Funciones exponenciales
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FUNCIONES EXPONENCIALESCLASES DE MATEMÁTICA
ESCUELA DE COMERCIO “MANIE A. DE ESTOFÁN”
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
Una función exponencial es una función de la forma:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
: ( ) . x hf f x c a k
, , 1donde a c h y k con a o a
En una función exponencial, la
variable independiente
está en el exponente
Vamos a comenzar su análisis considerando:
Entonces la ecuación que define la función es la siguiente:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
0 11 ;c h k ay
: ( ) xf f x a
Si la ecuación que define la función será
realicemos una pequeña tabla de valores y
grafiquemos:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
( ) 2xf x
x y
3 8
2 4
1 2
0 1
-1 ½
-2 ¼
-3 1/8
Observa: La función es creciente y
,
Im 0,
Domf
f
2a
Observa en la siguiente gráfica, donde se hizo variar “a”, los puntos (1,a) y (0,1)
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
Para tener en cuenta:
cualquiera sea el valor de a, el
punto (1,a) y el (0,1) siempre
están.
(
( ) (
)
) 5
;
;
3) 2
4
( x x
x xh
g x
L xx
f x
Ahora vamos a considerar , tomando
La función quedaría:
en este caso también se encuentran los puntos (1,a) y (0,1)
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
0 1a 1
2a
1( )
2
x
f x
x y
3 1/8
2 ¼
1 ½
0 1
-1 2
-2 4
-3 8
Observa: La función es decreciente y
,
Im 0,
Domf
f
Para tener en cuenta:
Si
Los puntos (1,a) y (0,1) pertenecen a la gráfica de la función.
El
Si a> 1 , la función es creciente
Si 0 < a < 1 , la función es decreciente
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
( ) 0 1xf x a con a y a
, Im 0,Domf y la f
1( )
2
1( ) 2
0 1
x
x
f la base mayor que
la base es un número entre yg x
x
¿Qué pasa con el dominio de la función cuando c=-1? ¿y con la imagen? Para analizar grafiquemos la función:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
: ( ) 2xf f x x f(x)
-3 -1/8
-2 -1/4
-1 -1/2
0 -1
1 -2
2 -4
3 -8
La gráfica “volteó” hacia abajo del eje
OX. El dominio no varía pero la
imagen sí.
,
Im ,0
Domf
f
Observa las gráficas de
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
:: 2 2x xy d g gef f x x
Las gráficas son
simétricas respecto al
eje OX
Consideremos ahora valores de k, distintos de cero:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
( ) 2 2 I
( ) 2 2
( )
m
Im 2
2
2
Im 0,
,
,x
x
xg x g
f x f
h x h
La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia
abajo dependiendo del valor de k, y esto
modifica la imagen de la
función
Consideremos ahora valores de h, distintos de cero:
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
1
2
( ) 2
( )
( ) 2
2x
x
x
f x
h
x
x
g
La gráfica se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda
dependiendo del valor de h. Observa el punto
A, se traslada una unidad a la derecha
(A’) en la función g , y 2 unidades a la
izquierda (A’’)en la función h.
Lic. Graciela Álvarez de Cardozo
Para tener en cuenta:
Si consideramos la función
La gráfica se abre o se cierra dependiendo del valor de
c, y se “voltea” hacia abajo del eje OX, si es negativo.
La gráfica se desplaza k unidades hacia arriba si k >
O, o k unidades hacia abajo si k < O, esto modifica la
imagen de la función
La gráfica se desplaza h unidades a la derecha si h >
O, o h unidades a la izquierda si h < O. En este caso no
hay variaciones de dominio o imagen
( ) . x hf x c a k
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Lic. Graciela Álvarez de Cardozo