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Matematicas aplicadas a las CCSSColeccion de Ejercicios
INTERVALOS DE CONFIANZA
Inigo Zunzunegui Monterrubio
13 de octubre de 2020
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Indice general
2016 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42016 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62017 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72017 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 82017 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 92017 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102017 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112017 Septiembre - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 122017 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 132017 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142018 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152018 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162018 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172018 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 182018 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 192018 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202018 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212019 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222019 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232019 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242019 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252019 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 262019 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 272019 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282019 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292019 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 302020 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
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2020 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322020 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332020 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342020 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 352020 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 362020 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372020 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382021 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392021 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El tiempo diario que los adultos de una determinada ciudad dedican a actividadesdeportivas, expresado en minutos, se puede aproximar por una variable aleatoria condistribucion normal de media µ desconocida y desviacion tıpica σ = 20 minutos.
a) Para una muestra aleatoria simple de 250 habitantes de esa ciudad se ha obtenidoun tiempo medio de dedicacion a actividades deportivas de 98 minutos diarios.Calculese un intervalo de confianza al 90 % para µ.
b) ¿Que tamano mınimo debe de tener una muestra aleatoria simple para que elerror maximo cometido en la estimacion de µ por la media muestral sea menorque 1 minuto con el mismo nivel de confianza del 90 %?
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2016 - Opcion A )
Solucion.
x ≡ ”Tiempo dedicado a actividades deportivas (min)”
a) X : N (µ, 20) n=250−−−−→ x = 90
1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla−−−→ zα/2 = 1,645
E = zα/2 ·σ√n
= 1,645 · 20√250
= 2,08
I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (87,92; 92,08)
b) n =? & E < 1 & 1− α = 0,9
E = zα/2 ·σ√n
= 1,645 · 20√n< 1 =⇒ n >
(1,645 · 20
1
)2= 1082,4 =⇒ n = 1083
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El precio (en euros) del metro cuadrado de las viviendas de un determinado muni-cipio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de mediaµ desconocida y desviacion tıpica σ = 650 euros.
a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza(2265,375; 2424,625) para µ, con un nivel de confianza del 95 %. Calculese lamedia muestral y el tamano de la muestra elegida.
b) Tomamos una muestra aleatoria simple de tamano 225. Calculese el error maximocometido en la estimacion de µ por la media muestral con un nivel de confianzadel 99 %.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2016 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ, 650) & 1− α = 0,95 & I.C. = (2265,375; 2424,625)
x− E = 2265,375x+ E = 2424,625
}=⇒
x = 2265,375 + 2424,625
2 = 2345
E = 2424,625− 2265,3752 = 79,625
1−α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1−α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 650√n
= 79,625 =⇒ n =(
1,96 · 65079,625
)2
=⇒ n = 256
b) X : N (µ, 650) & n = 225 & 1− α = 0,99
1− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ α/2 = 0,005 =⇒ 1− α/2 = 0,995 Tabla−−−→ zα/2 = 2,575
E = zα/2 ·σ√n
= 2,575 · 650√225
= 111,58
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6 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso en canal, en kilogramos (kg), de una raza de corderos a las seis semanasde su nacimiento se puede aproximar por variable aleatoria con distribucion normalde media µ y desviacion tıpica igual a 0,9 kg.
a) Se tomo una muestra aleatoria simple de 324 corderos y el peso medio observadofue X = 7,8 kg. Obtengase un intervalo de confianza con un nivel del 99,2 %para µ.
b) Determınese el tamano mınimo que deberıa tener una muestra aleatoria simplede la variable para que el correspondiente intervalo de confianza para µ al 95 %tenga una amplitud a lo sumo de 0,2 kg.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion A )
Solucion.
a) X : N (µ, 0,9) n=324−→ X = 7,8
1− α = 0,992 =⇒ α = 0,008 =⇒ α/2 = 0,004 =⇒ 1− α/2 = 0,996 =⇒ zα/2 = 2,65
ε = zα/2 ·σ√n
= 2,65 · 0,9√324
= 0,1325 =⇒ I.C. = X ± ε = 7,8± 0,1325 = (7,67, 7,93)
b) X : N (µ, 0,9) n=?−→ 2ε = 0,2
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
2ε ≤ 0,2 =⇒ 2zα/2 ·σ√n≤ 0,2 =⇒ 2 · 1,96 · 0,9√
n≤ 0,2 =⇒ n ≥
(2 · 1,96 · 0,9
0,2
)2
=⇒ n ≥ 311,17 =⇒ n = 312
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso en toneladas (T) de los contenedores de un barco de carga se puede apro-ximar por una variable aleatoria normal de media µ y desviacion tıpica σ = 3 T. Setoma una muestra aleatoria smple de 484 contenedrores.
a) Si la media de la muestra es X = 25,9 T, obtengase un intervalo de confianzacon un nivel del 90 % para µ.
b) Supongase ahora que µ = 23 T. Calculese la probabilidad de que puedan trans-portarse en un barco cuya capacidad maxima es de 11000 T.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ, 3) n=484−→ X = 25,9
1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,645
ε = zα/2 ·σ√n
= 1,645 · 3√484
= 0,2243 =⇒ I.C. = X ± ε = 25,9± 0,2243 = (25,68, 26,12)
b) X : N (23, 3) n=484−→ X : N (23, 3/√
484 = 0,136)
Nos piden la probabilidad de que los 484 contenedores puedan ser transportados en unbarco con capacidad maxima de 11000 T. Es decir, 484 ·X ≤ 11000, o lo que es lo mismo,que X ≤ 22,73 T.
P (X ≤ 22,73) = P
(Z ≤ 22,73− 23
0,136
)= P (Z ≤ −1,98) = P (Z ≥ 1,98)
= 1− P (Z ≤ 1,98) = 1− 0,9761 = 0,0239
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8 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)La produccion diaria de cemento, medida en toneladas, de una factorıa cementera
se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µdesconocida y desviacion tıpica σ = 9 toneladas.
a) Determınese el tamano mınimo de una muestra aleatoria simple para que elcorrespondiente intervalo de confianza para µ al 95 % tenga una amplitud a losumo de 2 toneladas.
b) Se toman los datos de produccion de 16 dıas escogidos al azar. Calculese laprobabilidad de que la media de las producciones obtenidas, X, sea menor oigual a 197,5 toneladas si sabemos que µ = 202 toneladas.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion A - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 9) n =? 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96La amplitud del tintervalo ha de ser menor que 2, por lo que 2ε ≤ 2
2ε ≤ 2 =⇒ 2zα/2 ·σ√n≤ 2 =⇒ 2 · 1,96 · 9√
n≤ 2
=⇒ n ≥(
2 · 1,96 · 92
)2= 311,17 =⇒ n = 312
b) X : N (202, 9) n=16−→ X : N (202, 9/√
16) = N (202, 2,25)
P(X ≤ 197,5
)= P
(Z ≤ 197,5− 202
2,25
)= P (Z ≤ −2)
= P (Z ≥ 2) = 1− P (Z ≤ 2) = 1− 0,9772 = 0,0228
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso, en gramos (gr), de la bandeja de salmon crudo que se vende en una gransuperficie, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ desconocida y desviacion tıpica σ = 25 gr. Se ha tomado una muestra aleatoriasimple de 10 bandejas.
a) Si la media muestral de los pesos ha sido X = 505 gr, calculese un intervalo deconfianza al 99 % para µ.
b) Supongase ahora que µ = 500 gr. Calculese la probabilidad de que el peso totalde esas 10 bandejas sea mayor o igual a 5030 gr.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 25) n=10−→ X = 505
1− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ α/2 = 0,005 =⇒ 1− α/2 = 0,995 =⇒ zα/2 = 2,575
ε = zα/2 ·σ√n
= 2,575 · 25√10
= 20,36
I.C. = X ± ε = 505± 20,36 = (484,64, 525,36)
b) X : N (500, 25) n=10−→ X : N (500, 25/√
10) = N (500, 7,91)
P(10X ≥ 5030
)= P
(X ≥ 503
)= P
(Z ≥ 503− 500
7,91
)= P (Z ≥ 0,38)
= 1− P (Z ≤ 0,38) = 1− 0,6480 = 0,3520
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10 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El tiempo, en horas, que tarda cierta companıa telefonica en hacer efectiva laportabilidad de un numero de telefono se puede aproximar por una variable aleatoriacon distribucion normal de media µ, y desviacion tıpica σ = 24 horas. Se toma unamuestra aleatoria simple de tamano 16, calculese:
a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo X, supere las 48 horas, siµ = 36 horas.
b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo (24,24, 47,76) paraµ.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A )
Solucion.
a) X : N (µ, 24) n=16−→ X : N (36, 24/√
16 = 6)
P(X ≥ 48
)= P
(Z ≥ 48− 36
6
)= P (Z ≥ 2) = 1− P (z ≤ 2)
= 1− 0,9772 = 0,0228
b) I.C. = (24,24, 47,76) =⇒ 2ε = 47,76− 24,24 =⇒ ε = 11,76
ε = zα/2 ·σ√n
=⇒ 11,76 = zα/2 ·24√16
=⇒ zα/2 = 1,96 =⇒ 1− α/2 = 0,975
=⇒ α/2 = 0,025 =⇒ α = 0,05 =⇒ 1− α = 0,95
Por lo que el nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo de confianza encuestion es del 95 %.
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Ejercicio 5 (2 puntos)
La longitud auricular de la oreja en varones jovenes, medida en centımetros (cm),se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ ydesviacion tıpica σ = 0,6 cm.
a) Una muestra aleatoria simple de 100 individuos proporciono una media muestralX = 7 cm. Calculese un intervalo de confianza al 98 % para µ.
b) ¿Que tamano mınimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el errormaximo cometido en la estimacion de µ por la media muestral sea a lo sumo de0,1 cm, con un nivel de confianza del 98 %?
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A )
Solucion.
a) X : N (µ, 0,6) n=100−→ X = 7
1− α = 0,98 =⇒ α = 0,02 =⇒ α/2 = 0,01 =⇒ 1− α/2 = 0,99 =⇒ zα/2 = 2,325
ε = zα/2 ·σ√n
= 2,325 · 0,6√100
= 0,1395
I.C. = X ± ε = 7± 0,1395 = (6,8605, 7,1395)
b) n =? ε ≤ 0,1 1− α = 0,98 =⇒ zα/2 = 2,325
ε ≤ 0,1 =⇒ ε = zα/2 ·σ√n
= 2,325 · 0,6√n≤ 0,1 =⇒ n ≥
(2,325 · 0,6
0,1
)2
=⇒ n ≥ 194,6 =⇒ n = 195
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12 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El precio, en euros, de un cierto producto en las diferentes tiendas de una deter-minada ciudad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normalde media µ y desviacion tıpica σ = 15 euros.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de diez tiendas de esa ciudad y seha anotado el precio del producto en cada una de ellas. estos precios son lossiguientes:
140; 125; 140; 175; 135; 165; 175; 110; 150; 130.
Determınese un intervalo de confianza con un nivel del 95 % para µ.
b) Calculese el mınimo tamano muestral necesario para que el error maximo come-tido al estimar µ por la media muestral sea a lo sumo de 8 euros, con un nivelde confianza del 95 %.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 15) n=10−→ X = 140+125+140+175+135+165+175+110+150+13010 = 144,5
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
ε = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 158 = 9,3
I.C. = X ± ε = 144,5± 9,3 = (135,2, 153,7)
b) n =? ε ≤ 8 1− α = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,96
ε ≤ 8 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 8 =⇒ n ≥
(1,96 · 15√
10
)2
13,5
=⇒ n = 14
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El consumo de combustible, en litros cada 100 kilometros (l/100 km), de los vehıcu-los nuevos matriculados en Espana se puede aproximar por una variable aleatoria condistribucion normal de media µ desconocida y desviacion tıpica σ = 1,2 l/100 km. Setoma una muestra aleatoria simple de tamano 49.
a) Calculese el nivel de confianza con el que se ha obtenido el intervalo de confianza(4,528, 5,2) para µ.
b) Supongase ahora que µ = 4,8 l/100 km. Calculese la probabilidad de que lamedia de la muestra, X, este comprendida entre 4,5 y 5,1 l/100 km.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 1,2) n=49−→ X :
2ε = 5,2−4,528 = 0,672 = 2·zα/2·σ√n
=⇒ zα/2 = 0,672 ·√
492 · 1,2 = 1,96 =⇒ 1−α = 0,95
b) X : N (4,8, 1,2) n=49−→ X : N (4,8, 1,2/√
49 = 0,1714)
P (4,5 ≤ X ≤ 5,1) = P
(4,5− 4,80,1714 ≤ Z ≤ 5,1− 4,8
0,1714
)= P (−1,75 ≤ Z ≤ 1,75)
= P (Z ≤ 1,75)− P (Z ≤ −1,75) = P (Z ≤ 1,75)− P (Z ≥ 1,75)= P (Z ≤ 1,75)− [1− P (Z ≤ 1,75)] = −0,9599− (1− 0,9599)= 0,9198
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14 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Un determinado partido polıtico desea estimar la proporcion de votantes, p, queactualmente se decantarıa por el.
a) Asumiendo que p = 0,5, determınese el tamano mınimo necesario de una muestrade votantes para garantizar que, con una confianza del 90 %, el margen de erroren la estimacion no supera el 2 % (±2 %).
b) Se tomo una muestra aleatoria simple de 1200 votantes de los cuales 240 afirma-ron que votarıan por el partido en cuestion. Obtengase un intervalo de confianzadel 95 % para la proporcion de votantes de ese partido en la poblacion.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2018 - Opcion A )
Solucion.Hay que darse cuenta de que estamos manejando proporciones, por lo que la formula
del intervalo de confianza es la siguiente:
I.C. = p± ε, siendo el error ε = zα/2
√p · qn
a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,02, siendo 1− α = 0,90
1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,645
ε ≤ 0,02 =⇒ zα/2
√p · qn≤ 0,02 =⇒ 1,645
√0,5 · 0,5
n≤ 0,02
=⇒ n ≥(
1,645 · 0,50,02
)2
= 1691,27 y por tanto n = 1692
b)p = 240
1200 = 0,2 =⇒ q = 1− p = 0,8
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
ε = zα/2
√p · qn
= 1,96√
0,2 · 0,81200 = 0,023 =⇒ I.C. = p± ε = (0,1774, 0,2226)
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso, en kilogramos, de los ninos de diez anos en la comunidad de Madrid sepuede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de µ desconociday desviacion tıpica σ = 3 kilogramos.
a) Calculese un intervalo de confianza al 95 % para µ si se ha tomado una muestraaleatoria simple de 9 ninos de diez anos y se han obtenido los siguientes pesosen kilogramos:
37, 40, 42, 39, 41, 40, 39, 42, 40
b) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de la media muestral sea menorque 1 kilogramo con un nivel de confianza 99 %.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2018 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ, 3) n=9−→ X = 37 + 40 + 42 + 39 + 41 + 40 + 39 + 42 + 409 = 40
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
ε = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 3√9
= 1,96 =⇒ I.C. = X ± ε = (38,04, 41,96)
b) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 1, siendo 1− α = 0,99
1− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ α/2 = 0,005 =⇒ 1− α/2 = 0,995 =⇒ zα/2 = 2,325
ε < 1 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 1 =⇒ 2,325 · 3√
n≤ 1 =⇒ n ≥
(2,325 · 3
1
)2= 48,65
y por tanto n = 49
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16 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
La empresa Dulce.SA produce sobres de azucar cuyo peso en gramos se puedeaproximar por una variable aleatoria X con distribucion normal con media µ = 4gramos y desviacion tıpica σ = 0,5 gramos.
a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de la media sea como mucho de0,25 gramos con un nivel de confianza del 95 %.
b) Calculese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 25sobres, la media muestral , X, pese mas de 12,25 gramos, sabiendo que µ = 12gramos.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion A )
Solucion.
X : N (4, 0,5) n−→ X : N (4, 0,5/√n)
a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,25, siendo 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
ε < 0,25 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 0,25 =⇒ 1,96 · 0,5√
n≤ 0,25 =⇒ n ≥
(1,96 · 0,5
0,25
)2
= 15,36
y por tanto n = 16
b) X : N (12, 0,5) n=25−→ X : N (12, 0,5/√
25) = N (12, 0,1)
P(X > 12,25
)= P
(Z >
12,25− 120,1
)= P (Z > 2,5) = 1−P (Z < 2,5) = 1−0,9938 = 0,0062
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El numero de descargas por hora de cierta aplicacion para moviles, se puede apro-ximar por una variable aleatoria de distribucion normal de media µ descargas y des-viacion tıpica σ = 10 descargas.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de 40 horas, obteniendose una mediamuestral de 99,5 descargas. Determınese un intervalo de confianza al 95 % paraµ.
b) Supongase que µ = 100 descargas. Calculese la probabilidad de que al tomaruna muestra de 10 horas la media muestral, X, este entre 100 y 110 descargas.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ, 10) n=40−→ X = 99,5
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
I.C. = X ± zα/2 ·σ√n
= 99,5± 1,96 · 10√40
= (96,4, 102,6)
b) X : N (100, 10) n=10−→ X : N (100, 10/√
10) = N (100, 3,16)
P(100 < X < 110
)= P
(100− 100
3,16 < Z <110− 100
3,16
)= P (0 < Z < 3,16)
= P (Z < 3,16)− P (z < 0) = 0,9992− 0,5 = 0,4992
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18 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El tiempo diario, medido en horas (h), que pasa una persona de 18 anos viendo latelevision, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ h y desviacion tıpica σ = 0,25 h.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de 15 individuos y se obtiene una mediamuestral x = 2 h. Calculese un intervalo de confianza al 95 % para µ.
b) Supongase que µ = 2 h. calculese la probabilidad de que al tomar una mues-tra aleatoria simple de 20 individuos, el tiempo medio de visionado diario detelevision, X, este entre 1,85 y 2,15 horas.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion A - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 0,25) n=15−−−−→ x = 2 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 0,25√15
= 0,127
I.C. = (x− E, x+ E) = (1,873; 2,127)
b) X : N (2, 0,25) n=20−−−−→ X : N(
2, 0,25√20
= 0,056)
P (1,85 ≤ X ≤ 2,15) = P
(1,85− 2
0,056 ≤ Z ≤ 2,15− 20,056
)= P (−2,68 ≤ Z ≤ 2,68)
= P (Z ≤ 2,68)− P (Z ≤ −2,68) = P (Z ≤ 2,68)− P (Z ≥ 2,68)= P (Z ≤ 2,68)− [1− P (Z ≤ 2,68)] = 2 · P (Z ≤ 2,68)− 1= 2 · 0,9963− 1 = 0,9926
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso en kilogramos (kg) del ejemplar de lubina de estero tras un mes de crianza,se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ kgy desviacion tıpica σ = 0,2 kg.
a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor que 0,05 kg, conun nivel de confianza del 95 %.
b) Calculese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de ta-mano 20, la suma total de sus pesos sea mayor que 32 kg, sabiendo que µ = 1,5kg.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 0,2) & n =? & E < 0,05 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95⇒ α = 0,05⇒ α/2 = 0,025⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla====⇒ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 0,2√n< 0,05 =⇒ n >
(1,96 · 0,2
0,05
)2
= 61,46 =⇒ n = 62
b) X : N (1,5, 0,2) n=20−−−−→ X : N(
1,5, 0,2√20
= 0,045)
Si la suma de los pesos de 20 ejemplares es de 32 kg, quiere decir que la mediasera x = 32
20 = 1,6 kg
P (X > 1,6) = P
(Z >
1,6− 1,50,045
)= P (Z > 2,22) = 1− P (Z < 2,22)
= 1− 0,9868 = 0,0132
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20 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
La distancia anual, en kilometros (km), que recorren las furgonetas de una empresade reparto, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ km y desviacion tıpica σ = 24000 km.
a) Determınese el tamano mınimo de una muestra aleatoria simple para que laamplitud del intervalo de confianza al 95 % para µ sea a lo sumo de 23550 km.
b) Se toma una muestra aleatoria simple de 25 furgonetas. Suponiendo que µ =150000 km, calculese la probabilidad de que la distancia media anual observada,X, este entre 144240 km y 153840 km.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2018 - Opcion A )
Solucion.
a) X : N (µ, 24000) & n =? & 1− α = 0,95 & 2ε ≤ 23550
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
2ε ≤ 23550 =⇒ 2 · zα/2 ·σ√n≤ 23550 =⇒ n ≥
(2 · 1,96 · 24000
23550
)2= 15,95
=⇒ n = 16
b) X : N (150000, 24000) n=25−→ X : N(
150000, 24000√25
= 4800)
P (144240 ≤ X ≤ 153840) = P(144240− 150000
4800 ≤ X ≤ 153840− 1500004800
)= P (−1,2 ≤ Z ≤ 0,8) = P (Z ≤ 0,8)− P (Z ≤ −1,2)= P (Z ≤ 0,8)− P (Z ≥ 1,2) = P (Z ≤ 0,8)− [1− P (Z ≤ 1,2)] = 0,7881− (1− 0,8849) = 0,673
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Una empresa quiere lanzar un producto al mercado. Por ello desea estimar laproporcion de individuos, P , que estarıan dispuestos a comprarlo.
a) Asumiendo que la proporcion poblacional es P = 0,5, determınese el tamanomınimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con unaconfianza del 95 %, el margen de error en la estimacion no supere el 3 % (±3 %).
b) Se tomo una muestra aleatoria simple de 450 individuos de los cuales 90 afirma-ron que comprarıan el producto. Obtengase un intervalo de confianza del 90 %para la proporcion de individuos que estarıan dispuestos a comprar el producto.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2018 - Opcion B )
Solucion.El intervalo de confianza para una proporcion es el siguiente:
I.C. = p± ε, siendo el error ε = zα/2
√p · qn
a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,03, siendo 1− α = 0,95 y p = 0,5
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96
ε ≤ 0,03 =⇒ zα/2
√p · qn≤ 0,03 =⇒ 1,96
√0,5 · 0,5
n≤ 0,03
=⇒ n ≥(
1,96 · 0,50,03
)2
= 1067,11 y por tanto n = 1068
b)p = 90
450 = 0,2 =⇒ q = 1− p = 0,8
1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,645
ε = zα/2
√p · qn
= 1,645√
0,2 · 0,8450 = 0,031 =⇒ I.C. = p± ε = (0,169, 0,231)
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22 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Una plataforma de television quiere lanzar un nuevo paquete de contenidos depago. Por ello desea estimar la proporcion de clientes, P, que estarıan dispuestos acontratarlo.
a) Asumiendo que la proporcion poblacional es P = 0,5, Determınese el tamanomınimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con unaconfianza del 95 %, el margen de error en la estimacion no supere el 2 % (±2 %).
b) Se tomo una muestra aleatoria simple de 500 clientes de los cuales 85 afirmaronque contratarıan el paquete. Obtengase un intervalo de confianza del 90 % parala proporcion de individuos que estarıan dispuestos a contratar el paquete.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2019 - Opcion A )
Solucion.Hay que darse cuenta de que estamos manejando proporciones, por lo que la formula
del intervalo de confianza es la siguiente:
I.C. = p± ε, siendo el error ε = zα/2
√p · qn
a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,02, siendo 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tablaa===⇒ zα/2 = 1,96
ε ≤ 0,02 =⇒ zα/2
√p · qn≤ 0,02 =⇒ 1,96
√0,5 · 0,5
n≤ 0,02
=⇒ n ≥(
1,96 · 0,50,02
)2
= 2401 y por tanto n = 2401 encuestados
b)p = 85
500 = 0,17 =⇒ q = 1− p = 0,83
1− α = 0,9 =⇒ α = 0,10 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla===⇒ zα/2 = 1,645
I.C. = p± zα/2
√p · qn
= 0,17± 1,645√
0,17 · 0,83500 =⇒ I.C = (0,1424; 0,1976)
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El contenido en azucares, medido en kilogramos (kg), de los botes de 1 kg demiel natural del Valle de Valdeon se puede aproximar por una variable aleatoria condistribucion normal de media µ kg y desviacion tıpica σ = 0,1 kg.
a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimcion de µ sea menor que 0,025 kg, conun nivel de confianza del 95 %.
b) Sabiendo que µ = 0,7 kg, calculese la probabilidad de que al tomar una muestraaleatoria simple de tamano 20, la media del contenido en azucares de esos botessea menor que 0,65 kg.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2019 - Opcion B )
Solucion.Llamamos X ≡ ”Contenido en azucares en los botes de miel (kg)”
a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,025, siendo 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96
ε < 0,025 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 0,025 =⇒ 1,96 · 0,1√
n≤ 0,025
=⇒ n ≥(
1,96 · 0,10,025
)2
= 61,46 y por tanto n = 62
b) X : N (0,7, 0,1) n=20−→ X : N(
0,7; 0,1√20
= 0,022)
P (X ≤ 0,65) = P
(Z ≤ 0,65− 0,7
0,022
)= P (Z ≤ −2,24) = P (Z ≥ 2,24)
= 1− P (Z ≤ 2,27) = 1− 0,9875 = 0,0125
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24 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El precio mensual de las clases de Pilates en una region se puede aproximar me-diante una variable aleatoria con distribucion normal de media µ euros y varianza 49euros 2.
a) Seleccionada una muestra aleatoria simple de 64 centros en los que se imparteeste tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de 34 euros. Obtengaseun intervalo de confianza al 99,2 % para estimar el precio medio mensual µ, delas clases de Pilates.
b) Determınese el tamano muestral mınimo que deberıa tener una muestra aleatoriasimple para que el error maximo cometido en la estimacion de la media sea comomucho de 3 euros, con una confianza del 95 %.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion A )
Solucion.
a) Nos dicen que la varianza σ2 = 49 =⇒ σ = 7
X : N (µ, 7) n=64−−−→ X : N(µ,
7√64
)= N (µ, 0,875)
1− α = 0,992 Tabla===⇒ zα/2 = 2,65 & x = 34I.C. = x± zα/2 ·
σ√n
= 34± 2,65 · 7√64
= (31,68; 36,32)
b) n =? & 1− α = 95 % & ε < 31− α = 0,95 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96
ε = zα/2 ·σ√n⇒ 1,96 · 7√
n< 3⇒ n >
(1,96 · 73
)2= 20,92⇒ n = 21 centros
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso de las mochilas escolares de los ninos de 5◦ y 6◦ de primaria, medido enkilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ kilogramos y desviacion tıpica σ = 1,5 kilogramos.
a) En un estudio se tomo una muestra aleatoria simple de dichas mochilas escolaresy se estimo el peso medio utilizando un intervalo de confianza del 95 %. Laamplitud de este intervalo resulto ser 0,49 kilogramos.Obtengase el numero de mochilas seleccionadas en la muestra.
b) Supongase que µ = 6 kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de225 mochilas escolares calculese la probabilidad de que el peso medio muestralsupere los 5,75 kilogramos, que es la cantidad maxima recomendada para losescolares de estos cursos.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ; 1, 5) n=?−−→ I.C. de amplitud 2ε = 0,49
1− α = 0,95 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96
ε = zα/2 ·σ√n
=⇒ 0,492 = 1,96 · 1,5√
n
n =(
1,96 · 1,50,245
)2
=⇒ n = 144 mochilas
b) X : N (6; 1,5) n=225−−−→ X : N(6; 1,5√
225
)= N (6; 0,1)
P (X ≥ 5,75) = P
(Z ≥ 5,75− 6
0,1
)= P (Z ≥ −2,5)
= P (Z ≤ 2,5) = 0,9938
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26 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El tiempo que dura una sesion de rehabilitacion de hombro, en minutos (min), sepuede aproximar por una variable aleatoria X con distribucion normal de media µ ydesviacion tıpica σ = 10 min.
a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor que 5 min, conun nivel de confianza del 95 %.
b) Supongase que µ = 40 min. Calculese el tamano que debe tener una muestraaleatoria simple para que P (X ≤ 38) = 0,1587.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion A - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 10) & n =? & E < 5 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 5√n< 5 =⇒ n >
(1,96 · 10
5
)2= 15,36 =⇒ n = 16
b) X : N (40, 5) n=?−−−→ X : N(40, 10√
n
)
P (X ≤ 38) = P
(Z ≤ 38− 40
10/√n
)= P
(Z ≤ −
√n
5
)= P
(Z ≥
√n
5
)
= 1− P(Z ≤
√n
5
)= 0,1587 =⇒ P
(Z ≤
√n
5
)= 0,8413
Tabla======⇒√n
5 = 1,00 =⇒√n = 5 =⇒ n = 25
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Ejercicio 5 (2 puntos)
En la zona centro de una ciudad, el alquiler mensual de los locales comerciales sepuede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ eurosy desviacion tıpica σ euros.
a) Suponiendo µ = 3000 €, determınese σ para que al elegir una muestra aleatoriasimple de tamano 49, la probabilidad de que el alquiler medio mensual de lamuestra supere los 3125 € sea 0,20.
b) Suponiendo una desviacion tıpica poblacional igual a 1000 € y el valor de µdesconocido, determınese un intervalo de confianza al 95 % para µ, basado enla informacion de una muestra aleatoria simple de 100 locales comerciales en laque se observo un alquiler mensual medio de 3300 €.
(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (3000, σ) n=49−−−−→ X : N(
3000, σ√49
= σ
7
)
P (X > 3125) = P
(Z >
3125− 3000σ/7
)= P
(Z >
875σ
)= 1− P (Z <
875σ
) = 0,20
=⇒ P(Z <
875σ
)= 0,80 Tabla====⇒ 875
σ= 0,845 =⇒ σ = 1035,5
b) X : N (µ, 1000) n=100−−−−−→ x = 3300
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla====⇒ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 1000√100
= 196
I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (3104, 3496)
◦
28 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Una maquina rellena paquetes de harina. El peso de la harina en cada paquetese puede aproximar por una distribucion normal de media µ y desviacion tıpica 25gramos.
a) Se analiza el peso del contenido de 15 paquetes. La media muestral de estos pesosresulta ser 560 gramos. Determınese un intervalo de confianza con un nivel del95 % para la media poblacional.
b) Se sabe que la media poblacional del peso de la harina de un paquete es 560gramos. Calculese la probabilidad de que la media muestral no sea menor que565 gramos para una muestra de 50 paquetes.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2019 - Opcion A )
Solucion.Sea X ≡ Peso de los paquetes de harina, entonces X : N (µ, 25)
a) X : N (µ, 25) n=15−−−→ x = 560 & 1− α = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,96
I.C. = x± zα/2 ·σ√n
= 560± 1,96 · 25√15
=⇒ I.C. = (547,35; 572,65)
b) X : N (560, 25) n=50−−−→ X ∼ N(
560, 25√50
)= N (560, 3,54)
P (X ≥ 565) = P
(Z ≥ 565− 560
3,54
)= P (Z ≥ 1,41) = 1− P (Z ≤ 1,41)
= 1− 0,9207 = 0,0793
◦
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Para estudiar el absentismo laboral injustificado, se desea estimar la proporcion detrabajadores, P , que no acuden a su puesto de trabajo sin justificacion al menos undıa al ano.
a) Sabiendo que la proporcion poblacional de absentismo laboral injustificado esP = 0,22, determınese el tamano mınimo necesario de una muestra de trabaja-dores para garantizar que, con una confianza del 99 %, el margen de error en laestimacion no supera el 4 %.
b) Tomada al azar una muestra de 1000 trabajadores, se encontro que 250 habıanfaltado injustificadamente a su puesto de trabajo al menos una vez al ano. De-termınese un intervalo de confianza al 95 % para la proporcion de individuos quese ausentan en el trabajo al menos una vez al ano sin ninguna justificacion.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2019 - Opcion B )
Solucion.
a) p = 0,22 & n =? & 1− α = 0,99 & ε < 0,041− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ 1− α/2 = 0,995 Tabla===⇒ zα/2 = 2,575
ε = zα/2
√pq
n< 0,04 =⇒ n >
(zα/2 ·
√pq
0,04
)2
=(
2,575 ·√
0,22 · 0,780,04
)2
= 711,13
Luego n = 712 trabajadores
b) n = 1000 & p = 2501000 = 0,25 & 1− α = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,96
I.C. = p± zα/2√pq
n= 0,25± 1,96
√0,25 · 0,75
1000 =⇒ I.C. = (0,2231; 0,2768)
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30 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
La factura, en euros, de una cena para una persona, reservando en pucherode-lujo.com se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media µ = 25 ydesviacion tıpica σ = 5.
a) Calculese la probabilidad de que el coste medio por comensal, de 9 personasescogidas al azar que reserven en la pagina, no sea mayor que 30 euros.
b) Determınese el numero mınimo de comensales que deberıa tener una muestraaleatoria simple para que el coste medio por comensal no exceda los 30 euroscon probabilidad no inferior a 0,95.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2019 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (25, 5) n=9−−−→ X : N(
25, 5√9
= 1,67)
P (X < 30) = P
(Z <
30− 251,67
)= P (Z < 3) = 0,9987
b) n =? & 1− α = 0,95 & E ≤ 5
1− α = 0,95⇒ α = 0,05⇒ α/2 = 0,025⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla====⇒ zα/2 = 1,96
E = zalpha/2 ·σ√n
= 1,96 · 5√n≤ 5 =⇒ n ≥
(1,96 · 5
5
)2= 3,84 =⇒ n = 4
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Ejercicio 5 (2 puntos)
La cantidad de principio activo en las pastillas de una determinada marca dedetergente puede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ mg y varianza 0,09 mg2.
a) Si una muestra aleatoria simple de 400 pastillas proporciono una cantidad mediade principio activo de 13 mg, halle un intervalo de confianza al 99 % para la mediapoblacional.
b) Determine el tamano muestral mınimo para que el error maximo cometido enla estimacion de µ por la media muestral sea menor de 0,05 mg con un nivel deconfianza del 98 %.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2020 - Opcion A )
Solucion.
a) Nos dicen que la varianza σ2 = 0,09 =⇒ σ = 0,3
X : N (µ, 0,3) n=400−−−→ X : N(µ,
0,3√400
)= N (µ, 0,0015)
1− α = 0,99 Tabla===⇒ zα/2 = 2,575 & x = 13
E = zα/2 ·σ√n
= 2,575 · 0,3√400
= 0,039
I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (12,961; 13,039)
b) n =? & 1− α = 98 % & E < 0,051− α = 0,98 =⇒ α = 0,02 =⇒ α/2 = 0,1 =⇒ 1− α/2 = 0,99 Tabla===⇒ zα/2 = 2,325
E = zα/2 ·σ√n
= 2,325 · 0,3√n< 0,05 =⇒ n >
(2,325 · 0,3
0,05
)2
= 194,6
n = 195 pastillas
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32 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
En verano, en Madrid, se instalan puestos callejeros de venta de melones y sandıas.Se sabe que el peso de las sandıas puede aproximarse por una variable con distribucionnormal de media µ y desviacion tıpica σ = 450 g.
a) Si se toma una muestra de 25 sandıas y se obtiene una media muestral de x =2700 g, calcule un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional.
b) Si el peso medio de las sandıas es µ = 3000 g, calcule la probabilidad de que unamuestra de cuatro sandıas cogidas al azar pesen en media entre 3000 g y 3450 g.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2020 - Opcion B )
Solucion.
a) X ≡ ”Peso sandıas (g)” & X : N (µ, 450) n=25−−−→ x = 2700 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 450√25
= 176,4
I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (2523,6, 2876,4)
b) X : N (3000, 450) n=4−−→ X : N(3000, 450√
4
)= N (3000, 225)
P (3000 < X < 3450) = P(3000− 3000
225 < Z <3450− 3000
225
)= P (0 < Z < 2)
= P (Z < 2)− P (Z < 0) = 0,9772− 0,5 = 0,4772
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Ejercicio 5 (2 puntos)
La publicidad de una marca de bolıgrafos afirma que escriben 2 km. Para realizarun control de calidad, se considera que la longitud de escritura de estos bolıgrafospuede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ kmy desviacion tıpica 0,5 km.
a) Obtenga el numero mınimo de bolıgrafos que deberıan seleccionarse en una mues-tra aleatoria simple para que el error maximo cometido en la estimacion de µpor la media muestral, sea como mucho 0,05 km con un nivel de confianza del95,44 %.
b) Si la longitud media de escritura, µ, es la anunciada en la publicidad, calculela probabilidad de que, con una muestra de 16 bolıgrafos elegidos al azar, sepuedan escribir mas de 30 km.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion A )
Solucion.
a) n =? & X : N (µ, 0,5) & E ≤ 0,05 & 1− α = 0,9544
1− α = 0,9544⇒ α = 0,0456⇒ α/2 = 0,0228⇒ 1− α/2 = 0,9772 Tabla−−−→ zα/2 = 2,00
E = zα/2 ·σ√n≤ 0,05 =⇒ n ≥
(2 · 0,5
0,05
)2
= 400 =⇒ n = 400 bolıgrafos
b) X : N (2, 0,5) n=16−−−→ X : N (2, 0,5√16
= 0,125)
P(X ≥ 30
16
)= P (X ≥ 1,875) = P
(Z ≥ 1,875− 2
0,125
)= P (Z ≥ −1) = P (Z ≤ 1) = 0,8413
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Determinado modelo de lavadora tiene un programa de lavado con un consumo deagua que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal cuyadesviacion tıpica es de 7 litros.
a) En una muestra aleatoria simple de 10 lavadoras los consumos de agua en unlavado con este producto fueron los siguientes:
40 45 38 44 41 40 35 50 40 37
Construya el intervalo de confianza al 90 % para estimar el consumo medio deagua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado.
b) A partir de una muestra de 64 lavadoras elegidas al azar, se obtuvo un intervalode confianza para la media con una longitud de 5 litros. Obtenga el nivel deconfianza utilizado para construir el intervalo.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion B )
Solucion.X ≡ Consumo de agua (litros)
a) X : N (µ, 0,7) n=10−−−→ x = 40 + 45 + 38 + 44 + 41 + 40 + 35 + 50 + 40 + 3710 = 41
1− α = 0,90 =⇒ α = 0,10 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla−−−→ zα/2 = 1,645
E = zα/2 ·σ√n
= 1,645 · 7√10
= 3,64
I.C. = (x− E, x+ E) = (37,36; 44,64)
b) n = 64 & 2E = 5 =⇒ E = 2,5
E = zα/2 ·σ√n
= zα/2 ·7√64
= 2,5 =⇒ zα/2 = 2,857 Tabla−−−→ 1− α/2 = 0,9979
1− α/2 = 0,9979 =⇒ α/2 = 0,0021 =⇒ α = 0,0042 =⇒ 1− α = 0,9958 =⇒ 99,58 %
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El salario medio bruto mensual en Espana en 2019 se puede aproximar por unadistribucion normal con σ = 900 euros.
a) Determine el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ por la media muestral, X,sea a lo sumo de 200 euros, con un nivel de confianza del 95 %.
b) Suponga que µ = 1889 euros. Calcule la probabilidad de que al tomar unamuestra aleatoria simple de 64 individuos, la media muestral, X, sea mayor que1900 euros.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion A - Coincidentes)
Solucion.
X ≡ ”Salario medio bruto anual (euros)” −→ X : (µ, 900)
a) n =? & E ≤ 200 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95⇒ α = 0,056⇒ α/2 = 0,025⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n≤ 200 =⇒ n ≥
(1,96 · 900
200
)2= 77,79 =⇒ n = 78 euros
b) X : N (1889, 900) n=64−−−→ X : N(
1889, 900√64
= 112,5)
P(X ≥ 1900
)= P
(Z ≥ 1900− 1889
112,5
)= P (Z ≥ 0,098) = 1− P (Z ≤ 0,098)
= 1− 0,5398 = 0,4602
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36 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Se estima que el coste medio anual de la cesta de la compra de una familia tipo sepuede aproximar por una distribucion normal de media µ y desviacion tıpica σ = 500euros.
a) Se ha analizado el consumo de 100 familias tipo, obteniendose un coste medioestimado de 5100 euros anuales. Calcule un intervalo de confianza al 90 % parala media µ.
b) A partir de una muestra de 36 familias tipo, se ha obtenido un intervalo deconfianza para µ con un error de estimacion de 160 euros. Determine el nivel deconfianza utilizado para construir el intervalo.
(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion B - Coincidentes)
Solucion.
a) X : N (µ, 500) n=100−−−−→ x = 5100
1− α = 0,90 =⇒ α = 0,10 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla−−−→ zα/2 = 1,645
E = zα/2 ·σ√n
= 1,645 · 500√100
= 82,25
I.C. = (x− E, x+ E) = (5017,75; 5182,25)
b) X : N (µ, 500) & n = 36 & E = 160
E = zα/2 ·σ√n
= zα/2 ·500√
36= 160 =⇒ zα/2 = 1,92
zα/2 = 1,92 Tabla−−−→ 1− α/2 = 0,9726⇒ α/2 = 0,0274⇒ α = 0,0548⇒ 1− α = 0,9452
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El peso de una patata, en gramos (g), de una remesa que llega a un mercado sepuede aproximar por una variable aleatoria X con distribucion normal de media µ ydesviacion tıpica σ = 60 g.
a) Determine el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor que 20 g, con unnivel de confianza del 95 %.
b) Suponiendo que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamano µ = 100,calcule el valor de la media µ para que P (X ≤ 220) = 0,9940.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2020 - Opcion A )
Solucion.
a) X : N (µ, 60) & n =? & E < 20 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 60√n< 20 =⇒ n >
(1,96 · 60
20
)2= 34,57 =⇒ n = 35
b) X : N (µ, 60) n=100−−−−→ X : N(µ,
σ√n
= 60√100
= 6)
P (X ≤ 220) = P (Z <220− µ
6 ) = 0,9940 Tabla−−−−→ 2,51 = 220− µ6 =⇒ µ = 204,94
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38 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Una persona se ha propuesto salir a caminar todos los dıas realizando el mis-mo recorrido y cronometrando el tiempo que tarde en completarlo. El tiempo queesta caminando por este recorrido puede aproximare por una variable aleatoria condistribucion normal cuya desviacion tıpica es 10 minutos.
a) Utilizando la informacion de una muestra aleatoria simple, se ha obtenido elintervalo de confianza (26,9, 37,1), expresado en minutos, para estimar el tiempomedio que tarda en realizar el recorrido, µ, con un nivel de confianza del 98,92 %.Obtenga el tamano de la muestra elegida y el valor de la media muestral.
b) Si el tiempo medio para completar el recorrido es µ = 30 minutos, calcule laprobabilidad de que, en una muestra de 16 dıas elegidos al azar, esta personatarde entre 25 y 36 minutos de media para completar el recorrido.
(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2020 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ, 10) & I.C.(26,9, 37,1) & 1− α = 0,9892
1− α = 0,9892⇒ α = 0,0108⇒ α/2 = 0,0054⇒ 1− α/2 = 0,9946 Tabla−−−→ zα/2 = 2,55
x = 26,9 + 37,12 = 32
E = 37,1− 26,92 = 5,1
E = zα/2 ·σ√n
= 2,55 · 10√n
= 5,1 =⇒ n >
(2,55 · 10
5,1
)2
=⇒ n = 25
b) X : N (30, 10) n=160−−−−→ X : N(µ,
σ√n
= 10√16
= 2,5)
P (25 ≤ X ≤ 35) = P (25− 302,5 < Z <
35− 302,5 ) = P (−2 ≤ Z ≤ 2)
= P (Z ≤ 2)− P (Z ≤ −2) = P (Z ≤ 2)− P (Z ≥ 2)
= P (Z ≤ 2)−[1− P (Z ≤ 2)
]= 2P (Z ≤ 2)− 1 Tabla−−−−→
= 2 · 0,9772− 1 = 0,9544
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Ejercicio 5 (2 puntos)
El numero de kilometros que un corredor entrena a la semana mientras preparauna carrera popular se puede aproximar por una variable aleatoria de distribucionnormal de media µ horas y desviacion tıpica σ = 10 horas.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 atletas, obteniendose una mediamuestral de 30 kilometros. Determine un intervalo de confianza al 95 % para µ.
b) Suponga que µ = 28 kilometros. Calcule la probabilidad de que al tomar unamuestra aleatoria simple de 10 atletas, la media muestral, X, este entre 28 y 30kilometros.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2021 - Opcion A )
Solucion.
a) X : N (µ, 0,1) n=20−−−→ x = 30
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,25 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 10√20
= 4,38
I.C. = (x− E, x+ E) = (25,62; 34,38)
b) X : N (28, 10) n=10−−−→ X : N(µ,
σ√n
= 10√10
= 3,16)
P(28 ≤ X ≤ 30
)= P
(28− 28
3,16 ≤ Z ≤ 30− 283,16
)= P (0 ≤ Z ≤ 0,63)
= P (Z ≤ 0,63)− P (Z ≤ 0) = 0,7357− 0,5 = 0,2357
◦
40 Ejercicios de Programacion Lineal
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Ejercicio 5 (2 puntos)
Las calorıas consumidas por un atleta durante una carrera popular se pueden apro-ximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ calorıas y des-viacion tıpica σ = 300 calorıas.
a) Determine el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor de 100 calorıascon un nivel de confianza del 95 %.
b) Suponga que µ = 3000 calorıas. Calcule la probabilidad de que al tomar unmuestra aleatoria simple de tamano n = 50 atletas, la media de las calorıasconsumidas durante la carrera por los 50 atletas sea mayor que 2700 calorıas.
(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2021 - Opcion B )
Solucion.
a) X : N (µ, 300) & n =? & E < 100 & 1− α = 0,95
1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96
E = zα/2 ·σ√n
= 1,96 · 300√n< 100 =⇒ n >
(1,96 · 300
100
)2= 34,57 =⇒ n = 35
b) X : N (3000, 300) n=50−−−→ X : N(
3000, σ√n
= 300√50
= 42,43)
P(X ≥ 2700
)= P
(Z ≥ 2700− 3000
42,43
)= P (Z ≥ −7,07) = P (Z ≤ 7,07) ' 1
◦
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ICO-1 Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se
puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media
y desviación típica igual a 15 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria
simple de 400 espectadores de TV en dicha zona obteniéndose que el tiempo
medio diario dedicado a ver TV es de 3 horas.
a) Halle un intervalo de confianza para con un nivel de confianza del 95%.
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la
estimación de sea menor o igual que 3 minutos, con un nivel de confianza del
90%?
(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG– Opción A)
Solución:
( ) ( )400: ,15 : , ,0.75nx N x N Nn
=
⎯⎯⎯→ =
a) Determínese un intervalo de confianza para con un nivel de confianza del 95%.
( )2
2
3 horas 180 minutos (hay que homogeneizar las unidades ya que está en
178.
minutos)
1 5% 15 15180 1.96 ,180 1.96
1.5,
96 400 4181
0.5
0
x
x zzn
= =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de
sea menor o igual que 3 minutos, con un nivel de confianza del 90%?
2
2
2 2
3 minutos
1 0 151.645 67.65
1.66
38
45
máx
máx
n z nz
=
− = = = = → =
=
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42 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-2 Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una
variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica igual
a 0.09 euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del refresco en 10
establecimientos y resulta:
1.50 1.60 1.10 0.90 1.00 1.60 1.40 0.90 1.30 1.20
a) Determínese un intervalo de confianza al 95 % para .
b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el
valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y sea menor o igual
que 0.10 euros con probabilidad mayor o igual que 0.99.
(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG– Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza al 95 % para .
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
10: ,0.09 : , ,0.028
1.5 1.6 1.1 0.9 1 1.6 1.4 0.9 1.3 1.21.25
10
1 5% 0.09 0.091.25 1.96 ,1.25 1.21.96
1.96 100,1
131
0.
nx N x N Nn
x
x zzn
= ⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + + += =
− = = = = − + = =
IC
b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor
absoluto de la diferencia entre la media muestral y sea menor o igual que 0.10 euros
con probabilidad mayor o igual que 0.99.
2
2
max
2 2
max
Nos dan el 0.10 €:
1 9 0.092.58 5.39
2.58 0.106n
znz
=
− = = = = → =
=
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ICO-3 Se supone que le nivel de glucosa en sangre de los individuos de una
población (medido en miligramos por decilitro) se puede aproximar
mediante una variable aleatoria con distribución normal de media
desconocida y desviación típica igual a 35 mg dl . ¿Cuál es el tamaño
muestral mínimo que permite garantizar que el valor absoluto de la
diferencia entre la media muestral y es menor que 20 mg dl con una
probabilidad mayor o igual que 98 % ?
(PAU Madrid CCSS Modelo 2011 – Opción A)
Solución:
( ) ( )
2 2
2
max
2 2
max
max
35: ,35 : , ,0.17
Nos dicen que el 20
1 8 352.33 16.36
2.33 2017
x N x N Nn
z n z nzn
⎯⎯→ =
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
44 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-4 Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación
típica = . Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 25 y se
obtiene una media muestral igual a 12.
a) Determínese un intervalo de confianza al 90 % para estimar la media de
la variable aleatoria.
b) Determínese el tamaño muestral mínimo para que el valor absolutote la
diferencia entre la media de la población y la media muestral sea menor o
igual que 0,1 con un nivel de confianza de al menos el 95 %.
(PAU Madrid CCSS Modelo 2011 – Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza al 90 % para estimar la media de la
variable aleatoria.
( ) ( )
( )2
2
25: ,2 : 12, 12,0.4
1 0% 2 212 1.645 ,12 1.645
1.645 25 2511.34,12.66
nx N x N Nn
x zzn
= ⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) Determínese el tamaño muestral mínimo para que el valor absoluto de la
diferencia entre la media de la población y la media muestral sea menor o igual
que 0,1 con un nivel de confianza de al menos el 90 %.
2 2
2
max
2 2
max
max
El error máximo 0.1 viene dado por la expresión:
1 0 215371.96 1536.6
1.96 0.1z n z n
zn
=
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 45
ICO-5 Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos
por una cierta empresa, se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de desviación típica igual a 0.5 kg. Una muestra
aleatoria simple de 9 rollos ha dado un peso medio de 10.3 kg.
a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los
rollos de cable que produce dicha empresa.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor
absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional
sea 0.2 Kg, con probabilidad igual a 0.98?
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción A)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los rollos
de cable que produce dicha empresa.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
.59: , : , ,0
10.02,10.5
.17
1 0% 0.5 0.510.3 1.645 ,10.3 1.645
1.6457
9 9
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor
absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea 0.2
Kg, con probabilidad igual a 0.98?
2 2
2
2 2
max
max
El error máximo admitido viene dado por la expresión:
1 8 0.52.33 33.9
2.33 04
.23z n z
zn
n
− = → → = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
46 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-6 Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se
puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de
desviación típica igual a 10 céntimos de euro. Una muestra aleatoria simple
de tamaño 256 proporciona un precio medio del kilo de patatas a 19
céntimos de euro.
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el precio medio de
un kilo de patatas en la región.
b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99% sin aumentar el error de
la estimación. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de
observarse?
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el precio medio de un kilo
de patatas en la región.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
1256: , : , ,0.625
1 5% 10 1019 1.96 ,19 1.96
1.96 2517.8,20.2
6 256
nx N x N Nn
x zzn
= =
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99% sin aumentar el error de la
estimación. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse?
2 2
2
2
El margen de error actual es de Si no queremos aumentar el mismo
tendremos que modificar el número de muestras:
1 102 2 2 2.575
2.575 2.4z n z
zn
= − =
− = → → = =
2
460. 4614 n= =→
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
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ICO-7 Se supone que el tiempo de vida útil en miles de horas (Mh) de un cierto
modelo de televisor, se puede aproximar por una variable aleatoria de
distribución normal de desviación típica igual a 0.5 Mh. Para una muestra
aleatoria simple de 4 televisores de dicho modelo, se obtiene una media muestral
de 19.84 Mh de vida útil.
a) Hállese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de vida útil medio
de los televisores de dicho modelo.
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto del
error de la estimación de la media poblacional mediante la media muestral sea
inferior a 0.2 Mh con probabilidad mayor o igual que 0.95.
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción A)
Solución:
a) Hállese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de vida útil medio de los
televisores de dicho modelo.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
.54: , : , ,0.25
1 % 0.5 0.519.84 1.96 ,19.84 1.96
1.96 4 419.35,20.33
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que gel valor absoluto del error
de la estimación de la media poblacional mediante la media muestral sea inferior a 0.2
Mh con probabilidad mayor o igual que 0.95.
( )
2 2
2 2
Nos dicen que el error debe ser infe
2
rior a 0.22
0.51.96 24.01
0.25
máx
máx z n zn
n
=
→ = = →
=
http
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48 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-8 Se supone que el tiempo de espera de una llamada a una línea de atención al
cliente de una cierta empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de desviación típica igual a 0.5 minutos. Se toma una
muestra aleatoria simple de 100 llamadas y se obtiene un tiempo medio de
espera igual a 6 minutos.
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio de
espera de una llamada a dicha línea de atención al cliente.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que debe observarse para que
dicho intervalo de confianza tenga una longitud total igual o inferior a 1 minuto?
(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio de espera de
una llamada a dicha línea de atención al cliente.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
.5100: , : , ,0.05
1 % 0.5 0.56 1.96 ,6 1.9 5.9,6
1.96 100 106.1
0
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que debe observarse para que dicho
intervalo de confianza tenga una longitud total igual o inferior a 1 minuto?
( )
2 2
2 2
Si el tamaño del intervalo debe ser menor o igual a 1 minuto, ese debe ser s
4
u margen de error .
0.52 2 2 1.96 3.84
1z n z
nn
→ = = →
http
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https://aprendeconmigomelon.com 49
ICO-9 Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación
típica igual a 320. Se toma una muestra simple de 36 elementos.
a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre
la media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual
que 50.
b) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la media de la
distribución normal si la media muestral es igual a 4820.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción A)
Solución:
a) Probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y
la media de la distribución normal sea mayor o igual que 50.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 36 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2 2
max
Tablamaxmax
36: , : , ,53.3
Nos están diciendo que el error máximo
34.
debe ser: 2 50
50 360.9375 2 1 0.8264
320
Tened en cuenta que al pedirnos e
7
e
%
l
nx N x N Nn
nz z a
n
==
⎯⎯⎯→ =
=
→ = = = ⎯⎯⎯→ = − →
rror mayor que una cantidad nos están pidiendo y
no 1- , ya que el área que se necesita es la de los extremos.
b) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la media de la distribución
( )2
2
1 % 320 3204820 1.96 ,4820 1.96
1.96 36 364715.5,4924.5x z
zn
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
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50 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-10 Para estudiar la media de una población con distribución normal de desviación
típica igual a 5, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 100, con
la que se ha obtenido el intervalo de confianza ( )173.42;176.56 para dicha
población.
a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada.
b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción B)
Solución:
a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada.
Tal y como está construido un intervalo de confianza la media muestral se sitúa en el
centro del mismo, que calcularemos haciendo la media aritmética de los extremos.
173.42 176.56
2174.99x
+= =
b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido.
( )
( )2 2
Vamos a apoyarnos en el margen de error del intervalo :
176.56 173.42 1003.14
2 2 5
Mirando en las tablas vemos que ese valor corresponde a 0.9992 1 0.99922
lo que supone u
nz z
n
− = → = = =
→ − = →
→ = n de 1nivel de confianza 99.84%0016 0.9984− =− = =
http
s://a
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https://aprendeconmigomelon.com 51
ICO-11 Para medir el coeficiente de inteligencia de un individuo, se realizan test
cuya calificación X se supone que es una variable aleatoria con
distribución normal de media igual a y desviación típica igual a 15. Un
cierto individuo realiza 9 test con independencia.
a) Si la calificación media de dichos test es igual a 108, determínese un
intervalo de confianza al 95% para su coeficiente de inteligencia .
b) Si el individuo que ha realizado los 9 test tiene un coeficiente de
inteligencia 110 = , ¿cuál es la probabilidad de que obtenga calificación
media muestral mayor que 120?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE – Opción A)
Solución:
a) Si la calificación media de dichos test es igual a 108, determínese un intervalo
de confianza al 95% para su coeficiente de inteligencia .
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
159: , : , ,5
1 5% 15 15108 1.96 ,108 98.2,1.96
1.96 91 .8
91 7
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) Si el individuo que ha realizado los 9 test tiene un coeficiente de inteligencia
110 = , ¿cuál es la probabilidad de que obtenga calificación media muestral
mayor que 120?
( ) ( )
( ) ( ) ( )
9: 110,15 : , 110,5
120 1102 1 2 1 0.9772 0.022120 2. %
528 8
nx N x N Nn
p z p zp x p z
=
⎯⎯⎯→ =
− = = = − = − = =
http
s://a
pren
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52 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-12 El saldo en cuenta a fin de año de los clientes de una cierta entidad
bancaria se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución
normal de desviación típica igual a 400 €. Con el fin de estimar la media
del saldo en cuenta a fin de año para los clientes de dicha entidad, se elige
una muestra aleatoria simple de 100 clientes.
a) ¿Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación si se sabe que el
valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media
poblacional es menor o igual que 66 €?
b) Calcúlese el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de obser-
varse para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y
la media poblacional sea 40€ , con un nivel de confianza del 95%.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE – Opción B)
Solución:
a) ¿Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación si se sabe que el valor
absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional es menor
o igual que 66 €?
( ) ( )
( )2 2
max
Tabla
400100: , : , ,40
Nos dicen que el error máximo es menor o igual que 66, luego 2 66
66 1001.65 1 0.9505 0.5
4 0
1 0 1
0máx
nx N x N Nn
nz z
n
==
⎯⎯⎯→ =
= →
→ = = = ⎯⎯⎯→ − =
− =
→
−
b) Calcúlese el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de observarse para
que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media
poblacional sea 40 € , con un nivel de confianza del 95%.
2 2
2
max
2 2
max
max
Igualmente nos dicen que el error máximo ha de s
38
er 2 40
1 95% 4001.96 384.16
1.96 405z n z
znn
= →
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
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om
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ICO-13 Se supone que la duración de una bombilla fabricada por una cierta
empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución
normal de media 900 horas y desviación típica 80 horas. La empresa
vende 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. ¿En cuantos lotes puede
esperarse que la duración media de las bombillas que componen el lote
sobrepase 910 horas?
(PAU Madrid CCSS Modelo 2010 – Opción A)
Solución:
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
100: 900,80 : , 900,8
910 900910 1.25 1 1.25 1 0.8944 0.1056
8
Luego si disponemos de 1000 lotes en 1000 0.1056 105. 16 la duración media
de las bombilla
06 lotes
s que co
nx N x N Nn
p x p z p z z
=
⎯⎯⎯→ =
− = = = − = − =
=
mponen el lote sobrepasará las 910 goras
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
54 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-14 La temperatura corporal de una especie de aves se puede aproximar
mediante una variable aleatoria con distribución normal de media 40,5ºC y
desviación típica 4,9ºC. Se elige una muestra aleatoria simple de 100 aves
de esa especie. Sea x la media muestral de las temperaturas observadas.
a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X ?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de dicha muestra
esté comprendida entre 39,9ºC y 41,1ºC?
(PAU Madrid CCSS Modelo 2010 – Opción B)
Solución:
a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X ?
( ) ( )
2 2 2
100: 40.5,4.9 : , 40
ºC 0.2401ºC
.5,0.49
0.49
nx N x N Nn
=
= =
⎯⎯⎯→ =
= →
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de dicha muestra esté
comprendida entre 39,9ºC y 41,1ºC?
( ) ( ) ( )
39.9 40.5 41.1 40.51.22 1.22 2 1.22 0.5
0.49 0.49
2 0.8888 0.5 0
39.9 41.1
7.777 .76 7 6%
p z p z p zp x− −
= = − = − =
= −
= =
http
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https://aprendeconmigomelon.com 55
ICO-15 Se supone que el gasto anual dedicado al ocio por una familia de un
determinado país se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de desviación típica igual a 55 €. Se ha elegido una
muestra aleatoria simple de 81 familias, obteniéndose un gasto medio de
320 €.
a) ¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del
gasto medio por familia mediante la media de la muestra es menor que
10€ con un grado de confianza del 95%. Razónese la respuesta.?
b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder
asegurarlo?
(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción A)
Solución:
a) ¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del gasto
medio por familia mediante la media de la muestra es menor que 10 € con un
grado de confianza del 95%. Razónese la respuesta.?
( )
Si queremos asegurar que el valor absoluto del error sea menor que 10 calcularemos su error máximo
(en este caso hemos calculado su intervalo de confianza previamente) y comprobamos que sea 10 €
: ,x N
( )
( )2
2
max
5581 : , ,6.11
1 5% 55 55320 1.96 ,320 1.96 308.02,331.98
1.96 81 81
308.02 331.98 por tanto se puede asegurar 11. que el valor ab
298 10 € NO
n x N Nn
IC x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
−= = soluto del
error sea menor que 10 €
b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder asegurarlo?
( ) ( )
2 2
2
2 2
max
max
5581: , : , ,6.11
1 5% 551.96 116.2
1.96 10117
nx N x N Nn
zn
nn zz
==
⎯⎯⎯→ =
− = → = = = → =
=
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56 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-16 Se supone que la cantidad de agua (en litros) recogida cada día en una
estación meteorológica se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de desviación típica igual a 2 litros. Se elige una
muestra aleatoria simple y se obtienen las siguientes cantidades de agua
recogidas cada día (en litros):
9.1 4.9 7.3 2.8 5.5 6.0 3.7 8.6 4.5 7.6
a) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua
recogida cada día en dicha estación con un grado de confianza del 95%.
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la
media del agua recogida cada día en la estación meteorológica mediante la
media de dicha muestra, la diferencia en valor absoluto entre ambos
valores sea inferior a 1 litro, con un grado de confianza del 98%.
(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua recogida
cada día en dicha estación con un grado de confianza del 95%.
( ) ( )
( )2
2
210: , : , ,0.632
9.1 4.9 7.3 2.8 5.5 6.0 3.7 8.6 4.5 7.66
10
1 5% 2 26 1.96 ,6 1.96
1.96 10 10
error sea menor que 10
4.76,7
€
.24
nx N x N Nn
x
x zzn
IC
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + + += =
− = = = = − + = =
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la media
del agua recogida cada día en la estación meteorológica mediante la media de
dicha muestra, la diferencia en valor absoluto entre ambos valores sea inferior a 1
litro, con un grado de confianza del 98%.
2 2
2
2 2
max
max
1 8% 22.33 21.71
2.32
32
1z n z
zn
n
− = → = = = → =
=
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https://aprendeconmigomelon.com 57
ICO-17 Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se
puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de
desviación típica igual a 1.32 minutos. Se desea estimar la media del
tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en
valor absoluto a 0.5 minutos y con un grado de confianza del 95%.
a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar
para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
b) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4.36
minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la
probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra
esté comprendido entre 4 y 5 minutos?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción A)
Solución:
a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para
llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( )
2 2
2
2 2
max
max
1.32: , : ,
El error máximo admitido viene dado por la expresión:
1 5 1.321.96 26. 277
1.96 0.57
x N x Nn
z nn zzn
= ⎯⎯⎯→
− = → = = = → =
=
b) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4.36 minutos
y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de
que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre
4 y 5 minutos?
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
16: 4.36,1.32 : , 4.36,0.33
4 4.36 5 4.361.09 1.94
0.33 0.33
1.94 1.09 1.94 1 1.09
0.9738 1 0
4 5
83.59.8621 . %0 8359
nx N x N Nn
p z p z
p z p z p z
p x
p z
=
⎯⎯⎯→ =
− − = = − =
= − − = − − =
= − − = =
http
s://a
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deco
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58 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-18 Se supone que la estancia (en días) de un paciente en cierto hospital se
puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de
desviación típica igual a 9 días. De una muestra aleatoria simple formada
por 20 pacientes, se ha obtenido una media muestral igual a 8 días.
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media
de un paciente en dicho hospital.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para
que dicho intervalo de confianza tenga una longitud total 4 días?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un
paciente en dicho hospital.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
920
4.06,11.
: ,9 : , ,1
94
.79
1 5% 9 98 1.96 ,8 1.96
1.96 20 20
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que dicho
intervalo de confianza tenga una longitud total 4 días?
2 2
2
2 2
Nos dan el margen de error, que viene dado por la expresión:
1 5 92 2 2 1.96 77. 787
1.96 4z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 59
ICO-19 El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los
estudiantes de secundaria de una cierta ciudad se supone que es una
variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 15
minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes y se
obtienen los siguientes tiempos (en minutos)
91 68 39 82 55 70 72 62 54 67
a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio
diario dedicado a escuchar música por un estudiante.
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una
estimación de la media de tiempo diario dedicado a escuchar música con
un error menor que 5 minutos con un nivel de confianza del 95%.
(PAU Madrid CCSS Junio 2008 – Opción A)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario
dedicado a escuchar música por un estudiante.
Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de
tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente
desviación típica:
( ) ( )
( )2
2
1510: ,15 : , ,4.74
91 68 39 82 55 70 72 62 54 6766
10
1 0% 158.2,7
5 1566 1.645 ,66 1.645
1.645 13.
0 108
nx N x N Nn
x
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + + += =
− = = = = − + = =
IC
b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación
de la media de tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que
5 minutos con un nivel de confianza del 95%.
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el margen de error, que viene dado por la expresión:
1 5 151.96 34.6
1.96 535z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
60 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-20 El rendimiento por hectárea de las plantaciones de trigo en una cierta
región, se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de
desviación típica igual a 1 tonelada por hectárea. Se ha tomado una
muestra aleatoria simple de 64 parcelas con una superficie igual a 1
hectárea cada una, obteniéndose un rendimiento medio de 6 toneladas.
a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por
hectárea es menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 98%?
Razónese
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la
estimación sea menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 98%
(PAU Madrid CCSS Junio 2008 – Opción B)
Solución:
a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por
hectárea es menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 98%? Razónese
( ) ( )
2
2
max
164: ,9 : , ,0.125
Calculamos directamente si con los parámetros de la variable media muestral se puede admitir un
error menor o igual a 0.5 Ha.
1 8%
2.33
nx N x N Nn
zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = =
=
12.33
640.29 0.5= =
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea
menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 95%
2 2
2
2 2
max
max
Estimamos el tamaño muestral mínimo a partir del máximo error admitido
1 5 11.96 15.3
1.96 0.516z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 61
ICO-21 Se supone que la calificación en Matemáticas obtenida por los alumnos
de una cierta clase es una variable aleatoria con distribución normal de
desviación típica 1.5 puntos. Se elige una muestra aleatoria simple de
tamaño 10 y se obtiene una suma de sus calificaciones igual a 59.5
puntos.
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la calificación
media de la clase.
b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la
estimación sea de 0.5 puntos con el nivel de confianza del 95%?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2008 – Opción A)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la
clase.
( ) ( )
( )2
2
10
1
1.510: ,1.5 : , ,0.474
59.55.95
10 10
5.021 5% 1.5 1.
,6.85
5.95 1.96 ,5.95 1.961.96 10 1
70
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
= = =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación
sea de 0.5 puntos con el nivel de confianza del 95%?
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 5 1.51.96 34.6
1.96 0 535
.z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
62 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-22 La duración de la vida de una determinada especie de tortuga se supone
que es una variable aleatoria, con distribución normal de desviación típica
igual a 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se
obtienen las siguientes duraciones, en años:
46 38 59 29 34 32 38 21 44 34
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la vida media de
dicha especie de tortugas.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de la
estimación de la vida media no sea superior a 5 años con un nivel de confianza
del 90%?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2008 – Opción B)
Solución:
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dicha
especie de tortugas.
( ) ( )
( )2
2
10
1
1010: ,10 : , ,3.16
46 38 59 29 34 32 38 21 44 34 37537.5
10 10 10
1 5% 10 1037.5 1.96 ,37.5 1.96
1.931.3,43.7
6 10 10
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + + += = = =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de la estimación
de la vida media no sea superior a 5 años con un nivel de confianza del 90%?
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 0 101.645 10.82
1.645 511z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 63
ICO-23 La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una
variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media
35 años y desviación típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de
100 hombres de dicha isla. Sea X la media muestral de la edad de casamiento.
a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la
muestra esté comprendida entre 36 y 37 años?
(PAU Madrid CCSS Junio 2007 – Opción A)
Solución:
a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X?
( )
( ) ( )
2
535
100
Como la muestra es suficientemente grande 30
: 35,5 : , 35,0.5
35 0.25
n
n
x N x N Nn
===
⎯⎯⎯→ =
= =
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra
esté comprendida entre 36 y 37 años?
( ) ( ) ( ) ( )36 35 37 35
2 4 4 20.5 0.5
1 0.9772 0.0228
36 37
2.28%
p z p z p zp p z− −
= = = − =
= − = =
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
64 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-24 La duración de las rosas conservadas en agua en un jarrón es una variable
aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con una
desviación típica de 10 horas. Se torna una muestra aleatoria simple de 10 rosas
y se obtienen las siguientes duraciones (en horas):
57 49 70 40 45 44 49 32 55 45
Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las rosas.
(PAU Madrid CCSS Junio 2007 – Opción B)
Solución:
( ) ( )
( )2
2
10
1
1010: ,10 : , ,3.16
57 49 70 40 45 44 49 32 55 45 48648.6
10 10 10
1 5% 10 1048.6 1.96 ,48.6 1.96
1.942.4,54.8
6 10 10
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + + += = = =
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 65
ICO-25 Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado
es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de
desviación típica 328 euros. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de
dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1248
euros. Calcular:
a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel
de confianza del 99%.
b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir con un nivel de
confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria
media menor de 127 euros.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción A)
Solución:
a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel de
confianza del 99%.
( ) ( )
( )2
2
328100: ,328 : , ,32.8
1 91163.3,1332
% 328 3281248 2.58 ,1248 2.58
2.58 100 100.6
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir con un nivel de
confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria media
menor de 127 euros.
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 5 3281.96 25.6
1.96 1 726
2z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
66 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-26 El tiempo invertido en cenar por cada cliente de una cadena de restaurantes es
una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con
desviación típica de 32 minutos. Se quiere estimar la media de dicho tiempo con
un error no superior a 10 minutos y con un nivel de confianza del 95%.
Determinar el tamaño mínimo muestral necesario para poder llevar a cabo dicha
estimación.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción B)
Solución:
( )
2 2
2
2 2
max
max
32 32: ,32 : , ,
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 5 321.96 39.3
1.96 1040
x N x N Nn n
z n zzn
n
= ⎯⎯⎯→ =
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 67
ICO-27 En cierta población humana, la media muestral x de una característica se
distribuye mediante una distribución normal. La probabilidad de que x sea
menor o igual que 75 es 0’58 y la de que x sea mayor que 80 es 0’04.
Hallar la media y la desviación típica de x. (Tamaño muestral 100n = )
(PAU Madrid CCSS Junio 2006 – Opción A)
Solución:
( )
( ) ( )
Eabla
Eabla
75 7575 0.58 0.58 0.205 0.205 10 750
100 100
80 8080 0.04 1 80 0.04 0.96 1.75
100 100
1.75 10 800
0.205 10 750 0.205
1.75 10 800
p x p z
p x p x p z
− −
= → = ⎯⎯⎯→ = → + =
− −
= → − = → = ⎯⎯⎯→ = →
→ + =
+ = −→
+ =
751.545 50
1.7
3
5 80
.
= − = − → = →
+ = =
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
68 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-28 El tiempo de espera en minutos en una ventanilla se supone aproximado
mediante una distribución ( ),N , con igual a 3 minutos. Se lleva a cabo
un muestreo aleatorio simple de 10 individuos y se obtiene que la media
muestral del tiempo de espera es de 5 minutos. Determinar un intervalo de
confianza al 95% para .
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 Opción B)
(PAU Madrid CCSS Junio 2006 – Opción B)
Solución:
( ) ( )
( )2
2
310: ,3 : , ,0.95
1 5% 3 35 1.96 ,5 1.96
1.963.14,6.
10 186
0
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
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om
https://aprendeconmigomelon.com 69
ICO-29 La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede
aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 5 meses. Se
toma una muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes
duraciones (en meses):
33 34 26 37 30 39 26 31 36 19
Hallar un intervalo de confianza al 95% para la duración media de este modelo
de batería.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2006 – Opción A)
Solución:
( ) ( )
( )2
2
10
1
510: ,5 : , ,1.58
33 34 26 37 30 39 26 31 36 19 31131.1
10 10 10
28,34.1 5% 5 5
31.1 1.96 ,31.1 1.961.96 10 10
2
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + + += = = =
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
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om
70 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-30 El peso en Kg. de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se supone
aproximado por una distribución normal con media 60 Kg. y desviación típica 8
Kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64 estudiantes cada una. Se
pide:
a) La media y la desviación típica de la distribución de la media muestral.
b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 Kg.?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2006 – Opción B)
Solución:
a) La media y la desviación típica de la distribución de la media muestral.
( ) ( )8
64: 60,8 : , 60,1nx N x Nn
N
===
⎯⎯⎯→ =
b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 Kg.?
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
59 60 61 601 1 1 1
1 1
1 1 1 2 1 1 2 0.8413 1 0.6826
59 61
68.2
Como el número de muestras es 100:
100 0.6826 68.
6%
68 mues26 tras
p z p z p z p z
p z p z p z
p x − −
= = − = − − =
= − − = − = − = =
=
http
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om
https://aprendeconmigomelon.com 71
ICO-31 En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año
obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una
distribución normal con desviación típica 2.
a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.
b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a
0.25 con un nivel de confianza del 95%. ¿a cuántas personas como mínimo sería
necesario entrevistar?
(PAU Madrid CCSS Junio 2005 – Opción A)
Solución:
a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.
( ) ( )
( )2
2
10000
1
210000: ,2 : , ,0.02
5
4.97,5
10000
1 80% 2 25 1.285 ,5 1.285
2.85 10000 10000.03
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯⎯→ =
= =
− = = = = − + = =
IC
b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0.25 con
un nivel de confianza del 95%. ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario
entrevistar?
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 5 21.96 245.9
1.96 0.26
524z n z n
zn
− = → = = = → =
=
http
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72 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-32 Para una población ( ), 25N = , ¿qué tamaño muestral mínimo es necesario
para estimar mediante un intervalo de confianza, con un error menor o igual
que 5 unidades, y con una probabilidad mayor o igual que 0’95?
(PAU Madrid CCSS Junio 2005 – Opción B)
Solución:
2 2
2
2 2
max
max
1 5 251.96 96.04
1.97
96 5nz n z
zn
− = → = = = → =
=
http
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om
https://aprendeconmigomelon.com 73
ICO-33 La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene
una distribución normal de media 34’5 horas y desviación típica 6’9 horas. Se
toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la
muestra esté comprendida entre 32 y 33’5 horas?
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2005 – Opción A)
Solución:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté
comprendida entre 32 y 33’5 horas?
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
34.56.936: 34.5,6.9 : ,
32 34.5 33.5 34.52.17 0.87 0.87 2.17
1.15 1.15
2.17 0.87 0.9850 0.8078 0.
34.5,1.15
32 33.5
1 17.72%772
nx N x Nn
p z p z p z
p z p z
N
p x
===
⎯⎯⎯→ =
− − = = − − = =
= − = − = =
b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?
( ) ( ) ( )38 34.5
3.04 1 3.04 1 0.9988 0.0038 0.12121.
%15
p z p z p zp x−
= = = − = − = =
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
74 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-34 El tiempo de reacción de una alarma electrónica ante un fallo del sistema es
una variable aleatoria normal con desviación típica 1 segundo. A partir de una
muestra de 100 alarmas se ha estimado la media poblacional del tiempo de
reacción mediante un intervalo de confianza, con un error máximo de
estimación igual a 0’2 segundos. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado la
estimación?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2005 – Opción B)
Solución:
( ) ( )
( )
2 2
max
max
1100: ,1 : , ,0.01
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
0.2 1002 1 0.9772
21
1 0.9772 0.0456
Por tanto el nivel de confianza s 1erá:
nx N x N Nn
nz z
n
==
⎯⎯⎯→ =
→ = = → − = →
→ = − =
95.44%− =
http
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deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 75
ICO-35 En un servicio de atención al cliente el tiempo de espera hasta recibir atención
es una variable aleatoria normal de media 10 minutos y desviación típica 2
minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que
llegan un día concreto. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de
25 clientes no supere los 9 minutos?
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias
de 64 clientes? Especificar sus parámetros.
(PAU Madrid CCSS Junio 2004 – Opción A)
Solución:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25
clientes no supere los 9 minutos?
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
102
25: 10,2 : ,
9 102.5 2.5 1 2.5 1 0.99
10,0.
380.4
4
9 0.62%
nx N x Nn
p z p z z z
N
p px p
===
⎯⎯⎯→ =
− = = − = = − = − =
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64
clientes? Especificar sus parámetros.
( ) ( )
102
64 10,0.: 10 25,2 : ,nx N x Nn
N
===
⎯⎯⎯→ =
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
76 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-36 El precio de ciertos electrodomésticos puede considerarse una variable
aleatoria con distribución normal de desviación típica 100 euros. Los precios en
euros correspondientes a una muestra de 9 de estos electrodomésticos son:
255 85 120 290 80 80 275 290 135
a) Construir un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional.
b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que con un nivel de
confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere 50 euros.
(PAU Madrid CCSS Junio 2004 – Opción B)
Solución:
a) Construir un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional.
( ) ( )
( )2
2
9
1
1009: ,33.3 : , ,33.3
255 85 120 290 80 80 275 290 135 1610178.9
9 9 9
1 98% 100 100178.9 2.33 ,1 101.2,25678.9 2.3 .63
2.33 9 9
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + += = = =
− = = = = − + = =
IC
b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que con un nivel de
confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere 50 euros.
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 9 1002.575 26.5
2.575 5027z n z
znn
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 77
ICO-37 Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos:
88 90 90 86 87 88 91 92 89
Hallar un intervalo al 95% para la media de la población, sabiendo que el peso
de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación típica de 1’8 gramos.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción A)
Solución:
( ) ( )
( )2
2
9
1
1.89: ,1.8 : , ,0.6
88 90 90 86 87 88 91 92 89 8018
87.8,90.
99 9 9
1 95% 1.8 1.889 1.96 ,89 1.96
1.96 9 92
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
+ + + + + + + += = = =
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
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om
78 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-38 Calcular el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para
garantizar que, en la estimación de la media de una población normal con
varianza igual a 60 al 90% de confianza, el error de estimación cometido no sea
superior a 3 unidades.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción B)
Solución:
2 2
2
2
22
max
max
60 60
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 0 601.65 18.15
1.69
31
5z n z
znn
= → =
− = → = = = → =
=
http
s://a
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deco
nmig
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om
https://aprendeconmigomelon.com 79
ICO-39 Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo
imprevisto tiene una distribución normal con desviación típica 0,05 segundos. Si
se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01
segundos con un nivel de confianza del 99%, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la
muestra de tiempos de reacción?
(PAU Madrid CCSS Junio 2003 – Opción A)
Solución:
( )
2 2
2
2 2
max
max
0.05 0.05: ,0.05 : , ,
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 9 0.052.58 166.4 1
2.58 0.0167
x N x N Nn n
z n zzn
n
= ⎯⎯⎯→ =
− = → = = = → =
=
http
s://a
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om
80 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-40 Se probaron diez automóviles, escogidos aleatoriamente de una misma marca y
modelo, por conductores con la misma forma de conducir y en carreteras
similares. Se obtuvo que el consumo medio de gasolina, en litros, por cada cien
kilómetros fue de 6,5. Estudios previos indican que el consumo de gasolina tiene
una distribución normal de desviación típica 2 litros. Determinar un intervalo de
confianza al 95% para la media del consumo de gasolina de estos automóviles.
(PAU Madrid CCSS Junio 2003 – Opción B)
Solución:
( ) ( )
( )2
2
210: ,2 : , ,0.63
1 95% 2 26.5 1.96 ,6.5 1.96
1.96 10 105.26,7.74
nx N x N Nn
x zzn
==
⎯⎯⎯→ =
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
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https://aprendeconmigomelon.com 81
ICO-41 El tiempo de conexión a Internet de los alumnos de una cierta universidad,
sigue una distribución normal con una desviación típica de 15 minutos. Para
estimar la media del tiempo de conexión, se quiere calcular un intervalo de
confianza que tenga una amplitud menor o igual a 6 minutos con un nivel de
confianza del 95%.
Determinar cuál es el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2003 – Opción A)
Solución:
( )
( )
15 15: ,15 : , ,
Cuando nos dan la amplitud del intervalo de confianza lo que realmente nos están dando
es el margen de error , es decir, el doble del error máximo, que viene d
x N x N Nn n
= ⎯⎯⎯→ =
2 2
2
2 2
ado por la expresión:
1 5 152 2 2 1.96 96.04
1.96 697nz n z
zn
− = → = = = → =
=
http
s://a
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deco
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82 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-42 Se ha extraído una muestra de 150 familias de residentes en un barrio
obteniéndose que la renta familiar media asciende a 20000 euros. Se supone que
la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de
desviación típica 1500 euros.
a) A partir de estos datos, calcular un intervalo de confianza para la renta
familiar media con un nivel de confianza del 95%
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo es necesario para conseguir, con un nivel de
confianza del 90%, un error en la estimación de la renta familiar media no
superior a 142 euros?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2003 – Opción B)
Solución:
a) A partir de estos datos, calcular un intervalo de confianza para la renta familiar
media con un nivel de confianza del 95%
( ) ( )
( )2
2
150
1
1500150: ,1500 : , ,122
197
.5
20000150
1 95% 1500 150020000 1.96 ,20000 1.96
1.96 15060,20240
150
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯⎯→ =
= =
− = = = = − + = =
IC
b) ¿Qué tamaño muestral mínimo es necesario para conseguir, con un nivel de
confianza del 90%, un error en la estimación de la renta familiar media no superior a
142 euros?
2 2
2
2 2
max
max
Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 0 15001.64 300.1
1.64 142301z n z
zn
n
− = → = = = → =
=
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
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https://aprendeconmigomelon.com 83
ICO-43 Se quiere comprobar si una máquina destinada al llenado de envases de
agua mineral ha sufrido un desajuste. Una muestra aleatoria de diez
envases de esta máquina ha proporcionado los siguientes resultados:
0,49 0,52 0,51 0,48 0,53 0,55 0,49 0,50 0,52 0,49
Suponiendo que la cantidad de agua mineral que este tipo de máquinas
deposita en cada envase sigue una distribución normal de media 0,5 litros y
desviación típica 0,02 litros, se desea contrastar si el contenido medio de los
envases de esta máquina es de 0,5 litros, con un nivel de significación del 5%.
a) Plantear las hipótesis nula y alternativa del contraste.
b) Determinar la región crítica del contraste.
c) Realizar el contraste.
(PAU Madrid CCSS Junio 2002 – Opción A)
Solución:
a) Plantear las hipótesis nula y alternativa del contraste.
0
1
:
:
H
H
=
b) Determinar la región crítica del contraste.
( ) ( )
2
0.0210: 0.5,0.02 : , 0.5,0.006
la región de aceptación para en muestras de tamaño 10 con 5% es:
0.49 0.52 0.51 0.48 0.53 0.55 0.49 0.50 0.52 0.49 5.080.508
10 10
nx N x N Nn
x
x zn
===
⎯⎯⎯⎯→ =
=
+ + + + + + + + += = =
= IC ( )
( ) ( )
2
1 5% 0.02 0.020.508 1.96 ,0.508 1.96
1.96 10 10
Por tanto la región crítica del rechazo e
0.496,0.520
,0.496 0.520,s:
z
− = = = − + = =
− +
c) Realizar el contraste.
( )
( )
( )
0
1
por tanto se acepta
la hipótesis nula y se rechaza la alternativa
. Con un riesgo del 5% se considera que
la embotelladora no ha sufrido desajuste
0.496,0.52
.
0
H
H
=
− −
x
y
95%5%
25%
2
http
s://a
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deco
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omel
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om
84 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-44 La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue
una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se hace una
encuesta entre 50 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra
es 35 segundos. Calcular un intervalo de confianza al 99% para la duración
media de las llamadas.
(PAU Madrid CCSS Junio 2002 – Opción B)
Solución:
( ) ( )
( )2
2
150
1
1050: ,10 : , ,1.41
35
31.4,3
150
1 99% 10 1035 2.58 ,35 2.58
2.58 5 08.6
0 5
i
i
i
nx N x N Nn
x
x
x zzn
=
=
==
⎯⎯⎯→ =
= =
− = = = = − + = =
IC
http
s://a
pren
deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 85
ICO-45 Los depósitos mensuales, en euros, en una entidad bancaria, siguen una
distribución normal de media y desviación típica = . Con el fin de
contrastar si la media de los depósitos mensuales es 20 euros, se toma una
muestra de tamaño 16, resultando ser la media muestral 22.4 euros ¿Se puede
aceptar la hipótesis de que la media es 20 a un nivel de significación del 5%?
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2002 – Opción A)
Solución:
( ) ( )
2
2
0
5.116
: 2
: ,5.1 : , ,1.27
la región de aceptación para en muestras de tamaño 16 con 5% es:
22.4
1 5% 5.1 5.122.4 1.96 ,22.4 1.96
1.96 16 16
n
H
x N x N Nn
x
x zzn
==
=
⎯⎯⎯→ =
=
=
− = = = = − + =
IC ( )
( ) ( )
( )0
Por tanto la región crítica del rechazo es:
Por tanto, como la media poblacional 2 está en el intervalo de aceptación,
19.9,24.9
,19.90 2
aceptamos
la hip
4.9,
ótesis nula H
−
=
=
+
http
s://a
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deco
nmig
omel
on.c
om
86 Ejercicios de Programacion Lineal
ICO-46 De una población de distribución normal de media 50 y desviación típica 6, se
extrae una muestra aleatoria de tamaño n y se calcula su media muestral.
a) ¿Qué valor debe tener n para que se cumpla la desigualdad 2x − con
una probabilidad de 0’95?
b) Resolver el apartado anterior con una probabilidad de 0’90. Comparar ambos
resultados.
(PAU Madrid CCSS Septiembre 2002 – Opción B)
Solución:
a) ¿Qué valor debe tener n para que se cumpla la desigualdad 2x − con una
probabilidad de 0’95?
2 2
2
max
max
Al darnos el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la poblaciona, lo
que nos están dando es el error máximo, que viene dado por la expresión:
1 5z n z
zn
− = → =
2
26
1.96 34.61.96 2
35n
= = → =
=
b) Resolver el apartado anterior con una probabilidad de 0’90. Comparar ambos
resultados.
2 2
2
2 2
max
max
1 0 61.64 24.2
1.64 2
Al reducir el nivel de confianza requerido, se puede reducir también el número de muestras para
mantener el error o
2
má
5
xim
z n nzzn
− = → = = = → =
=
.
http
s://a
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deco
nmig
omel
on.c
om
https://aprendeconmigomelon.com 87