II.3. ZENTRU JOERAKO NEURRIAK

Aztertzen ari garen aldagaiaren ordezkari izan nahi luketen balioak dira.

BATEZBESTEKO ARITMETIKOA

MEDIANA

MODA

II.3.1.BATEZBESTEKO ARITMETIKOA

EZAUGARRIAK

1. Lagin batean elementu guztien batezbesteko aritmetikoarekiko desbiderazioen baturak 0 balio du.

( ) 0iX X

II.3.1.BATEZBESTEKO ARITMETIKOA

EZAUGARRIAK

2. Yi = Xi + k

Yi = Xi - k

Yi = Xi * k

Yi = Xi/ k

Y X K

Y X K

*Y X K

/Y X K

II.3.1.BATEZBESTEKO ARITMETIKOA

3. TALDE OSOAREN BATEZBESTEKO ARITMETIKOA

k

kko

nnn

nXnXnXX

...

......

21

21 21

BATEZBESTEKOAREN ERABILERA

Aldagai kuantitatiboekin.

Maiztasun-banaketa simetrikoa denean.

 Muga itxiak behar ditu.   

BATEZBESTEKO PONDERATUA

Elementu guztien “pisua” edo garrantzia desberdina denean erabiltzen da.

.i ip

i

X pX

p

pi = pisua

Lagin batean, gainetik eta azpitik

%50eko behaketa uzten duen

puntuazioa

II.3.2. MEDIANA

a) Datu isolatuak

Txikienetik handienara ordenaturik erdian gelditzen den balioa, edo bi balio gelditzen badira hauen batezbesteko aritmetikoa.

ADIBIDEA (N = bakoitia)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Xi 1 3 3 5 7 8 9 9 9

(N +1)/2= (9+1)/2= 5MEDIANA = 7

Adibidea: ( N = bikoitia )

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Xi 1 2 3 3 6 8 9 10

(N +1)/2= (8+1)/2= 4,5

MEDIANA = (3+6)/2= 4,5

b) Datu taldekatuak

ii

i

id In

NN

LM ·2 1

NOTAZIOA

Li: Medianadun klasearen behe-muga erreala

Ii: Medianadun klasearen tarte-zabalera

ni: Medianadun klasearen maiztasuna

Ni-1: Medianadun klasearen aurreko maiztasun metatua

Adibidea

Xi ni na

70-84 2 2

85-99 8 10

100-114 4 14

115-129 1 15

Medianaren erabilera

Muga itxi gabeak

Datu sakabanatuak

Banaketa asimetrikoa

Aldagaiak gutxienez ordinalak

II.3.3 Moda

Erabilera: Aldagai kualitatiboekin

Definizioa: Puntuazio talde batean gehien errepikatzen den puntuazioa edo balioa.

a) Datu isolatuekin

Moda bakarra

Bimodala

Multimodala

b) Datu taldekatuekin

Xi ni

3-5 6

6-8 10

9-11 4

Moda = (6+8)/2=7

Adibidea

G= Gipuzkoa B= Bizkaia A= Araba N= Nafarroa

G,G,G,G,A,A,A,A,A,A,N,N,N,B,B,B,BModa = Araba

Subjektu baten posizioa taldearen barruan.

II.4. Banakako posizio neurriak: Pertzentilak

Helburuak

A) Puntuazio jakin bat baino baxuagoak lortzen dituztenen portzentaia (K).

B) Portzentaia batek aldamenean uzten duen balioa (Pk).

a) Datu isolatuak

(N*K)/100

a) Datu isolatuak(N*K)/100

Adibidea

1. Xi: 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5

(N.K)/100= (7.40)/100 = 2,8

P40 = 4

Pk = 3 k? K= (2/7).100 = %29

2. P40?

Xi ni na

2 4 4

3 5 9

4 6 15

5 7 22(N.k)/100 = (22.40)/100=8,8

P40= 3

Pk = 3 ; K? K= (9/22).100 = %41

b) Datu taldekatuak

ii

i

ik In

NkN

LP ·100

·1

Datu taldekatuekin

100·

· 1

N

NIn

LP

ki

i

iik

Parametroak

K: Pertzentilen ordena edo mailaLi: Pertzentildun klaseari dagokion behe-muga errealaI: Tarte-zabaleraNi-1:Aurreko tarteraino metaturiko maiztasuna

Adibidea Kalkula ezazu 90 pertzentila.

Xi ni na

20-24 22 22

25-29 25 47

30-34 32 79

(N.K)/100 =(79.90)/100 =71,1

27,335·32

47100

90·79

5,2990

P

Zer portzentaia uzten du bere azpitik 25 puntu lortu zituen pertsona batek?

1,3100·

79

22525

·5,2425

k

II.5. SAKABANATZE

NEURRIAK

Aztertzen ari garen elementuen arteko diferentziak zenbaterainokoak diren adierazten digu.

Sakabanatzea neurketzeko indizeak

Desbideratze tipikoa

Bariantza

Aldakuntza koefizientea

Koartilarteko ibiltarterdia

Ibiltartea edo heina

II.5.1. Desbideratze tipikoa

N

nxxSx ii

2

II.5.2. Bariantza eta desbideratze tipikoaren ezaugarriak

a) Balio positiboak

Sx 0 eta S2x 0   

b) Aldagai bati konstante bat gehitzen badiogu, bere bariantza ez da aldatzen.

kxy ii

22xy SS

EZAUGARRIAK

c) Aldagai bat bider konstante bat egiten badugu, Sx konstantearen balioagatik biderkatua geratuko da.

kxy ii .222 . xy SkS

  

xy SkS .

EZAUGARRIAK

d) Talde osoaren bariantza

j

ojj

j

jjo n

XXn

n

snS

2____

22 .

EZAUGARRIAK

II.5.3. Aldakuntza koefizientea

100·x

SA xk

Bi aldagaien sakabanatze-maila konparatzeko

Sakabanatzea konparatzeko kaxa-diagrama ere erabiltzen da.

Kaxa diagrama

II.5.4. Koartilarteko ibiltarterdia

Banaketa asimetrikoa Muturretan balio arraroak

213 QQ

Q

II.5.5. Ibiltartea edo heina

Puntuazioen aldakortasun osoa neurtzen

du.

IBILTARTEA:

Xmax – Xmin + 2 * 0,5 NU

II.6. Formari buruzko indizeak:

Asimetria eta zorroztasuna 

Asimetria neurriak

Datuak batezbestekotik zenbateraino aldentzen

diren.

Datuen banaketa zenbateraino den simetrikoa

Alborapen indizeak

Asimetria motak

a) Asimetria + Ezkerrerantz alboratutako kurba Puntuazio baxuak ugari (froga zaila) Asimetria indize positiboa

Asimetria motak

b) Asimetria -

Eskuinerantz alboratutako kurba Puntuazio altuak ugari (froga erraza) Asimetria indize negatiboak

c) Simetrikoa

Datuak modu orekatuan banatzen dira

Asimetria indizea 0

Banaketa normala

Fisher-en asimetria indizea

3

3

3x

ii

S

Nxxna

Alborapen indize koartilikoa

1223

1223

QQQQ

QQQQaq

aq= +1 eta –1 bitartean

Zorroztasun neurriek kurbaren zorroztasun maila neurtzen dute.

LEPTOKURTIKOA B.Normala baino

handiagoa

MESOKURTIKOA B. Normala

PLATIKURTIKOA B.Normala baino txikiago

Fisher-en kurtosi indizea

3

4

4

4

x

ii

S

Nxxna

Zorroztasun indize pertzentilikoa

1090

13 2/)(

PP

QQKp

Kp=0,263 B.normala

Kp<0,263 Platikurtikoa

Kp>0,263 Leptokurtikoa

Interpretazioa

Zorroztasun indizea = 0 MESOKURTIKOA

Zorroztasun indizea = positiboa LEPTOKURTIKOA

Zorroztasun indizea = negatiboa PLATIKURTIKOA

II.7.PUNTUAZIO ESTANDARRAK ETA ERATORIAK

Puntuazio zuzenak X

Puntuazio diferentzialak= x - Puntuazio tipikoak (z) = (x- )/Sx

X

X

Eskala eratorriak

titi xzsT ·

= Populazioaren batezbestekoa. =Populazioaren desbideratze tipikoa.

tStX

Eskala eratorriak: Puntuazio ezagunenak

T = 10 . Z + 50S = 2 . Z + 5

CI = 15. Z + 100

Banaketa normala eta z puntuazioak

Z puntuazioen ezaugarriak

0Z 1zS

xSxX 2

Puntuazio estandarraren interpretazioa: bere puntuazio zuzena taldearen batezbesteko aritmetikoaren gainetik (edo azpitik) zenbat desbiderazio estandar dauden.

Adibideak:

Z=1

Z=2

xSxX