Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan.
1. Calcula las siguientes derivadas:
a. .
Utilizando la regla de la cadena queda
ddx [√ x2−1x2+1 ]=d √u
dududx
Siendo
u= x2−1x2+1
y ddu √u= 1
2√u
ddx [√ x2−1x2+1 ]=
ddx ( x
2−1x2+1 )
2√ x2−1x2+1Usando la regla de la división en
ddx ( x
2−1x2+1 )
ddx ( uv )=
v dudx
−u dvdx
v2
Siendo
u=x2−1→ dudx
=2 x y v=x2+1→ dvdx
=2x
Queda
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
ddx [√ x2−1x2+1 ]= x2+1(2x )−x2−1(2 x)¿¿ ¿
b. .
Utilizando la regla de la cadenaddx (sen ( x+4x2−9 ))=d (senu )du
Siendo
u= x+4x2−9
y ddusenu=cosu
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( ddx ( x+4x2−9 ))
Ocupando la regla de la división paraddx ( x+4x2−9 )
Siendo esta fórmula como
ddx ( uv )=
v dudx
−u dvdx
v2
Siendo u=x+4→dudx
=1 y v=x2−9→dvdx
=2 x
ddx ( x+4x2−9 )= x
2−9 (1 )−( x+4 )2 x(x2−9)2
=x2−9−2 x ( x+4 )
(x2−9)2
Luego queda para
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=cos ( x+4x2−9 )( x
2−9−2x ( x+4 )( x2−9)2 )
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=
cos( x+4x2−9 )(x2−9−2x ( x+4 ))
(x2−9)2
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=
(x2−9−2x ( x+4 ))cos ( x+4x2−9 )(x2−9)2
ddx (sen ( x+4x2−9 ))=
−(x2−8 x+9)cos( x+4x2−9 )(x2−9)2
c. .
La derivada para calcular un logaritmo es:ddu
(¿u )=u ´u
Siendo u=sen (x2 )+1u´=2 xcos(x2)Entonces
ddx
¿
d. .
Ocupando la regla del producto ddx
(uv )=v dudx
+u dvdx
Siendo
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
u= 1√ x+1
→u´= dda ( 1√a ) dadx →a=x+1→a´=dadx=1→
dda ( 1√a )= −1
2a32
∴→u´=dudx
= dda ( 1√a ) dadx= −1
2a32
= −1
2(x+1)32
v=x3+¿( x2+1 )v ´=dvdx
=3 x2+ 2xx2+1
Entonces ddx
(uv )=x3+¿ (x2+1 ) ( −1
2 ( x+1 )32
)+ 1√ x+1
(3 x2+ 2 xx2+1
)
ddx
(uv )= 1√x+1 (3 x2+ 2 x
x2+1 )−(x3+¿ (x2+1 ))( 1
2 ( x+1 )32
)
ddx
(uv )=3x2+ 2 x
x2+1√ x+1
−x3+¿ (x2+1 )
2 ( x+1 )32
Por lo tanto para finalizar
ddx
(uv )= ddx
(x3+¿ (x2+1 )
√x+1)
Esto implica que
ddx ( x
3+¿ (x2+1 )√x+1 )=
3 x2+ 2xx2+1
√ x+1−x3+¿ (x2+1 )
2 ( x+1 )32
ddx ( x
3+¿ (x2+1 )√x+1 )=
x ( 2x2+1
+3 x )
√x+1−x3+¿ (x2+1 )
2 ( x+1 )32
e. .
Utilizando la regla de la sumad (u+v)dx
=dudx
+ dvdx
u=x3 e4 x dudx
=d (fg)dx
=f dgdx
+g dfdx
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
Siendo f=x3→ dfdx
=f ´=3x2g=e4 x→ dgdx
=g ´=4e4 x
dudx
=u´=4 x3 e4x+3 x2e4 x
v=e2x cos x2 dvdx
=d ( pq)dx
=p dqdx
+q dpdx
Siendo
p=ex2
→dpdx
=p´=2 xex2
q=cos x2→dqdx
=q´=−2xsen x2
dvdx
=v ´=−2 x ex2
sen x2+2x ex2
cos x2
Para finalizar:ddx
(x3 e4x+ex2cos x2)=dudx
+ dvdx
ddx
(x3 e4x+ex2 cos x2)=4 x3 e4 x+3 x2e4x+2x ex2cos x2−2 x ex2 sen x2
ddx
(x3 e4 x+ex2 cos x2)=x (2ex2 (cos x2−sen x2 )+e4 x x (4 x+3 ))
2. Demuestre dados se tiene que:
.
Debemos mostrar que senh ( x+ y )=senh (x+ y )
Ahora bien con la identidad senh ( x+ y )=senhxcoshy+coshxsenhy
Definiendo las funciones hiperbólicas
senha= ea−e−a
2cosha= e
a+e−a
2Ahora sustituyendo a por x o por y queda en nuestra identidad lo siguiente
senh ( x+ y )=( ex−e−x2 )( e y∓ e− y2 )+( ex+e− x2 )( ey−e− y2 )Realizando operaciones correspondientes queda lo propuesto a demostrar
senh ( x+ y )=14(e x+ y−e− x+ y+e x− y−e−( x+ y)+ex + y−e− x+ y−ex− y−e−(x+ y))
senh ( x+ y )=14(2 (ex + y−e−(x+ y )))
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
senh ( x+ y )= ex+ y−e−(x + y)
2senh ( x+ y )=senh (x+ y )
3. Demuestre que dados con y se tiene que:
.
Sea definido por las formulas trigonométricas
tan ( x+ y )= sen(x+ y )cos (x+ y )
= senx+cosy+senycosxcosxcosy−senxseny
Dividiendo numerador y denominador porcosxcosy
tan ( x+ y )=
senx+cosy+senycosxcosxcosy
cosxcosy−senxsenycosxcosy
=
senxcosycosxcosy
+ senycosxcosxcosy
cosxcosycosxcosy
− senxsenycosxcosy
Simplificando
tan ( x+ y )=
senxcosx
+ senycosy
1− senxsenycosxcosy
…… (1 )
Perosenxcosx
=tanx… (2 ) y senycosy
=tany….(3)
Sustituyendo(2 ) y (3 )en(1 )tenemos
tan ( x+ y )= tanx+tany1−tanxtany
4. Calcular los siguientes límites:
a. .
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
Si evaluamos en la función de límite nos quedaría una indeterminación del tipo 00
Entonces aplicamos la regla del L`Hopital que significa que derivando la función del numerador y denominador respectivamente se evalúa después en la función resultante
limx→4
f (x)g ( x)
=limx→ 4
5−12x+3 x2
−6−6 x+3x2=limx→ 4
5−12(4)+3(4)2
−6−6 (4)+3 (4)2= 518
b. .
Si evaluamos en la función de limite nos quedaría una indeterminación del tipo 00
Entonces aplicamos la regla del L`Hopital que significa que derivando la función del numerador y denominador respectivamente se evalúa después en la función resultante
limx→1
f (x)g ( x)
=limx→1
13−14 x−3 x2+4 x3
−31+6 x+21x2+4 x3=limx→1
13−14 (1)−3(1)2+4 (1)3
−31+6 (1)+21(1)2+4(1)3=00
Otra vez quedo indeterminado entonces volvemos a derivar otra vez según la regla entonces:
limx→1
13−14 x−3 x2+4 x3
−31+6 x+21x2+4 x3=limx→1
f (x)g (x)
=limx→1
−14−6 x+12x2
6+42 x+12x2
limx→1
−14−6 (1 )+12 (1 )2
6+42 (1 )+12 (1 )2=−215
5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor
que satisface .
F es continua en [ –2,2 ] y derivable (−2,2 )Si f ( x )=x3−4 x→f ( x )=3 x2−4Evaluando f(b) y f(a) respectivamente
f (b )=f (2 )=23−4 (2 )=8−8=0f (a )=f (−2 )=−23−4 (−2 )=−8+8=0
Evaluando la derivada en x=cf (x )=3x2−4→f (c )=3c2−4
Restando b−a=2−(−2 )=2+2=4Ahora evaluando en la ecuación
f (b )−f (a )=f (c ) (b−a )→0=3c2−4 (4 )→0=12c2−16Resolviendo la ecuación queda
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
−12c2=−16→c2= 43→c=±√ 43=± 2√3
6. Demuestre que para cuales quiera se cumple:
.
Si α y β son dos ángulos de la forma α=x+ y y β=x− y
Resolviendo el sistema de ecuacionesα=x+ yβ=x− y
Tenemos
α=12( x+ y ) y β=1
2(x− y )
Considerando la suma de senossen ( x+ y )=senxcosy+senycosx …… (1 )
sen ( x− y )=senxcosy−senycosx ……(2 )Sumando (1) y (2) tenemos
sen ( x+ y )+sen ( x− y )=2 senxcosySustituyendo los valores x+ y , x− y , x , y resultaresulta
senx+seny=2 sen 12
( x+ y )cos 12(x− y )
Es decir
senx+seny=2 sen( x+ y2 )cos ( x− y2 )7. Dada la función definida en hallar que satisface la
relación .
Si f ( x )=x2−4 x→ f (x )=2x−4Evaluando f(b) y f(a) respectivamente
f (b )=f (5 )=52−4 (5 )=25−20=5f (a )=f (1 )=12−4 (1 )=1−4=−3
Evaluando la derivada en x=cf (x )=2x−4→f (c )=2c−4
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
Restando b−a=5−1=4Ahora evaluando en la ecuación
f (5 )−f (1 )=f (c ) (5−1 )→5−(−3 )=2c−4 (4 )5+3=8c−16→8=8c−16→−8c=−16−8
Resolviendo la ecuación queda−8 c=−24→∴ c=3
8. Demostrar las siguientes identidades:
Para todo .
Para toda x en [0 , π2 ] se cumple las identidades en 2 casos
Caso 1
Consideremos cos2a=2cos2a−1 siendo a= x2
Sustituyendo queda y despejando queda por tanto
cos2( x2 )=2cos2 x2−1→cosx=2cos2 x2−1→∴
cos2 x2=1+cosx
2
Es decir
cos x2=√ 1+cosx2
Caso 2
Consideremos cos2a=1−2sen2a siendo a= x2
Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación
Sustituyendo queda y despejando queda por tanto
cos2( x2 )=1−2 sen2 x2→cosx=1−2 sen2 x2→∴
sen2 x2=1−cosx
2
Es decir
sen x2=√ 1−cosx2
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