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Tema: Aplicaciones de Funciones Exponenciales Curso: 5° año Propósitos

Propiciar condiciones, para que los estudiantes adquieran el concepto de función exponencial avanzando desde la observación de regularidades hacia la obtención del modelo algebraico y gráfico. Promover la valoración y el uso responsable de recursos tecnológicos mediante el desarrollo de competencias genéricas y disciplinares para lograr resolver problemas. Impulsar un aprendizaje colaborativo para incentivar el desarrollo de pensamiento crítico, fortalecer el sentimiento de respeto mutuo e implementar procedimientos de autoevaluación y coevaluación. Objetivos Que los alumnos: Interpreten situaciones problemáticas vinculadas a función exponencial. Adquieran destreza en la aplicabilidad y análisis de la función exponencial. Apliquen los modelos para resolver problemas. Utilicen el programa GEOGEBRA para realizar gráficos de la Función exponencial en la resolución de problemas. Contenidos

Interpretación de gráficos y fórmulas que representen variaciones exponenciales en función del problema a resolver. Análisis de comportamiento de las funciones exponenciales desde sus representaciones en gráficos y fórmulas (incluyendo interpretación y variación de parámetros). Utilización de las funciones exponenciales como modelo matemático para resolver problemas extramatemáticos. Saberes previos necesarios

En relación con la disciplina:

Uso de las nociones de dependencia y variabilidad y de las diferentes representaciones de una función (coloquial, gráfica, algebraica, por tablas, etc.). Interpretación de gráficos y fórmulas que representen variaciones lineales y cuadráticas en función del problema a resolver. Reconocimiento del dominio e imagen de una función desde sus representaciones gráficas, interpretando parámetros y propiedades de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. Utilización de las funciones lineales, cuadráticas y polinómicas como modelo matemático para resolver problemas extramatemáticos.

En relación con las TIC:

Empleo de programas graficadores para facilitar la representación gráfica de relaciones entre variables en coordenadas cartesianas y el análisis de variables.

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Actividades: Encuentro 1: ¿A dónde llegaremos observando regularidades? Tiempo previsto: 80 minutos Actividad de apertura: Tiempo Parcial: 10 minutos. Introducción: El desarrollo de la secuencia se llevará a cabo en la sala de computación del colegio, donde también se encuentra el proyector.

Se propone el trabajo en parejas, debido a que no contamos con una computadora para cada uno.

El docente explicará que van a trabajar con problemas que nos permiten abordar el tema y utilizarán los softwares GeoGebra y EXCEL.

Se compartirán las actividades a realizar con los alumnos a través de la plataforma social EDMODO lo que permitirá la lectura y relectura cuantas veces sea necesario, también permanecerán visualizadas por medio del proyector

Los alumnos han trabajado en otras ocasiones con el software matemático y con la plataforma social, por lo que se presupone que los inconvenientes podrán ser mínimos.

Al comenzar el desarrollo de la secuencia, se generará un espacio para acordar con los alumnos la dinámica general de trabajo, las competencias genéricas disciplinares a lograr, la metodología a seguir, el proceso y tipos de evaluación, así como los instrumentos y criterios, los principales contenidos, los recursos, la bibliografía y poner en discusión los criterios y puntos de vista sobre qué y cómo se evaluará, para que puedan auto evaluarse y examinar su trabajo continuo y, así, llegar a conclusiones rigurosas al final del proceso.

Presentación del problema:

Para iniciar el estudio de las características del modelo exponencial se propondrá un problema en el que se parte de la observación de regularidades en una secuencia de figuras para obtener la fórmula y la gráfica.

El docente comenzará explicando que van a trabajar con funciones cuya representación gráfica descubrirán durante la secuencia, y que analizarán las particularidades de este tipo de funciones y algunos problemas que nos permiten abordar y que para realizar este trabajo continuarán utilizando los software GeoGebra y EXCEL.

Se da inicio a las actividades entregando vía EDMODO el siguiente problema:

a) Completen la tabla relacionando la cantidad de triángulos blancos, con la posición que ocupa la figura.

Posición inicial ó 0 Posición 1 Posición 2

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b) Analicen y respondan: ¿En alguna posición la cantidad de triángulos blanco será 512? Justifiquen. Construya una gráfica que relacione las variables, utilizando la Barra de Entrada. Encuentre la fórmula que relaciona la cantidad de triángulos blancos con la posición que ocupa la figura. Utilicen la anterior relación para determinar X10, ¿qué representa esta cantidad?

Para dar inicio a resolución del problema, el docente pedirá que algún alumno lea en vos alta el enunciado para asegurarse la comprensión del mismo por parte de todos los alumnos y se harán todas las aclaraciones necesarias para la realización del trabajo; además se hará hincapié en que la gráfica se construya con GEOGEBRA utilizando la Barra de Entrada y pidiéndoles que guarden la actividad en su MOCHILA de EDMODO y la publiquen como NOTA.

Actividad de desarrollo Tiempo Parcial: 50 minutos Introducción:

La intencionalidad de esta propuesta es lograr, por medio de la observación de la secuencia de las figuras y la regularidad que se establezca a través de la tabla de datos, obtener un modelo exponencial que relacione las variables que intervienen en el problema y conocer su gráfica. Se intenta así poner en juego de una serie de elecciones que permitirán avanzar en los conocimientos y determinar el comportamiento a futuro sin necesidad de recurrir a la experimentación.

Para ello se presentará un problema en el cual podrán avanzar con los conocimientos que poseen pero, en algún momento éstos se vuelvan insuficientes o poco económicos para completar la resolución, surgiendo así la necesidad del nuevo concepto como herramienta.

Cada pareja comenzará a completar la tabla, para lo cual, será necesario, ir determinando y anotando, el número de triángulos blancos correspondiente a cada posición que ocupa la figura, estableciendo después, una relación entre estas cantidades.

Mientras los alumnos trabajen en pareja, el docente preparará el proyector para visualizar una tabla idéntica a la que figura en la actividad entregada a los alumnos y luego recorrerá el aula observando el trabajo, sin interrumpir a menos que la situación lo amerite.

Transcurrido 10 minutos de clase, el docente solicitará a un alumno que pase y complete la tabla con sus resultados que se reproducirán en la computadora conectada al proyector para así poder ser visualizada por toda la clase. Aquí el docente irá preguntando si todos han obtenido iguales resultados e intervendrá cuando haya un error para orientarlos en la corrección. Pude presentarse la necesidad de tener que ayudarlos en la sintaxis de la calculadora o fórmulas de cálculos en Excel .

Luego, los alumnos harán uso del programa Geogebra utilizando la Barra de Entrada para obtener la gráfica pedida y continuarán trabajando en parejas mientras el docente recorre el aula observando el trabajo, sin interrumpir a menos que la situación lo amerite. Podrá suceder que al responder las preguntas del punto b encuentren algunas dificultades: si los primeros casilleros los completaron usando como herramienta la observación de regularidades en las figuras, ¿cómo se podrá calcular si en alguna posición la cantidad de triángulos blanco será 512?, momento en el que el docente podrá gestionar una puesta en

POSICIÓN 0 1 2 3 4 5

CANTIDAD DE TRIÁNGULOS BLANCOS

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común en la cual los diferentes grupos expongan las diferentes estrategias utilizadas para responder a la pregunta u orientarlos sugiriendo alguna estrategia para lograr la expresión algebraica, como puede ser la de agregar una nueva fila a la tabla donde se registren las operaciones que se fueron resolviendo en cada paso, señalando con colores diferentes los números que varían y los que no para identificar con mayor claridad cuáles son las constantes y las variables de la fórmula buscada.

Actividad de cierre Tiempo Parcial: 20 minutos Puesta en común:

En esta instancia se fomentará el debate en torno a los procedimientos utilizados y a los errores cometidos al completar la tabla permitiendo el intercambio entre los grupos, y el docente los orientará hasta que se defina la función exponencial: y = ax Para ello, el docente organiza la puesta en común para resolver en forma colaborativa y justificar la solución del problema.

En primer lugar, un alumno pasará a realizar la gráfica que se reproducirá en la computadora conectada al proyector para así poder ser visualizada por toda la clase. Aquí el docente irá preguntando si todos han obtenido una gráfica igual e intervendrá cuando haya un error para orientarlos en la corrección.

El docente preguntará a los alumnos: ¿Esta gráfica corresponde a alguna de las funciones conocidas hasta el momento (lineal, cuadrática, polinómica)?

Como al realizar el gráfico, según la escala utilizada, la variación es poca, es probable que

algunos alumnos respondan que se trata de una recta, es decir la representación de una función lineal por lo que será necesario proponer un cambio de escala para que noten que la gráfica no corresponde a una línea.

A continuación un alumno pasa a escribir la fórmula encontrada, que se reproducirá en la computadora conectada al proyector para así poder ser visualizada por toda la clase.

El docente pregunta a la clase si hay otras fórmulas encontradas, y si así ocurriese hará pasar al alumno a que la escriba en el pizarrón interviniendo hasta que logren que corrijan sus errores si es que existen y será oportuno hacer una comparación, para que noten que la función lineal es de la forma y = m x + b, y que la expresión encontrada no responde a esa forma.

Recursos Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pizarra Guías de actividades: enunciado del problema Notbooks y Proyector EXCEL GeoGebra EDMODO

Evaluación El docente, en todo momento asesorará el trabajo de los equipos, vigilará el desempeño de cada uno, observará la participación y el trabajo grupal. La observación directa del docente será

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fundamental en esta etapa inicial de la secuencia para orientar a los alumnos a obtener un modelo exponencial que relacione las variables que intervienen en el problema y conocer su gráfica. Por medio de preguntas hará que problematicen el conocimiento en cuestión y provoquen discusiones entre los alumnos, exigiendo respeto a lo expuesto por los equipos, logrando así la participación en un ejercicio de autoevaluación y co-evaluación, Al socializar la solución de las actividades propuestas, el docente y/o los alumnos se retroalimentan. Para evaluar y recoger información sobre las capacidades y actitudes de los estudiantes, el docente utilizará técnicas de situaciones orales de Evaluación por intermedio de la exposición, el diálogo y el debate utilizando como instrumento una matriz de valoración que considere tanto los conocimientos y procedimientos matemáticos, como los de uso del recurso tecnológico y el trabajo colaborativo. Encuentro 2: Monitoreando el cultivo de soja Tiempo previsto: 80 minutos Actividad de apertura: Tiempo Parcial: 5 minutos. Introducción: Para continuar con el estudio de las características del modelo exponencial se propondrá un problema que, además de obtener el modelo de la situación planteada, permite también analizar el comportamiento de las funciones exponenciales desde sus representaciones en gráficos y fórmulas (incluyendo interpretación y variación de parámetros). Para esta parte de la secuencia se prevé una metodología de trabajo similar a la del encuentro 1.

El docente por medio del diálogo abierto con expresión libre de ideas, saberes, opiniones, dudas intentará recuperar los aprendizajes previos.

Actividad de desarrollo Tiempo Parcial: 20 minutos Parte A

El docente da inicio a las actividades presentando a la clase por medio del proyector y entregando vía EDMODO el siguiente problema:

El cultivo de soja puede ser afectado por distintas enfermedades foliares que generan pérdidas de rinde. Las enfermedades foliares actúan reduciendo el área foliar verde, su duración y actividad. Como resultado, puede disminuir la tasa de

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crecimiento del cultivo en etapas críticas de fijación de vainas y granos y/o limitar la disponibilidad de fuente (hojas) para el llenado de granos. Dentro de las enfermedades foliares del cultivo de soja, el complejo de Enfermedades de Fin de Ciclo (EFC) es el de mayor difusión e impacto. Entre las enfermedades que forman este complejo, Mancha Marrón (causada por Septoria glycines) y Tizón morado de la hoja -también ocasionando la Mancha púrpura de la semilla- (causada por Cercospora kikuchii), son las más importantes. Otra enfermedad foliar relevante para el cultivo de soja es la Mancha Ojo de Rana (MOR, causada por Cercospora sojina). El monitoreo tiene como objetivo determinar el tipo de enfermedades presentes y el nivel de infección. En base a esto se decide la conveniencia de un control químico en cada lote. Se ha realizado un monitoreo en una parcela sembrada afectada por Septoria glycines para cuantificar su nivel y decidir la conveniencia y el momento oportuno para su control. Se observó que al inicio del monitoreo los folíolos con presencia de EFC y MOR alcanzaban un valor promedio de 120 por m2, y que éstos aumentaron un 25% por día.

¿Cuántos folículos afectados por m2 había en cada uno de los tres días posterior al inicio del monitoreo? ¿Y x días después? Encuentre la fórmula que permita calcular la cantidad de folículos afectados por m2 en relación a los días transcurridos. Representen gráficamente.

Para dar inicio a la resolución del problema, el docente pedirá que algún alumno lea en vos alta el enunciado para asegurarse la comprensión del mismo por parte de todos los alumnos y se harán todas las aclaraciones necesarias para la realización del trabajo; además se hará hincapié en que la gráfica se construya con GEOGEBRA y pidiéndoles que guarden la actividad en su MOCHILA de EDMODO y la publiquen como NOTA. Cada pareja comenzará a resolver el problema con los conocimientos que tienen disponibles hasta el momento, pudiendo hacerlo con calculadora o con ayuda del Excel. Mientras los alumnos trabajen en pareja, el docente recorrerá el aula observando el trabajo, sin interrumpir a menos que la situación lo amerite. En general, van resolviendo cada una de las preguntas a partir de la respuesta anterior. Para responder a la primera, como saben que se comienza con 120 folíolos afectados por cada m2, y un día después habrá un 25 % más, calculan 120 · 0,25 + 120 = 150 folíolos afectados. Luego parten de los 150 folíolos: 150 · 0,25 + 150 = 187.5 folíolos afectados. Análogamente responden para tres días.

Durante la resolución podrán aparecer: - la cuestión del número decimal para expresar folíolos afectados, donde la intervención del docente será para hacerles ver que es un valor promedio, por lo cual sí puede expresarse en forma decimal. - la diferencia para la realización de los cálculos ya que algunos calcularán 120 . 0,25 + 150 y otros 120 . 1,25, por lo que se analizará la equivalencia. Podrá suceder que al responder las preguntas encuentren una dificultad: si para contestar cada parte de la primera pregunta lo hicieron a partir de la anterior, ¿cómo se podrá calcular cuál será la cantidad de folículos afectados por m2 luego de x días?, momento en el que el docente sugerirá que recuerden las estrategias utilizadas en la clase anterior. Luego, los alumnos harán uso del programa Geogebra para obtener la gráfica pedida.

Puesta en común:

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Transcurrido el tiempo anterior, el docente organiza la puesta en común para resolver en forma colaborativa y justificar la solución del problema.

En primer lugar, un alumno pasa a escribir la fórmula encontrada, que se reproducirá en la computadora conectada al proyector para así poder ser visualizada por toda la clase.

El docente pregunta a la clase si hay otras fórmulas encontradas, y si así ocurriese hará pasar al alumno a que la escriba en el pizarrón interviniendo hasta que logren que corrijan sus errores si es que existen. En esta instancia se fomentará el debate en torno a los procedimientos utilizados y a los errores cometidos, permitiendo el intercambio entre los grupos, y el docente intervendrá para lograr que se defina, una nueva forma de función exponencial y = k . ax .

A continuación un alumno pasará a realizar la gráfica que se reproducirá en la computadora conectada al proyector para así poder ser visualizada por toda la clase.

Posibles preguntas para la primera puesta en común:

¿La función encontrada verifica que si pasa un día desde cualquier momento de medición, la cantidad de folículos afectados por m2 aumenta un 25%? ¿La función que encontramos es similar a la encontrada en el encuentro anterior? ¿Qué diferencias encuentran? ¿Qué creen que se modificaría en el gráfico si el valor inicial de folículos afectados por m2 fueran 200? ¿Es verdad que a medida que el tiempo pasa, la cantidad de folículos afectados por m2 crece con mayor rapidez?

Parte B

El docente presenta a la clase por medio del proyector y entregando vía EDMODO el siguiente problema:

En otra parcela previamente monitoreada en la que se detectó una alta afección producida por Septoria glycines, se resolvió aplicar fungicidas en pos de manejar la enfermedad y recuperar una buena parte del rendimiento aumentando la disponibilidad de fuente para el llenado de granos. Se observó que al inicio del monitoreo los folíolos con presencia de EFC y MOR eran 350 por m2 y que luego de la aplicación del fungicida se lograban reducir un 2,5%.

Encuentre la fórmula que permita calcular la cantidad de folículos afectados por m2 en relación a los días transcurridos. Grafiquen la función hallada.

Para la parte B, la metodología de trabajo propuesta será análoga a la anterior. En las intervenciones el docente procurará que se reinvierta lo que utilizaron en el primer problema. Probablemente será necesario orientarlos para que noten que en este caso, el factor constante es menor que 1 y que en las dos situaciones, el valor inicial es distinto de 1 y para que todos lleguen a identificar a la función exponencial como aquella que por cada unidad de la variable independiente aumenta (o disminuye) un valor constante en la variable dependiente ya que en el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a, y donde k es el valor inicial x es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.

Actividad de cierre Tiempo Parcial: 20 minutos Puesta en común:

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Transcurrido el tiempo anterior, el docente organiza la puesta en común para resolver en forma colaborativa y justificar la solución del problema. Pedirá que todos visualicen los dos gráficos obtenidos en la clase y promoverá el análisis del comportamiento de las funciones exponenciales según cómo se cambien sus parámetros y de las condiciones necesarias para la definición de la función exponencial.

Para este análisis, algunas preguntas posibles son:

¿Puede a ser un número negativo? ¿Por qué? ¿Puede ser a = 1? ¿Por qué? ¿Qué tipo de función se obtiene en este caso? ¿Puede ser k = 0? ¿Por qué? ¿Cómo definirías el Dominio de la función? ¿Es una función continua? ¿Por qué punto fijo pasa la función? ¿En qué punto corta al eje de ordenadas? ¿Qué valores toma la función para cualquier valor de x? ¿Qué valores toma a para que la función sea creciente?, ¿y decreciente? ¿Existen asíntotas? ¿Cómo es su clasificación de acuerdo a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los de la imagen?

Para lograr la institucionalización los alumnos validarán sus afirmaciones, apoyados en la representación gráfica y dinámica lograda con GeoGebra y elaborarán una lista con las propiedades generales de las funciones exponenciales que surgen del análisis realizado.

Como cierre de la clase el docente envía a cada alumno un documento con nuevas actividades, solicitando que se resuelvan individualmente para ser compartidas en la siguiente clase. Estas actividades tienen como fin el que cada alumno pueda explorar cómo la modificación de cada uno de los parámetros determina una variación en la gráfica.

Recursos Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pizarra Guías de actividades: enunciado del problema Notbooks y Proyector Calculadora EXCEL GeoGebra EDMODO

Guía de actividades

Te propongo que investigues algunas propiedades interesantes de las funciones exponenciales.

Para simplificar trabajarás con K = 1 y la representación de: y = 2x e y= 3x

¿Qué sucede con los valores de y, de cada función, a medida que x aumenta? ¿Qué sucede con los valores de y, de cada función, a medida que x toma valores cada vez

más pequeños, o sea, valores negativos cada vez mayores (por ejemplo -106)? ¿Existe algún valor de x para el cuál y = 0, en cada una de las funciones? ¿Podés decir, en cada caso, cuál es el conjunto de valores que puede tomar la variable y?

¿Cuál de las dos funciones crece con mayor rapidez? ¿Por qué? La función y = 22x, ¿es una función exponencial? ¿Podés expresarla en la forma y = ax?

Trabaja con las siguientes funciones: y = (⅟2)x e y= (⅟3)x

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¿Qué sucede con los valores de y, de cada función, a medida que x toma valores cada vez

mayores? ¿y cuando x toma valores cada vez menores? ¿Cuál de las dos funciones decrece con mayor rapidez? ¿Por qué? En la fórmula y = ax, ¿quién determina que la función sea creciente o sea decreciente?

Decí, en forma general, que condición debe cumplir a para que sea una función creciente, ¿y decreciente? Trabaja con las siguientes funciones del tipo y = a (x – p): y = 2 (x – 5) e y= 2 (x + 6)

¿Qué sucede con los valores de y, de cada función, a medida que p toma valores positivos?

¿y cuando p toma valores negativos?

Trabaja con las siguientes funciones del tipo y = ax + q: y = 2x + 3 e y = 2x - 2

¿Qué sucede con los valores de y, de cada función, a medida que q toma valores positivos?

¿y cuando q toma valores negativos?

Bibliografía: http://www.agritotal.com/0/vnc/nota.vnc?id=8422 Matemática 4 – Gustavo Barallobres . Myriam Sassano – Editorial AIQUE (1997) Matemática Básica. Volumen 1. Funciones – Adriana María del Huerto Engler. Daniela María Muller. Silvia Daniela Vrancken. Marcela Santina Hecklen. – Universidad Nacional del Litoral – Centro de Publicaciones (2002) Evaluación El docente, en todo momento asesorará el trabajo de los equipos, vigilará el desempeño de cada uno, observará la participación, el trabajo grupal, el uso del software durante las construcciones.

Por medio de preguntas hará que problematicen el conocimiento en cuestión y provoquen discusiones entre los alumnos, exigiendo respeto a lo expuesto por los equipos, logrando así la participación en un ejercicio de autoevaluación y co-evaluación. Al socializar la solución de las actividades propuestas, el docente y/o los alumnos se retroalimentan. Para evaluar y recoger información sobre las capacidades y actitudes de los estudiantes, el docente utilizará técnicas de situaciones orales de Evaluación por intermedio de la exposición, el diálogo y el debate utilizando como instrumento una matriz de valoración que considere tanto los conocimientos y procedimientos matemáticos, como los de uso del recurso tecnológico y el trabajo colaborativo. Encuentro 3: Actividades de cierre. Concluyendo y Aplicando Tiempo previsto: 80 minutos Actividad de apertura:

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Tiempo Parcial: 25 minutos.

La actividad de apertura promoverá que desde la observación de varias gráficas de funciones exponenciales, se puedan determinar las características de la función exponencial Puesta en común:

Se iniciará la clase retomando y discutiendo las respuestas obtenidas al resolver la guía, hasta obtener acuerdos. Será conveniente orientarlos para que noten la equivalencia entre y = (⅟2)x e y = 2-x recordando las propiedades de la potenciación.

Una vez realizada la socialización de las conjeturas de cada uno sobre las variantes que se producen en la gráfica al cambiar los parámetros de la función se institucionalizarán las características generales de las funciones exponenciales:

El dominio de una función exponencial es R. Su recorrido es (0, +∞). Son funciones continuas. Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).

La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X. Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a). Si a > 1 la función es creciente.

Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a cero.

Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a +. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a +.

Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a 0.

qay px es un desplazamiento de la función

xay de la siguiente forma:

0

0

0.

0

qsiabajohacia

qsiarribahaciaverical

psiizdalahacia

psiderechalahaciahorizontal

Son siempre concavas. El eje X es una asíntota horizontal.

Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Los alumnos culminarán la elaboración colaborativa de la lista con las características de las funciones exponenciales que no habían aparecido la clase anterior, por medio de un documento compartido creado y compartido previamente por el docente.

Actividad de desarrollo Tiempo parcial: 40 minutos Con la actividad de desarrollo se intentará otorgar la posibilidad de realizar actividades que permitan la integración de diferentes registros de representación, su confrontación, su uso para la obtención de conjeturas y su demostración, ya sea a través del lenguaje oral o escrito, o mediante los símbolos y gráficos propios de las matemáticas, y así alcanzar una comprensión global del contenido, establecer propiedades y descubrir relaciones ya que las diferentes representaciones proporcionan medios para analizar, interpretar y tratar la información, así como para establecer un plan de solución, ejecutarlo y llegar a la solución del problema.

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La metodología de trabajo propuesta será análoga a la anterior.

Para dar inicio esta parte de la secuencia, el docente comunicará que la actividad siguiente consiste en una serie de problemas que permiten ejercitar lo aprendido y presenta a la clase por medio del proyector y entregando vía EDMODO la siguiente guía de actividades:

1- Dada la función y = k .ax, investiguen las condiciones a establecer sobre k y a para que la función sea creciente. Lo mismo para que sea decreciente. 2- Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos

(bipartición). Cuando el individuo adulto llega a un cierto grado de madurez se parte y da lugar a dos individuos jóvenes. Transcurrido cierto tiempo, cada uno de ellos repite el proceso. Esto se realiza más o menos rápidamente según las condiciones de cultivo. Observa la tabla que muestra la cantidad de amebas en función del tiempo transcurrido:

Tiempo (en horas) 0 1 2 3 4 5 6 N

Número de amebas 3 6 12 24 48 96

¿Cuántas amebas hay inicialmente? ¿Cuál es la expresión que permite obtener la cantidad de amebas al cabo de t horas? 3- Parece ser que los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4

días. Si un niño tiene un piojo en su cabeza, y considerando que todos viven:

a) Escribe la función y represéntala gráficamente. b) ¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días? c) ¿Y de 20 días? d) ¿Tiene sentido unir los puntos?

Otro niño, al momento inicial tiene 10 piojos, contesta nuevamente a las preguntas a y b.

4- Con el objetivo de combatir una enfermedad, un médico ha indicado a su paciente

una medicación que deberá ser inyectada durante 15 días de la siguiente forma: el primer día se aplica la dosis máxima de 100 ml; cada día subsiguiente se aplicará 4/5 de la dosis correspondiente al día anterior. ¿cuánto medicamente (en ml) se le ha inyectado al paciente a los 15 días? 5- Se calcula que un bosque tiene 24000 m3 de madera y que aumenta un 3,5 % al año.

Otro bosque tiene 50000 m3 y la misma tasa de crecimiento. ¿Tardarán el mismo tiempo en duplicarse? ¿Depende el tiempo de duplicación de la cantidad de madera inicial?

6- La demanda de un nuevo producto aumenta rápidamente y luego se nivela. De

experiencias de mercado ha podido aproximarse el porcentaje de compradores de dicho producto con la función p(t) = 100 – 80 . (1/4)t , siendo t la cantidad de meses que el producto está en el mercado.

a) ¿Se trata de una función exponencial decreciente?, ¿por qué?, b) ¿Cuál es su dominio y conjunto de imágenes? c) ¿Qué sucede con p(t) a medida que la cantidad de meses que el producto

permanece en el mercado aumenta?

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d) ¿No se contradice este resultado con la afirmación del enunciado que dice que la demanda aumenta rápidamente para luego nivelarse?

7- La presión atmosférica disminuye a medida que se asciende. Aproximadamente, al ascender 1 km la presión atmosférica es 0,9 veces la existente 1 km más abajo. Al nivel del mar la presión atmosférica es de una atmósfera. Si un montañero desciende de 1000 m al nivel del mar y otro desciende desde una latitud de 5000 m a 4000 m ¿aumentará su presión lo mismo? ¿Sus organismos lo sentirán de la misma forma?

Cada pareja comenzará a resolver los problemas con los conocimientos que tienen disponibles hasta el momento, pudiendo hacerlo con calculadora, Excel y/o Geogebra. Mientras los alumnos trabajen, el docente recorrerá el aula observando el desempeño de cada alumno, la participación y el trabajo grupal, sin interrumpir a menos que la situación lo amerite.

Actividad de cierre Tiempo Parcial: 15 minutos Puesta en común:

Transcurrido el tiempo anterior, el docente organizará la puesta en común para socializar los resultados, permitiendo validar sus afirmaciones, clarificar y afirmar los conceptos trabajados durante toda la secuencia.

El docente pedirá a un alumno por ves que exponga su respuesta y explique el proceso llevado a cabo en la resolución y cuidará que todo el grupo se integre a la discusión, discutan, analicen y expongan lo encontrado y ofrecerá explicaciones cuando sea necesario.

Como cierre de la clase el docente pedirá a cada alumno que completen en la TAREA DE EDMODO la matriz de valoración que se les ha enviado para la autoevaluación cuyos indicadores fueron claramente definidos y conocidos por los alumnos antes de comenzar la tarea.

Recursos

Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pizarra Guías de actividades: enunciado del problema Notbooks y Proyector EXCEL GeoGebra EDMODO GOOGLEDOCS

Evaluación El docente, en todo momento asesorará el trabajo de los equipos, vigilará el desempeño de cada uno, observará la participación y el trabajo grupal. La observación directa del docente será fundamental en esta etapa inicial de la secuencia para orientar a los alumnos a obtener un modelo exponencial que relacione las variables que intervienen en el problema y conocer su gráfica.

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Alcoholemia Cero en las rutas cordobesas La Legislatura unicameral de Córdoba aprobó un proyecto de ley que fija “Alcoholemia Cero” para todos los conductores que circulen por las rutas de la provincia que tiene por objetivo disminuir la cantidad de accidentes viales relacionados al consumo de alcohol. Entró en vigencia el 10 de marzo de 2014. El programa establece la prohibición total de conducir vehículos con tasa de alcoholemia superior a cero gramos por mil centímetros cúbicos de sangre o que haya ingerido estupefacientes, psicotrópicos, estimulantes u otras sustancias análogas. Ante esto nuestro párroco… ¡está en problemas! ¿Por qué? Entérate leyendo la nota publicada en: http://claudelos.blogspot.com.ar/2014/02/control-de-alcoholemia-positivo-para-el.html

Por medio de preguntas hará que problematicen el conocimiento en cuestión y provoquen discusiones entre los alumnos, exigiendo respeto a lo expuesto por los equipos, logrando así la participación en un ejercicio de autoevaluación y co-evaluación y los alumnos completarán la matriz de valoración que se les ha enviado para la autoevaluación cuyos indicadores fueron claramente definidos y conocidos por los alumnos antes de comenzar la tarea. Al socializar la solución de las actividades propuestas, el docente y/o los alumnos se retroalimentan. Para evaluar y recoger información sobre las capacidades y actitudes de los estudiantes, el docente utilizará técnicas de situaciones orales de Evaluación por intermedio de la exposición, el diálogo y el debate utilizando como instrumento una matriz de valoración que considere tanto los conocimientos y procedimientos matemáticos, como los de uso del recurso tecnológico y el trabajo colaborativo.

Evaluación Final El docente enviará vía EDMODO una PRUEBA con la siguiente guía de actividades. Los alumnos la resolverán de a pares y se la envinarán individualmente al profesor, para su corrección: (Preguntas de Elección múltiple)

1. ¿Cuál de las funciones es la que crece con mayor rapidez? a) y = 2x b) y = 6x c) y = 1/2x

2. ¿Cuál se las tres características que se anuncian no corresponde a las funciones exponenciales crecientes: a) El dominio es el conjunto de los números reales. b) La imagen es el conjunto de los números reales negativos. c) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

(Preguntas de Verdadero - Falso)

3. La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.

4. El eje Y es una asíntota vertical.

5. Si 0<a<1, entonces su gráfica tienen comportamiento decreciente en todo su dominio.

6. Si a>1, entonces su gráfica tiene comportamiento decreciente en todo su dominio.

(Para resolver)

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Se estima que después de consumir una copa de vino, el nivel de alcohol en la sangre de una persona sube a 0,17 mg/ml. De ahí en adelante este nivel decrece de acuerdo a la ley

y = 0,17 . 0,5t donde t es el tiempo medido en horas a partir del instante en que se alcanza

el nivel más alto. Tiene en cuenta que cuando la cantidad de alcoholemia sea inferior a 0.01, ésta se considera nula.

Averigua: ¿Cuántas horas después de finalizar la misa el párroco podrá emprender su viaje? ¿Qué parámetro de la función es el que provoca el descenso de la alcoholemia?

Averigua: En el segundo test ¿en qué fase de intoxicación se encontraría? Encuentra la fórmula que permite establecer el grado de alcoholemia en relación al tiempo transcurrido.

Realiza la gráfica de las dos situaciones analizadas.

Bibliografía

http://www.prensalegiscba.gov.ar/img/notas/adjunto-5395.pdf http://salud.kioskea.net/faq/6116-la-alcoholemia

¿Qué pasa con otras bebidas? Si se realizara un control de alcoholemia, en su pico máximo, a una persona que haya ingerido 5 latas de cerveza, su alcoholemia mediría 1.19. Si a la hora siguiente se le realizara otro control ésta habría disminuido una 75 % y así sucesivamente. Teniendo en cuenta las fases de intoxicación etílica que se da en: http://es.wikipedia.org/wiki/Efectos_del_alcohol_en_el_cuerpo: