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MAIdER GOñI URRETA

XXVI�olimpiada

matemática�nacional:

unas�mentes�maravillosas

or primera vez en la historia la Sociedad Aragonesa«Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Mate-

máticas (SAPM) asumía el reto de organizar la Olim-piada Matemática Nacional de 2.º de la ESO en Ara-gón. Gracias al apoyo y colaboración de un grannúmero de personas, organismos y empresas pode-mos decir que Huesca 2015 ha sido todo un éxito.

Un total de 61 alumnos y alumnas, acompañadospor 20 profesores y profesoras habitaron el IES Pi-rámide de Huesca del 24 al 28 de junio de 2015.Hubo momentos de nervios, concentración, diver-sión, relajación y, sobre todo, convivencia.

También tuvimos oportunidad de conocer algo delterritorio aragonés. La Plaza del Pilar, en Zaragoza,fue el escenario de la prueba por equipos, unagymkana matemática del más alto nivel. ConocimosHuesca a través de su arte y arquitectura. Vivimosen primera persona la historia del Castillo de Loarrey descubrimos los trucos matemáticos que utilizabansus habitantes para defenderlo. En Riglos, bajo laatenta mirada de los mallos, desciframos el nombrede uno de ellos utilizando el cifrado de Vigenère.

El miércoles, 24 de junio, el enorme hall del IES Pi-rámide esperaba impaciente a los participantes quecon su esfuerzo habían conseguido clasificarse para

FESPM:

actividades

con�alumnos

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nes del reto ya que sus compañeros co-rrían hacia ellos en busca de la pieza quecompletase su mosaico y, por lo tanto, suequipo de trabajo.

La gran mayoría terminó el reto relativa-mente pronto y la actividad consiguió loque pretendía, mirándoles de reojo dabala sensación de que se conocían de todala vida. Unos pocos equipos tuvieron queesperar hasta la hora de la cena para vercompletado su puzzle, ya que fue en esemomento cuando llegó la última comuni-dad, Galicia.

Ahí quedaron, sobre una de las mesas delhall, los diez mosaicos elaborados poralumnos de Primaria del CPEIP JosefaAmar y Borbón de Zaragoza, reflejo dela unión de personas muy diferentes perocon una pasión común: las matemáticas.

la fase nacional. Sobre las cuatro de la tarde llegaronlos primeros, del Principado de Andorra, que tími-damente esperaron a que terminásemos de organizarlas acreditaciones, llaves y demás enseres que debía-mos entregarles. Les siguieron al poco tiempo An-dalucía y Canarias, más numerosos y con su naturaldesparpajo, lo que permitió romper el hielo.

La tarde prosiguió con un goteo constante de par-ticipantes que no dejó ni un minuto para el aburri-miento o el descanso, según se mire. A la llegada seles dio la bienvenida y se les entregó la llave de lahabitación. Una vez liberados de todo equipaje re-gresaron al hall para recoger su acreditación. Juntocon ésta, cada alumno recibió el programa de laolimpiada y la pieza de un puzzle-mosaico. Congran expectación miraban y remiraban la pieza sinsaber muy bien su utilidad. Esto, los primeros enrecibirla, claro, porque aquéllos que llegaron mástarde no tuvieron tiempo de asimilar las instruccio-

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2015viaje pudieron, por fin, ir a descansar a las habita-ciones.

El nuevo día, jueves 25 de junio, comenzó con in-quietud y nerviosismo. A las nueve y cuarto, conpuntualidad británica, dio comienzo la primera partede la prueba individual. Los olímpicos y olímpicasdedicaron una hora y media a la resolución de losdos primeros problemas. Concentración, estrategia,razonamiento y originalidad sirvieron para que hu-biera buenas sensaciones a la salida. durante el des-canso compartieron impresiones, debatieron posi-bles respuestas correctas y todo bajo la atenta miradade los profesores y profesoras que quedamos im-presionados con el ambiente que se había creado.Parecían auténticos expertos en la materia, pequeñoscatedráticos que pasean por el campus debatiendolos últimos hallazgos de sus investigaciones.

de vuelta al aula de problemas, les esperaba otrahora y media para los dos últimos retos del día. Éstosdebieron ser más difíciles pues las sonrisas de algunosy algunas tornaron en resignación. Sin embargo, pa-recían contentos, satisfechos con el trabajo realizado,sabiendo que habían dado el máximo y, claro, conuna nueva calculadora gráfica, cortesía de CASIO, acualquiera se le dibuja una sonrisa en la cara.

Antes de la hora de comer tuvo lugar la inauguraciónoficial de la XXVI Olimpiada Matemática NacionalHuesca 2015. Contamos con la presencia de un re-presentante de la Consejería de Educación enHuesca, que aplaudió que este tipo de actividades

después de la cena nos reunimos todosen la Pirámide, el increíble y matemáticosalón de actos del instituto. Allí tuvo lugarla presentación oficial de la olimpiadadonde se adjudicó un nombre a cada unode los equipos: Ajedrezado de la Seo, Ye-serías San Miguel, San Miguel de los Na-varros, La Almunia, San Pablo, Torre deVillamayor, La Magdalena, La Seo, Murode La Seo y Las Fecetas. Además, se ex-plicaron las normas del concurso de fo-tografía matemática, que causó gran ex-pectación entre los participantes, y se lesentregó dos mochilas: una de la Hoya deHuesca con regalos de la comarca y otrade la olimpiada con la gorra oficial quetan necesaria se haría los siguientes días.

La reunión acabó antes de lo esperado ylos cuerpos cansados de tantas horas de

XXVi�oliMPiada MateMática NacioNal: UNas MeNtes MaraVillosas


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La solución al primer problema fue des-arrollada por Juan Ramírez (Castilla-LaMancha) y Hug Camps (Cataluña) que nodieron posibilidad de réplica por lo bienque lo habían explicado.

Les siguieron Carmen Zalba (ComunidadForal de Navarra), Clara Rivadulla (Cata-luña) y Pedro Saavedra (Andalucía) con laresolución del segundo de los problemas.En este caso, hubo pregunta por parte deAlberto Elduque y hay que decir que loprobaron todo para intentar convencerle.

El tercer problema se repartió entre Chris-tian Cabrera (Canarias) y Roberto Vergara(Comunidad Valenciana) quien aplicó cri-terios de divisibilidad para resolver la se-gunda parte de manera inmediata. Ade-más, contaron con aportaciones puntualesde Carlos Carrizo (Castilla y León) y Hug

se llevaran a cabo, y de Fernando Mur, director delIES Pirámide, que mostró su entusiasmo porque seestuviera celebrando allí. Es de agradecer que todoel personal del instituto se volcara en ayudarnos encualquier momento, haciendo que todo resultaramás fácil de organizar.

después de comer llegó uno de los momentos másesperados para los alumnos y alumnas: el baño enla piscina. Nadaron, jugaron, rieron y recuperaronenergías tras la dura mañana.

Lo que vino a continuación es, sin duda, la parte dela olimpiada preferida por los profesores. El momentoen el que deben debatir por grupos la resolución delos problemas de la prueba individual, decidiendocuál es la respuesta más elegante y qué razonamientoshay que seguir para demostrar que es matemática-mente correcta. Además, deben vencer sus miedos yexplicar el proceso al resto del público que no dudaráen preguntar si no entiende algún paso.

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2015estrellas del firmamento. A la vuelta, entrega de cami-setas de la olimpiada y a descansar.

El viernes 26 de junio comenzó en el autobús condestino Zaragoza. Allí nos esperaban los dieciséisprofesores y profesoras encargados de acompañara los equipos en la gymkana por el centro históricoy monumental de Zaragoza. Bajo un sol de justiciacada grupo fue resolviendo los diferentes retos ma-temáticos que encontraban en cada uno de los pun-tos base. Hay que agradecer a estos profesores yprofesoras su alta implicación en la preparación ydesarrollo de la actividad ya que proporcionaron alos alumnos anécdotas, curiosidades y comentariosde tipo histórico, artístico y científico de los lugaresen los que paraban.

Al finalizar la prueba por equipos hubo tiempo pararelajarse en la Plaza del Pilar, no mucho, pero el su-ficiente para comprar algún «regalico» o simple-mente buscar la mejor sombra disponible.

Camps (Cataluña). Finalmente, CarlosGarcía (Extremadura), Sergio Sanjurjo(Principado de Asturias) y José Pazos (Ga-licia) nos dejaron impresionados con sualta visión espacial al resolver el cuartode los problemas utilizando, además, cri-terios de paridad en su demostración.

Finalizamos el día en el planetario deHuesca: el Espacio 0.42. Hubo que impreg-narse de repelente antimosquitos para ir pa-seando hasta allí. debo decir que fue nece-sario, pero no suficiente. Al llegar vimos ladiferencia que hay entre lanzar un cohetesólo con aire o añadiendo agua, disfrutamoscon una animación 4d, nos quedamosasombrados con la cantidad de noticias yavances en astronomía y contemplamos, endirecto, la Luna a través del preciso teles-copio y bajo la atenta mirada del resto de



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ciona las matemáticas y el arte. Los alum-nos y alumnas disfrutaron tanto con losmonólogos que al finalizar quisieron re-solver pequeñas dudas que les habían sur-gido y no dudaron en preguntar a los mo-nologuistas a través de Twitter o endirecto. Además, a la salida intercambiaronchistes con ellos, se sacaron fotos para elrecuerdo e incluso les pidieron autógrafos.

Recuerdo la mañana del sábado 27 de ju-nio. Se me acercó Luis Balbuena y muydiscretamente me dijo que había escu-chado en la radio una frase impactante:«Hoy va a hacer tanto calor que nos va aparecer que ayer hizo frío». Me quedé depiedra, no sabía si reír o llorar. Respiréhondo y subí al autobús que nos llevaríadirectos a Huesca.

En Huesca tuvimos la suerte de realizaruna visita guiada con dos guías excepcio-nales. Cuando alguien siente pasión porlo que hace el que lo recibe aprende mu-

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desde la pajarita situada al lado de la Oficina deTurismo nos dirigimos al Centro de Historias dondeencontramos su pajarita gemela en el EMOZ (Es-cuela Museo Origami Zaragoza), primer centro delmundo dedicado al origami de alto nivel. Allí nosdividimos en tres grupos y tras realizar una visita ala exposición permanente que nos dejó con la bocaabierta, participamos en un taller de plegado en elcual, partiendo de un cuadrado de papel, obtuvimosunos labios muy besucones.

Tocaba comer y reponer fuerzas, así que nos fuimosal Parque de Atracciones de Zaragoza, donde pro-fesores y alumnos disfrutaron al máximo.

de vuelta en Huesca nos esperaba un acto prepa-rado por el Instituto Universitario de Matemáticasy Aplicaciones de la Universidad de Zaragoza(IUMA) que mezclaba ciencia y humor: los monó-logos científicos del grupo The Big Van Theory.Pudimos reír a carcajadas con temas como la bio-tecnología o la paleontología no sin antes quedarnosasombrados con la belleza de Ars Qubica, un vídeode divulgación, producido por el IUMA, que rela-



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cho más. Visitamos el ayuntamientodonde pudimos admirar el enorme cuadrode la Campana de Huesca. Allí mismo noscontaron su historia y alguna curiosidadque hizo que el cuadro fuera aún más in-teresante. Continuamos la visita entrandoen la catedral, de estilo gótico, pasando através de su portada principal, de 1539.En el Museo Provincial nos detuvimospoco tiempo, lo justo para fijar nuestraatención en un misterioso cuadro cuyaimagen cambiaba según la distancia a laque lo observases. La visita terminó en laIglesia de San Pedro El Viejo, en el cascoantiguo de la ciudad, que fue templo ro-mano, posteriormente visigodo, luego mo-zárabe y, finalmente, románico.

Para seguir inmersos en la historia de Ara-gón fuimos directos al Castillo de Loarredonde, a pleno sol, nos hicimos las foto-grafías por comunidades y de grupo. Todoun espectáculo para los turistas que allí se

encontraban. Visitamos el castillo como si hubiésemosvivido en la época en la que estaba habitado, invasiónincluida, y gracias a las explicaciones de los guíasaprendimos mucho de su historia. Nada estaba porcasualidad: que las escaleras fueran desiguales obligabaa los que invadían el castillo a ir despacio, que laspuertas no fueran perpendiculares al camino impedíaderribarlas con un ariete o que las torres fueran circu-lares las hacía más resistentes a los impactos.

Con una hora de retraso llegamos al centro de in-terpretación de aves ARCAZ, en Riglos, donde losimponentes mallos vigilaban todos nuestros movi-mientos. Separados en tres grupos realizamos lasactividades previstas: conocimiento de las caracte-rísticas principales de las aves que sobrevuelan Ri-glos, conferencia-debate sobre la formación de lasdiferentes cenefas que podemos encontrar en lasconstrucciones aragonesas y resolución de proble-mas matemáticos relacionados con la orografía dela zona y la historia de la Tierra. Las dos últimas ac-tividades fueron preparadas por un grupo de mate-máticos de Huesca coordinados por Mario Escario.


que hacer en el auditorio. El regalo másespecial fue, sin duda, el portalápices decerámica de Muel, recuerdo de la XXVIOlimpiada Matemática Nacional Huesca2015, elaborado de manera artesanal ypintado a mano, no habiendo dos iguales.

Y llegó el último día de la olimpiada, do-mingo 28 de junio. Los autobuses pusie-ron rumbo a Zaragoza nada más terminarde desayunar. Una vez allí visita obligadaal Palacio de la Aljafería, único testimonioconservado de un gran edificio de la ar-quitectura islámica hispana de la época delas Taifas que, actualmente, es la sede delas Cortes de Aragón. No dejó indiferentea nadie con sus arcos mixtilíneos y susventanas de estilo Reyes Católicos mezclade las dos épocas que vivió, la musulmanay la cristiana.

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de regreso al IES Pirámide aún quedo tiempo parael programado baño en la piscina antes de cenar.Fue breve pero intenso.

Tras la cena de despedida, los alumnos y alumnasse apresuraron para entregar a tiempo las instantá-neas con las que iban a participar en el concurso defotografía matemática.

Finalmente, en la Pirámide, tuvo lugar la despedidaoficial en la que agradecimos a los alumnos y alum-nas su excelente comportamiento y su alto nivel deimplicación en cada una de las actividades realizadasy a los profesores y profesoras su disposición a ayu-dar para que todo saliera lo mejor posible. de nuevo,gracias.

Como en todos los actos oficiales de esta olimpiadano podían faltar los regalos. Los entregamos a modode ensayo para el día siguiente, llamándolos por co-munidades y practicando el recorrido que habría

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Una vez terminada la lección de historianos dirigimos al Conservatorio Profesio-nal de Música de Zaragoza, donde tuvolugar el acto de clausura.

Comenzamos con la conferencia «Mate-máticas en tu mundo» de la mano de JoséMaría Sorando, quien nos dio más razonespara seguir pensando que las matemáticasestán por todas partes.

A continuación, siguiendo el protocolo,tomó la palabra Onofre Monzó, presi-dente de la FESPM. Le siguió daniel Sie-rra, presidente de la SAPM, quien dedicóunas especiales y emotivas palabras a Sal-vador Renieblas en su «despedida» de lasolimpiadas. Finalmente, dolores Serrat,consejera de Educación del Gobierno deAragón.

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Sin duda, el momento que recordaremos siemprefue la intervención de los olímpicos Clara Riva-dulla y Pedro Saavedra, que hablaron en repre-sentación de todos sus compañeros y compañeras.La naturalidad con la que se iban sucediendo laspalabras, el contenido bien estructurado y la ori-ginalidad de terminar con un poema hicieron queun auditorio repleto de familiares llegados de todaspartes de España aplaudiera sin parar cuando ter-minaron.

También los profesores tuvieron su turno de pala-bra. Eva Herranz y Jesús diego Rodríguez trasmi-tieron las impresiones de todos los profesores yprofesoras acompañantes y valoraron las experien-cias vividas estos días. Aprovecharon, también, parahomenajear a Salvador Renieblas, el profesor másveterano en lo que a olimpiadas se refiere.

A continuación, se procedió a la entrega de diplomasa todos los participantes. Era la hora de poner en


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práctica lo ensayado la noche anterior. Fueron lla-mados por comunidades y, de manera ordenada, re-cogieron su diploma y posaron para la foto.

Por último, llegó el momento más esperado por to-dos y todas, la entrega de las menciones de honorde las distintas pruebas realizadas: individual, porequipos y concurso de fotografía matemática.

Menciones de honorde la XXVI Olimpiada Matemática Nacional

Prueba individual (por orden alfabético):

Hug Camps Regás (Cataluña)

Carlos Carrizo Vaqué (Castilla y León)

Alejandro Moreno díaz (Andalucía)

Juan Prado Ardanuy (Aragón)

Pedro Saavedra Ortiz (Andalucía)

Sara Vicente Arroyo (Extremadura)

Prueba por equipos

Equipo «Torre de Villamayor» formado por:

Pablo Alonso Campos (Aragón)

Jonathan Calvo Gallego (Principado de Andorra)

Alberto Martín Heras (Castilla y León)

José Miguel Reinaldos Miñarro (Región de Murcia)

Miguel Ribas Moyá (Islas Baleares)

Roberto Vergara Sanchís (Comunidad Valenciana)

Concurso de fotografía matemáticapor equipos

Equipo «San Miguel de los Navarros», formado por:

Aurelio Bassets Marti (Ciudad Autónoma de Melilla)

Bernardo Pereira Simoes Gomes Cardoso (Canarias)

Mirela Langa (Cantabria)

Silvia Martínez Sabio (Principado de Andorra)

Alejandro Moreno díaz (Andalucía)

José Pazos Pérez (Galicia)

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Menciones�de�la�prueba�por�equipos

Menciones�de�la�prueba�individual

Menciones�del�concurso�de�fotografía�matemática



Como colofón al acto, una foto grupalsobre el escenario del auditorio y un ágapedonde conocer a las familias, compartirexperiencias y anécdotas vividas en laolimpiada y comenzar a despedirse deaquéllos a los que hace cinco días no co-nocían y que ahora consideran amigos.

Año tras año el número de inscritos enlas olimpiadas autonómicas aumenta no-tablemente. Esto demuestra un interéscreciente por las matemáticas y exige unamejor preparación en la resolución de pro-blemas. No se trata tanto de que aprendan

nuevos conceptos sino de que desarrollen la capa-cidad de decidir qué estrategia utilizar a la hora deabordar un problema.

durante estos cinco días hemos podido comprobarque todos los alumnos y alumnas finalistas son dig-nos merecedores de haber llegado hasta la fase na-cional. Sus originales ideas, su capacidad de razonary la elegancia y belleza de sus demostraciones nosha sorprendido y emocionado. Esperamos que con-tinúen por este camino y lleguen a ser brillantesmatemáticos.

Nos quedamos con ganas de más. ¡Ya falta menos,XXVII OMN!

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IES Río Gállego, Zaragoza

<[email protected]>

organizadores�y�participantes�en�el�acto�de�clausura�de�la�XXVi�olimpiada�Matemática�Nacional

(todas�las�fotos�del�artículo,�excepto�las�de�la�página�119,�son�de�ana�Pola�Gracia)


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Se cortan las esquinas de un cubo de 10 cm de aristapor los puntos medios de éstas, obteniéndose un cu-

boctaedro formado por 6 caras cuadradas y 8 trián-gulos equiláteros (ver figura 1).

1. Calcula el volumen de este cuboctaedro.

En otro cubo del mismo tamaño se marcan los pun-tos de las aristas que distan 2 cm del vértice máscercano y, después, se cortan las esquinas por esospuntos, obteniéndose en este caso un cubo truncado

formado por 6 caras octogonales (irregulares) y 8triángulos equiláteros (ver figura 2).

2. Calcula el área total de este cubo truncado.3. ¿A qué distancia de los vértices se tendría que

haber cortado las esquinas para que los octó-gonos del cubo truncado fuesen regulares(iguales todas sus aristas)?

Figura�1

Figura�2

Considera un cuadrado (como en el ejemplo deabajo) partido en nueve subcuadrados. Cada unode estos subcuadrados está pintado de rojo, verde

o negro. Una repintada de este cuadrado consiste encoger una fila, columna, o diagonal, y en alterar loscolores allí de modo que cambiamos rojo porverde, verde por negro y negro por rojo.

Ejemplo:

Problema�1

Problema�2

1. Transforma, medianteuna sucesión de repinta-das, el cuadrado:

en el cuadrado con todos sus sub-cuadrados pintados de rojo.

2. ¿Se puede transformar, medianteuna sucesión de repintadas, el cua-drado

en el cuadrado con todos sus sub-cuadrados pintados de rojo?[Ayuda: considera el número de subcuadrados verdes

menos el número de subcuadrados rojos.]



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El castillo de Loarre, cuyaimagen puedes ver en la foto,fue construido para organi-zar ataques contra las locali-dades situadas a sus pies. Esdel siglo XI y por su buenaconservación es uno de losmejores ejemplos de arqui-tectura militar y civil del ro-mánico en España.

Este sábado lo visitaremos ylo haremos vestidos de gue-rreros medievales. Necesitaremos de un rey o una reina que nos dirijan pues es muy posible que mien-tras estemos en él se pueda producir un combate medieval. ¿Serías un buen rey o reina organizando a tusguerreros?

Supón que puedes disponer a todos tus arqueros en forma de cuadrado, con todos ellos uniformementedistribuidos en filas y columnas. El número de arqueros es tal que el cuadrado se puede dividir en dosrectángulos de manera que uno de los rectángulos tiene 36 arqueros más que el otro (ver figura 3).

1. ¿de cuántos arqueros dispones en total?

Supón ahora que organizas a todos tus caballeros en una fila.

2. Si dispones de 25 caballeros entonces25! = 1551121004333098o984000000

son todas las formas de disponer a todos tus caballeros en fila1.¡Vaya! Se ha borrado una de las cifras. ¿Sabrías calcular el número que faltaen el cuadrado?

3. Por cierto, si dos de tus 25 caballeros quisieran ir juntos en la fila, ¿de cuántas formas podría or-denarse la fila?2

4. Si observas las formas de ordenar los caballeros se tiene que 4!= 24 no acaba en cero pero 5!== 120 tiene un cero al final y 25! tiene 6 ceros al final.

¿Cuántos ceros finales tendrá el número de formas de ordenar en fila a 100 caballeros?

Figura�3

Problema�3


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En el lejano planeta Z2 existe una raza inteligenteque se caracteriza por construir sus ciudades de unamanera especial. Comienzan levantando un edificiocentral, y el resto los añaden por etapas. En la pri-mera etapa construyen un edificio al norte del ini-cial, otro al sur, otro al este y otro al oeste, todosellos a distancia 1 (ver figura 4). En cada etapa seprocede de la misma manera con todos los edificiosexistentes: se construyen a su alrededor los cuatroedificios correspondientes, salvo aquellos que yaestén construidos de alguna etapa anterior.

1. ¿Cuántos edificios se construyen en la ciudaden la quinta etapa? ¿Y en la n-ésima?

2. ¿Cuál es la distancia mínima al edificio centralde los edificios que se construyen en la quintaetapa? ¿Y en la n-ésima?

Unos pocos siglos más tarde, volvemos para ver quéfue de estos simpáticos alienígenas. Su desarrollocientífico y tecnológico ha sido considerable en estetiempo, ya que nos los encontramos afanados en laconstrucción de una compleja estación espacial enórbita alrededor de su planeta. Sin embargo, algunascostumbres nunca se pierden: el método de cons-trucción de la estación es prácticamente el mismoque seguían para sus ciudades. Parten de un mó-dulo central, donde se ubicará la sala de mando, yen sucesivas etapas acoplan a cada módulo existentehasta seis módulos más: encima, debajo, a la iz-quierda, a la derecha, delante y detrás, formando án-gulos rectos y todos a la misma distancia, quevolvemos a tomar igual a la unidad (ver figura 5).Por supuesto, si alguno de estos módulos ya ha sidoañadido en una etapa anterior no lo vuelven a poner.

Así pues, nos toca resolver otra vez elproblema anterior, pero en esta ocasiónen tres dimensiones:

1. ¿Cuántos módulos se añaden a la es-tación en la quinta etapa? ¿Y en lan-ésima?

2. ¿Cuál es la distancia mínima al mó-dulo central de los módulos que seañaden en la quinta etapa? ¿Y en lan-ésima?

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Figura�4

Figura�5


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