NÚMEROS PRIMOS EN ZNÚMEROS PRIMOS EN Z++
Observación: Se tiene el conjunto numérico:
Z+ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
I.I. NÚMEROS SIMPLESNÚMEROS SIMPLES Son aquellos que tienen a lo más dos divisores.
I.A. La unidadEs el único entero positivo que pose un solo divisor, el mismo.
I.B. Número primoTambién llamado “Primo absoluto”, es aquel que posee exactamente dos
divisores; _____________________ y
___________________.
Ejm:Divisores
______ : 1, 2
______ : 1, 3
______ : ______ , _____
______ : ______ , _____
II.II. NÚMEROS COMPUESTOSNÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos que poseen más de dos divisores.Ejm:
Divisores______ : 1, ____ , ____ , ____ , …
______ : 1, ____ , ____ , ____ , …
______ : ____, ____ , ____ , ____
______ : ____, ____ , ____ , ____
Observación :1. La unidad es un divisor universal.2. El número 2 es el único primo
absoluto par.3. El 2 y el 3 son los únicos primos
consecutivos.
III.III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) (PESI)También denominados primos relativos o “coprimos”, y son aquellos números que poseen como único divisor común a la unidad.
Ejm: ¿12, 10 y 15 son PESI?
Divisores
12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ,
12
10 : 1 , 2 , 5 , 10
15 : 1 , 3 , 5 , 15
El único divisor común de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI.
¿20, 14 Y 8 son PESI?
Divisores
12 : ___ , ___ , ___ , ___ , ___, ___
14 : ___ , ___ , ___ , ___
8 : ___ , ___ , ___ , ___
IV.IV. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICADESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Descomponer canónicamente el número 40.
Paso 1: Empiezo a dividir el número por los números primos (2; 3; 5; 7; …)
40 220 210 2 5
Paso 2: Analizo:5 no tiene divisor 2, entonces pruebo con 3 y luego con 5, 7 y 11 sucesivamente.
40 220 210 2 5 5 1
Z+
Números Simples
Números Primos entre sí
(PESI)
La Unidad
Primos absolutos
Descomposición Canónica
NúmerosCompuesto
s
Teorema fundamental de la Aritmética
Se obtiene 1, entonces la descomposición llega a su fin
40 = = 23 x 51 = 23
x 5
Descomponer canónicamente 315:
315 3105 3 35 5 7 7 1
315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 32 x 51 x 71 = 32 x 5 x 7
Descomponer canónicamente
- 360 =
- 145 =
- 210 =
Hallar el número de divisores de 18
Divisores
18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisor universal : 1
Divisores primos : 2, 3
Divisores compuestos : 6, 9, 18
Total de divisores = 6
Pero ¿Qué hacer si el número tiene más divisores? ¿Cómo calcular el número exacto de divisores de un número?
OBSERVAOBSERVA
Paso 1: Descomposición canónica
18 2 9 3 3 3 1
18 = 2 x 3 x 3 = 21 x 32 = 2 x 32
Paso 2: Extracción de los exponentes.
2 x 3
1 2
Paso 3: A cada exponente se le suma la unidad y luego se multiplican.
1 2
(1 + 1) (2 + 1)x
(2) x (3) = 6
18 tiene 6 divisores
Hallar el número de divisores compuestos de 100.
Hallar el número de divisores de 200 y el número de divisores compuestos.
1. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.
I. 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13 son números primos.
II. El único número primo par es 2III. 21 tiene 3 divisores
a) FFF b) FVF c) FFVd) VVV e) VFV
2. Indique la relación correcta:
I. 12A) Tiene 2 divisoresII. 15B) Tiene 4 divisoresIII. 19C) Tiene 6 divisores
a) IA – II B – IIIC b) IA – IIC – IIIB c) IB – IIA – IIICd) IB – IIC – IIIA e) IC – IIB – IIIA
3.i) Un número primo tiene
______________ únicamente en Z+
Descomposicióncanónica
DivisoresPrimos
DivisoresPrimos
(2 en total)
1 2
+1
+1
6 divisores =
Número de divisores primos
Número de divisores compuestos
+ + 1
6 = Número de divisores compuestos
+ + 12
6 - 3 = Número de divisores compuestos
3 = Número de divisores compuestos
Ejercicios de Ejercicios de AplicaciónAplicación
Ejercicios de Ejercicios de AplicaciónAplicación
ii) Dos números con PESI si tienen
como único divisor
___________________
4. ¿Cuántos de los siguientes números son primos?
21, 13, 28, 41, 15, 18, 23
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Calcular el número de divisores de:
i) N = 360
a) 6 b) 12 c) 18d) 24 e) 30
ii) N = 240
a) 4 b) 8 c) 20d) 16 e) 18
6. Calcular el número de divisores de.
i ) N = 23 x 52 x 72
a) 12 b) 7 c) 36d) 32 e) 16
ii) N = 113 x 134
a) 20 b) 12 c) 7d) 6 e)
7. Calcular el valor de si:
i) N = 32 x 2 x 5 tiene 24 divisores
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
ii) N = 22 x 52 x 7 tiene 45 divisores
a) 16 b) 9 c) 6d) 4 e) 3
8. ¿Cuántos divisores primos tiene:
i) N = 154 ?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
ii) N = 40 ?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
9. ¿Cuántos divisores primos tiene:
i) N = 14 x 15 ?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
ii) N = 21 x 22?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. ¿Cuántos divisores primos tiene:
i) N = 28 x 12 x 5 ?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
ii) N = 5 x 10 x 4 ?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:
i) N = 23 x 7 x 132
a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 3
ii) N = 53 x 72
a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 2
12. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:
i) N = (23 x 3)2
a) 21 b) 20 c) 19d) 12 e) 18
ii) N = (72 x 5)2
a) 15 b) 12 c) 10d) 8 e) 6
13. ¿Cuántos divisores primos tiene: (, , 1)?
i) N = 2 x 7 x 3 x 5 +
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
ii) N = 2 + x 7 x 13
a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0
14. Dos números primos suman 14. Calcular el producto de estos dos números.
a) 22 b) 26 c) 33
d) 34 e) 35
15. Indicar la pareja de números PESI :
a) 8 y 24 b) 21 y 44c) 42 y 14
d) 15 y 70 e) 20 y 18
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