Grupo13_Tarea3_H901

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERA

INGENIERIA ANTISISMICA

PC 02 TIPO C

(2014 - 2)

2014-1

HORARIO 0901 GRUPO 13_901

Fecha de la entrega de la practica: 27/04/2014

Profesor:Ing. Muoz Pelaez, Juan A.

ALUMNOS:

PALOMINO VASQUEZ, Marco Andr 20089015

ANAYA ESPINOZA, Jos Luis 20100118

NINANYA CALDERON, Stevens Junior 20102543

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1) Pregunta 1:

La siguiente estructura (obelisco) presenta las siguientes dimensiones, as como la

seccin transversal que mantiene el espesor constante en toda la altura H igual a 15 cm,

las cuales se mostraran a continuacin:

( )

Haciendo uso del MATHCAD y de los valores ya mencionados, se proseguir a mostrar

los valores respectivos para cada forma, para obtener los periodos de vibracin:

Usando el Modelo 1:

Con respecto a las siguientes formas se calcularan los periodos de vibracin del

obelisco, respectivamente.

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PRIMER CASO

SEGUNDO CASO

TERCER CASO

1 x( ) 1 cos x

2 H

1 x( ) 1 cos 1

48 x

1eraderivad x1 x( )d

d

sin x

48

48

2da derivad2

x

1 x( )d

d

2 2

cos x

48

2304

2 x( ) 1

11

x

H

2

20 10 x

H

x

H

3

2 x( )

x2 x

3

13824

5 x

12 20

6336

x2 x( )d

d

xx

3

13824

5 x

12 20

3168

x2 x

2

4608

5

12

6336

1eraderivad

2daderivad2

x

2 x( )d

d

2 xx

2

4608

5

12

1584

5 x

38016

x3

10948608

5

792

3 x( ) 1

3

x

H

2

6 4 x

H

x

H

2

3 x( )

x2 x

2

576

x

6 6

1728

1eraderivad

x3 x( )d

d

xx

2

576

x

6 6

864

x2 x

288

1

6

1728

2daderivad2

x

3 x( )d

d

2 x2

248832

x

5184

xx

288

1

6

432

1

144

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Pregunta 1 A:

Valores del oscilador equivalente con respecto a la primera forma:

M1=1.801*9.81=17.67 TON *9.81= 173.32 KN

K1=15014.968 TON/m *9.81= 147296.84 KN/m

L1= T1=0.069 segundos

Valores del oscilador equivalente con respecto a la segunda forma:

M2=2.344*9.81=22.99 TON *9.81=225.58 KN

K2= 22470.705 TON/m*9.81= 220437.62 KN/m


Valores del oscilador equivalente con respecto a la tercera forma:

M3=2.108*9.81=20.68 TON *9.81=202.87 KN

K3= 24693.12 TON/m*9.81= 242239.51 KN/m


Con respecto a los periodos ya calculados previamente, se mostraran las historias

correspondientes para cada forma de desplazamientos en la seccin ms alta, de la fuerza

cortante en la base y del momento volcante en la base.

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La historia de desplazamientos se obtuvo con ayuda del NONLIN, el cual se encuentra

adjunto para cada forma. Estos fueron los resultados para cada forma:

NONLIN con respecto a la primera forma:

NONLIN con respecto a la segunda forma:

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NONLIN con respecto a la tercera forma:

Historia de desplazamientos y(t) en la seccin mas alta:

Valores con respecto a la primera forma:

DESPLAZAMIENTO MAXIMO: 0.24 MM

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Valores con respecto a la segunda forma:

DESPLAZAMIENTO MAXIMO: 0.21 MM

Valores con respecto a la tercera forma:

DESPLAZAMIENTO MAXIMO: 0. 17 MM

Historia de fuerza cortante V(t) en la base:


FUERZA CORTANTE MAXIMA: 3509.74 KN

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FUERZA CORTANTE MAXIMA: 4558 KN


FUERZA CORTANTE MAXIMA: 4087 KN

Historia de momentos volcantes M(t):


MOMENTO VOLCANTE MAXIMO: A LOS 36 SEGUNDOS ES 80 KN.CM

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Usando el Modelo 2:

Lo que se hizo fue hacer una tabla en Excel (la cual tambin se anexara) con los datos

con los datos que se utilizaron para obtener el periodo de esta estructura, entre ellos la

altura (m), el lado (m) y la masa (

) concentrada que utilizaremos a la mitad de

cada porcin utilizada.

Nivel

interno Altura (m) Lado (m) Masa

1 0 9.50 1.582

2 0.6 9.13 1.457

3 1.8 8.42 1.338

4 3 7.74 1.225

5 4.2 7.10 1.12

6 5.4 6.50 1.021

7 6.6 5.94 0.928

8 7.8 5.42 0.842

9 9 4.93 0.763

10 10.2 4.48 0.69

11 11.4 4.07 0.624

12 12.6 3.69 0.565

13 13.8 3.35 0.512

14 15 3.05 0.466

15 16.2 2.79 0.426

16 17.4 2.57 0.393

17 18.6 2.38 0.367

18 19.8 2.23 0.347

19 21 2.12 0.334

20 22.2 2.04 0.327

Pregunta 1 B:

Luego de haber definido la masa y el lado correspondiente para cada masa ubicada en la

fraccin central, se hicieron los siguientes pasos, usando el SAP2000, para obtener

el periodo de la estructura. Estos pasos son los siguientes:

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Primer paso:

Definir materiales y secciones

Nota 1: En este caso se utilizaron 20 secciones debido a la que parte

exterior del obelisco segua la forma.

Nota 2: Todos los clculos matemticos utilizados, se encuentran en elMATHCAD adjunto.

Como se puede apreciar en la figura anterior, se le puso 0 toneladas por

metro cubico al peso del concreto, debido a las indicaciones de la

pregunta.

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Se registraron 20 secciones para este Modelo 2, a los cuales les

adjudicamos cada valor de 1.20 metros de altura.

Segundo paso:

Adjudicar dichas secciones al obelisco

Se colocaron las 20 reas transversales a lo largo del obelisco variando

entre ellos 1.2, respectivamente.

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Tercer paso:

Se asignaron GRIDS en la mitad de la altura; es decir, cada 0.6

metros y a estos se les asignaron masas.

Nota: La parte matemtica de esta parte se encuentra en el

MATHCAD Adjunto.

Luego de haber colocado las masas respectivas en cada ubicacin, se

prosigui a aplicar a la estructura una carga modal para poder obtener el

periodo de esta tal y como se mencionara a continuacin.

Cuarto paso:

Se resolvi la estructura y se le someti a un anlisis MODAL y se

obtuvo lo siguiente.

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SINOPSIS:

Se obtuvo un periodo de 0.10 segundos usando el SAP2000 teniendo en cuenta

una modelacin M2.

Se tuvieron en cuenta 20 masas concentradas, siendo cada masa 1/20 de la

altura y estas fueron calculadas con la expresin mostrada lneas arriba.

Asimismo, cada segmento se modelo con la seccin constante correspondientea la seccin central de cada fraccin e la altura. Y se coloc cada masa

concentrada en cada nudo.

Pregunta 1 C:

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Caso o Forma 1 2 3

Periodo T (s) 0.069 0.064 0.058

Como se explic en clase estos tres modelos cuentan con gran aceptacin, las tres formasutilizadas muestran un error menor al 5%; por lo tanto, sus periodos sern de gran

aceptacin para los objetivos del presente curso.

Sin embargo, cabe resaltar que segn el siguiente cuadro:

Forma asumida Error (%)

Cosenoidal (Forma1) 4%

Dist. Triangular (Forma2) 0.1%

Dist. Uniforme (Forma3) 0.4%

En primer lugar, la mejor estimacin del periodo se obtuvo con la forma correspondiente a

la carga distribuida triangular, esto es debido a que las fuerzas inerciales reales tienen una

forma muy parecida a esta distribucin de cargas. (MUY PRECISO).

En segundo lugar, le sigue la forma correspondiente a la carga distribuida uniforme, la cual

cuenta con un 0.4% de error (PRECISO).

En tercer lugar, se encuentra la forma correspondiente a la carga COSENOIDAL, el mismoque cuenta con un 4% de error, pero no deja de ser buena (ACEPTABLE).

Pregunta 1 D:

Forma 1

(coseno)

Forma 2

(Dist. triangular)

Forma3

(Dist. uniforme)

Despl, max (mm) 0.24 0.21 0.17

Cortante max.

(KN)3510 4558 4087

Mom Max. (KN.cm) 80 92 64

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Como se aprecia en este cuadro comparativo, los resultados eran los esperados, ya que estas

3 formas cuentan con gran precisin debido a su fuente de error baja.

Sin embargo, el ms cercano a un valor real, sera el de la FORMA 2, debido a que se trata

de una forma distribuida de carga triangular, y esta se parece mucho a las fuerzas inerciales

REALES.

Pregunta 1 E:

o Para el modelo 1:

La mejor estimacin del periodo se obtuvo, a travs de la carga

triangular y se obtuvieron los siguientes datos:

T = 0.064 seg

f = 15.63hz

o Para el modelo 2:

Con el sap2000 y la modelacin que se realiz, se obtuvieron lossiguientes datos:

T = 0.104 seg

f = 9.62 hz

Modelo M1 Modelo M2

Periodo (s) 0.064 0.104

Frecuencia (Hertz) 15.63 9.62

Hay variabilidad en ambos modelos, debido a que cada uno de ellos se

trata de MODELOS REPRESENTATIVOS; sin embargo, las formas

que nos dieron son mas exactas y a la vez precisas, dado que cuentan conun menor marguen de error. Teniendo en cuenta que el periodo del

modelo M1 tiene -0.1% de error, el periodo real seria 0.0641s, y de esto

concluimos que el modelo M2 presenta un error mucho mayor porencima del 20%, por lo cual lo hace menos precisa y exacta.

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2) Pregunta 2:

La estructura (obelisco) se someti al siguiente espectro y a continuacin se mostrara,

para cada forma, el desplazamiento mximo en la seccin ms alta del obelisco.

Para la obtencin de los Sa y Sd respectivos, se har uso del espectro de aceleraciones

proporcionado para obtener dichos valores usando los periodos ya hallados en la

pregunta 1.

PRIMER CASO

SEGUNDO CASO

TERCER CASO

1 x( ) 1 cos x

2 H

1 x( ) 1 cos 1

48 x

2 x( ) 1

11

x

H

2

20 10 x

H

x

H

3

2 x( )

x2 x

3

13824

5 x

12 20

6336

3 x( ) 1

3

x

H

2

6 4 x

H

x

H

2

3 x( )

x2 x2

576

x

6 6

1728

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Como se sabe:

Dnde:

o Sa: Pseudo-aceleracin obtenida del espectro dado, entrando en el ejecon el respectivo periodo

o W: Frecuencia angular de la estructura

o Sd:Desplazamiento de la estructura

Caso o forma Periodo (s) Frecuencia (Hz) w Sa (cm/s2) Sd (cm)

1 0.069 14.4828 8292.04 331.6 0.0400

2 0.064 15.6250 9638.29 321.8 0.0334

3 0.058 17.2414 11735.56 310 0.0264

Pregunta 2 A:

Por lo tanto, el desplazamiento mximose obtendr realizando la siguiente

operacin para cada caso o forma:

Forma 1:

Forma 2:

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Forma 3:

Pregunta 2 B:

Por otro lado, la fuerza cortante mxima en la basedel obelisco se obtuvo

haciendo uso de la siguiente formula:

Forma 1:

Forma 2:

Forma 3:

Pregunta 2 C:

Por otro lado, el mximo momento volcantese obtuvo haciendo uso de la siguiente

formula y el MATHCAD de la pregunta 2:

Mom1 170.51 ton m

Mom2 166.91 ton m

Con respecto al caso 1

Con respecto al caso 2

Mom

0

H

1.884 3.3158 masa x( ) 1 x( ) x 24( )

d masa

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Pregunta 2 D:

Finalmente, a continuacin se mostraran los datos tabuladoscorrectamente para cada

forma respectiva y los comentarios, y diferencias, respectivas:

Forma 1 Forma 2 Forma 3

Desplaz. mximo

(mm)0.75 0.54 0.48

Cortante mxima

(Ton)21.20 19.65 21.97

Mom. Mximo

(Ton-m)170.51 166.91 188.89

Como era de esperarse los resultados salen bien parecidos, dado que se usaron tres formas

que cuentan con una gran aceptacin, en el peor de los casos, o sea la formaCOSENOIDAL contamos con un error del 4%, pese a esto es un gran numero para

objetivos prcticos e ingenieriles.

A continuacin, plateamos una tabla, mostrada en clase, que muestra los errores al usar

cada forma.

Forma asumida Error en porcentaje

COSENOIDAL FORMA 1 4%

Carga tr iangu lar con vrtice en el suelo

FORMA2

0.1%

Carga unif ormemente distri buida

FORMA 3

0.4%

Mom3 188.892 ton mCon respecto al caso 3

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El error al utilizar una carga triangular con vrtice en el suelo es mnimo y muy bueno,

debido a que las FUERZAS INERCIALES REALES PRESENTAN FORMA SIMILAR A

ESTA DISTRIBUCION DE CARGAS.

Conclusin:

- Las diferencias son mnimas, pues las 3 formas cuentan con un error mximo de4%, sin embargo, para objetivos del curso es suficiente.

-

3) Pregunta 3:

La siguiente estructura (Deposito de agua) presenta las siguientes dimensiones, as

como la seccin transversal que mantiene el espesor constante en toda la altura H igual

a 30 cm, las cuales se mostraran a continuacin:

Pregunta 3 A:

Haciendo uso del MATHCAD Preg. 3, y de los valores ya mencionados, se proseguir a

mostrar los valores respectivos para la siguiente forma asumida, para obtener el

periodo correspondiente a la estructuraya mostrada:

Masas Puntuales

Masas Distribuidas

M1 3. 1416 R R 0.2 2.4

9.81 2.459 M2 2.459

m1 x( ) 1.775 m2 x( ) 5.367x 128.81

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Period

Pregunta 3 B:

Haciendo uso del MATHCAD Preg. 3, se proseguir, para la forma asumida, a obtener

el mximo desplazamiento y la mxima aceleracin en la tapa del depsito

haciendo uso del espectro de aceleraciones brindado:

Parmetros oscilador Equivalente

L

0

24

xm1 x( ) Y x( )

d

24

30

xm2 x( ) Y x( )

d

M1 0.69 M2 1 275.478

M

0

24

xm1 x( ) Y x( ) Y x( )

d

24

30

xm2 x( ) Y x( ) Y x( )

d

M1 0.69

2 M2 1 168.799

K

4E I

32 H3

1.336 10

4

T 2 M0.5

K0.5

0.706 se

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Zmax L S d

M5.728

Zmax L

MSa 100 453.381 cm

seg2

ton m

Pregunta 3 C:

Por ltimo, haciendo uso del MATHCAD Preg. 3 se proseguir a obtener la mxima

fuerza cortante y el mximo momento flector en la base del fuste .

4) Pregunta 4:

La estructura de 2 pisos cuenta con los siguientes datos, con ayuda de estos y el

MATHCAD proporcionado, se obtuvieron los diversos valores para obtener el K

lateral en el sentido de anlisis (Eje X).

Pregunta 4 A:

Propiedades de secciones:

Columna C01 0.25*0.625

Columna C02 0.625*0.25

Vigas 0.30*0.60

Vbase

0

24

xm1 x( ) Y x( )

d

24

30

xm2 x( ) Y x( )

d

M1 0.69 M2 1

Zmax

100 1.249 10

3 to

Mbase

0

24

xm1 x( ) Y x( ) x

d

24

30

xm2 x( ) Y x( ) x

d

M1 0.69

2 M2 1

2

Zmax

100 2.703 10

4

Ic1x 1

12

0.25 0.6253

Ic1x 5.086 10 3

Ic2x 1

120.625 0.25

3 Ic2x 813.802 10

6

Iv1

120.30 0.60

3 Iv 5.400 10

3

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A continuacin se mostrara el Q-D y q-d local respectivo:

Q-D:

q-d:

Del Mathcad se obtuvieron los siguientes resultados:

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO 1 Eje X-X

kl1 FLP1 1 kl1 11.611 103

6.511 10

3

6.511 103

5.186 10

3

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MME

M1

0

0

0

0

0

0

M2

0

0

0

0

0

0

M1

0

0

0

0

0

0

M2

0

0

0

0

0

0

Ip1

0

0

0

0

0

0

Ip2

28.425 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

17.492 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

28.425 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

17.492 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

1.045 103

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

643.208 100

Pregunta 4 B:

La matriz de masas de la estructura se hall con el MATHCAD adjunto de la

pregunta 4 y es la que se muestra a continuacin:



MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE ESTRUCTURA Eje X-X

kl2 kl1 kl211.611 10

3

6.511 103

6.511 103

5.186 103

kl3 kl1 kl311.611 10

3

6.511 103

6.511 103

5.186 103

KLT kl1 kl2 kl3 34.834 103

19.532 103

19.532 103

15.558 103

Area 2 6.5 3 5.5 214.500 100

M1

1.3 Area( )

9.81 28.425 10

0

M20.8 Area( )

9.8117.492 10

0

Ip1 1

12M1 13

216.5

2 1.045 103

Ip2 1

12M2 13

216.5

2 643.208 100

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Pregunta 4 C:

A continuacin se mostrara el modo fundamental haciendo uso de 3 ciclo del

mtodo de Rayleigh.

Con ayuda del presente desplazamiento ya mostrado, se prosigui con el mtodo de

Rayleigh para obtener el periodo en el tercer ciclo, los clculos fueron hallados y

resueltos con ayuda del MATHCAD adjunto.

KLT34.834 10

3

19.532 103

19.532 103

15.558 103

F

10

20

D KLT 1

F D3.404 10

3

5.559 10 3

0 D

5.559 10 3

612.400 10

3

1.000 100

1ERCICL

F1612.400 10

3 M1 g

1 M2 g

F1

170.768 100

171.600 100

D1 KLT 1

F1 D137.448 10

3

58.042 10 3

T1 0.4871

T1 2 M1 37.448 10

3

2

M2 58.042 10 3

2

170.768 100

37.448 10 3

171.600 100 58.042 10 3 T1 488.332 10

3

Normalizand 1D1

58.042 10 3

645.192 10

3

1.000 100

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27/28

Pregunta 4 D:

Finalmente, a continuacin se mostraran los vectores y valores propios, los clculos

intermedios fueron realizados en MATHCAD de la pregunta 4 adjunto.

2DOCICL

F2645.192 10

3 M1 g

1 M2 g

F2

179.912 100

171.600 100

D2 KLT 1

F2 D238.335 10

3

59.156 10 3

T2 2 M1 38.335 10

3

2

M2 59.156 10 3

2

179.912 100

38.335 10 3

171.600 100 59.156 10 3 T2 488.350 10

3

Normalizand 2

D2

59.156 10 3

648.030 10 3

999.994 10 3

3ERCICL

F3

648.030 10 3

M1 g

999.994 10 3

M2 g

F3180.703 10

0

171.599 100

D3 KLT 1

F3 D338.411 10

3

59.252 10 3

T3 2 M1 38.411 10

3

2

M2 59.252 10 3

2

180.703 38.411 10 3

171.599 100 59.252 10 3 T3 488.348 10

3

Normalizand 3D3

59.252 10 3

648.273 10

3

999.996 10 3

7/23/2019 Grupo13_Tarea3_H901

28/28

MME

28.425 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

17.492 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

28.425 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

17.492 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

1.045 103

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

643.208 100

Rv MME 1

Kest

1.225 103

1.117 103

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

687.145 100

889.436 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

938.708 100

855.330 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

0.000 100

526.357 100

681.313 100

w2

eigenvalsRv( )

1.949 103

165.539 100

1.493 103

126.804 100

0.000 100

0.000 100

2

Grupo13_Tarea3_H901

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