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FUNCIONES EXPONENCIALESCLASES DE MATEMÁTICA

ESCUELA DE COMERCIO “MANIE A. DE ESTOFÁN”

Lic. Graciela Álvarez de Cardozo

Una función exponencial es una función de la forma:


: ( ) . x hf f x c a k

, , 1donde a c h y k con a o a

En una función exponencial, la

variable independiente

está en el exponente

Vamos a comenzar su análisis considerando:

Entonces la ecuación que define la función es la siguiente:


0 11 ;c h k ay

: ( ) xf f x a

Si la ecuación que define la función será

realicemos una pequeña tabla de valores y

grafiquemos:


( ) 2xf x

x y

3 8

2 4

1 2

0 1

-1 ½

-2 ¼

-3 1/8

Observa: La función es creciente y

,

Im 0,

Domf

f

2a

Observa en la siguiente gráfica, donde se hizo variar “a”, los puntos (1,a) y (0,1)


Para tener en cuenta:

cualquiera sea el valor de a, el

punto (1,a) y el (0,1) siempre

están.

(

( ) (

)

) 5

;

;

3) 2

4

( x x

x xh

g x

L xx

f x

Ahora vamos a considerar , tomando

La función quedaría:

en este caso también se encuentran los puntos (1,a) y (0,1)


0 1a 1

2a

1( )

2

x

f x

x y

3 1/8

2 ¼

1 ½

0 1

-1 2

-2 4

-3 8

Observa: La función es decreciente y

,

Im 0,

Domf

f


Si

Los puntos (1,a) y (0,1) pertenecen a la gráfica de la función.

El

Si a> 1 , la función es creciente

Si 0 < a < 1 , la función es decreciente


( ) 0 1xf x a con a y a

, Im 0,Domf y la f

1( )

2

1( ) 2

0 1

x

x

f la base mayor que

la base es un número entre yg x

x

¿Qué pasa con el dominio de la función cuando c=-1? ¿y con la imagen? Para analizar grafiquemos la función:


: ( ) 2xf f x x f(x)

-3 -1/8

-2 -1/4

-1 -1/2

0 -1

1 -2

2 -4

3 -8

La gráfica “volteó” hacia abajo del eje

OX. El dominio no varía pero la

imagen sí.

,

Im ,0

Domf

f

Observa las gráficas de


:: 2 2x xy d g gef f x x

Las gráficas son

simétricas respecto al

eje OX

Consideremos ahora valores de k, distintos de cero:


( ) 2 2 I

( ) 2 2

( )

m

Im 2

2

2

Im 0,

,

,x

x

xg x g

f x f

h x h

La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia

abajo dependiendo del valor de k, y esto

modifica la imagen de la

función

Consideremos ahora valores de h, distintos de cero:


1

2

( ) 2

( )

( ) 2

2x

x

x

f x

h

x

x

g

La gráfica se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda

dependiendo del valor de h. Observa el punto

A, se traslada una unidad a la derecha

(A’) en la función g , y 2 unidades a la

izquierda (A’’)en la función h.



Si consideramos la función

La gráfica se abre o se cierra dependiendo del valor de

c, y se “voltea” hacia abajo del eje OX, si es negativo.

La gráfica se desplaza k unidades hacia arriba si k >

O, o k unidades hacia abajo si k < O, esto modifica la

imagen de la función

La gráfica se desplaza h unidades a la derecha si h >

O, o h unidades a la izquierda si h < O. En este caso no

hay variaciones de dominio o imagen

( ) . x hf x c a k

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