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Relacion del algortimo de Euclides con las
fracciones continuas, como un metodo pararesolver ecuaciones Diofanticas
Aplicacion a los engranajes cilndricos
Eiver Rodguez Perez
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Programa de Matematicas
Abril-2015
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1/[email protected]7/26/2019 Algoritmo de euclides,funciones continuas
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A manera de informacion Fraccion Continua Algoritmo de Euclides Aplicacion a los engranajes cilndricos Referencias
Contenido
A manera de informacion
Fraccion Continua
Algoritmo de Euclides
Aplicacion a los engranajes cilndricos
Referencias
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A manera de informacion Fraccion Continua Algoritmo de Euclides Aplicacion a los engranajes cilndricos Referencias
A manera de informacion
Un engranaje sirve para transmitir movimiento circularmediante el contacto de ruedas dentadas,la absorcion de los choques en un engranaje cilndrico es igual en cada
uno de los dientes, si la relacion de transformacion es de laforma a
bdonde a y b son numeros primos relativos entre s.
Reciben el nombre de ecuaciones diofanticas de primer gradocon dos incognitas, las ecuaciones de la forma ax+by=cdonde las incognitas x, y son numeros enteros.Teniendopresenta que dichas ecuaciones tienen solucion si loscoeficientes de las incognitas son numeros primos relativos(a, b) = 1.
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A manera de informacion
Un engranaje sirve para transmitir movimiento circularmediante el contacto de ruedas dentadas,la absorcion de los choques en un engranaje cilndrico es igual en cada
uno de los dientes, si la relacion de transformacion es de laforma a
bdonde a y b son numeros primos relativos entre s.
Reciben el nombre de ecuaciones diofanticas de primer gradocon dos incognitas, las ecuaciones de la forma ax+by=cdonde las incognitas x, y son numeros enteros.Teniendopresenta que dichas ecuaciones tienen solucion si loscoeficientes de las incognitas son numeros primos relativos(a, b) = 1.
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A manera de informacion
Un engranaje sirve para transmitir movimiento circularmediante el contacto de ruedas dentadas,la absorcion de los choques en un engranaje cilndrico es igual en cada
uno de los dientes, si la relacion de transformacion es de laforma a
bdonde a y b son numeros primos relativos entre s.
Reciben el nombre de ecuaciones diofanticas de primer gradocon dos incognitas, las ecuaciones de la forma ax+by=cdonde las incognitas x, y son numeros enteros.Teniendopresenta que dichas ecuaciones tienen solucion si loscoeficientes de las incognitas son numeros primos relativos(a, b) = 1.
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Sea 61x+ 27y= 28, una ecuacin diofntica, donde (61, 27) = 1 y
adems, 61
27= 2 +
1
3 + 1
1 +1
6
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Fraccion Continua
Sea cualquier numero real.Designemos con la letraq1 el mayor entero que no supera a .Si no es entero se tiene
=q1+ 1
2; 2 >1
Exactamente ocurre si
2, , s1
no son enteros, se tiene
2 =q2+ 13
; 3 >1
s
1=qs
1+
1
s ; s>1Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 5 / 27
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Fraccion Continua
Sea cualquier numero real.Designemos con la letraq1 el mayor entero que no supera a .Si no es entero se tiene
=q1+ 1
2; 2 >1
Exactamente ocurre si
2, , s1
no son enteros, se tiene
2 =q2+ 13
; 3 >1
s
1=q
s
1+
1
s;
s>1
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En virtud de lo cual obtenemos el siguiente desarrollo de enfraccion continua
= q1+ 1
q2+ 1
q3+...+1
qs1+ 1
s
(1)
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Algoritmo de Euclides
En efecto se tiene:
a=bq1+r2; a
b =q1+
1br2
b=r2q2+r3; b
r2=q2+
1r2r3
rn2 =rn1qn1+rn;
rn2
rn1 =qn1+
1rn1rn
rn1 =rnqn; rn1
rn=qn,
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a
b =q1+
1
q2+ 1
q3+...+1
qnLos numeros q1, q2, ...,que figuran en el desarrollo del numero en fraccion continua, se llaman cocientes incompletos.Las fracciones 1 =q1, 2 =q1+
1q2
,3 =q1+ 1q2+
1q3
, , se
llaman reducidas.Podemos establecer una ley de formacion de las reducidas, enefecto, haciendo unificar P0 = 1, Q0 = 0, podemos representarsucesivamente las fracciones reducidas en la forma siguienteAB
= PsQs
para designar Acon la notacion Ps y Bcon la notacion Qs
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1 = q1
1 =
P1
Q1
2 = q1+
1
q2
1 = q2q1+ 1
q2 1 + 0= q2P1+P0
q2Q1+Q0= P2
Q2
3 =
q2+
1q3
P1+P0
q2+ 1q3Q1+Q0
= q3P2+P1q3Q2+Q1
= P3
Q3
Y en general,
s= qsPs1+Ps2qsQs1+Qs2
= Ps
Qs
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A d i f i F i C i Al i d E lid A li i l j il d i R f i
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Por tanto, los numeradores y denominadores de las fraccionesreducidas las podemos calcular susecivamente por las ecuaciones:
Ps=qsPs1+Ps2,Qs=qsQs1+Qs2
para s>3 (2)
Es util realizar estos calculos segun el esquema siguiente.
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A d i f i F i C ti Al it d E lid A li i l j il d i R f i
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Examinemos la diferencia s s1 de dos fracciones reducidasconsecutivas.Paras>1 hallamos
s s1 = Ps
Qs P
s
1
Qs1= hs
QsQs1
donde hs=PsQs1 QsPs1; poniendo en lugar de Ps y Qs susexpresiones (2) y haciendo simplicaciones evidentes, obtenemos
hs= hs1. Esto ultimo, junto con h1 =q1 0 1 1 = 1 dahs= (1)
s.
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As,PsQs1 QsPs1 = (1)
s (s>0) (2)
s s1 = (1)s
QsQs1(s>1)
Cuando el desarrollo de
a
b en fraccion continua posee n terminos,la fraccion reducida scoincide con ab
. Por lo tanto tanto
s s1 = (1)s
QsQs1si s=n, entonces
a
b =n
luegoa
b n1 =
(1)n
QnQn1
Apliquemos lo anterior a la ecuacion ax by=c, con factores
comunes (a, b) = 1.Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 13 / 27
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Luego abes continua y ab =n entonces;
a
b
Pn1
Qn1=
(1)n
QnQn1
haciendo comn denominador y simplificando
aQn1 bPn1
bQn1=
(1)n
QnQn1
como ab
y Pn1Qn1
son reducidas consecutivas, entonces b=Qn.Por lo tanto
aQn1 bPn1 = (1)n (3)
multiplicando la expresion (3) por (1)nc, tenemos, donce c esuna constante entera
a[(1)n1cQn1]b[(1)n1cPn1] = (1)
n(1)n1c= (1)2n1c
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Como 2n 1 es impar
a[(1)n1cQn1] b[(1)n1cPn1] = c
a[(1)n1
cQn1] b[(1)n1
cPn1] +c = 0a(x) b(y) +c = 0
De dondex= (1)n1cQn1
y= (1)n1cPn1
conforman una solucion para esta ecuacion.
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g p g j
Tenga en cuenta que si a,bson primos relativos entre s y [x0, y0]
es una solucion arbitraria de la ecuacion lineal ax by+c= 0,entonces
x=x0+bt; y=y0+at
t= 0,1,2,3, ,n seran otras soluciones.
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g g j
Aplicacion a los engranajes cilndricos
Ruedas dentadas y transmisiones por medio de ellas mismas
Las ruedas dentadas sirven para la transmision directa de potenciao movivimientos entre dos mas ejes. La transmision del esfuerzotiene lugar por medio del engranaje de los flancos de los dientes.
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La velocidad tangencial comun
v=V1 =V2 =d01 n1
60=d02 n2
60=r01 n1
30=r02 n2
30[m/s]
Si d0
y r0
se miden en metros tenemos:
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n1
n2=
d02d01
= r02r01
conV1 =r01 w1 =r02 w2
La relacion de transformacion vale:
i= w1
w2 = d02d01 =
r02r01 =
n1
n2 = z2
z1
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Para la eleccion de la relacion de transformacion tenga en cuenta
las siguientes consideraciones Para rapido radaje del engranaje, la relacion de transformacion
debe ser un numero entero, porque as siempre engranan losmismos pares de dientes.
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Ejemplo 1: Se desea construir dos ruedas dentadas para un
engranaje que den una relacion de transmision i= 131
85, esto podrarealizarse, si una de las ruedas tuviera 131 dientes y la otra 81;noobstante, no conviene que las ruedas tengan menos de 10 dientesni mas de 30. Calcular el numero de dientes que debe tener cadarueda para que esto se cumpla.
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Solucion: Por la propiedad de la diferencia de reducidasconsecutivas tenemos que:
Pn
Qn
Pn1
Qn1 =
(1)n
QnQn1
Pn = 131, Qn = 85,Pn1 =y, Qn1 =x. Por lo tanto
131
85
y
x =
(1)n
85x
131x 85y= (1)n
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Como (131, 85) = 1 es una ecuacion diofantica. Calculemos lasreducidas.
131
85 = 1 +
1
1 + 1
1 + 1
5 + 11 +
1
1 +1
3De donde Pn1 = 37 y Qn1 = 24, de donde
131(x) 85(y) + (1)6 = 0
La solucion es:
x= (1)n1cQn1 = (1)6(1) 24 = 24
y= (1)n1
cPn1 = (1)6
(1) 37 = 37Eiver Rodguez Perez Teora de Numeros Sexto Semestre 23 / 27
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Pero el ejercicio nos pide que las ruedas no deben tener menos de10 dientes ni mas de 30. Luego i= 2437 entonces planteamos unanueva ecuacion
24x 37y= (1)n
Calculemos las reducidas:
24
37= 0 +
1
1 + 1
1 +
1
1 + 1
5 +1
2
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Calculadas sus reducidas se halla que
Pn1Qn1
=1117
de donde las ruedas deben tener 11 y 17 dientes respectivamente.
Luego i=11
17
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Ejemplo 2:Para calcular el menor numero de vueltas n0 que sedebe dar al husillo desembragado del carro de un torno, para pasarde una a otra entrada al roscar un tornillo de filete multiple decuatro entradas, de paso 32 , siendo la constante del torno
58 , se
llega a la ecuacion:
4
5
8
n0 4
3
2
n1 =
3
2
5n0 12n1 = 3
entonces, 5(n0) 12(n1) 3 = 0, que es una ecuacion diofantica,
(5, 12) = 1. Calculemos las reducidas:5
12= 0 +
1
2 + 1
2 +1
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Como n0 = (1)3cQn1 = (1)
3(3)(5) = 15 yn1 = (1)
3cPn1 = (1)3(3)2 = 6 y nos piden el menor valor de
n0, entonces, tenemos:
n0 = 15 + 12t n0 = 15 + 12(1) = 3
n1 = 6 + 5t n1 = 6 + 5(1) = 1
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Referencias
Vinogradov , I. Fundamentos de la teora de numeros.Editoria,MIR,Moscu,
Alonso,M y Finn, E Fisica. vol 1,Fondo educativointeramericano,S.A
Figueroa,C. Ecuaciones diofanticas y engranajes cilndricos.Sociedad Colombiana de Matematicas XV Congreso
Nacional de Matematicas 2005 Apuntes, Volumen Especial(2006), paginas 285,298
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