del destinoDel elemento prefabricado en cuestión al tipo de Estructura y a su importancia.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= )(

353.1 ICCM VMu φ

( )

mkgM

M

u

u

⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++=

2.563,623

688,17635)36576840,51768,96(3.1

C = T

C

d-a/2

7.3

a/2

150d

7.3Tsp

a

000981.07.142200

128

5.01 ''

''

''

=⋅

⋅=

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅−=

⋅⋅

=

⋅=⋅⋅

dbAsp

f

fsrfsrfsp

fbfspAspa

fspAspfba

p

C

p

C

C

ρ

ρ

)(158.14170200

4.958,1728

/4.958,17

17019000000981.05.01000,19

2

delfirmecmcma

cmkgfsp

fsp

<=⋅

⋅=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

⋅−=( )

uNR

N

N

N

N

MMM

mkgMmkgM

M

adfspAspM

<==

⋅=⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

302,6129.0

336,6806.602,033,68

28.147.1424.1795828

2)(

NO PASA-REQUIERE ACERO DE REFUERZO

a = profundidad del bloque de compresión

fsp = esfuerzo en el refuerzo presforzado a la resistencia nominal

ρp = porcentaje de acero

dp=142.7

7.3

dr=145

5

C

Tsp

a

TR

cmcmfbTa

kgT

kgcmT

kgcmfAsrTcmcmAsr

cmkgrefuerzof

c

presfuerzo

yrefuerzo

y

151.15170200503,513

503,513

835,5024.958,1728

668,10420054.254.227.12

/4200

''

2

2

22

2

≈=⋅

=⋅

=

=

=⋅=

=⋅=⋅=

=⋅=

=

uTOTAL MmkgMR

refuerzomkgMR

MR

presfuerzomkgMR

MR

>⋅=

⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

2.820,624

)(85.196,13

1002

1.15145668,109.0

)(35.623,611

1002

1.157.142835,5029.0

2

2

1

1

PASA POR FLEXIÓN

Se proponen 2Vs #4c

( )MagrIpMR 3.05.1 −>MAGR = Momento de Agrietamiento

(fr =Módulo de ruptura = 2√f’c)

cmkgXM

XM

yIMcf

APy

IPe

yIM

cmkgXM

XcmkgXMMM

MMM

iiisc

SC

FPP

AGR

⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−++⋅=

⋅=

+⋅=+=

+=

52

5

2

12

51

551

21

1014.297

93.77243,770,141060.1483502

8.601,5600,313

243,770,1493.77*63.70*600,313

05.98032,095,22

'2

10601.148

1084.5110768.96

REVISIÓN POR ACERO MÍNIMOPara Secciones Compuestas

Índice de Presfuerzo

( )

cmkgXMcmkgXM

cmkgXXXM

Factor

fyAsfspAspfspAspI

RAGR

AGR

P

⋅=<⋅=

⋅=+=

=−=

=+

=⋅+⋅

⋅=

55

555

10820.6241035.53921.1

1074.4451014.29710601.148

21.197.0*3.05.1

97.0200,4*54.24.958,17*18

4.958,17*18

REVISIÓN POR CORTANTE

R1

Wx

x

x/2

2

2

1wxxRM X −=

( )

( )

kgV

V

kgV

V

CCV

L

L

PERALTE

PERALTE

u

u

u

u

VMu

272,40

411,1135960,113.1

235,92

135,2635392,273.1

353.1

4/

4/

1

1

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

1

'3.15.0

5.2

**

*

<

≤≤

⋅=

MVdp

fbdFVfbdF

fbdFV

NESRESTRICCIO

cRCRcR

cRuMAXIMOL=24 mtsR1cm=30,864kgR1cv=29,448kg

wm=wo+wf+wmad=2,572 kg/mwv=2454 kg/m

R1 R1

1.35m

6.00m

1 Peralte

L/4

POSICION

UNPERALTE

L/4

X(m) CM

1.35

6.0

27,391.8

11,959.8

26,135

11,411

39,322

138,888

37,518

132,516

CV CM CV

CORTANTE (kg) MOMENTO (kg?m)

Vx=R1-Wi(x) Mx=R1x-Wi x²/2

REVISION A UN PERALTE (COMO REFORZADA)

Notas: Se revisa como reforzada ya que el presfuerzono se encuentra totalmente adherido por los enductadosó bien por la longitud de adherencia

dp=142.7

7.3

dr=145

5

u

u

ypp

syppp

cR

VkgV

paredcmbproponeseVVkgV

cmd

d

fAsfsAsdfAsdfsAs

d

fbdFV

NESRESTRICCIO

>=⋅⋅⋅=

=→→∴>=⋅⋅⋅=

=⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

=

⋅=

714,95280143208.05.2

/10142,86280143188.05.2

143200,454.24.958,1728

145200,454.27.1424.958,1728

5.2

max

max

max

*max

( )( )( )

( )( )

cmcEstpropongo

cmS

cmS

bfAF

VVdfAF

S

estribosrequiereVkgV

V

fdbFV

yVR

CRu

yVR

uCR

CR

cRCR

15@4#:

92.121205.3

200,427.128.0

7.16235,19235,92

143200,427.128.05.3

142,19280143208.05.0

5.0

2

1

*

=⋅

⋅=

=−

⋅=

≤−

=

→∴<=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

REVISION EN L/4 COMO PRESFORZADARestricciones

** 3.15.0 cRCRcR fdbFVfdbF ⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅

( )( )( ) cmS

VestribosrequierekgVkgV

kgX

V

MdpVfdbFV

kgfdbF

kgfdbF

LCR

uLCR

LCR

cRLCR

cR

cR

33.33800,19272,40

143200,471.028.0

771,49800,19143,19)(272,40800,19

1980010404.271

7.142371,235028015.0143208.0

5015.0

771,49280143208.03.13.1

143,19280143208.05.05.0

4/

4/

54/

*4/

*

*

=−

⋅=

≤≤=→=<=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅

+⋅⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

+⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

Revisaremos con estribos #3c Av=0.71cm²

Proponemos Est. #3c @30cm

Restricción a la separación de Estribos

kg

REVISANDO

hSfbdFsiV

hSfbdFperoVVsiV

cmS

cRu

cRuCRu

428,54280143*20*8.0*5.1

:

37.05.1.3

75.05.1.2

5.1

max*

max*

=

=⇒>−

=⇒<>−

>−

<Vu1peralte = 92,235kg

>Vu L/4 = 40,272kg

en L1peralte Smax = 0.37x143 = 53 > Steórica = 15cm (rige)

en L/4 Smax = 0.75h = 107 > Steórica = 33cm (rige)

REVISION DE DEFLEXIONES

1)Etapa de Transferencia (Contra Flecha)

pppresfC Δ+Δ−=Δ

( )( )( )

( )( )

cm

haContraflec

cmmkgIELw

cmkgE

cmIELeP

c

ss

pppp

ci

ssimpleci

ipresf

65.35.115.5

5.13.243,770,14916,261

2400100//1344384

5384

5

/916,261350000,14

15.53.243,770,14*916,261

240063.70000,14*2881

81

44

2

22

−=+−=Δ

∴

+=⋅

⋅=⋅⋅

⋅=Δ

==

−=⋅−=⋅

⋅⋅⋅−=Δ

Contra Flecha debido al presfuerzo

Contra Flecha debido al peso propio

2)Deflexiones Finales

Cf = Coeficiente de Flujo Plástico= (Valor recomendado en normas)

( )( ) CVfppCMfcontrafpresf

contraff CCT

Δ++Δ+Δ+Δ+Δ

−Δ−=Δ 12

4.2=−

i

if

δδδ

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

finalperm

f

s

vCv

CM

s

mCmuerta

ss

ffirme

CmuertafirmeCM

cmcmL

haContrafleccm

cmIELw

cm

cmmkgIELw

cmmkgIELw

C

T

C

T

Δ>=+=+=Δ

→−=++++⋅+

−−=Δ

=⋅=⋅⋅

⋅=Δ

=Δ

=⋅=⋅⋅

⋅=Δ

=⋅=⋅⋅

⋅=Δ

Δ+Δ=Δ

5.105.0240

24005.0240

37.383.14.215.118.14.22

65.315.565.3

83.1032,095,22*916,261

2400100/454,2384

5384

5

18.1

38.0032,095,22*916,261

2400100//508384

5384

5

8.03.243,770,14*916,261

2400100//720384

5384

5

44

44

44

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

• NTC, Diseño de Estructuras de Concreto Reforzado.

• Manual de Diseño de Estructuras Prefabricadas y Presforzadas.Anippac, Instituto de Ingeniería de la UNAM.

• Mecánica de Materiales.Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr.

• PCI Hand Book• Código Aashto

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