Efecto de la estabilidad sobre la confiabilidad
JORGE MALDONADO V.
CONCEPTOS BASICOS DE CONFIABILIDAD
Po P1
s P s( ) P 0( ) P s( ) M
P s( ) P 0( ) I s M( )1
M
P0
P1
P
Po
t( )
P
o0( )
exp ( ) t( )
P1
t( )
P
10( )
exp ( ) t( )
1
Tr
Tm: tiempo medio de falla
Tr: tiempo medio de reparacin
1
Tm
Probabilidad Po de supervivencia
Probabilidad P1 de estado en falla
t
P0
t( )lim
t
P1
t( )lim
P0
Tm
Tm
Tr
P1
Tr
Tm
Tr
P1
Tr
Tm
Tr
p q( )n
0
n
r
n
r n r( ) p
r q( )n r
=
Pr
n
r n r( ) p
r 1 p( )n r
Ex
r
xr
Pr
Ex
0
n
x
x n
x n x( ) p
x 1 p( )n x
=
E n p
P0=fTm
P1=fTr
Esperanza o probabilidad media de ocurrencia de una falla de un numero x de maquinas, usinas,
etc
f=1/T
Para n equipos idnticos que tienen probabilidad a priori de falla p resulta , la probabilidad media E resulta :.
Distribucin binomial
n
r n r( ) p
r 1 p( )n r n
r
r p
r 1 p( )n r
n>>r
Pr
nr
r p
r 1 p( )n r P
r
n p( )r
r exp n p( )
Pr
n p( )r
r exp n p( )
Pr
t( )r
r exp t( )
np=t
exp(-np)(1-p)n
exp(-np)(1-np+(n(n-1)(-p2)+
Se define: np= t, t: tiempo, y =1/Tm
DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES : confiabilidad, probabilidad de falla en t, tiempo medio de falla
Pr
t( )r
r exp t( ) P0
0x
t( )x
x exp t( )lim exp t( )
R t( ) exp t( )
Q t( ) 1 R t( )Probabilidad de falla en tiempo t
Probabilidad de sobrevivencia en tiempo t
f t( )tR t( )
d
d exp t( )
E x( )
0
xx f x( ) d
0
t t exp t( ) d
0
t t exp t( ) d
t
t exp t( ) exp t( )( )
1
lim
-Tiempo medio de falla es =1/
Tiempo medio de falla :
Distribucin de probabilidad : (distribucin exponencial)
SISTEMAS SERIE Y PARALELO
1,1 2,2 s,s
1,1
2,2
p,p
s=1+2
Trs(Tr11+Tr22)/s
p12
Trp(Tr1Tr2)/ Tr1+ Tr2
SISTEMAS SERIE Y PARALELO
Rs
i
Ri
exp
i
i
t
Rp
1
i
Qi
p=12
Probabilidad de sobrevivencia para sistema serie
Probabilidad de sobrevivencia para sistema paralelo
p=12(Tr1+Tr2)
s
i
i
Probabilidad de sobrevivencia para sistema serie: Suma de probabilidades a priori por unidad de
tiempo
Probabilidad de sobrevivencia para sistema paralelo: producto de probabilidades a priori por unidad de
tiempo
ESQUEMA BASICO DE SISTEMA DE CONTROL
instrumentacin Control & Proteccin
Actuadores & servomotores
1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 n,n
Instrumentacin: Termocuplas
Redundancia =10 Gases calientes
lubricante
Instrumentacin: presostatos
Redundancia =3 Lubricacin,
descarga compresor
Instrumentacin: acelermetros
Redundancia =2 vibraciones
Instrumentacin: Presin diferencial Redundancia =2
Quemadores Filtros aire
EJEMPLO 2: aplicacin de confiabilidad para seleccin en proyectos de generacin elctrica
Pzi
N
zi N z
i
gzi 1 g( )
N zi
0 2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
z
Pz
N 25
Pu 10
g .05
i 0 N
zi
i
0 1 2 3 4 59.765625 10
14
0.06
0.12
0.18
0.24
0.3
0.36
0.42
0.48
0.54
z
Pz
N 10
Pu 25
g .05
i 0 N
1
N
i
Pzi
=
0.723
Pz0
0.277 1
N
i
Pzi
=
0.401
Pz0
0.599
gFOR= hrndispfor/(hrsev + hrndispfor) (por ao)
EJEMPLO 2a: aplicacin de confiabilidad para seleccin en proyectos de generacin elctrica: LOLP probabilidad de perdida de carga
LOLPj
i
Pzi Pu N L
jPu i
LOLPj
7.165103
0.034
0.127
0.723
1
Lj
200
210
220
245
250
LOLPj
1.028103
0.012
0.086
0.401
1
Lj
150
175
200
225
250
0 2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
z
Pz
0 1 2 3 4 59.765625 10
14
0.06
0.12
0.18
0.24
0.3
0.36
0.42
0.48
0.54
z
Pz
1
N
i
Pzi
=
0.401
Pz0
0.599Pz
00.277
1
N
i
Pzi
=
0.723
N 10
Pu 25
g .05
i 0 N
N 25
Pu 10
g .05
i 0 N
zi
i
distribucin de fallas probables de 4 unidades con Tm=5 aos, para periodo de 5 aos de explotacin
4
Tm
t 5 aos: periodo de operacion
r 0 10
Pr
t( )r
exp t( )
r
Pr
r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.013
0.027
0.04
0.053
0.067
0.08
0.093
0.11
0.12
0.13
0.15
0.16
0.17
0.19
0.2
Resultados de distintos modelos matemticos
Pzi
N
zi N z
i
gzi 1 g( )
N zi
gFOR= hrndispfor/(hrsev + hrndispfor) (por ao)
LOLPj
i
Pzi Pu N L
jPu i
lolpj
xj
xexpx2
2d
2
xj
Pu N Lj
G
G Pu N g
var N 1 g( ) g Pu2
var
lolpj
0.677
0.796
0.884
0.941
0.973
LOLPj
0.742
0.742
0.882
0.963
0.994
Lj
240
242
244
246
248
MW
N 100
Pu 2.5 MW
g .05
i 0 N
zi
i
Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas para componentes con distintos parmetros
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
xoi
Pui
L
i
gi
Pui
LOLPxo
xoexpxo
2
2d
2
i
gi
1 gi
Pui
2
x1i
i
Pui
Pui
L
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP1i
x1i
x1expx1( )
2
2d
2
1i
2
gi
1 gi
Pui
2
x2i j
i
Pui
Pui
L Lj
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP2i j
x2i j
x2expx2
2
2d
2
Ejemplo: Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas con unidades
generadoras de potencia y g diferentes
LOLP del sistema:
Efecto en el LOLP de cada unidad
Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas con unidades generadoras de potencia Pu y (FOR) g diferentes
LOLP 1i
LOLP
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
x1i
i
Pui
Pui
L
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP1i
x1i
x1expx1( )
2
2d
2
1i
2
gi
1 gi
Pui
2
i
Pui
402.8 MW
L 335 MW
Calculo de potencia firme
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
x2i j
i
Pui
Pui
L Lj
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP2i j
x2i j
x2expx2
2
2d
2
LOLP 223 j
LOLP
Lj
40 41.05 42.1 43.15 44.2 45.25 46.3 47.35 48.4 49.45 50.5
1 104
1 103
0.01
i
Pui
402.8 MW
L 335 MW
Calculo de potencia firme
LOLP 218 j
LOLP
LOLP 219 j
Lj
15 15.5 16 16.5 17 17.5 18
2 104
4 104
6 104
8 104
18 MW g=0.04
18MW g=0.015
lolp referencial
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
x2i j
i
Pui
Pui
L Lj
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP2i j
x2i j
x2expx2
2
2d
2
i
Pui
402.8 MW
L 335 MW
i0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
x1i
i
Pui
Pui
L
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP1i
x1i
x1expx1( )
2
2d
2
1i
2
gi
1 gi
Pui
2
i
Pui
402.8 MW
L 315 MW
LOLP 1i
LOLP
i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0.02
0.04
0.06
0.08
Efecto de la demanda sobre la potencia firme
i0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
x2i j
i
Pui
Pui
L Lj
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP2i j
x2i j
x2expx2
2
2d
2
LOLP 223 j
LOLP
Lj
40 41.05 42.1 43.15 44.2 45.25 46.3 47.35 48.4 49.45 50.5
1 106
1 105
1 104
1 103
0.01
i
Pui
402.8 MW
L 315 MW
Efecto de la demanda sobre la potencia firme
i0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pui
1
1
1
1
1
1
1
18
19
19
23
19
21
22
23
17.5
18
18.3
18
18
8.5
8.5
15
55
55
gi
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.04
.02
.02
.04
.05
.05
.05
.04
.015
.015
.015
.015
.04
.04
.04
.04
.02
.02
x2i j
i
Pui
Pui
L Lj
i
gi
Pui
gi
Pui
1i
LOLP2i j
x2i j
x2expx2
2
2d
2
i
Pui
402.8 MW
L 315 MW
LOLP 218 j
LOLP 219 j
LOLP
Lj
15 15.5 16 16.5 17 17.5 18
2 106
4 106
6 106
8 106
18 MW g=0.04
18MW g=0.015
lolp referencial
Efecto de la demanda sobre la potencia firme
ANALISIS DE RIESGO PARA INTERRUPCION DE LINEA
72,2GWh Zongo,..
14,8 GWh H.BOL.
Energa total de embalse :87GWh
(riesgo) R: = Severidad x P1
SEVERIDAD: Se minimiza con: Mayor Gen. Hidro. en el A. Norte restringida por capacidad limitada de embalses. Mayor Gen. Termo. en el A. Norte Inversin en adquisicin de unidades de gen. Gasto en arrendamiento. Operar con mayor reserva de potencia en giro con Generacin Hidro A. Norte. Mas de una lnea de interconexin con rea Norte Inversin (construccin lnea).
Energa neta de embalse:67GWh por mnimo requerido de embalse
t
P0
t( )lim
t
P1
t( )lim
P0
Tm
Tm
Tr
P1
Tr
Tm
Tr
P0=fTm
P1=fTr
f=1/T
Po f Tm P1 f Tr
Po 0.998858 P1 0.001142
Po 100 99.885845 P1 100 0.114155
Probabilidades Po y P1 de lnea Cochabamba-Kenko: 2 fallas con apertura de lnea por ao, asumiendo 5 horas para la restitucin del sistema norte
(p.u.)
(%)
Definicin de riesgo R: = Severidad x P1
Tr5
24 365f 2
Tm
365 24
25
365 24
Probabilidades para doble terna cochabamba Kenko:
n 2 g 0.001142 Prob de fal la de una l inea
j 0 n
Pj
n gj 1 g( )
n j
j n j( ) P
j
0.9977173042
0.0022813917
0.0000013042
j
0
1
2
Con doble terna baja la SEVERIDAD ante la interrupcin de una lnea, y es menor la probabilidad de interrupcin simultanea de las dos lneas reduciendo el riesgo.
67 GWh
13.5GWh semana
Ejemplo4:GRAFICO DE GENERACION HIDROELECTRICA MINIMA en periodo seca
GRAFICO DEL INFORME CNDC 18/10
18
23
28
33
38
43
48
53
58
63
68
73
78
83
88
93
98
103
108
113
19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43
Em
bals
e (
%)
Semanas
CURVAS DE AVERSION AL RIESGO 2010-2013
2010
2011
2012
2013
ANALISIS DE RIESGO PARA INTERRUPCION DE LINEA
72,2GWh Zongo,..
14,8 GWh H.BOL.
Planta Moxos Trinidad
(riesgo) R: = Severidad x P1
SEVERIDAD: Se minimiza con: Mayor Gen. Hidro. en el A. Norte restringida por capacidad limitada de embalses. Mayor Gen. Termo. en el A. Norte Inversin en adquisicin de unidades de gen. Gasto en arrendamiento. Operar con mayor reserva de potencia en giro con Generacin Hidro A. Norte. Mas de una lnea de interconexin con rea Norte Inversin (construccin lnea).
Energa neta de embalse:67GWh por mnimo requerido de embalse
+Igm
Igm
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