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Históricamente, el principio de mínima acción postulaba que, para sistemas de la mecánica clásica, la evolución temporal de todo sistema 4sico se daba de tal manera que una can5dad llamada "acción" tendía a ser la mínima posible. Posteriormente se generalizó el principio a sistemas con5nuos y cuyas magnitudes básicas no sólo dependía de una variable temporal, sino también de las otras coordenadas espacio-‐temporales. Además la formulación relaEvista del principio mostró que la condición de mínimo era demasiado restric5va, y que debía ser subs5tuida por la condición un poco más general de que la trayectoria debía ser un punto crí5co o estacionario (es decir, un mínimo o un máximo, pero no un valor no extremal). La primera formulación del principio se debe a Pierre-‐Louis Moreau de Maupertuis (1744), que dijo que “la naturaleza es económica en todas sus acciones”.
En la imagen aparecen una carga posiEva fija (en rojo) y un electrón libre (en azul). De todas las trayectorias posibles, ¿cuál escogerá el electrón? El principio de acción mínima determina que la trayectoria 1 será la elegida.
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D'Alembert había formulado un año antes el principio de d'Alembert que generalizaba las leyes de Newton. Entre los que desarrollaron la idea se incluyen Euler y Leibniz. Debe ser dicho que, desde el punto de vista del cálculo de variaciones, hablar de principio de acción estacionaria es más exacto. Anteriormente, Pierre de Fermat había introducido la idea de que los rayos de la luz, en situaciones ópEcas tales como la refracción y la reflexión, seguían un principio de menor 5empo (ver principio de Fermat).
El principio de menor acción condujo al desarrollo de las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica clásica.
Aunque sean al principio más di4ciles de captar, Eenen la ventaja que su cosmovisión es más transferible a los marcos de la Teoría de la RelaAvidad y la mecánica cuánAca que la de las leyes de Newton. Esto ha hecho pensar a alguna gente, que este principio es un principio "profundo" de la Esica.
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“De todos los posible caminos a lo largo de la cual un sistema dinámico puede moverse desde un punto a otro dentro de un intervalo de Aempo especificado (consistente con cualquier ligadura), el camino seguido es aquel que minimiza la integral de Aempo de la diferencia entre la energía cinéAca y la potencial”. En términos del cálculo de variaciones, el principio de Hamilton
δ!
"#
$
%&= 0dt
t1
t2
∫ T −U( )
Se requiere que sea un extremum (máximo o mínimo) T −U( )t1
t2
∫ dt
En coordenadas cartesianas
La Energía cinéEca depende La Energía Potencial depende de
ENERGÍA CINÉTICA
ENERGÍA POTENCIAL
T xi( ) U xi( )xi xi
Si realizamos la diferencia de estas canEdades, a la que llamaremos
L = T −U =L
L ( )xi, xi = L xi, xi;t( )
en un campo conservaEvo
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Por lo tanto, podemos escribir
δ L xi, x;t( )t1
t2
∫ dt = 0
La Función que aparece en la integral puede ser idenEficada como en la integral variacional
L
δ f yi (x), y 'i (x); x{ }dxx1
x2
∫Si realizamos la transformación
x ⇒yi (x) ⇒y 'i (x) ⇒
txi (t)xi (t)
f yi, y 'i; x{ } ⇒ L xi, xi( ) = L xi, xi;t( )Por tanto, la ecuación de EULER-‐LAGRANGE , correspondiente a:
δ L xi, x;t( )t1
t2
∫ dt = 0∂L∂xi
−ddt∂L∂xi
= 0 para i=1,2,3,
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Donde es conocida como la función de Lagrange o Lagrangiano L
EJEMPLO: OSCILADOR ARMONICO UNIDIMENSIONAL
L = T −U =12m x2 − 1
2k x2 ⇒ LAGRANGIANO
Teniendo en cuenta la ecuación de Lagrange del Movimiento
∂L∂x
−ddt∂L∂x
= 0
Calculando ∂L∂x
=∂∂x
12m x2 − 1
2k x2
#
$%
&
'(= −k x
∂L∂x
=∂∂x
12m x2 − 1
2k x2
#
$%
&
'(= m x
ddt∂L∂x
=ddt
∂∂x(m x) = m x
−kx −mx = 0mx + kx = 0
x + kmx = 0
x +wo2x = 0donde wo
2 =km
L xi, xi( )⇒
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⇒ L = L xi, xi;t( )
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x +wo2x = 0 wo
2 =km
La solución de la ecuación diferencial
con Es de la forma x(t) = Asen(wot −φ)
El valor de la fase dependerá del valor de en φ x t = 0 Es decir, x(0)
La solución exhibe un comportamiento senoidal.
Calculemos la ENERGÍA TOTAL E = T +U
T = 12mx2 =
12m!
"#
$
%&A2w2cos2 wot −δ( ) = 1
2m!
"#
$
%&A2 cos2 wot −δ( ) =
km
T = 12
A2 cos2 wot −δ( )k
LA ENERGÍA CINETICA
LA ENERGIA POTENCIAL
U =12kx2 = 1
2k!
"#
$
%&A2sen2 (wot −φ) U =
12kA2sen2 (wot −φ)⇒
Por tanto,
E = 12kA2 cos2 wot −δ( ) +
12kA2sen2 (wot −φ)
E = 12kA2 cos2 wot −δ( )+ sen2 (wot −φ)( ) ⇒ E = 1
2kA2
• Proporcional al cuadrado de la amplitud.
• Es independiente del 5empo. 26/09/15
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PERIODO Y FRECUENCIA Conocemos que:
wo2 =
km⇒ 2π
T!
"#
$
%&2
=km
T 2 = 4π 2 mk
T = 2π mk
⇒ ⇒
Así mismo
1f= 2π m
k⇒ f = 1
2πkm
El periodo del oscilador armónico simple es independiente de la energía o amplitud. Un sistema que exhibe esta propiedad se denomina Isócrono.
PENDULO PLANO EJEMPLO: L = T −U
T = 12m S2 = 2 θ 2
12m ⇒ T = 1
2m2 θ 2
U =mg↑
h↓
h =mg [ ]↑
h↓
↑
↓
cosθ
− cosθ ⇒U =mg 1− cosθ[ ]Por lo tanto, el Lagrangiano es:
L = 12m2 θ 2 −mg 1− cosθ[ ]
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S
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L = 12m2 θ 2 −mg 1− cosθ[ ]
Aplicando la ecuación de Lagrange.
∂L∂θ
−ddt∂L∂ θ
= 0
L = L{ }⇒ θ, θ;t
∂L∂θ
= −mgsenθ ∂L∂ θ
= m2 θddt∂L∂ θ
= m2 θ; ;⇒
Por tanto,
−mgsenθ −m2 θ = 0
−gsenθ − θ = 0
θ + gsenθ = 0
si senθ ≈θ para θ <<
Entonces,
θ + gθ = 0
θ +wo2θ = 0
Si llamamos wo2 =
g
Cuya solución es: θ =θo cos wot −φ( )
TAREA: Calcular la Energía mecánica total
PERIODO Y FRECUENCIA Conocemos que:
wo2 =
g⇒ 2π
T!
"#
$
%&2
=g
T 2 = 4π 2 g
T = 2π g
⇒
⇒ ⇒ f = 12π
g
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