21

DINAMICA

UNIDAD 2

MOVIMIENTO CURVILINEO

22

MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA.

Cuando la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria curva se dice que tiene movimiento curvilíneo.

A continuación mencionaremos las principales características de este movimiento.

v

P

r

O

r es el vector de posición de la partícula (va desde O que es el centro de curvatura hasta el punto P que es el lugar donde se encuentra la partícula en el instante considerado.

El vector v es la velocidad de la partícula y siempre es tangente a la trayectoria curva.

La aceleración a también es un vector pero esta no es tangente a la trayectoria, dicha aceleración forma un ángulo con el vector v como se ve en la siguiente figura:

v

a

r

O

Las fórmulas que se utilizan en el movimiento curvilíneo son las mismas que hemos usado en el movimiento rectilíneo.

23

COMPONENTES RECTANGULARES.

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.

El movimiento de un proyectil en el vacío se estudia con frecuencia en términos de sus componentes rectangulares, ya que la aceleración del proyectil siempre actúa en la dirección vertical (el valor de esta aceleración es constante, de 9.81 m/s2 en el sistema internacional y de 32.2 ft/s2 en el sistema inglés; estos valores corresponden a la aceleración de la gravedad)

Consideremos la siguiente figura:

Y

vy

α

vx X

vx = vo cos α

vy = vo sen α

Para poder estudiar el movimiento de un proyectil, se considera por separado un movimiento horizontal y uno vertical. Tomando en cuenta que la aceleración a que está sometido el proyectil es la de la gravedad y ésta tiene una dirección vertical y su sentido es hacia abajo (negativo); entonces el movimiento vertical es uniformemente acelerado ya que su aceleración es constante, luego son aplicables las siguientes fórmulas en las cuales se ha sustituido la aceleración por la aceleración de la gravedad (g) con su sentido (negativo).

v = vo – gt

v2 = vo2 – 2g(x-xo)

x - xo=vo t - 12

g t2

24

El movimiento horizontal no es afectado por la aceleración, por lo tanto se trata de un movimiento en el que a = 0 y por consecuencia vx es constante y la única fórmula aplicable es:

v=x- xo

t

Conforme avanza el proyectil la velocidad vertical disminuye mientras que la horizontal permanece constante, cuando alcanza su altura máxima vy = 0 y su velocidad es horizontal (tangente a la trayectoria) como se observa en la siguiente figura:

Y

vy = 0

v = vx

ymax.

O X

EJEMPLO:

Un proyectil es disparado con una velocidad inicial vo formando un ángulo de 25o con la horizontal. Determinar el valor de la velocidad inicial que se requiere para que el proyectil pegue: a) en el punto B b) en el punto C

vo

25o

O 2.5 km B C

3 km

vox = vo cos 25o voy = vo sen 25o

Movimiento vertical :

y-yo=voy t-12

g t2

25

para y = 0, que es cuando el proyectil pega en el suelo, y también yo = 0 tenemos:

0 – 0 = vosen 25ot – ½ (9.81)t2

Despejando t:

t=2 vo sen 25o

g

Movimiento horizontal.

x = voxt

x=vo cos 25( 2vo sen 25

g )x=

2 vo2 sen 25 cos 25

g

despejando vo2

vo2=gx

2sen 25 cos 25

Para que pegue en el punto B x = 2500m

vo=√ (9.81 )(2500)2sen 25 cos 25

vo = 178.92 m/s

Sustituyendo para el punto C, x = 3000 m

vo = 196 m/s

26

EJEMPLO.

Un hombre sobre un puente a 60 ft sobre el agua lanza una piedra en dirección horizontal. Sabiendo que la piedra golpea el agua en un punto situado a 90 ft del punto sobre el agua directamente debajo del hombre, determinar: a) la velocidad inicial de la piedra, b) la distancia a la cual la piedra golpeara el agua si la lanza con la misma velocidad inicial desde otro puente de 10 ft de altura menos que el anterior.

90 ft

a) Movimiento horizontal:

vo=x -xot

vo=90t

Movimiento vertical:

y-yo=voy t-12

g t2

aplicando esta ecuación al problema, tenemos: y = 0; yo = 60 ft; voy = 0

60=0 t-12(32 .2) t2

-60 = - 16.1t2

t = 1.93 s

60 ft

vo

27

sustituyendo en la ecuación del movimiento horizontal

vo=90

1.93

vo = 46.6

b) aplicando la ecuación utilizada en el movimiento vertical anterior:

t = 1.76 s

x – xo = vot

x - xo = 46.6(1.76)

x – xo = 82.12 ft/s

28

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION.

Con frecuencia en el movimiento curvilíneo es conveniente usar otros parámetros para calcular la aceleración, estos son los componentes tangencial y normal de la aceleración.

El componente tangencial es el vector tangente a la trayectoria en el instante considerado, así que su dirección coincide con la dirección de la velocidad.

El componente normal es el vector perpendicular al vector tangencial y su dirección coincide con el radio de curvatura (vector de posición) y su sentido está dirigido hacia el centro de curvatura. Observemos la siguiente figura:

at

C

ρ

an

at C an

La aceleración tangencial es la variación de la velocidad con respecto al tiempo, o sea

a t=dvdt

y puede ser positiva o negativa

La aceleración normal se calcula de acuerdo a:

an=v2

ρ

en dondeρ es el radio de curvatura y an siempre será positiva y dirigida al centro de curvatura

29

EJEMPLO.

La magnitud de la velocidad de un automóvil se incrementa constantemente desde 60 mph hasta 75 mph sobre una distancia de 600 ft a lo largo de una curva de 800 ft de radio. Calcular la magnitud de la aceleración resultante del automóvil cuando ha recorrido 400 ft.

v = 75 mph

600 ft

ρ = 800 ft

C vo = 60 mph

Primero convertiremos las velocidades de millas por hora a pies por segundo:

v=75mh

x5280 ft1 milla

x1 h

3600 segundos=110

fts

vo=60mh

x5280 ft3600 s

=88fts

Aplicando la fórmula: v2 = vo2 + 2a(x – xo)

1102 = 882 + 2a(600)

a=43561200

=3.63ft

s2

Ahora calculamos la velocidad después de recorrer 400 ft

v2 = 882 +2(3.63)(400)

v = 103.2 ft/s

30

Calculamos el tiempo que tardo en recorrer los 400 ft

v = vo + at

103.2 = 88 + 3.63t

Despejando t

t = 4.2 s

Ya podemos determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración

En este caso como no contamos con una expresión derivable de la velocidad con respecto al tiempo utilizamos:

a t =∆v∆ t

=103.2−884.2

=3.619ft

s2

an=v2

ρ=103.22

800=13.31

fts

Entonces la aceleración resultante será:

aR=2√(3.6192+13.312 )

aR = 13.8 ft/s2

31

PROBLEMAS

1.-Un jugador lanza una pelota con una velocidad inicial de 18 m/s desde el punto A, sabiendo que la pelota golpea la pared en una altura h = 13.5 mts. sobre el piso, determinar el ángulo α..

Respuesta: α = 58.5o o α = 70.2o

15 m

2.- Un automovilista está viajando sobre una porción curva de una carretera de 350 m de radio con una rapidez de 72 km/h se aplican repentinamente los frenos ocasionando una disminución en la rapidez a razón de 1.25 m/s2. Determinar la magnitud de la aceleración total del automóvil a) inmediatamente después de que los frenos se aplicaron y b) 4 seg. después. Respuestas: a = 1.694 m/s2 a = 1.406 m/s2

3.- La boquilla de una manguera descarga un chorro de agua con una velocidad inicial de 75 ft/s en la dirección indicada en la figura. Encontrar el radio de curvatura del chorro a) cuando sale de la manguera y b) cuando alcanza su altura máxima.

Vo

37o hmax.

Respuestas: a) 218 2 ft b) 111.4 ft

4.- Una motocicleta parte del reposo en t = 0 sobre una pista circular de 400 m de radio. La componente tangencial de su aceleración es at = 2 + 0.2t2 m/s2.En t = 10s determinar: a) La distancia que ha recorrido a lo largo de la pista y b) La magnitud de la aceleración resultante.

Respuestas: a) s = 133.3 m b) aR = 4.59 m/s2

13.5 m

1.5 m

vo

α

32

Ahora estudiaremos el movimiento relativo entre dos partículas:

En la primera unidad estudiamos el movimiento de relativo de dos partículas moviéndose en la misma dirección, pero no siempre se mueven de esa manera, algunas ocasiones tenemos que considerar el movimiento relativo de dos partículas que se mueven en direcciones distintas. Por ejemplo:

Un piloto que quiere aterrizar sobre un portaviones, no le da tanta importancia al movimiento de su avión y del portaviones con respecto a la tierra, sino que se la da al movimiento de su avión con respecto al portaviones.

Supongamos que A y B son dos partículas cuyos movimientos individuales los medimos con respecto a un punto de referencia O, analicemos como describir los movimientos de A con respecto a B.

A

rA

rA/B

O

rB B

Sean rA y rB los vectores de posición de los puntos A y B con respecto a O. El vector rA/B es el vector de posición de A con respecto a B.

De la figura podemos indicar una suma vectorial: rB + rA/B = rA

Derivando con respecto a t, tenemos: vB + vA/B = vA en donde vA/B es la velocidad de A con respecto a B.

También si derivamos con respecto a t la ecuación anterior, tenemos:

aB + aA/B = aA

En este caso hemos supuesto que los vectores de posición, velocidad y aceleración, están expresados en términos de un sistema de referencia que no gira.

33

Ejemplo: Un portaviones viaja en dirección norte a 15 mi/h y con su radar determina que la velocidad de un avión A respecto a él es horizontal y de 300 mi/h hacia el noroeste. ¿Cuál es la velocidad del avión con respecto a la tierra?

N N

W E vB

vA

De la ecuación vA=vB+v AB obtenemos aplicando la propiedad de

translación de los vectores:

vA/B vA = ?

45º vB = 15 mi/h

vA vA/B = 300 mi/h

vB

Resolviendo el triángulo por la Ley de los Cosenos:

vA2 =vB

2 +v BA

2 −2 vA v AB

cos135o

vA=152+3002−2 (15 ) (300 )cos135o=310mih

34

Calculando la dirección de vA: vA/B

135º vA

vB α

v Asen135

=v AB

sen∝ ∴ senα=

sen135 v AB

v A=0.6843

α=arc sen0.6843

α=43.2o

La respuesta es: N

vA = 310 mi/h α vA

α = 43.2o

PROBLEMA: El aeroplano A vuela en dirección Este a 700 km/h mientras que el aeroplano B vuela a 500 km/h a la misma altitud y en una dirección al Oeste del Sur. Si la rapidez de B con respecto a A es de 1125 km/h. Determinar la dirección de la ruta de B.

A

B

β

β = 48.7º