7/23/2019 Grupo13_Tarea3_H901
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERA
INGENIERIA ANTISISMICA
PC 02 TIPO C
(2014 - 2)
2014-1
HORARIO 0901 GRUPO 13_901
Fecha de la entrega de la practica: 27/04/2014
Profesor:Ing. Muoz Pelaez, Juan A.
ALUMNOS:
PALOMINO VASQUEZ, Marco Andr 20089015
ANAYA ESPINOZA, Jos Luis 20100118
NINANYA CALDERON, Stevens Junior 20102543
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1) Pregunta 1:
La siguiente estructura (obelisco) presenta las siguientes dimensiones, as como la
seccin transversal que mantiene el espesor constante en toda la altura H igual a 15 cm,
las cuales se mostraran a continuacin:
( )
Haciendo uso del MATHCAD y de los valores ya mencionados, se proseguir a mostrar
los valores respectivos para cada forma, para obtener los periodos de vibracin:
Usando el Modelo 1:
Con respecto a las siguientes formas se calcularan los periodos de vibracin del
obelisco, respectivamente.
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PRIMER CASO
SEGUNDO CASO
TERCER CASO
1 x( ) 1 cos x
2 H
1 x( ) 1 cos 1
48 x
1eraderivad x1 x( )d
d
sin x
48
48
2da derivad2
x
1 x( )d
d
2 2
cos x
48
2304
2 x( ) 1
11
x
H
2
20 10 x
H
x
H
3
2 x( )
x2 x
3
13824
5 x
12 20
6336
x2 x( )d
d
xx
3
13824
5 x
12 20
3168
x2 x
2
4608
5
12
6336
1eraderivad
2daderivad2
x
2 x( )d
d
2 xx
2
4608
5
12
1584
5 x
38016
x3
10948608
5
792
3 x( ) 1
3
x
H
2
6 4 x
H
x
H
2
3 x( )
x2 x
2
576
x
6 6
1728
1eraderivad
x3 x( )d
d
xx
2
576
x
6 6
864
x2 x
288
1
6
1728
2daderivad2
x
3 x( )d
d
2 x2
248832
x
5184
xx
288
1
6
432
1
144
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Pregunta 1 A:
Valores del oscilador equivalente con respecto a la primera forma:
M1=1.801*9.81=17.67 TON *9.81= 173.32 KN
K1=15014.968 TON/m *9.81= 147296.84 KN/m
L1= T1=0.069 segundos
Valores del oscilador equivalente con respecto a la segunda forma:
M2=2.344*9.81=22.99 TON *9.81=225.58 KN
K2= 22470.705 TON/m*9.81= 220437.62 KN/m
L2= T2=0.064 segundos
Valores del oscilador equivalente con respecto a la tercera forma:
M3=2.108*9.81=20.68 TON *9.81=202.87 KN
K3= 24693.12 TON/m*9.81= 242239.51 KN/m
L3= T3=0.058 segundos
Con respecto a los periodos ya calculados previamente, se mostraran las historias
correspondientes para cada forma de desplazamientos en la seccin ms alta, de la fuerza
cortante en la base y del momento volcante en la base.
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La historia de desplazamientos se obtuvo con ayuda del NONLIN, el cual se encuentra
adjunto para cada forma. Estos fueron los resultados para cada forma:
NONLIN con respecto a la primera forma:
NONLIN con respecto a la segunda forma:
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NONLIN con respecto a la tercera forma:
Historia de desplazamientos y(t) en la seccin mas alta:
Valores con respecto a la primera forma:
DESPLAZAMIENTO MAXIMO: 0.24 MM
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Valores con respecto a la segunda forma:
DESPLAZAMIENTO MAXIMO: 0.21 MM
Valores con respecto a la tercera forma:
DESPLAZAMIENTO MAXIMO: 0. 17 MM
Historia de fuerza cortante V(t) en la base:
Valores con respecto a la primera forma:
FUERZA CORTANTE MAXIMA: 3509.74 KN
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Valores con respecto a la segunda forma:
FUERZA CORTANTE MAXIMA: 4558 KN
Valores con respecto a la tercera forma:
FUERZA CORTANTE MAXIMA: 4087 KN
Historia de momentos volcantes M(t):
Valores con respecto a la primera forma:
MOMENTO VOLCANTE MAXIMO: A LOS 36 SEGUNDOS ES 80 KN.CM
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Valores con respecto a la segunda forma:
MOMENTO VOLCANTE MAXIMO: A LOS 36 SEGUNDOS ES 92 KN.CM
Valores con respecto a la tercera forma:
MOMENTO VOLCANTE MAXIMO: A LOS 36 SEGUNDOS ES 64 KN.CM
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Usando el Modelo 2:
Lo que se hizo fue hacer una tabla en Excel (la cual tambin se anexara) con los datos
con los datos que se utilizaron para obtener el periodo de esta estructura, entre ellos la
altura (m), el lado (m) y la masa (
) concentrada que utilizaremos a la mitad de
cada porcin utilizada.
Nivel
interno Altura (m) Lado (m) Masa
1 0 9.50 1.582
2 0.6 9.13 1.457
3 1.8 8.42 1.338
4 3 7.74 1.225
5 4.2 7.10 1.12
6 5.4 6.50 1.021
7 6.6 5.94 0.928
8 7.8 5.42 0.842
9 9 4.93 0.763
10 10.2 4.48 0.69
11 11.4 4.07 0.624
12 12.6 3.69 0.565
13 13.8 3.35 0.512
14 15 3.05 0.466
15 16.2 2.79 0.426
16 17.4 2.57 0.393
17 18.6 2.38 0.367
18 19.8 2.23 0.347
19 21 2.12 0.334
20 22.2 2.04 0.327
Pregunta 1 B:
Luego de haber definido la masa y el lado correspondiente para cada masa ubicada en la
fraccin central, se hicieron los siguientes pasos, usando el SAP2000, para obtener
el periodo de la estructura. Estos pasos son los siguientes:
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Primer paso:
Definir materiales y secciones
Nota 1: En este caso se utilizaron 20 secciones debido a la que parte
exterior del obelisco segua la forma.
Nota 2: Todos los clculos matemticos utilizados, se encuentran en elMATHCAD adjunto.
Como se puede apreciar en la figura anterior, se le puso 0 toneladas por
metro cubico al peso del concreto, debido a las indicaciones de la
pregunta.
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Se registraron 20 secciones para este Modelo 2, a los cuales les
adjudicamos cada valor de 1.20 metros de altura.
Segundo paso:
Adjudicar dichas secciones al obelisco
Se colocaron las 20 reas transversales a lo largo del obelisco variando
entre ellos 1.2, respectivamente.
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Tercer paso:
Se asignaron GRIDS en la mitad de la altura; es decir, cada 0.6
metros y a estos se les asignaron masas.
Nota: La parte matemtica de esta parte se encuentra en el
MATHCAD Adjunto.
Luego de haber colocado las masas respectivas en cada ubicacin, se
prosigui a aplicar a la estructura una carga modal para poder obtener el
periodo de esta tal y como se mencionara a continuacin.
Cuarto paso:
Se resolvi la estructura y se le someti a un anlisis MODAL y se
obtuvo lo siguiente.
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SINOPSIS:
Se obtuvo un periodo de 0.10 segundos usando el SAP2000 teniendo en cuenta
una modelacin M2.
Se tuvieron en cuenta 20 masas concentradas, siendo cada masa 1/20 de la
altura y estas fueron calculadas con la expresin mostrada lneas arriba.
Asimismo, cada segmento se modelo con la seccin constante correspondientea la seccin central de cada fraccin e la altura. Y se coloc cada masa
concentrada en cada nudo.
Pregunta 1 C:
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Caso o Forma 1 2 3
Periodo T (s) 0.069 0.064 0.058
Como se explic en clase estos tres modelos cuentan con gran aceptacin, las tres formasutilizadas muestran un error menor al 5%; por lo tanto, sus periodos sern de gran
aceptacin para los objetivos del presente curso.
Sin embargo, cabe resaltar que segn el siguiente cuadro:
Forma asumida Error (%)
Cosenoidal (Forma1) 4%
Dist. Triangular (Forma2) 0.1%
Dist. Uniforme (Forma3) 0.4%
En primer lugar, la mejor estimacin del periodo se obtuvo con la forma correspondiente a
la carga distribuida triangular, esto es debido a que las fuerzas inerciales reales tienen una
forma muy parecida a esta distribucin de cargas. (MUY PRECISO).
En segundo lugar, le sigue la forma correspondiente a la carga distribuida uniforme, la cual
cuenta con un 0.4% de error (PRECISO).
En tercer lugar, se encuentra la forma correspondiente a la carga COSENOIDAL, el mismoque cuenta con un 4% de error, pero no deja de ser buena (ACEPTABLE).
Pregunta 1 D:
Forma 1
(coseno)
Forma 2
(Dist. triangular)
Forma3
(Dist. uniforme)
Despl, max (mm) 0.24 0.21 0.17
Cortante max.
(KN)3510 4558 4087
Mom Max. (KN.cm) 80 92 64
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Como se aprecia en este cuadro comparativo, los resultados eran los esperados, ya que estas
3 formas cuentan con gran precisin debido a su fuente de error baja.
Sin embargo, el ms cercano a un valor real, sera el de la FORMA 2, debido a que se trata
de una forma distribuida de carga triangular, y esta se parece mucho a las fuerzas inerciales
REALES.
Pregunta 1 E:
o Para el modelo 1:
La mejor estimacin del periodo se obtuvo, a travs de la carga
triangular y se obtuvieron los siguientes datos:
T = 0.064 seg
f = 15.63hz
o Para el modelo 2:
Con el sap2000 y la modelacin que se realiz, se obtuvieron lossiguientes datos:
T = 0.104 seg
f = 9.62 hz
Modelo M1 Modelo M2
Periodo (s) 0.064 0.104
Frecuencia (Hertz) 15.63 9.62
Hay variabilidad en ambos modelos, debido a que cada uno de ellos se
trata de MODELOS REPRESENTATIVOS; sin embargo, las formas
que nos dieron son mas exactas y a la vez precisas, dado que cuentan conun menor marguen de error. Teniendo en cuenta que el periodo del
modelo M1 tiene -0.1% de error, el periodo real seria 0.0641s, y de esto
concluimos que el modelo M2 presenta un error mucho mayor porencima del 20%, por lo cual lo hace menos precisa y exacta.
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2) Pregunta 2:
La estructura (obelisco) se someti al siguiente espectro y a continuacin se mostrara,
para cada forma, el desplazamiento mximo en la seccin ms alta del obelisco.
Para la obtencin de los Sa y Sd respectivos, se har uso del espectro de aceleraciones
proporcionado para obtener dichos valores usando los periodos ya hallados en la
pregunta 1.
PRIMER CASO
SEGUNDO CASO
TERCER CASO
1 x( ) 1 cos x
2 H
1 x( ) 1 cos 1
48 x
2 x( ) 1
11
x
H
2
20 10 x
H
x
H
3
2 x( )
x2 x
3
13824
5 x
12 20
6336
3 x( ) 1
3
x
H
2
6 4 x
H
x
H
2
3 x( )
x2 x2
576
x
6 6
1728
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Como se sabe:
Dnde:
o Sa: Pseudo-aceleracin obtenida del espectro dado, entrando en el ejecon el respectivo periodo
o W: Frecuencia angular de la estructura
o Sd:Desplazamiento de la estructura
Caso o forma Periodo (s) Frecuencia (Hz) w Sa (cm/s2) Sd (cm)
1 0.069 14.4828 8292.04 331.6 0.0400
2 0.064 15.6250 9638.29 321.8 0.0334
3 0.058 17.2414 11735.56 310 0.0264
Pregunta 2 A:
Por lo tanto, el desplazamiento mximose obtendr realizando la siguiente
operacin para cada caso o forma:
Forma 1:
Forma 2:
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Forma 3:
Pregunta 2 B:
Por otro lado, la fuerza cortante mxima en la basedel obelisco se obtuvo
haciendo uso de la siguiente formula:
Forma 1:
Forma 2:
Forma 3:
Pregunta 2 C:
Por otro lado, el mximo momento volcantese obtuvo haciendo uso de la siguiente
formula y el MATHCAD de la pregunta 2:
Mom1 170.51 ton m
Mom2 166.91 ton m
Con respecto al caso 1
Con respecto al caso 2
Mom
0
H
1.884 3.3158 masa x( ) 1 x( ) x 24( )
d masa
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Pregunta 2 D:
Finalmente, a continuacin se mostraran los datos tabuladoscorrectamente para cada
forma respectiva y los comentarios, y diferencias, respectivas:
Forma 1 Forma 2 Forma 3
Desplaz. mximo
(mm)0.75 0.54 0.48
Cortante mxima
(Ton)21.20 19.65 21.97
Mom. Mximo
(Ton-m)170.51 166.91 188.89
Como era de esperarse los resultados salen bien parecidos, dado que se usaron tres formas
que cuentan con una gran aceptacin, en el peor de los casos, o sea la formaCOSENOIDAL contamos con un error del 4%, pese a esto es un gran numero para
objetivos prcticos e ingenieriles.
A continuacin, plateamos una tabla, mostrada en clase, que muestra los errores al usar
cada forma.
Forma asumida Error en porcentaje
COSENOIDAL FORMA 1 4%
Carga tr iangu lar con vrtice en el suelo
FORMA2
0.1%
Carga unif ormemente distri buida
FORMA 3
0.4%
Mom3 188.892 ton mCon respecto al caso 3
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El error al utilizar una carga triangular con vrtice en el suelo es mnimo y muy bueno,
debido a que las FUERZAS INERCIALES REALES PRESENTAN FORMA SIMILAR A
ESTA DISTRIBUCION DE CARGAS.
Conclusin:
- Las diferencias son mnimas, pues las 3 formas cuentan con un error mximo de4%, sin embargo, para objetivos del curso es suficiente.
-
3) Pregunta 3:
La siguiente estructura (Deposito de agua) presenta las siguientes dimensiones, as
como la seccin transversal que mantiene el espesor constante en toda la altura H igual
a 30 cm, las cuales se mostraran a continuacin:
Pregunta 3 A:
Haciendo uso del MATHCAD Preg. 3, y de los valores ya mencionados, se proseguir a
mostrar los valores respectivos para la siguiente forma asumida, para obtener el
periodo correspondiente a la estructuraya mostrada:
Masas Puntuales
Masas Distribuidas
M1 3. 1416 R R 0.2 2.4
9.81 2.459 M2 2.459
m1 x( ) 1.775 m2 x( ) 5.367x 128.81
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Period
Pregunta 3 B:
Haciendo uso del MATHCAD Preg. 3, se proseguir, para la forma asumida, a obtener
el mximo desplazamiento y la mxima aceleracin en la tapa del depsito
haciendo uso del espectro de aceleraciones brindado:
Parmetros oscilador Equivalente
L
0
24
xm1 x( ) Y x( )
d
24
30
xm2 x( ) Y x( )
d
M1 0.69 M2 1 275.478
M
0
24
xm1 x( ) Y x( ) Y x( )
d
24
30
xm2 x( ) Y x( ) Y x( )
d
M1 0.69
2 M2 1 168.799
K
4E I
32 H3
1.336 10
4
T 2 M0.5
K0.5
0.706 se
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Zmax L S d
M5.728
Zmax L
MSa 100 453.381 cm
seg2
ton m
Pregunta 3 C:
Por ltimo, haciendo uso del MATHCAD Preg. 3 se proseguir a obtener la mxima
fuerza cortante y el mximo momento flector en la base del fuste .
4) Pregunta 4:
La estructura de 2 pisos cuenta con los siguientes datos, con ayuda de estos y el
MATHCAD proporcionado, se obtuvieron los diversos valores para obtener el K
lateral en el sentido de anlisis (Eje X).
Pregunta 4 A:
Propiedades de secciones:
Columna C01 0.25*0.625
Columna C02 0.625*0.25
Vigas 0.30*0.60
Vbase
0
24
xm1 x( ) Y x( )
d
24
30
xm2 x( ) Y x( )
d
M1 0.69 M2 1
Zmax
100 1.249 10
3 to
Mbase
0
24
xm1 x( ) Y x( ) x
d
24
30
xm2 x( ) Y x( ) x
d
M1 0.69
2 M2 1
2
Zmax
100 2.703 10
4
Ic1x 1
12
0.25 0.6253
Ic1x 5.086 10 3
Ic2x 1
120.625 0.25
3 Ic2x 813.802 10
6
Iv1
120.30 0.60
3 Iv 5.400 10
3
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A continuacin se mostrara el Q-D y q-d local respectivo:
Q-D:
q-d:
Del Mathcad se obtuvieron los siguientes resultados:
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO 1 Eje X-X
kl1 FLP1 1 kl1 11.611 103
6.511 10
3
6.511 103
5.186 10
3
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MME
M1
0
0
0
0
0
0
M2
0
0
0
0
0
0
M1
0
0
0
0
0
0
M2
0
0
0
0
0
0
Ip1
0
0
0
0
0
0
Ip2
28.425 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
17.492 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
28.425 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
17.492 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
1.045 103
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
643.208 100
Pregunta 4 B:
La matriz de masas de la estructura se hall con el MATHCAD adjunto de la
pregunta 4 y es la que se muestra a continuacin:
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO 2 Eje X-X
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO 3 Eje X-X
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE ESTRUCTURA Eje X-X
kl2 kl1 kl211.611 10
3
6.511 103
6.511 103
5.186 103
kl3 kl1 kl311.611 10
3
6.511 103
6.511 103
5.186 103
KLT kl1 kl2 kl3 34.834 103
19.532 103
19.532 103
15.558 103
Area 2 6.5 3 5.5 214.500 100
M1
1.3 Area( )
9.81 28.425 10
0
M20.8 Area( )
9.8117.492 10
0
Ip1 1
12M1 13
216.5
2 1.045 103
Ip2 1
12M2 13
216.5
2 643.208 100
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Pregunta 4 C:
A continuacin se mostrara el modo fundamental haciendo uso de 3 ciclo del
mtodo de Rayleigh.
Con ayuda del presente desplazamiento ya mostrado, se prosigui con el mtodo de
Rayleigh para obtener el periodo en el tercer ciclo, los clculos fueron hallados y
resueltos con ayuda del MATHCAD adjunto.
KLT34.834 10
3
19.532 103
19.532 103
15.558 103
F
10
20
D KLT 1
F D3.404 10
3
5.559 10 3
0 D
5.559 10 3
612.400 10
3
1.000 100
1ERCICL
F1612.400 10
3 M1 g
1 M2 g
F1
170.768 100
171.600 100
D1 KLT 1
F1 D137.448 10
3
58.042 10 3
T1 0.4871
T1 2 M1 37.448 10
3
2
M2 58.042 10 3
2
170.768 100
37.448 10 3
171.600 100 58.042 10 3 T1 488.332 10
3
Normalizand 1D1
58.042 10 3
645.192 10
3
1.000 100
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Pregunta 4 D:
Finalmente, a continuacin se mostraran los vectores y valores propios, los clculos
intermedios fueron realizados en MATHCAD de la pregunta 4 adjunto.
2DOCICL
F2645.192 10
3 M1 g
1 M2 g
F2
179.912 100
171.600 100
D2 KLT 1
F2 D238.335 10
3
59.156 10 3
T2 2 M1 38.335 10
3
2
M2 59.156 10 3
2
179.912 100
38.335 10 3
171.600 100 59.156 10 3 T2 488.350 10
3
Normalizand 2
D2
59.156 10 3
648.030 10 3
999.994 10 3
3ERCICL
F3
648.030 10 3
M1 g
999.994 10 3
M2 g
F3180.703 10
0
171.599 100
D3 KLT 1
F3 D338.411 10
3
59.252 10 3
T3 2 M1 38.411 10
3
2
M2 59.252 10 3
2
180.703 38.411 10 3
171.599 100 59.252 10 3 T3 488.348 10
3
Normalizand 3D3
59.252 10 3
648.273 10
3
999.996 10 3
7/23/2019 Grupo13_Tarea3_H901
28/28
MME
28.425 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
17.492 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
28.425 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
17.492 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
1.045 103
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
643.208 100
Rv MME 1
Kest
1.225 103
1.117 103
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
687.145 100
889.436 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
938.708 100
855.330 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
0.000 100
526.357 100
681.313 100
w2
eigenvalsRv( )
1.949 103
165.539 100
1.493 103
126.804 100
0.000 100
0.000 100
2