Dinamica Unidad 1

INGENIERIA CIVIL

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZCinemtica de partculas1.1. Introduccin

El estudio de la Dinmica parte de la Mecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento.

En tanto que el estudio de la esttica se remonta al tiempo de los filsofos griegos, la primera contribucin importante a la dinmica la realizo Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular sus leyes de movimiento fundamentales:

1.- La CINEMATICA, la cual corresponde al estudio de la geometra del movimiento, se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento.

2.- La CINETICA, que es el estudio de la relacin que existe entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo.La CINETICA se usa para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento especifico.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ1.2.- MOVIMIENTO RECTILINEOPosicin, Velocidad y Aceleracin.Una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilneo, En cualquier instante dado t, la partcula ocupara cierta posicin sobre la lnea recta. Para definir la posicin P de la partcula se elige un origen fijo O sobre la direccin positiva a lo largo de la lnea. Se mide la distancia X desde O hasta P, y se marca con un signo mas o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la lnea en la direccin positiva o en la negativa, respectivamente.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZCuando se conoce la coordenada de la posicin x de una partcula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partcula. El itinerario del movimiento puede expresarse en forma de una ecuacin en x y t tal como x= 6t-t, o en una grafica de x en funcin de t.

La coordenada de la posicin, la velocidad y la aceleracin se han graficado contra t, las curvas obtenidas se conocen como curvas de movimiento. Recurdese, sin embargo que la partcula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas, la partcula se mueve en una lnea recta.

Puesto que la derivada de una funcin mide la pendiente de la curva correspondiente.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ

1.- La partcula inicia desde el origen, x=0, sin velocidad pero con una aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana una velocidad positiva y se mueve en la direccin positiva. (posicin)2.- En t=2 s, la aceleracin es cero, la velocidad ha alcanzado su valor mximo. De t=2 s a t=4 s, v es positiva, pero a es negativa. La partcula aun se mueve en direccin positiva, pero cada vez mas lentamente (la partcula se esta desacelerando) (velocidad) 3.- En t=4 s, la velocidad es cero; la coordenada de la posicin x ha alcanzado su valor mximo. A partir de ah, tanto v como a son negativas (la partcula se esta acelerando y se mueve en la direccin negativa con rapidez creciente) (aceleracin)

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZVelocidad promedio= x / t Si se usan unidades del SI. x se expresa en metros y t en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundos (m/s). Si se recurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, x se expresa en pies y t se expresa en segundos, la velocidad promedio se expresara entonces en pies por segundos (ft/s).La velocidad instantnea v de la partcula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientos x cada vez mas cortos:

Velocidad instantnea = v= lim x / t t 0La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s. observando que el limite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de x con respecto a t.

v= dx / dt La velocidad v se representa mediante un numero algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva, un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partcula se mueve en direccin negativa.la magnitud de v se conoce como la rapidez de la partcula


La aceleracin instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s . El limite del cociente, el cual es por definicin la derivada de v con respecto a t, mide la razn de cambio de la velocidad.

a= dv / dt o bien a= d x / dt o bien a= v dv / dx Ejemplo (1).Considere la partcula que se mueve en una lnea recta y suponga que su posicin esta definida por la ecuacin: x= 6t tDonde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x (posicin) con respecto a t: v= dx / dt = 12t - 3tLa aceleracin a se obtiene al diferenciar la velocidad con respecto a t: a= dv / dt = 12- 6t

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZDETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA

1.- a= f(t) La aceleracin es una funcin dada de t . Al resolver a= dv / dt para dv y sustituir f(t) por a, se escribe dv=a dt dv=f(t) dt si a=f(t) y dv= a dt por lo tanto dv= f(t) dt Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuacin dv= f(t) dtQue define v en trminos de t. sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introducira como resultado de la integracin. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleracin dada a=f(t). Para definir en forma nica el movimiento de la partcula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, esto es, el valor de Vo de la velocidad y el valor de Xo de la coordenada de la posicin en t=0.Al sustituir las integrales definidas con los limites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t=0 y V=Vo y los limites superiores correspondientes a t=t y v=v.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ2.- a= f(x). La aceleracin se da en funcin de x. al reordenar la ecuacin a= v dv / dx y sustituir f(x) para a: v dv = a dx v dv = f(x) dxPuesto que cada miembro contiene solo una variable, se puede integrar la ecuacin. Denotando de nuevo mediante Vo y Xo, respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de la posicin, se obtiene:

3.- a=f(v). La aceleracin es una funcin dada de v. es posible sustituir f(v) por a en a= dv / dt y en a= v dv / dx para obtener cualquiera de las relaciones siguientes:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZLa integracin de la primera ecuacin producir una relacin entre v y t, la integracin de la segunda ecuacin originara una relacin entre v y x. cualquiera de estas relaciones puede utilizarse junto con la ecuacin v= dx / dt para obtener la relacin entre x y t que caracteriza el movimiento de la partcula.







ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZMOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

El movimiento rectilneo uniforme es un tipo de movimiento en lnea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones practicas. En este movimiento, la aceleracin a de una partcula es cero para todo valor de t. en consecuencia, la velocidad v es constante y la ecuacin v= dx / dt , se transforma en dx / dt= v = constanteLa coordenada de posicin x se obtiene cuando se integra esta ecuacin. Al demostrar mediante Xo el valor inicial de x.

Nota: esta ecuacin puede utilizarse solo si la velocidad de la partcula es constante


ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZMOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

El movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comn de movimiento, En este, la aceleracin a de la partcula es constante, y la ecuacin a= dv / dt se convierte en: dv / dt= a = constante

La velocidad v de la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin:

Donde Vo es la velocidad inicial. Al sustituir por V en v= dx / dt tenemos que:

Al denotar mediante Xo el valor inicial de X e integrar se tiene

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZTambin se puede recurrir a la ecuacin a= v dv / dx y desarrollamos

Al integrar ambos lados tenemos que:

Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones tiles entre la coordenada de posicin, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores apropiados de a, Vo, y Xo.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ1.3.-MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS

Cuando varias partculas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma lnea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partcula. Siempre que sea factible, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas las partculas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo origen y en la misma direccin. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una misma cinta mtrica.

1.3.1.-MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS

Considere dos partculas de A Y B que se mueven a lo largo de la misma lnea recta.

Si las coordenadas de posicin XA Y XB se miden desde el mismo origen, la diferencia XB - XA define la coordenada de posicin relativa de B con respecto a A y se denota por medio de XB/A

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZDe manera independiente de las posiciones A y B con respecto al origen, un signo positivo para XB/A significa que B esta a la derecha de A , y un signo negativo indica que B se encuentra a la izquierda de A. La razn de cambio XB/A se conoce como la velocidad relativa de B con respecto a A y se denota por medio de VB/A (Y al diferenciar encontramos)

Un signo positivo de VB/A significa que a partir de A se observa que B se mueve en direccin positiva, un signo negativo indica, segn se observa, que esta se mueve en direccin negativa. La razn de cambio de VB/A se conoce como la direccin relativa de B con respecto a A y se denota mediante aB/A (Y al diferenciar encontramos)

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ1.3.2.-MOVIMIENTOS DEPENDIENTES

Algunas veces, la posicin de una partcula depender de la posicin de otra o varias partculas. En ese caso se dice que los movimientos son dependientes. Por ejemplo, la posicin del B depende de la posicin del bloque A. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud constante, y puesto que las longitudes de las porciones de la cuerda CD y EF alrededor de las poleas permanecen constantes, se concluye que las suma de las longitudes de los segmentos AC, DE Y FG es constante. Al observar que la longitud del segmento AC difiere de XA solo por una constante y que, de manera similar, las longitudes de los segmentos DE y FG difieren de XB nicamente por una constante, decimos que:XA + 2XB = constante (la cual recibe el nombre de ecuacin de ligadura)

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZPuesto que solo una de las dos coordenadas XA Y XB pueden elegirse de manera arbitraria, se afirma que el sistema que se presenta tiene un grado de libertad. De la relacin entre las coordenadas de posicin XA Y XB se deduce que XA presenta un incremento XA, esto es, si el bloque A desciende una cantidad XA, la coordenada XB recibir un incremento XB = -1/2 XA. En otras palabras, el bloque B ascender la mitad de la misma cantidad; lo anterior puede verificarse con facilidad en la figura.


En caso de que se tengan tres bloques, se puede observar de nuevo que la longitud de la cuerda que pasa por las poleas es constante y, en consecuencia, las coordenadas de posicin de los tres bloques deben satisfacer la siguiente relacin. 2XA + 2XB + XC = constantePuesto que es posible elegir de manera arbitraria dos de las coordenadas, se afirma que el sistema tiene dos grados de libertad.Cuando la relacin que existe entre las coordenadas de posicin de varias partculas es lineal, se cumple una relacin similar entre las velocidades y entre las aceleraciones de las partculas. En el caso de los bloques de la figura por ejemplo, se diferencian dos veces la ecuacin obtenida y se tiene:





ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ1.4.- MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULASVECTOR DE POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION.

Cuando una partcula se mueve a lo largo de una curva diferente a una lnea recta, se afirma que describe un movimiento curvilneo. para definir la posicin (P) ocupada por la partcula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia fijo, como los ejes x, y, z

Y se dibuja el vector r que une al origen O y al punto P, puesto que el vector r esta caracterizado por su magnitud r y su direccin con respecto a los ejes de referencia, este define por completo la posicin de la partcula con respecto a esos ejes; el vector r se conoce como el vector posicin de la partcula en el tiempo t.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZConsidere ahora el vector r` que define la posicin p` ocupada por la misma partcula en un tiempo posterior t+t. El vector r que une a p y a p` representa el cambio en el vector posicin durante el intervalo de tiempo t, pues el vector r` se obtiene al sumar los vectores r y r de acuerdo con el mtodo del triangulo .

r representa un cambio de direccin, as como un cambio de magnitud del vector de posicin r. la velocidad promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente de r y t. Puesto que r es un vector y t es un escalar, el cociente r/t es un vector unido a p, de la misma direccin que r y de magnitud igual de r cada vez menores. La velocidad instantnea se representa en consecuencia mediante el vector.


A medida que r y t disminuyen, las posiciones P y P` se acercan cada vez mas entre si, el vector V obtenido en el limite debe, por lo tanto, ser tangente a la trayectoria de la partcula. Puesto que el vector posicin r depende del tiempo t, se conoce como una funcin vectorial de la variable escalar t y se denota mediante r(t). Extendiendo el concepto de derivada de una funcin escalara que se presenta en calculo elemental, el limite del cociente r/t se conoce como la deriva de la funcin vectorial r(t).


La magnitud del vector v del vector V se conoce como la rapidez de la partcula y es posible obtenerla al sustituir, en vez del vector r en la formula,La magnitud de este vector representado por el segmento de Lnea recta pp`. Sin embargo la longitud del segmento pp`Se acerca a la longitud s del arco pp` cuando t disminuye

Por lo que se dice que:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZLa rapidez v puede obtenerse entonces diferenciando con respecto a t la longitud s del arco que describe la partcula. Considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y su velocidad v`en un tiempo posterior t + t

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZSe dibujan ambos vectores v y v` a partir del mismo origen o`. El vector v que une a Q y a Q` representa el cambio en la velocidad de la partcula durante un intervalo de tiempo t

Ya que el vector v` puede obtenerse al sumar los vectores v y v, hay que advertir que v representa un cambio en la direccin de la velocidad, as como un cambio en la rapidez. La aceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente ente v y t. Puesto que v es un vector y t un escalar, el cociente v/t es un vector en la misma direccin que v.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZLa aceleracin instantnea de la partcula en el tiempo t se obtiene al tomar valores cada vez mas y mas pequeos de v y t. La aceleracin instantnea se representa en consecuencia por medio del vector

Al advertir que la velocidad v es una funcin v(t) del tiempo t, es posible referirse al limite del cociente v/t como la derivada de v con respecto a t. y se escribe:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZSe observa que la aceleracin a es tangente a la curva descrita por la punta Q del vector v cuando este ultimo se dibuja desde un origen fijo O`.

En general, la aceleracin no es tangente a la trayectoria de la partcula se conoce como la hodgrafa del movimiento.







ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZSabemos que la velocidad de una partcula es un vector tangente a la trayectoria de la misma, pero que, en general, la aceleracin no es tangente a la trayectoria. En ocasiones resulta conveniente descomponer la aceleracin en componentes dirigidas, respectivamente, a lo largo de la tangente y la normal de la trayectoria de la partcula.

MOVIMIENTO PLANO DE UNA PARTICULA.Primero considrese una partcula que se mueve a lo largo de una curva contenida en el plano.

Sea P la posicin de la partcula en un instante dado. Se une P a un vector unitario et tangente a la trayectoria de la partcula y que apunta en la direccin de movimiento. Sea et el vector unitario correspondiente a la posicin P de la partcula en un instante posterior.1.4.3.- COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZSi se dibujan ambos vectores desde el mismo origen , se define el vector et= et-et. Puesto que et y et son de longitud unitaria, sus puntas se encuentran sobre un circulo de radio 1.

Si se denota por el Angulo formado por et y et, se encuentra que la magnitud de et es 2 sen( /2). Al considerar ahora que el vector et / , se advierte que a medida que se aproxima a cero, este vector se vuelve tangente al circulo unitario.Esto es perpendicular a et, y que su magnitud tiende a :

En consecuencia, el vector obtenido en el limite es un vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria de la partcula, en la direccin hacia la cual cambia et. Al denotar este vector por en y se describe de la siguiente manera:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZPuesto que la velocidad v de la partcula es tangente a la trayectoria, puede expresarse como el producto escalar de v y el vector unitario et y se tiene que:

Para obtener la aceleracin de la partcula se definir con respecto a t. al aplicar la regla de la diferenciacin del producto escalar de una funcin escalar se escribe:

Al recordar que ds/dt=v, que det/d=en, y del calculo elemental de d/ds es igual a 1/, donde es el radio de curvatura de la trayectoria en P

Y se tiene que:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZSi sustituimos en

Obtenemos que:

De tal modo, las componentes escalares de la aceleracin son:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZLas relaciones obtenidas expresan que la magnitud de la componente tangencial de la aceleracin es igual a la razn de cambio de la velocidad de la partcula, en tanto que la magnitud de la componente normal es igual al cuadrado de la velocidad dividida entre el radio de curvatura de la trayectoria en P. si aumenta la velocidad de la partcula, at es positiva y la componente vectorial at apunta en la direccin de movimiento. Si disminuye la velocidad de la partcula, at es negativa y at, apunta contra la direccin del movimiento. La componente vectorial an, por otro lado, siempre se dirige hacia el centro de curvatura C de la trayectoria.

De lo anterior se concluye que la magnitud de la componente tangencial de la aceleracin refleja un cambio en la magnitud de la velocidad de la partcula, mientras que su componente normal refleja un cambio en su direccin de movimiento.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZ1.4.4.- COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL.

En ciertos problemas de movimiento plano, la posicin de la partcula P se define mediante sus coordenadas polares r y .

En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleracin de la partcula en componentes paralela y perpendicular; respectivamente, a la lnea OP. Estas se conocen como componentes radia y y transversal.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZSe une a P dos vectores unitarios, er y e:

El vector er esta dirigido a lo largo de OP y el vector e se obtiene al rotar er 90 en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. El vector unitario er define la direccin radial, esto es, la direccin en la cual p se movera si r aumentara y se mantuviera constante; el vector unitario e aumentara y r se mantuviera constante. Por lo que se producen las siguientes relaciones.

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZDonde er denota un vector unitario positivo respecto a er

Mediante la regla de la cadena, se expresan las derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y e del modo siguiente:

O, al utilizar puntos para indicar derivacin con respecto a t.

Para obtener la velocidad v de la partcula P, se expresa la posicin del vector r de P como el producto del escalar r y el vector unitario er y se deriva con respecto a t:

ING. FERNANDO BELTRAN GUTIERREZAl derivar otra vez con respecto a t para obtener la aceleracin, se escribe

Al sustituir

Y factorizar er y e, obtenemos:Las componentes escalares de la velocidad y la aceleracin en las variaciones radial y transversal son, por lo tanto.

Es importante advertir que ar no es igual a la derivada respecto al tiempo de vr y que a no es igual a la derivada en el tiempo de v.En el caso de una partcula que se mueve a lo largo de un circulo de centro O, se tiene r=constante y r=r=0, y las formulas y

Se reducen respectivamente, a





EJERCICIOS A RESOLVER (ACTIVIDAD EXTRA CLASE)





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