CONFIABILIDAD DIP

Efecto de la estabilidad sobre la confiabilidad

JORGE MALDONADO V.

CONCEPTOS BASICOS DE CONFIABILIDAD

Po P1

s P s( ) P 0( ) P s( ) M

P s( ) P 0( ) I s M( )1

M

P0

P1

P

Po

t( )

P

o0( )

exp ( ) t( )

P1

t( )

P

10( )

exp ( ) t( )

1

Tr

Tm: tiempo medio de falla

Tr: tiempo medio de reparacin

1

Tm

Probabilidad Po de supervivencia

Probabilidad P1 de estado en falla

t

P0

t( )lim

t

P1

t( )lim

P0

Tm

Tm

Tr

P1

Tr

Tm

Tr

P1

Tr

Tm

Tr

p q( )n

0

n

r

n

r n r( ) p

r q( )n r

=

Pr

n

r n r( ) p

r 1 p( )n r

Ex

r

xr

Pr

Ex

0

n

x

x n

x n x( ) p

x 1 p( )n x

=

E n p

P0=fTm

P1=fTr

Esperanza o probabilidad media de ocurrencia de una falla de un numero x de maquinas, usinas,

etc

f=1/T

Para n equipos idnticos que tienen probabilidad a priori de falla p resulta , la probabilidad media E resulta :.

Distribucin binomial

n

r n r( ) p

r 1 p( )n r n

r

r p

r 1 p( )n r

n>>r

Pr

nr

r p

r 1 p( )n r P

r

n p( )r

r exp n p( )

Pr

n p( )r

r exp n p( )

Pr

t( )r

r exp t( )

np=t

exp(-np)(1-p)n

exp(-np)(1-np+(n(n-1)(-p2)+

Se define: np= t, t: tiempo, y =1/Tm

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES : confiabilidad, probabilidad de falla en t, tiempo medio de falla

Pr

t( )r

r exp t( ) P0

0x

t( )x

x exp t( )lim exp t( )

R t( ) exp t( )

Q t( ) 1 R t( )Probabilidad de falla en tiempo t

Probabilidad de sobrevivencia en tiempo t

f t( )tR t( )

d

d exp t( )

E x( )

0

xx f x( ) d

0

t t exp t( ) d

0

t t exp t( ) d

t

t exp t( ) exp t( )( )

1

lim

-Tiempo medio de falla es =1/

Tiempo medio de falla :

Distribucin de probabilidad : (distribucin exponencial)

SISTEMAS SERIE Y PARALELO

1,1 2,2 s,s

1,1

2,2

p,p

s=1+2

Trs(Tr11+Tr22)/s

p12

Trp(Tr1Tr2)/ Tr1+ Tr2

SISTEMAS SERIE Y PARALELO

Rs

i

Ri

exp

i

i

t

Rp

1

i

Qi

p=12

Probabilidad de sobrevivencia para sistema serie

Probabilidad de sobrevivencia para sistema paralelo

p=12(Tr1+Tr2)

s

i

i

Probabilidad de sobrevivencia para sistema serie: Suma de probabilidades a priori por unidad de

tiempo

Probabilidad de sobrevivencia para sistema paralelo: producto de probabilidades a priori por unidad de

tiempo

ESQUEMA BASICO DE SISTEMA DE CONTROL

instrumentacin Control & Proteccin

Actuadores & servomotores

1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 n,n

Instrumentacin: Termocuplas

Redundancia =10 Gases calientes

lubricante

Instrumentacin: presostatos

Redundancia =3 Lubricacin,

descarga compresor

Instrumentacin: acelermetros

Redundancia =2 vibraciones

Instrumentacin: Presin diferencial Redundancia =2

Quemadores Filtros aire

EJEMPLO 2: aplicacin de confiabilidad para seleccin en proyectos de generacin elctrica

Pzi

N

zi N z

i

gzi 1 g( )

N zi

0 2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

z

Pz

N 25

Pu 10

g .05

i 0 N

zi

i

0 1 2 3 4 59.765625 10

14

0.06

0.12

0.18

0.24

0.3

0.36

0.42

0.48

0.54

z

Pz

N 10

Pu 25

g .05

i 0 N

1

N

i

Pzi

=

0.723

Pz0

0.277 1

N

i

Pzi

=

0.401

Pz0

0.599

gFOR= hrndispfor/(hrsev + hrndispfor) (por ao)

EJEMPLO 2a: aplicacin de confiabilidad para seleccin en proyectos de generacin elctrica: LOLP probabilidad de perdida de carga

LOLPj

i

Pzi Pu N L

jPu i

LOLPj

7.165103

0.034

0.127

0.723

1

Lj

200

210

220

245

250

LOLPj

1.028103

0.012

0.086

0.401

1

Lj

150

175

200

225

250

0 2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

z

Pz

0 1 2 3 4 59.765625 10

14

0.06

0.12

0.18

0.24

0.3

0.36

0.42

0.48

0.54

z

Pz

1

N

i

Pzi

=

0.401

Pz0

0.599Pz

00.277

1

N

i

Pzi

=

0.723

N 10

Pu 25

g .05

i 0 N

N 25

Pu 10

g .05

i 0 N

zi

i

distribucin de fallas probables de 4 unidades con Tm=5 aos, para periodo de 5 aos de explotacin

4

Tm

t 5 aos: periodo de operacion

r 0 10

Pr

t( )r

exp t( )

r

Pr

r

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.013

0.027

0.04

0.053

0.067

0.08

0.093

0.11

0.12

0.13

0.15

0.16

0.17

0.19

0.2

Resultados de distintos modelos matemticos

Pzi

N

zi N z

i

gzi 1 g( )

N zi

gFOR= hrndispfor/(hrsev + hrndispfor) (por ao)

LOLPj

i

Pzi Pu N L

jPu i

lolpj

xj

xexpx2

2d

2

xj

Pu N Lj

G

G Pu N g

var N 1 g( ) g Pu2

var

lolpj

0.677

0.796

0.884

0.941

0.973

LOLPj

0.742

0.742

0.882

0.963

0.994

Lj

240

242

244

246

248

MW

N 100

Pu 2.5 MW

g .05

i 0 N

zi

i

Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas para componentes con distintos parmetros

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

xoi

Pui

L

i

gi

Pui

LOLPxo

xoexpxo

2

2d

2

i

gi

1 gi

Pui

2

x1i

i

Pui

Pui

L

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP1i

x1i

x1expx1( )

2

2d

2

1i

2

gi

1 gi

Pui

2

x2i j

i

Pui

Pui

L Lj

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP2i j

x2i j

x2expx2

2

2d

2

Ejemplo: Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas con unidades

generadoras de potencia y g diferentes

LOLP del sistema:

Efecto en el LOLP de cada unidad

Probabilidad acumulada (LOLP) de sistemas con unidades generadoras de potencia Pu y (FOR) g diferentes

LOLP 1i

LOLP

i

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

x1i

i

Pui

Pui

L

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP1i

x1i

x1expx1( )

2

2d

2

1i

2

gi

1 gi

Pui

2

i

Pui

402.8 MW

L 335 MW

Calculo de potencia firme

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

x2i j

i

Pui

Pui

L Lj

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP2i j

x2i j

x2expx2

2

2d

2

LOLP 223 j

LOLP

Lj

40 41.05 42.1 43.15 44.2 45.25 46.3 47.35 48.4 49.45 50.5

1 104

1 103

0.01

i

Pui

402.8 MW

L 335 MW

Calculo de potencia firme

LOLP 218 j

LOLP

LOLP 219 j

Lj

15 15.5 16 16.5 17 17.5 18

2 104

4 104

6 104

8 104

18 MW g=0.04

18MW g=0.015

lolp referencial

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

x2i j

i

Pui

Pui

L Lj

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP2i j

x2i j

x2expx2

2

2d

2

i

Pui

402.8 MW

L 335 MW

i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

x1i

i

Pui

Pui

L

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP1i

x1i

x1expx1( )

2

2d

2

1i

2

gi

1 gi

Pui

2

i

Pui

402.8 MW

L 315 MW

LOLP 1i

LOLP

i

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.02

0.04

0.06

0.08

Efecto de la demanda sobre la potencia firme

i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

x2i j

i

Pui

Pui

L Lj

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP2i j

x2i j

x2expx2

2

2d

2

LOLP 223 j

LOLP

Lj

40 41.05 42.1 43.15 44.2 45.25 46.3 47.35 48.4 49.45 50.5

1 106

1 105

1 104

1 103

0.01

i

Pui

402.8 MW

L 315 MW


i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Pui

1

1

1

1

1

1

1

18

19

19

23

19

21

22

23

17.5

18

18.3

18

18

8.5

8.5

15

55

55

gi

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.04

.02

.02

.04

.05

.05

.05

.04

.015

.015

.015

.015

.04

.04

.04

.04

.02

.02

x2i j

i

Pui

Pui

L Lj

i

gi

Pui

gi

Pui

1i

LOLP2i j

x2i j

x2expx2

2

2d

2

i

Pui

402.8 MW

L 315 MW

LOLP 218 j

LOLP 219 j

LOLP

Lj

15 15.5 16 16.5 17 17.5 18

2 106

4 106

6 106

8 106

18 MW g=0.04

18MW g=0.015

lolp referencial


ANALISIS DE RIESGO PARA INTERRUPCION DE LINEA

72,2GWh Zongo,..

14,8 GWh H.BOL.

Energa total de embalse :87GWh

(riesgo) R: = Severidad x P1

SEVERIDAD: Se minimiza con: Mayor Gen. Hidro. en el A. Norte restringida por capacidad limitada de embalses. Mayor Gen. Termo. en el A. Norte Inversin en adquisicin de unidades de gen. Gasto en arrendamiento. Operar con mayor reserva de potencia en giro con Generacin Hidro A. Norte. Mas de una lnea de interconexin con rea Norte Inversin (construccin lnea).

Energa neta de embalse:67GWh por mnimo requerido de embalse

t

P0

t( )lim

t

P1

t( )lim

P0

Tm

Tm

Tr

P1

Tr

Tm

Tr

P0=fTm

P1=fTr

f=1/T

Po f Tm P1 f Tr

Po 0.998858 P1 0.001142

Po 100 99.885845 P1 100 0.114155

Probabilidades Po y P1 de lnea Cochabamba-Kenko: 2 fallas con apertura de lnea por ao, asumiendo 5 horas para la restitucin del sistema norte

(p.u.)

(%)

Definicin de riesgo R: = Severidad x P1

Tr5

24 365f 2

Tm

365 24

25

365 24

Probabilidades para doble terna cochabamba Kenko:

n 2 g 0.001142 Prob de fal la de una l inea

j 0 n

Pj

n gj 1 g( )

n j

j n j( ) P

j

0.9977173042

0.0022813917

0.0000013042

j

0

1

2

Con doble terna baja la SEVERIDAD ante la interrupcin de una lnea, y es menor la probabilidad de interrupcin simultanea de las dos lneas reduciendo el riesgo.

67 GWh

13.5GWh semana

Ejemplo4:GRAFICO DE GENERACION HIDROELECTRICA MINIMA en periodo seca

GRAFICO DEL INFORME CNDC 18/10

18

23

28

33

38

43

48

53

58

63

68

73

78

83

88

93

98

103

108

113

19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43

Em

bals

e (

%)

Semanas

CURVAS DE AVERSION AL RIESGO 2010-2013

2010

2011

2012

2013

ANALISIS DE RIESGO PARA INTERRUPCION DE LINEA

72,2GWh Zongo,..

14,8 GWh H.BOL.

Planta Moxos Trinidad

(riesgo) R: = Severidad x P1

SEVERIDAD: Se minimiza con: Mayor Gen. Hidro. en el A. Norte restringida por capacidad limitada de embalses. Mayor Gen. Termo. en el A. Norte Inversin en adquisicin de unidades de gen. Gasto en arrendamiento. Operar con mayor reserva de potencia en giro con Generacin Hidro A. Norte. Mas de una lnea de interconexin con rea Norte Inversin (construccin lnea).

Energa neta de embalse:67GWh por mnimo requerido de embalse

+Igm

Igm

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