sirzunzu.files.wordpress.com · ´Indice general 2016 Modelo Opcion A -´ Ejercicio 5. . . . . . ....

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

Matematicas aplicadas a las CCSSColeccion de Ejercicios

INTERVALOS DE CONFIANZA

Inigo Zunzunegui Monterrubio

13 de octubre de 2020

mailto:[email protected]

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

Indice general

2016 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42016 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62017 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72017 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 82017 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 92017 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102017 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112017 Septiembre - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 122017 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 132017 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142018 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152018 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162018 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172018 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 182018 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 192018 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202018 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212019 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222019 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232019 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242019 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252019 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 262019 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 272019 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282019 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292019 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 302020 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

2020 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322020 Junio Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332020 Junio Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342020 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 352020 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . 362020 Septiembre Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372020 Septiembre Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382021 Modelo Opcion A - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392021 Modelo Opcion B - Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Ejercicios de Programacion Lineal

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

Ejercicio 5 (2 puntos)

El tiempo diario que los adultos de una determinada ciudad dedican a actividadesdeportivas, expresado en minutos, se puede aproximar por una variable aleatoria condistribucion normal de media µ desconocida y desviacion tıpica σ = 20 minutos.

a) Para una muestra aleatoria simple de 250 habitantes de esa ciudad se ha obtenidoun tiempo medio de dedicacion a actividades deportivas de 98 minutos diarios.Calculese un intervalo de confianza al 90 % para µ.

b) ¿Que tamano mınimo debe de tener una muestra aleatoria simple para que elerror maximo cometido en la estimacion de µ por la media muestral sea menorque 1 minuto con el mismo nivel de confianza del 90 %?

(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2016 - Opcion A )

Solucion.

x ≡ ”Tiempo dedicado a actividades deportivas (min)”

a) X : N (µ, 20) n=250−−−−→ x = 90

1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla−−−→ zα/2 = 1,645

E = zα/2 ·σ√n

= 1,645 · 20√250

= 2,08

I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (87,92; 92,08)

b) n =? & E < 1 & 1− α = 0,9

E = zα/2 ·σ√n

= 1,645 · 20√n< 1 =⇒ n >

(1,645 · 20

1

)2= 1082,4 =⇒ n = 1083

◦

https://aprendeconmigomelon.com 5

https://aprendeconmigomelon.com

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El precio (en euros) del metro cuadrado de las viviendas de un determinado muni-cipio se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de mediaµ desconocida y desviacion tıpica σ = 650 euros.

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene un intervalo de confianza(2265,375; 2424,625) para µ, con un nivel de confianza del 95 %. Calculese lamedia muestral y el tamano de la muestra elegida.

b) Tomamos una muestra aleatoria simple de tamano 225. Calculese el error maximocometido en la estimacion de µ por la media muestral con un nivel de confianzadel 99 %.

(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2016 - Opcion B )

Solucion.

a) X : N (µ, 650) & 1− α = 0,95 & I.C. = (2265,375; 2424,625)

x− E = 2265,375x+ E = 2424,625

}=⇒

x = 2265,375 + 2424,625

2 = 2345

E = 2424,625− 2265,3752 = 79,625

1−α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1−α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 650√n

= 79,625 =⇒ n =(

1,96 · 65079,625

)2

=⇒ n = 256

b) X : N (µ, 650) & n = 225 & 1− α = 0,99

1− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ α/2 = 0,005 =⇒ 1− α/2 = 0,995 Tabla−−−→ zα/2 = 2,575

E = zα/2 ·σ√n

= 2,575 · 650√225

= 111,58

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso en canal, en kilogramos (kg), de una raza de corderos a las seis semanasde su nacimiento se puede aproximar por variable aleatoria con distribucion normalde media µ y desviacion tıpica igual a 0,9 kg.

a) Se tomo una muestra aleatoria simple de 324 corderos y el peso medio observadofue X = 7,8 kg. Obtengase un intervalo de confianza con un nivel del 99,2 %para µ.

b) Determınese el tamano mınimo que deberıa tener una muestra aleatoria simplede la variable para que el correspondiente intervalo de confianza para µ al 95 %tenga una amplitud a lo sumo de 0,2 kg.

(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion A )

Solucion.

a) X : N (µ, 0,9) n=324−→ X = 7,8

1− α = 0,992 =⇒ α = 0,008 =⇒ α/2 = 0,004 =⇒ 1− α/2 = 0,996 =⇒ zα/2 = 2,65

ε = zα/2 ·σ√n

= 2,65 · 0,9√324

= 0,1325 =⇒ I.C. = X ± ε = 7,8± 0,1325 = (7,67, 7,93)

b) X : N (µ, 0,9) n=?−→ 2ε = 0,2

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

2ε ≤ 0,2 =⇒ 2zα/2 ·σ√n≤ 0,2 =⇒ 2 · 1,96 · 0,9√

n≤ 0,2 =⇒ n ≥

(2 · 1,96 · 0,9

0,2

)2

=⇒ n ≥ 311,17 =⇒ n = 312

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso en toneladas (T) de los contenedores de un barco de carga se puede apro-ximar por una variable aleatoria normal de media µ y desviacion tıpica σ = 3 T. Setoma una muestra aleatoria smple de 484 contenedrores.

a) Si la media de la muestra es X = 25,9 T, obtengase un intervalo de confianzacon un nivel del 90 % para µ.

b) Supongase ahora que µ = 23 T. Calculese la probabilidad de que puedan trans-portarse en un barco cuya capacidad maxima es de 11000 T.

(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B )

Solucion.

a) X : N (µ, 3) n=484−→ X = 25,9

1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,645

ε = zα/2 ·σ√n

= 1,645 · 3√484

= 0,2243 =⇒ I.C. = X ± ε = 25,9± 0,2243 = (25,68, 26,12)

b) X : N (23, 3) n=484−→ X : N (23, 3/√

484 = 0,136)

Nos piden la probabilidad de que los 484 contenedores puedan ser transportados en unbarco con capacidad maxima de 11000 T. Es decir, 484 ·X ≤ 11000, o lo que es lo mismo,que X ≤ 22,73 T.

P (X ≤ 22,73) = P

(Z ≤ 22,73− 23

0,136

)= P (Z ≤ −1,98) = P (Z ≥ 1,98)

= 1− P (Z ≤ 1,98) = 1− 0,9761 = 0,0239

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

Ejercicio 5 (2 puntos)La produccion diaria de cemento, medida en toneladas, de una factorıa cementera

se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µdesconocida y desviacion tıpica σ = 9 toneladas.

a) Determınese el tamano mınimo de una muestra aleatoria simple para que elcorrespondiente intervalo de confianza para µ al 95 % tenga una amplitud a losumo de 2 toneladas.

b) Se toman los datos de produccion de 16 dıas escogidos al azar. Calculese laprobabilidad de que la media de las producciones obtenidas, X, sea menor oigual a 197,5 toneladas si sabemos que µ = 202 toneladas.

(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion A - Coincidentes)

Solucion.

a) X : N (µ, 9) n =? 1− α = 0,95

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96La amplitud del tintervalo ha de ser menor que 2, por lo que 2ε ≤ 2

2ε ≤ 2 =⇒ 2zα/2 ·σ√n≤ 2 =⇒ 2 · 1,96 · 9√

n≤ 2

=⇒ n ≥(

2 · 1,96 · 92

)2= 311,17 =⇒ n = 312

b) X : N (202, 9) n=16−→ X : N (202, 9/√

16) = N (202, 2,25)

P(X ≤ 197,5

)= P

(Z ≤ 197,5− 202

2,25

)= P (Z ≤ −2)

= P (Z ≥ 2) = 1− P (Z ≤ 2) = 1− 0,9772 = 0,0228

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso, en gramos (gr), de la bandeja de salmon crudo que se vende en una gransuperficie, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ desconocida y desviacion tıpica σ = 25 gr. Se ha tomado una muestra aleatoriasimple de 10 bandejas.

a) Si la media muestral de los pesos ha sido X = 505 gr, calculese un intervalo deconfianza al 99 % para µ.

b) Supongase ahora que µ = 500 gr. Calculese la probabilidad de que el peso totalde esas 10 bandejas sea mayor o igual a 5030 gr.

(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

a) X : N (µ, 25) n=10−→ X = 505

1− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ α/2 = 0,005 =⇒ 1− α/2 = 0,995 =⇒ zα/2 = 2,575

ε = zα/2 ·σ√n

= 2,575 · 25√10

= 20,36

I.C. = X ± ε = 505± 20,36 = (484,64, 525,36)

b) X : N (500, 25) n=10−→ X : N (500, 25/√

10) = N (500, 7,91)

P(10X ≥ 5030

)= P

(X ≥ 503

)= P

(Z ≥ 503− 500

7,91

)= P (Z ≥ 0,38)

= 1− P (Z ≤ 0,38) = 1− 0,6480 = 0,3520

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El tiempo, en horas, que tarda cierta companıa telefonica en hacer efectiva laportabilidad de un numero de telefono se puede aproximar por una variable aleatoriacon distribucion normal de media µ, y desviacion tıpica σ = 24 horas. Se toma unamuestra aleatoria simple de tamano 16, calculese:

a) La probabilidad de que la media muestral del tiempo X, supere las 48 horas, siµ = 36 horas.

b) El nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo (24,24, 47,76) paraµ.

(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A )

Solucion.

a) X : N (µ, 24) n=16−→ X : N (36, 24/√

16 = 6)

P(X ≥ 48

)= P

(Z ≥ 48− 36

6

)= P (Z ≥ 2) = 1− P (z ≤ 2)

= 1− 0,9772 = 0,0228

b) I.C. = (24,24, 47,76) =⇒ 2ε = 47,76− 24,24 =⇒ ε = 11,76

ε = zα/2 ·σ√n

=⇒ 11,76 = zα/2 ·24√16

=⇒ zα/2 = 1,96 =⇒ 1− α/2 = 0,975

=⇒ α/2 = 0,025 =⇒ α = 0,05 =⇒ 1− α = 0,95

Por lo que el nivel de confianza con el que se ha calculado el intervalo de confianza encuestion es del 95 %.

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


La longitud auricular de la oreja en varones jovenes, medida en centımetros (cm),se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ ydesviacion tıpica σ = 0,6 cm.

a) Una muestra aleatoria simple de 100 individuos proporciono una media muestralX = 7 cm. Calculese un intervalo de confianza al 98 % para µ.

b) ¿Que tamano mınimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el errormaximo cometido en la estimacion de µ por la media muestral sea a lo sumo de0,1 cm, con un nivel de confianza del 98 %?


Solucion.

a) X : N (µ, 0,6) n=100−→ X = 7

1− α = 0,98 =⇒ α = 0,02 =⇒ α/2 = 0,01 =⇒ 1− α/2 = 0,99 =⇒ zα/2 = 2,325

ε = zα/2 ·σ√n

= 2,325 · 0,6√100

= 0,1395

I.C. = X ± ε = 7± 0,1395 = (6,8605, 7,1395)

b) n =? ε ≤ 0,1 1− α = 0,98 =⇒ zα/2 = 2,325

ε ≤ 0,1 =⇒ ε = zα/2 ·σ√n

= 2,325 · 0,6√n≤ 0,1 =⇒ n ≥

(2,325 · 0,6

0,1

)2

=⇒ n ≥ 194,6 =⇒ n = 195

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El precio, en euros, de un cierto producto en las diferentes tiendas de una deter-minada ciudad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normalde media µ y desviacion tıpica σ = 15 euros.

a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de diez tiendas de esa ciudad y seha anotado el precio del producto en cada una de ellas. estos precios son lossiguientes:

140; 125; 140; 175; 135; 165; 175; 110; 150; 130.

Determınese un intervalo de confianza con un nivel del 95 % para µ.

b) Calculese el mınimo tamano muestral necesario para que el error maximo come-tido al estimar µ por la media muestral sea a lo sumo de 8 euros, con un nivelde confianza del 95 %.

(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A - Coincidentes)

Solucion.

a) X : N (µ, 15) n=10−→ X = 140+125+140+175+135+165+175+110+150+13010 = 144,5

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

ε = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 158 = 9,3

I.C. = X ± ε = 144,5± 9,3 = (135,2, 153,7)

b) n =? ε ≤ 8 1− α = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,96

ε ≤ 8 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 8 =⇒ n ≥

(1,96 · 15√

10

)2

13,5

=⇒ n = 14

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El consumo de combustible, en litros cada 100 kilometros (l/100 km), de los vehıcu-los nuevos matriculados en Espana se puede aproximar por una variable aleatoria condistribucion normal de media µ desconocida y desviacion tıpica σ = 1,2 l/100 km. Setoma una muestra aleatoria simple de tamano 49.

a) Calculese el nivel de confianza con el que se ha obtenido el intervalo de confianza(4,528, 5,2) para µ.

b) Supongase ahora que µ = 4,8 l/100 km. Calculese la probabilidad de que lamedia de la muestra, X, este comprendida entre 4,5 y 5,1 l/100 km.

(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

a) X : N (µ, 1,2) n=49−→ X :

2ε = 5,2−4,528 = 0,672 = 2·zα/2·σ√n

=⇒ zα/2 = 0,672 ·√

492 · 1,2 = 1,96 =⇒ 1−α = 0,95

b) X : N (4,8, 1,2) n=49−→ X : N (4,8, 1,2/√

49 = 0,1714)

P (4,5 ≤ X ≤ 5,1) = P

(4,5− 4,80,1714 ≤ Z ≤ 5,1− 4,8

0,1714

)= P (−1,75 ≤ Z ≤ 1,75)

= P (Z ≤ 1,75)− P (Z ≤ −1,75) = P (Z ≤ 1,75)− P (Z ≥ 1,75)= P (Z ≤ 1,75)− [1− P (Z ≤ 1,75)] = −0,9599− (1− 0,9599)= 0,9198

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Un determinado partido polıtico desea estimar la proporcion de votantes, p, queactualmente se decantarıa por el.

a) Asumiendo que p = 0,5, determınese el tamano mınimo necesario de una muestrade votantes para garantizar que, con una confianza del 90 %, el margen de erroren la estimacion no supera el 2 % (±2 %).

b) Se tomo una muestra aleatoria simple de 1200 votantes de los cuales 240 afirma-ron que votarıan por el partido en cuestion. Obtengase un intervalo de confianzadel 95 % para la proporcion de votantes de ese partido en la poblacion.


Solucion.Hay que darse cuenta de que estamos manejando proporciones, por lo que la formula

del intervalo de confianza es la siguiente:

I.C. = p± ε, siendo el error ε = zα/2

√p · qn

a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,02, siendo 1− α = 0,90

1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,645

ε ≤ 0,02 =⇒ zα/2

√p · qn≤ 0,02 =⇒ 1,645

√0,5 · 0,5

n≤ 0,02

=⇒ n ≥(

1,645 · 0,50,02

)2

= 1691,27 y por tanto n = 1692

b)p = 240

1200 = 0,2 =⇒ q = 1− p = 0,8

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

ε = zα/2

√p · qn

= 1,96√

0,2 · 0,81200 = 0,023 =⇒ I.C. = p± ε = (0,1774, 0,2226)

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso, en kilogramos, de los ninos de diez anos en la comunidad de Madrid sepuede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de µ desconociday desviacion tıpica σ = 3 kilogramos.

a) Calculese un intervalo de confianza al 95 % para µ si se ha tomado una muestraaleatoria simple de 9 ninos de diez anos y se han obtenido los siguientes pesosen kilogramos:

37, 40, 42, 39, 41, 40, 39, 42, 40

b) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de la media muestral sea menorque 1 kilogramo con un nivel de confianza 99 %.


Solucion.

a) X : N (µ, 3) n=9−→ X = 37 + 40 + 42 + 39 + 41 + 40 + 39 + 42 + 409 = 40

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

ε = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 3√9

= 1,96 =⇒ I.C. = X ± ε = (38,04, 41,96)

b) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 1, siendo 1− α = 0,99

1− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ α/2 = 0,005 =⇒ 1− α/2 = 0,995 =⇒ zα/2 = 2,325

ε < 1 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 1 =⇒ 2,325 · 3√

n≤ 1 =⇒ n ≥

(2,325 · 3

1

)2= 48,65

y por tanto n = 49

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


La empresa Dulce.SA produce sobres de azucar cuyo peso en gramos se puedeaproximar por una variable aleatoria X con distribucion normal con media µ = 4gramos y desviacion tıpica σ = 0,5 gramos.

a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de la media sea como mucho de0,25 gramos con un nivel de confianza del 95 %.

b) Calculese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 25sobres, la media muestral , X, pese mas de 12,25 gramos, sabiendo que µ = 12gramos.


Solucion.

X : N (4, 0,5) n−→ X : N (4, 0,5/√n)


1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

ε < 0,25 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 0,25 =⇒ 1,96 · 0,5√

n≤ 0,25 =⇒ n ≥

(1,96 · 0,5

0,25

)2

= 15,36

y por tanto n = 16

b) X : N (12, 0,5) n=25−→ X : N (12, 0,5/√

25) = N (12, 0,1)

P(X > 12,25

)= P

(Z >

12,25− 120,1

)= P (Z > 2,5) = 1−P (Z < 2,5) = 1−0,9938 = 0,0062

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El numero de descargas por hora de cierta aplicacion para moviles, se puede apro-ximar por una variable aleatoria de distribucion normal de media µ descargas y des-viacion tıpica σ = 10 descargas.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 40 horas, obteniendose una mediamuestral de 99,5 descargas. Determınese un intervalo de confianza al 95 % paraµ.

b) Supongase que µ = 100 descargas. Calculese la probabilidad de que al tomaruna muestra de 10 horas la media muestral, X, este entre 100 y 110 descargas.


Solucion.

a) X : N (µ, 10) n=40−→ X = 99,5

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

I.C. = X ± zα/2 ·σ√n

= 99,5± 1,96 · 10√40

= (96,4, 102,6)

b) X : N (100, 10) n=10−→ X : N (100, 10/√

10) = N (100, 3,16)

P(100 < X < 110

)= P

(100− 100

3,16 < Z <110− 100

3,16

)= P (0 < Z < 3,16)

= P (Z < 3,16)− P (z < 0) = 0,9992− 0,5 = 0,4992

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El tiempo diario, medido en horas (h), que pasa una persona de 18 anos viendo latelevision, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ h y desviacion tıpica σ = 0,25 h.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 15 individuos y se obtiene una mediamuestral x = 2 h. Calculese un intervalo de confianza al 95 % para µ.

b) Supongase que µ = 2 h. calculese la probabilidad de que al tomar una mues-tra aleatoria simple de 20 individuos, el tiempo medio de visionado diario detelevision, X, este entre 1,85 y 2,15 horas.


Solucion.

a) X : N (µ, 0,25) n=15−−−−→ x = 2 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 0,25√15

= 0,127

I.C. = (x− E, x+ E) = (1,873; 2,127)

b) X : N (2, 0,25) n=20−−−−→ X : N(

2, 0,25√20

= 0,056)

P (1,85 ≤ X ≤ 2,15) = P

(1,85− 2

0,056 ≤ Z ≤ 2,15− 20,056

)= P (−2,68 ≤ Z ≤ 2,68)

= P (Z ≤ 2,68)− P (Z ≤ −2,68) = P (Z ≤ 2,68)− P (Z ≥ 2,68)= P (Z ≤ 2,68)− [1− P (Z ≤ 2,68)] = 2 · P (Z ≤ 2,68)− 1= 2 · 0,9963− 1 = 0,9926

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso en kilogramos (kg) del ejemplar de lubina de estero tras un mes de crianza,se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ kgy desviacion tıpica σ = 0,2 kg.

a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor que 0,05 kg, conun nivel de confianza del 95 %.

b) Calculese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de ta-mano 20, la suma total de sus pesos sea mayor que 32 kg, sabiendo que µ = 1,5kg.


Solucion.

a) X : N (µ, 0,2) & n =? & E < 0,05 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95⇒ α = 0,05⇒ α/2 = 0,025⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla====⇒ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 0,2√n< 0,05 =⇒ n >

(1,96 · 0,2

0,05

)2

= 61,46 =⇒ n = 62

b) X : N (1,5, 0,2) n=20−−−−→ X : N(

1,5, 0,2√20

= 0,045)

Si la suma de los pesos de 20 ejemplares es de 32 kg, quiere decir que la mediasera x = 32

20 = 1,6 kg

P (X > 1,6) = P

(Z >

1,6− 1,50,045

)= P (Z > 2,22) = 1− P (Z < 2,22)

= 1− 0,9868 = 0,0132

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


La distancia anual, en kilometros (km), que recorren las furgonetas de una empresade reparto, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ km y desviacion tıpica σ = 24000 km.

a) Determınese el tamano mınimo de una muestra aleatoria simple para que laamplitud del intervalo de confianza al 95 % para µ sea a lo sumo de 23550 km.

b) Se toma una muestra aleatoria simple de 25 furgonetas. Suponiendo que µ =150000 km, calculese la probabilidad de que la distancia media anual observada,X, este entre 144240 km y 153840 km.

(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2018 - Opcion A )

Solucion.

a) X : N (µ, 24000) & n =? & 1− α = 0,95 & 2ε ≤ 23550

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

2ε ≤ 23550 =⇒ 2 · zα/2 ·σ√n≤ 23550 =⇒ n ≥

(2 · 1,96 · 24000

23550

)2= 15,95

=⇒ n = 16

b) X : N (150000, 24000) n=25−→ X : N(

150000, 24000√25

= 4800)

P (144240 ≤ X ≤ 153840) = P(144240− 150000

4800 ≤ X ≤ 153840− 1500004800

)= P (−1,2 ≤ Z ≤ 0,8) = P (Z ≤ 0,8)− P (Z ≤ −1,2)= P (Z ≤ 0,8)− P (Z ≥ 1,2) = P (Z ≤ 0,8)− [1− P (Z ≤ 1,2)] = 0,7881− (1− 0,8849) = 0,673

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Una empresa quiere lanzar un producto al mercado. Por ello desea estimar laproporcion de individuos, P , que estarıan dispuestos a comprarlo.

a) Asumiendo que la proporcion poblacional es P = 0,5, determınese el tamanomınimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con unaconfianza del 95 %, el margen de error en la estimacion no supere el 3 % (±3 %).

b) Se tomo una muestra aleatoria simple de 450 individuos de los cuales 90 afirma-ron que comprarıan el producto. Obtengase un intervalo de confianza del 90 %para la proporcion de individuos que estarıan dispuestos a comprar el producto.

(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2018 - Opcion B )

Solucion.El intervalo de confianza para una proporcion es el siguiente:


√p · qn

a) Hallar el mınimo n de tal forma que ε ≤ 0,03, siendo 1− α = 0,95 y p = 0,5

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 =⇒ zα/2 = 1,96

ε ≤ 0,03 =⇒ zα/2

√p · qn≤ 0,03 =⇒ 1,96

√0,5 · 0,5

n≤ 0,03

=⇒ n ≥(

1,96 · 0,50,03

)2

= 1067,11 y por tanto n = 1068

b)p = 90

450 = 0,2 =⇒ q = 1− p = 0,8

1− α = 0,9 =⇒ α = 0,1 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,645

ε = zα/2

√p · qn

= 1,645√

0,2 · 0,8450 = 0,031 =⇒ I.C. = p± ε = (0,169, 0,231)

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Una plataforma de television quiere lanzar un nuevo paquete de contenidos depago. Por ello desea estimar la proporcion de clientes, P, que estarıan dispuestos acontratarlo.

a) Asumiendo que la proporcion poblacional es P = 0,5, Determınese el tamanomınimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con unaconfianza del 95 %, el margen de error en la estimacion no supere el 2 % (±2 %).

b) Se tomo una muestra aleatoria simple de 500 clientes de los cuales 85 afirmaronque contratarıan el paquete. Obtengase un intervalo de confianza del 90 % parala proporcion de individuos que estarıan dispuestos a contratar el paquete.


Solucion.Hay que darse cuenta de que estamos manejando proporciones, por lo que la formula

del intervalo de confianza es la siguiente:


√p · qn


1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tablaa===⇒ zα/2 = 1,96

ε ≤ 0,02 =⇒ zα/2

√p · qn≤ 0,02 =⇒ 1,96

√0,5 · 0,5

n≤ 0,02

=⇒ n ≥(

1,96 · 0,50,02

)2

= 2401 y por tanto n = 2401 encuestados

b)p = 85

500 = 0,17 =⇒ q = 1− p = 0,83

1− α = 0,9 =⇒ α = 0,10 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla===⇒ zα/2 = 1,645

I.C. = p± zα/2

√p · qn

= 0,17± 1,645√

0,17 · 0,83500 =⇒ I.C = (0,1424; 0,1976)

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El contenido en azucares, medido en kilogramos (kg), de los botes de 1 kg demiel natural del Valle de Valdeon se puede aproximar por una variable aleatoria condistribucion normal de media µ kg y desviacion tıpica σ = 0,1 kg.

a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimcion de µ sea menor que 0,025 kg, conun nivel de confianza del 95 %.

b) Sabiendo que µ = 0,7 kg, calculese la probabilidad de que al tomar una muestraaleatoria simple de tamano 20, la media del contenido en azucares de esos botessea menor que 0,65 kg.


Solucion.Llamamos X ≡ ”Contenido en azucares en los botes de miel (kg)”


1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96

ε < 0,025 =⇒ zα/2 ·σ√n≤ 0,025 =⇒ 1,96 · 0,1√

n≤ 0,025

=⇒ n ≥(

1,96 · 0,10,025

)2

= 61,46 y por tanto n = 62

b) X : N (0,7, 0,1) n=20−→ X : N(

0,7; 0,1√20

= 0,022)

P (X ≤ 0,65) = P

(Z ≤ 0,65− 0,7

0,022

)= P (Z ≤ −2,24) = P (Z ≥ 2,24)

= 1− P (Z ≤ 2,27) = 1− 0,9875 = 0,0125

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El precio mensual de las clases de Pilates en una region se puede aproximar me-diante una variable aleatoria con distribucion normal de media µ euros y varianza 49euros 2.

a) Seleccionada una muestra aleatoria simple de 64 centros en los que se imparteeste tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de 34 euros. Obtengaseun intervalo de confianza al 99,2 % para estimar el precio medio mensual µ, delas clases de Pilates.

b) Determınese el tamano muestral mınimo que deberıa tener una muestra aleatoriasimple para que el error maximo cometido en la estimacion de la media sea comomucho de 3 euros, con una confianza del 95 %.


Solucion.

a) Nos dicen que la varianza σ2 = 49 =⇒ σ = 7

X : N (µ, 7) n=64−−−→ X : N(µ,

7√64

)= N (µ, 0,875)

1− α = 0,992 Tabla===⇒ zα/2 = 2,65 & x = 34I.C. = x± zα/2 ·

σ√n

= 34± 2,65 · 7√64

= (31,68; 36,32)

b) n =? & 1− α = 95 % & ε < 31− α = 0,95 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96

ε = zα/2 ·σ√n⇒ 1,96 · 7√

n< 3⇒ n >

(1,96 · 73

)2= 20,92⇒ n = 21 centros

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso de las mochilas escolares de los ninos de 5◦ y 6◦ de primaria, medido enkilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ kilogramos y desviacion tıpica σ = 1,5 kilogramos.

a) En un estudio se tomo una muestra aleatoria simple de dichas mochilas escolaresy se estimo el peso medio utilizando un intervalo de confianza del 95 %. Laamplitud de este intervalo resulto ser 0,49 kilogramos.Obtengase el numero de mochilas seleccionadas en la muestra.

b) Supongase que µ = 6 kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de225 mochilas escolares calculese la probabilidad de que el peso medio muestralsupere los 5,75 kilogramos, que es la cantidad maxima recomendada para losescolares de estos cursos.


Solucion.

a) X : N (µ; 1, 5) n=?−−→ I.C. de amplitud 2ε = 0,49

1− α = 0,95 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96

ε = zα/2 ·σ√n

=⇒ 0,492 = 1,96 · 1,5√

n

n =(

1,96 · 1,50,245

)2

=⇒ n = 144 mochilas

b) X : N (6; 1,5) n=225−−−→ X : N(6; 1,5√

225

)= N (6; 0,1)

P (X ≥ 5,75) = P

(Z ≥ 5,75− 6

0,1

)= P (Z ≥ −2,5)

= P (Z ≤ 2,5) = 0,9938

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El tiempo que dura una sesion de rehabilitacion de hombro, en minutos (min), sepuede aproximar por una variable aleatoria X con distribucion normal de media µ ydesviacion tıpica σ = 10 min.

a) Determınese el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor que 5 min, conun nivel de confianza del 95 %.

b) Supongase que µ = 40 min. Calculese el tamano que debe tener una muestraaleatoria simple para que P (X ≤ 38) = 0,1587.


Solucion.

a) X : N (µ, 10) & n =? & E < 5 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla===⇒ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 5√n< 5 =⇒ n >

(1,96 · 10

5

)2= 15,36 =⇒ n = 16

b) X : N (40, 5) n=?−−−→ X : N(40, 10√

n

)

P (X ≤ 38) = P

(Z ≤ 38− 40

10/√n

)= P

(Z ≤ −

√n

5

)= P

(Z ≥

√n

5

)

= 1− P(Z ≤

√n

5

)= 0,1587 =⇒ P

(Z ≤

√n

5

)= 0,8413

Tabla======⇒√n

5 = 1,00 =⇒√n = 5 =⇒ n = 25

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


En la zona centro de una ciudad, el alquiler mensual de los locales comerciales sepuede aproximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ eurosy desviacion tıpica σ euros.

a) Suponiendo µ = 3000 €, determınese σ para que al elegir una muestra aleatoriasimple de tamano 49, la probabilidad de que el alquiler medio mensual de lamuestra supere los 3125 € sea 0,20.

b) Suponiendo una desviacion tıpica poblacional igual a 1000 € y el valor de µdesconocido, determınese un intervalo de confianza al 95 % para µ, basado enla informacion de una muestra aleatoria simple de 100 locales comerciales en laque se observo un alquiler mensual medio de 3300 €.


Solucion.

a) X : N (3000, σ) n=49−−−−→ X : N(

3000, σ√49

= σ

7

)

P (X > 3125) = P

(Z >

3125− 3000σ/7

)= P

(Z >

875σ

)= 1− P (Z <

875σ

) = 0,20

=⇒ P(Z <

875σ

)= 0,80 Tabla====⇒ 875

σ= 0,845 =⇒ σ = 1035,5

b) X : N (µ, 1000) n=100−−−−−→ x = 3300

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla====⇒ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 1000√100

= 196

I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (3104, 3496)

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Una maquina rellena paquetes de harina. El peso de la harina en cada paquetese puede aproximar por una distribucion normal de media µ y desviacion tıpica 25gramos.

a) Se analiza el peso del contenido de 15 paquetes. La media muestral de estos pesosresulta ser 560 gramos. Determınese un intervalo de confianza con un nivel del95 % para la media poblacional.

b) Se sabe que la media poblacional del peso de la harina de un paquete es 560gramos. Calculese la probabilidad de que la media muestral no sea menor que565 gramos para una muestra de 50 paquetes.


Solucion.Sea X ≡ Peso de los paquetes de harina, entonces X : N (µ, 25)

a) X : N (µ, 25) n=15−−−→ x = 560 & 1− α = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,96

I.C. = x± zα/2 ·σ√n

= 560± 1,96 · 25√15

=⇒ I.C. = (547,35; 572,65)

b) X : N (560, 25) n=50−−−→ X ∼ N(

560, 25√50

)= N (560, 3,54)

P (X ≥ 565) = P

(Z ≥ 565− 560

3,54

)= P (Z ≥ 1,41) = 1− P (Z ≤ 1,41)

= 1− 0,9207 = 0,0793

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Para estudiar el absentismo laboral injustificado, se desea estimar la proporcion detrabajadores, P , que no acuden a su puesto de trabajo sin justificacion al menos undıa al ano.

a) Sabiendo que la proporcion poblacional de absentismo laboral injustificado esP = 0,22, determınese el tamano mınimo necesario de una muestra de trabaja-dores para garantizar que, con una confianza del 99 %, el margen de error en laestimacion no supera el 4 %.

b) Tomada al azar una muestra de 1000 trabajadores, se encontro que 250 habıanfaltado injustificadamente a su puesto de trabajo al menos una vez al ano. De-termınese un intervalo de confianza al 95 % para la proporcion de individuos quese ausentan en el trabajo al menos una vez al ano sin ninguna justificacion.


Solucion.

a) p = 0,22 & n =? & 1− α = 0,99 & ε < 0,041− α = 0,99 =⇒ α = 0,01 =⇒ 1− α/2 = 0,995 Tabla===⇒ zα/2 = 2,575

ε = zα/2

√pq

n< 0,04 =⇒ n >

(zα/2 ·

√pq

0,04

)2

=(

2,575 ·√

0,22 · 0,780,04

)2

= 711,13

Luego n = 712 trabajadores

b) n = 1000 & p = 2501000 = 0,25 & 1− α = 0,95 =⇒ zα/2 = 1,96

I.C. = p± zα/2√pq

n= 0,25± 1,96

√0,25 · 0,75

1000 =⇒ I.C. = (0,2231; 0,2768)

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


La factura, en euros, de una cena para una persona, reservando en pucherode-lujo.com se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media µ = 25 ydesviacion tıpica σ = 5.

a) Calculese la probabilidad de que el coste medio por comensal, de 9 personasescogidas al azar que reserven en la pagina, no sea mayor que 30 euros.

b) Determınese el numero mınimo de comensales que deberıa tener una muestraaleatoria simple para que el coste medio por comensal no exceda los 30 euroscon probabilidad no inferior a 0,95.

(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2019 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

a) X : N (25, 5) n=9−−−→ X : N(

25, 5√9

= 1,67)

P (X < 30) = P

(Z <

30− 251,67

)= P (Z < 3) = 0,9987

b) n =? & 1− α = 0,95 & E ≤ 5

1− α = 0,95⇒ α = 0,05⇒ α/2 = 0,025⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla====⇒ zα/2 = 1,96

E = zalpha/2 ·σ√n

= 1,96 · 5√n≤ 5 =⇒ n ≥

(1,96 · 5

5

)2= 3,84 =⇒ n = 4

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


La cantidad de principio activo en las pastillas de una determinada marca dedetergente puede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal demedia µ mg y varianza 0,09 mg2.

a) Si una muestra aleatoria simple de 400 pastillas proporciono una cantidad mediade principio activo de 13 mg, halle un intervalo de confianza al 99 % para la mediapoblacional.

b) Determine el tamano muestral mınimo para que el error maximo cometido enla estimacion de µ por la media muestral sea menor de 0,05 mg con un nivel deconfianza del 98 %.


Solucion.

a) Nos dicen que la varianza σ2 = 0,09 =⇒ σ = 0,3

X : N (µ, 0,3) n=400−−−→ X : N(µ,

0,3√400

)= N (µ, 0,0015)

1− α = 0,99 Tabla===⇒ zα/2 = 2,575 & x = 13

E = zα/2 ·σ√n

= 2,575 · 0,3√400

= 0,039

I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (12,961; 13,039)

b) n =? & 1− α = 98 % & E < 0,051− α = 0,98 =⇒ α = 0,02 =⇒ α/2 = 0,1 =⇒ 1− α/2 = 0,99 Tabla===⇒ zα/2 = 2,325

E = zα/2 ·σ√n

= 2,325 · 0,3√n< 0,05 =⇒ n >

(2,325 · 0,3

0,05

)2

= 194,6

n = 195 pastillas

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


En verano, en Madrid, se instalan puestos callejeros de venta de melones y sandıas.Se sabe que el peso de las sandıas puede aproximarse por una variable con distribucionnormal de media µ y desviacion tıpica σ = 450 g.

a) Si se toma una muestra de 25 sandıas y se obtiene una media muestral de x =2700 g, calcule un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional.

b) Si el peso medio de las sandıas es µ = 3000 g, calcule la probabilidad de que unamuestra de cuatro sandıas cogidas al azar pesen en media entre 3000 g y 3450 g.


Solucion.

a) X ≡ ”Peso sandıas (g)” & X : N (µ, 450) n=25−−−→ x = 2700 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 450√25

= 176,4

I.C. = (x− E, x+ E) =⇒ I.C. = (2523,6, 2876,4)

b) X : N (3000, 450) n=4−−→ X : N(3000, 450√

4

)= N (3000, 225)

P (3000 < X < 3450) = P(3000− 3000

225 < Z <3450− 3000

225

)= P (0 < Z < 2)

= P (Z < 2)− P (Z < 0) = 0,9772− 0,5 = 0,4772

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


La publicidad de una marca de bolıgrafos afirma que escriben 2 km. Para realizarun control de calidad, se considera que la longitud de escritura de estos bolıgrafospuede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ kmy desviacion tıpica 0,5 km.

a) Obtenga el numero mınimo de bolıgrafos que deberıan seleccionarse en una mues-tra aleatoria simple para que el error maximo cometido en la estimacion de µpor la media muestral, sea como mucho 0,05 km con un nivel de confianza del95,44 %.

b) Si la longitud media de escritura, µ, es la anunciada en la publicidad, calculela probabilidad de que, con una muestra de 16 bolıgrafos elegidos al azar, sepuedan escribir mas de 30 km.


Solucion.

a) n =? & X : N (µ, 0,5) & E ≤ 0,05 & 1− α = 0,9544

1− α = 0,9544⇒ α = 0,0456⇒ α/2 = 0,0228⇒ 1− α/2 = 0,9772 Tabla−−−→ zα/2 = 2,00

E = zα/2 ·σ√n≤ 0,05 =⇒ n ≥

(2 · 0,5

0,05

)2

= 400 =⇒ n = 400 bolıgrafos

b) X : N (2, 0,5) n=16−−−→ X : N (2, 0,5√16

= 0,125)

P(X ≥ 30

16

)= P (X ≥ 1,875) = P

(Z ≥ 1,875− 2

0,125

)= P (Z ≥ −1) = P (Z ≤ 1) = 0,8413

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Determinado modelo de lavadora tiene un programa de lavado con un consumo deagua que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribucion normal cuyadesviacion tıpica es de 7 litros.

a) En una muestra aleatoria simple de 10 lavadoras los consumos de agua en unlavado con este producto fueron los siguientes:

40 45 38 44 41 40 35 50 40 37

Construya el intervalo de confianza al 90 % para estimar el consumo medio deagua de este modelo de lavadoras con dicho programa de lavado.

b) A partir de una muestra de 64 lavadoras elegidas al azar, se obtuvo un intervalode confianza para la media con una longitud de 5 litros. Obtenga el nivel deconfianza utilizado para construir el intervalo.


Solucion.X ≡ Consumo de agua (litros)

a) X : N (µ, 0,7) n=10−−−→ x = 40 + 45 + 38 + 44 + 41 + 40 + 35 + 50 + 40 + 3710 = 41

1− α = 0,90 =⇒ α = 0,10 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla−−−→ zα/2 = 1,645

E = zα/2 ·σ√n

= 1,645 · 7√10

= 3,64

I.C. = (x− E, x+ E) = (37,36; 44,64)

b) n = 64 & 2E = 5 =⇒ E = 2,5

E = zα/2 ·σ√n

= zα/2 ·7√64

= 2,5 =⇒ zα/2 = 2,857 Tabla−−−→ 1− α/2 = 0,9979

1− α/2 = 0,9979 =⇒ α/2 = 0,0021 =⇒ α = 0,0042 =⇒ 1− α = 0,9958 =⇒ 99,58 %

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El salario medio bruto mensual en Espana en 2019 se puede aproximar por unadistribucion normal con σ = 900 euros.

a) Determine el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ por la media muestral, X,sea a lo sumo de 200 euros, con un nivel de confianza del 95 %.

b) Suponga que µ = 1889 euros. Calcule la probabilidad de que al tomar unamuestra aleatoria simple de 64 individuos, la media muestral, X, sea mayor que1900 euros.

(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion A - Coincidentes)

Solucion.

X ≡ ”Salario medio bruto anual (euros)” −→ X : (µ, 900)

a) n =? & E ≤ 200 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95⇒ α = 0,056⇒ α/2 = 0,025⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n≤ 200 =⇒ n ≥

(1,96 · 900

200

)2= 77,79 =⇒ n = 78 euros

b) X : N (1889, 900) n=64−−−→ X : N(

1889, 900√64

= 112,5)

P(X ≥ 1900

)= P

(Z ≥ 1900− 1889

112,5

)= P (Z ≥ 0,098) = 1− P (Z ≤ 0,098)

= 1− 0,5398 = 0,4602

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Se estima que el coste medio anual de la cesta de la compra de una familia tipo sepuede aproximar por una distribucion normal de media µ y desviacion tıpica σ = 500euros.

a) Se ha analizado el consumo de 100 familias tipo, obteniendose un coste medioestimado de 5100 euros anuales. Calcule un intervalo de confianza al 90 % parala media µ.

b) A partir de una muestra de 36 familias tipo, se ha obtenido un intervalo deconfianza para µ con un error de estimacion de 160 euros. Determine el nivel deconfianza utilizado para construir el intervalo.

(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

a) X : N (µ, 500) n=100−−−−→ x = 5100

1− α = 0,90 =⇒ α = 0,10 =⇒ α/2 = 0,05 =⇒ 1− α/2 = 0,95 Tabla−−−→ zα/2 = 1,645

E = zα/2 ·σ√n

= 1,645 · 500√100

= 82,25

I.C. = (x− E, x+ E) = (5017,75; 5182,25)

b) X : N (µ, 500) & n = 36 & E = 160

E = zα/2 ·σ√n

= zα/2 ·500√

36= 160 =⇒ zα/2 = 1,92

zα/2 = 1,92 Tabla−−−→ 1− α/2 = 0,9726⇒ α/2 = 0,0274⇒ α = 0,0548⇒ 1− α = 0,9452

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El peso de una patata, en gramos (g), de una remesa que llega a un mercado sepuede aproximar por una variable aleatoria X con distribucion normal de media µ ydesviacion tıpica σ = 60 g.

a) Determine el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor que 20 g, con unnivel de confianza del 95 %.

b) Suponiendo que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamano µ = 100,calcule el valor de la media µ para que P (X ≤ 220) = 0,9940.


Solucion.

a) X : N (µ, 60) & n =? & E < 20 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 60√n< 20 =⇒ n >

(1,96 · 60

20

)2= 34,57 =⇒ n = 35

b) X : N (µ, 60) n=100−−−−→ X : N(µ,

σ√n

= 60√100

= 6)

P (X ≤ 220) = P (Z <220− µ

6 ) = 0,9940 Tabla−−−−→ 2,51 = 220− µ6 =⇒ µ = 204,94

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Una persona se ha propuesto salir a caminar todos los dıas realizando el mis-mo recorrido y cronometrando el tiempo que tarde en completarlo. El tiempo queesta caminando por este recorrido puede aproximare por una variable aleatoria condistribucion normal cuya desviacion tıpica es 10 minutos.

a) Utilizando la informacion de una muestra aleatoria simple, se ha obtenido elintervalo de confianza (26,9, 37,1), expresado en minutos, para estimar el tiempomedio que tarda en realizar el recorrido, µ, con un nivel de confianza del 98,92 %.Obtenga el tamano de la muestra elegida y el valor de la media muestral.

b) Si el tiempo medio para completar el recorrido es µ = 30 minutos, calcule laprobabilidad de que, en una muestra de 16 dıas elegidos al azar, esta personatarde entre 25 y 36 minutos de media para completar el recorrido.

(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2020 - Opcion B )

Solucion.

a) X : N (µ, 10) & I.C.(26,9, 37,1) & 1− α = 0,9892

1− α = 0,9892⇒ α = 0,0108⇒ α/2 = 0,0054⇒ 1− α/2 = 0,9946 Tabla−−−→ zα/2 = 2,55

x = 26,9 + 37,12 = 32

E = 37,1− 26,92 = 5,1

E = zα/2 ·σ√n

= 2,55 · 10√n

= 5,1 =⇒ n >

(2,55 · 10

5,1

)2

=⇒ n = 25

b) X : N (30, 10) n=160−−−−→ X : N(µ,

σ√n

= 10√16

= 2,5)

P (25 ≤ X ≤ 35) = P (25− 302,5 < Z <

35− 302,5 ) = P (−2 ≤ Z ≤ 2)

= P (Z ≤ 2)− P (Z ≤ −2) = P (Z ≤ 2)− P (Z ≥ 2)

= P (Z ≤ 2)−[1− P (Z ≤ 2)

]= 2P (Z ≤ 2)− 1 Tabla−−−−→

= 2 · 0,9772− 1 = 0,9544

◦



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


El numero de kilometros que un corredor entrena a la semana mientras preparauna carrera popular se puede aproximar por una variable aleatoria de distribucionnormal de media µ horas y desviacion tıpica σ = 10 horas.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 atletas, obteniendose una mediamuestral de 30 kilometros. Determine un intervalo de confianza al 95 % para µ.

b) Suponga que µ = 28 kilometros. Calcule la probabilidad de que al tomar unamuestra aleatoria simple de 10 atletas, la media muestral, X, este entre 28 y 30kilometros.


Solucion.

a) X : N (µ, 0,1) n=20−−−→ x = 30

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,25 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 10√20

= 4,38

I.C. = (x− E, x+ E) = (25,62; 34,38)

b) X : N (28, 10) n=10−−−→ X : N(µ,

σ√n

= 10√10

= 3,16)

P(28 ≤ X ≤ 30

)= P

(28− 28

3,16 ≤ Z ≤ 30− 283,16

)= P (0 ≤ Z ≤ 0,63)

= P (Z ≤ 0,63)− P (Z ≤ 0) = 0,7357− 0,5 = 0,2357

◦


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


Las calorıas consumidas por un atleta durante una carrera popular se pueden apro-ximar por una variable aleatoria con distribucion normal de media µ calorıas y des-viacion tıpica σ = 300 calorıas.

a) Determine el tamano mınimo que debe tener una muestra aleatoria simple paraque el error maximo cometido en la estimacion de µ sea menor de 100 calorıascon un nivel de confianza del 95 %.

b) Suponga que µ = 3000 calorıas. Calcule la probabilidad de que al tomar unmuestra aleatoria simple de tamano n = 50 atletas, la media de las calorıasconsumidas durante la carrera por los 50 atletas sea mayor que 2700 calorıas.


Solucion.

a) X : N (µ, 300) & n =? & E < 100 & 1− α = 0,95

1− α = 0,95 =⇒ α = 0,05 =⇒ α/2 = 0,025 =⇒ 1− α/2 = 0,975 Tabla−−−→ zα/2 = 1,96

E = zα/2 ·σ√n

= 1,96 · 300√n< 100 =⇒ n >

(1,96 · 300

100

)2= 34,57 =⇒ n = 35

b) X : N (3000, 300) n=50−−−→ X : N(

3000, σ√n

= 300√50

= 42,43)

P(X ≥ 2700

)= P

(Z ≥ 2700− 3000

42,43

)= P (Z ≥ −7,07) = P (Z ≤ 7,07) ' 1

◦



ICO-1 Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se

puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media

y desviación típica igual a 15 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria

simple de 400 espectadores de TV en dicha zona obteniéndose que el tiempo

medio diario dedicado a ver TV es de 3 horas.

a) Halle un intervalo de confianza para con un nivel de confianza del 95%.

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la

estimación de sea menor o igual que 3 minutos, con un nivel de confianza del

90%?

(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG– Opción A)

Solución:

( ) ( )400: ,15 : , ,0.75nx N x N Nn

=

⎯⎯⎯→ =

a) Determínese un intervalo de confianza para con un nivel de confianza del 95%.

( )2

2

3 horas 180 minutos (hay que homogeneizar las unidades ya que está en

178.

minutos)

1 5% 15 15180 1.96 ,180 1.96

1.5,

96 400 4181

0.5

0

x

x zzn

= =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de

sea menor o igual que 3 minutos, con un nivel de confianza del 90%?

2

2

2 2

3 minutos

1 0 151.645 67.65

1.66

38

45

máx

máx

n z nz

=

− = = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-2 Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una

variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica igual

a 0.09 euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del refresco en 10

establecimientos y resulta:

1.50 1.60 1.10 0.90 1.00 1.60 1.40 0.90 1.30 1.20

a) Determínese un intervalo de confianza al 95 % para .

b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el

valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y sea menor o igual

que 0.10 euros con probabilidad mayor o igual que 0.99.

(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG– Opción B)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza al 95 % para .

Si la variable continua x sigue una distribución Normal, las medias de las muestras de

tamaño 4 también siguen una distribución Normal de la misma media y diferente

desviación típica:

( ) ( )

( )2

2

10: ,0.09 : , ,0.028

1.5 1.6 1.1 0.9 1 1.6 1.4 0.9 1.3 1.21.25

10

1 5% 0.09 0.091.25 1.96 ,1.25 1.21.96

1.96 100,1

131

0.

nx N x N Nn

x

x zzn

= ⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + + += =

− = = = = − + = =

IC

b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor

absoluto de la diferencia entre la media muestral y sea menor o igual que 0.10 euros

con probabilidad mayor o igual que 0.99.

2

2

max

2 2

max

Nos dan el 0.10 €:

1 9 0.092.58 5.39

2.58 0.106n

znz

=

− = = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-3 Se supone que le nivel de glucosa en sangre de los individuos de una

población (medido en miligramos por decilitro) se puede aproximar

mediante una variable aleatoria con distribución normal de media

desconocida y desviación típica igual a 35 mg dl . ¿Cuál es el tamaño

muestral mínimo que permite garantizar que el valor absoluto de la

diferencia entre la media muestral y es menor que 20 mg dl con una

probabilidad mayor o igual que 98 % ?

(PAU Madrid CCSS Modelo 2011 – Opción A)

Solución:

( ) ( )

2 2

2

max

2 2

max

max

35: ,35 : , ,0.17

Nos dicen que el 20

1 8 352.33 16.36

2.33 2017

x N x N Nn

z n z nzn

⎯⎯→ =

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-4 Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación

típica = . Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 25 y se

obtiene una media muestral igual a 12.

a) Determínese un intervalo de confianza al 90 % para estimar la media de

la variable aleatoria.

b) Determínese el tamaño muestral mínimo para que el valor absolutote la

diferencia entre la media de la población y la media muestral sea menor o

igual que 0,1 con un nivel de confianza de al menos el 95 %.

(PAU Madrid CCSS Modelo 2011 – Opción B)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza al 90 % para estimar la media de la

variable aleatoria.

( ) ( )

( )2

2

25: ,2 : 12, 12,0.4

1 0% 2 212 1.645 ,12 1.645

1.645 25 2511.34,12.66

nx N x N Nn

x zzn

= ⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) Determínese el tamaño muestral mínimo para que el valor absoluto de la

diferencia entre la media de la población y la media muestral sea menor o igual

que 0,1 con un nivel de confianza de al menos el 90 %.

2 2

2

max

2 2

max

max

El error máximo 0.1 viene dado por la expresión:

1 0 215371.96 1536.6

1.96 0.1z n z n

zn

=

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-5 Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos

por una cierta empresa, se puede aproximar por una variable aleatoria con

distribución normal de desviación típica igual a 0.5 kg. Una muestra

aleatoria simple de 9 rollos ha dado un peso medio de 10.3 kg.

a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los

rollos de cable que produce dicha empresa.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor

absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional

sea 0.2 Kg, con probabilidad igual a 0.98?

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción A)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los rollos

de cable que produce dicha empresa.




( ) ( )

( )2

2

.59: , : , ,0

10.02,10.5

.17

1 0% 0.5 0.510.3 1.645 ,10.3 1.645

1.6457

9 9

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor

absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea 0.2

Kg, con probabilidad igual a 0.98?

2 2

2

2 2

max

max

El error máximo admitido viene dado por la expresión:

1 8 0.52.33 33.9

2.33 04

.23z n z

zn

n

− = → → = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-6 Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se

puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de

desviación típica igual a 10 céntimos de euro. Una muestra aleatoria simple

de tamaño 256 proporciona un precio medio del kilo de patatas a 19

céntimos de euro.

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el precio medio de

un kilo de patatas en la región.

b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99% sin aumentar el error de

la estimación. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de

observarse?

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción B)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el precio medio de un kilo

de patatas en la región.




( ) ( )

( )2

2

1256: , : , ,0.625

1 5% 10 1019 1.96 ,19 1.96

1.96 2517.8,20.2

6 256

nx N x N Nn

x zzn

= =

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99% sin aumentar el error de la

estimación. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse?

2 2

2

2

El margen de error actual es de Si no queremos aumentar el mismo

tendremos que modificar el número de muestras:

1 102 2 2 2.575

2.575 2.4z n z

zn

= − =

− = → → = =

2

460. 4614 n= =→

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-7 Se supone que el tiempo de vida útil en miles de horas (Mh) de un cierto

modelo de televisor, se puede aproximar por una variable aleatoria de

distribución normal de desviación típica igual a 0.5 Mh. Para una muestra

aleatoria simple de 4 televisores de dicho modelo, se obtiene una media muestral

de 19.84 Mh de vida útil.

a) Hállese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de vida útil medio

de los televisores de dicho modelo.

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto del

error de la estimación de la media poblacional mediante la media muestral sea

inferior a 0.2 Mh con probabilidad mayor o igual que 0.95.

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción A)

Solución:

a) Hállese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de vida útil medio de los

televisores de dicho modelo.




( ) ( )

( )2

2

.54: , : , ,0.25

1 % 0.5 0.519.84 1.96 ,19.84 1.96

1.96 4 419.35,20.33

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que gel valor absoluto del error

de la estimación de la media poblacional mediante la media muestral sea inferior a 0.2

Mh con probabilidad mayor o igual que 0.95.

( )

2 2

2 2

Nos dicen que el error debe ser infe

2

rior a 0.22

0.51.96 24.01

0.25

máx

máx z n zn

n

=

→ = = →

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-8 Se supone que el tiempo de espera de una llamada a una línea de atención al

cliente de una cierta empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con

distribución normal de desviación típica igual a 0.5 minutos. Se toma una

muestra aleatoria simple de 100 llamadas y se obtiene un tiempo medio de

espera igual a 6 minutos.

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio de

espera de una llamada a dicha línea de atención al cliente.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que debe observarse para que

dicho intervalo de confianza tenga una longitud total igual o inferior a 1 minuto?

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción B)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio de espera de

una llamada a dicha línea de atención al cliente.




( ) ( )

( )2

2

.5100: , : , ,0.05

1 % 0.5 0.56 1.96 ,6 1.9 5.9,6

1.96 100 106.1

0

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que debe observarse para que dicho

intervalo de confianza tenga una longitud total igual o inferior a 1 minuto?

( )

2 2

2 2

Si el tamaño del intervalo debe ser menor o igual a 1 minuto, ese debe ser s

4

u margen de error .

0.52 2 2 1.96 3.84

1z n z

nn

→ = = →

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-9 Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación

típica igual a 320. Se toma una muestra simple de 36 elementos.

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre

la media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual

que 50.

b) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la media de la

distribución normal si la media muestral es igual a 4820.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción A)

Solución:

a) Probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y

la media de la distribución normal sea mayor o igual que 50.




( ) ( )

( )2 2

max

Tablamaxmax

36: , : , ,53.3

Nos están diciendo que el error máximo

34.

debe ser: 2 50

50 360.9375 2 1 0.8264

320

Tened en cuenta que al pedirnos e

7

e

%

l

nx N x N Nn

nz z a

n

==

⎯⎯⎯→ =

=

→ = = = ⎯⎯⎯→ = − →

rror mayor que una cantidad nos están pidiendo y

no 1- , ya que el área que se necesita es la de los extremos.

b) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la media de la distribución

( )2

2

1 % 320 3204820 1.96 ,4820 1.96

1.96 36 364715.5,4924.5x z

zn

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-10 Para estudiar la media de una población con distribución normal de desviación

típica igual a 5, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 100, con

la que se ha obtenido el intervalo de confianza ( )173.42;176.56 para dicha

población.

a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada.

b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción B)

Solución:

a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada.

Tal y como está construido un intervalo de confianza la media muestral se sitúa en el

centro del mismo, que calcularemos haciendo la media aritmética de los extremos.

173.42 176.56

2174.99x

+= =

b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido.

( )

( )2 2

Vamos a apoyarnos en el margen de error del intervalo :

176.56 173.42 1003.14

2 2 5

Mirando en las tablas vemos que ese valor corresponde a 0.9992 1 0.99922

lo que supone u

nz z

n

− = → = = =

→ − = →

→ = n de 1nivel de confianza 99.84%0016 0.9984− =− = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-11 Para medir el coeficiente de inteligencia de un individuo, se realizan test

cuya calificación X se supone que es una variable aleatoria con

distribución normal de media igual a y desviación típica igual a 15. Un

cierto individuo realiza 9 test con independencia.

a) Si la calificación media de dichos test es igual a 108, determínese un

intervalo de confianza al 95% para su coeficiente de inteligencia .

b) Si el individuo que ha realizado los 9 test tiene un coeficiente de

inteligencia 110 = , ¿cuál es la probabilidad de que obtenga calificación

media muestral mayor que 120?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE – Opción A)

Solución:

a) Si la calificación media de dichos test es igual a 108, determínese un intervalo

de confianza al 95% para su coeficiente de inteligencia .




( ) ( )

( )2

2

159: , : , ,5

1 5% 15 15108 1.96 ,108 98.2,1.96

1.96 91 .8

91 7

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) Si el individuo que ha realizado los 9 test tiene un coeficiente de inteligencia

110 = , ¿cuál es la probabilidad de que obtenga calificación media muestral

mayor que 120?

( ) ( )

( ) ( ) ( )

9: 110,15 : , 110,5

120 1102 1 2 1 0.9772 0.022120 2. %

528 8

nx N x N Nn

p z p zp x p z

=

⎯⎯⎯→ =

− = = = − = − = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-12 El saldo en cuenta a fin de año de los clientes de una cierta entidad

bancaria se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución

normal de desviación típica igual a 400 €. Con el fin de estimar la media

del saldo en cuenta a fin de año para los clientes de dicha entidad, se elige

una muestra aleatoria simple de 100 clientes.

a) ¿Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación si se sabe que el

valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media

poblacional es menor o igual que 66 €?

b) Calcúlese el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de obser-

varse para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y

la media poblacional sea 40€ , con un nivel de confianza del 95%.

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FE – Opción B)

Solución:

a) ¿Cuál es el nivel máximo de confianza de la estimación si se sabe que el valor

absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional es menor

o igual que 66 €?

( ) ( )

( )2 2

max

Tabla

400100: , : , ,40

Nos dicen que el error máximo es menor o igual que 66, luego 2 66

66 1001.65 1 0.9505 0.5

4 0

1 0 1

0máx

nx N x N Nn

nz z

n

==

⎯⎯⎯→ =

= →

→ = = = ⎯⎯⎯→ − =

− =

→

−

b) Calcúlese el tamaño mínimo necesario de la muestra que ha de observarse para

que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media

poblacional sea 40 € , con un nivel de confianza del 95%.

2 2

2

max

2 2

max

max

Igualmente nos dicen que el error máximo ha de s

38

er 2 40

1 95% 4001.96 384.16

1.96 405z n z

znn

= →

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-13 Se supone que la duración de una bombilla fabricada por una cierta

empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución

normal de media 900 horas y desviación típica 80 horas. La empresa

vende 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. ¿En cuantos lotes puede

esperarse que la duración media de las bombillas que componen el lote

sobrepase 910 horas?

(PAU Madrid CCSS Modelo 2010 – Opción A)

Solución:




( ) ( )

( ) ( ) ( )

100: 900,80 : , 900,8

910 900910 1.25 1 1.25 1 0.8944 0.1056

8

Luego si disponemos de 1000 lotes en 1000 0.1056 105. 16 la duración media

de las bombilla

06 lotes

s que co

nx N x N Nn

p x p z p z z

=

⎯⎯⎯→ =

− = = = − = − =

=

mponen el lote sobrepasará las 910 goras

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-14 La temperatura corporal de una especie de aves se puede aproximar

mediante una variable aleatoria con distribución normal de media 40,5ºC y

desviación típica 4,9ºC. Se elige una muestra aleatoria simple de 100 aves

de esa especie. Sea x la media muestral de las temperaturas observadas.

a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X ?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de dicha muestra

esté comprendida entre 39,9ºC y 41,1ºC?

(PAU Madrid CCSS Modelo 2010 – Opción B)

Solución:

a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X ?

( ) ( )

2 2 2

100: 40.5,4.9 : , 40

ºC 0.2401ºC

.5,0.49

0.49

nx N x N Nn

=

= =

⎯⎯⎯→ =

= →

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de dicha muestra esté

comprendida entre 39,9ºC y 41,1ºC?

( ) ( ) ( )

39.9 40.5 41.1 40.51.22 1.22 2 1.22 0.5

0.49 0.49

2 0.8888 0.5 0

39.9 41.1

7.777 .76 7 6%

p z p z p zp x− −

= = − = − =

= −

= =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-15 Se supone que el gasto anual dedicado al ocio por una familia de un

determinado país se puede aproximar por una variable aleatoria con

distribución normal de desviación típica igual a 55 €. Se ha elegido una

muestra aleatoria simple de 81 familias, obteniéndose un gasto medio de

320 €.

a) ¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del

gasto medio por familia mediante la media de la muestra es menor que

10€ con un grado de confianza del 95%. Razónese la respuesta.?

b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder

asegurarlo?

(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción A)

Solución:

a) ¿Se puede asegurar que el valor absoluto del error de la estimación del gasto

medio por familia mediante la media de la muestra es menor que 10 € con un

grado de confianza del 95%. Razónese la respuesta.?

( )

Si queremos asegurar que el valor absoluto del error sea menor que 10 calcularemos su error máximo

(en este caso hemos calculado su intervalo de confianza previamente) y comprobamos que sea 10 €

: ,x N

( )

( )2

2

max

5581 : , ,6.11

1 5% 55 55320 1.96 ,320 1.96 308.02,331.98

1.96 81 81

308.02 331.98 por tanto se puede asegurar 11. que el valor ab

298 10 € NO

n x N Nn

IC x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

−= = soluto del

error sea menor que 10 €

b) ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para poder asegurarlo?

( ) ( )

2 2

2

2 2

max

max

5581: , : , ,6.11

1 5% 551.96 116.2

1.96 10117

nx N x N Nn

zn

nn zz

==

⎯⎯⎯→ =

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-16 Se supone que la cantidad de agua (en litros) recogida cada día en una

estación meteorológica se puede aproximar por una variable aleatoria con

distribución normal de desviación típica igual a 2 litros. Se elige una

muestra aleatoria simple y se obtienen las siguientes cantidades de agua

recogidas cada día (en litros):

9.1 4.9 7.3 2.8 5.5 6.0 3.7 8.6 4.5 7.6

a) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua

recogida cada día en dicha estación con un grado de confianza del 95%.

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la

media del agua recogida cada día en la estación meteorológica mediante la

media de dicha muestra, la diferencia en valor absoluto entre ambos

valores sea inferior a 1 litro, con un grado de confianza del 98%.

(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción B)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza para la cantidad media de agua recogida

cada día en dicha estación con un grado de confianza del 95%.

( ) ( )

( )2

2

210: , : , ,0.632

9.1 4.9 7.3 2.8 5.5 6.0 3.7 8.6 4.5 7.66

10

1 5% 2 26 1.96 ,6 1.96

1.96 10 10

error sea menor que 10

4.76,7

€

.24

nx N x N Nn

x

x zzn

IC

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + + += =

− = = = = − + = =

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para que al estimar la media

del agua recogida cada día en la estación meteorológica mediante la media de

dicha muestra, la diferencia en valor absoluto entre ambos valores sea inferior a 1

litro, con un grado de confianza del 98%.

2 2

2

2 2

max

max

1 8% 22.33 21.71

2.32

32

1z n z

zn

n

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-17 Se supone que el tiempo de una conversación en un teléfono móvil se


desviación típica igual a 1.32 minutos. Se desea estimar la media del

tiempo de las conversaciones mantenidas con un error inferior o igual en

valor absoluto a 0.5 minutos y con un grado de confianza del 95%.

a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar

para llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.

b) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4.36

minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la

probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra

esté comprendido entre 4 y 5 minutos?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción A)

Solución:

a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar para

llevar a cabo dicha estimación mediante la media muestral.




( )

2 2

2

2 2

max

max

1.32: , : ,

El error máximo admitido viene dado por la expresión:

1 5 1.321.96 26. 277

1.96 0.57

x N x Nn

z nn zzn

= ⎯⎯⎯→

− = → = = = → =

=

b) Si se supone que la media del tiempo de las conversaciones es de 4.36 minutos

y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es la probabilidad de

que el tiempo medio de las conversaciones de la muestra esté comprendido entre

4 y 5 minutos?

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

16: 4.36,1.32 : , 4.36,0.33

4 4.36 5 4.361.09 1.94

0.33 0.33

1.94 1.09 1.94 1 1.09

0.9738 1 0

4 5

83.59.8621 . %0 8359

nx N x N Nn

p z p z

p z p z p z

p x

p z

=

⎯⎯⎯→ =

− − = = − =

= − − = − − =

= − − = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-18 Se supone que la estancia (en días) de un paciente en cierto hospital se


desviación típica igual a 9 días. De una muestra aleatoria simple formada

por 20 pacientes, se ha obtenido una media muestral igual a 8 días.

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media

de un paciente en dicho hospital.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para

que dicho intervalo de confianza tenga una longitud total 4 días?

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción B)

Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un

paciente en dicho hospital.




( ) ( )

( )2

2

920

4.06,11.

: ,9 : , ,1

94

.79

1 5% 9 98 1.96 ,8 1.96

1.96 20 20

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse para que dicho

intervalo de confianza tenga una longitud total 4 días?

2 2

2

2 2

Nos dan el margen de error, que viene dado por la expresión:

1 5 92 2 2 1.96 77. 787

1.96 4z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-19 El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los

estudiantes de secundaria de una cierta ciudad se supone que es una

variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 15

minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes y se

obtienen los siguientes tiempos (en minutos)

91 68 39 82 55 70 72 62 54 67

a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio

diario dedicado a escuchar música por un estudiante.

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una

estimación de la media de tiempo diario dedicado a escuchar música con

un error menor que 5 minutos con un nivel de confianza del 95%.


Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario

dedicado a escuchar música por un estudiante.




( ) ( )

( )2

2

1510: ,15 : , ,4.74

91 68 39 82 55 70 72 62 54 6766

10

1 0% 158.2,7

5 1566 1.645 ,66 1.645

1.645 13.

0 108

nx N x N Nn

x

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + + += =

− = = = = − + = =

IC

b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación

de la media de tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que

5 minutos con un nivel de confianza del 95%.

2 2

2

2 2

max

max

Nos dan el margen de error, que viene dado por la expresión:

1 5 151.96 34.6

1.96 535z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-20 El rendimiento por hectárea de las plantaciones de trigo en una cierta

región, se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de

desviación típica igual a 1 tonelada por hectárea. Se ha tomado una

muestra aleatoria simple de 64 parcelas con una superficie igual a 1

hectárea cada una, obteniéndose un rendimiento medio de 6 toneladas.

a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por

hectárea es menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 98%?

Razónese

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la

estimación sea menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 98%


Solución:

a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por

hectárea es menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 98%? Razónese

( ) ( )

2

2

max

164: ,9 : , ,0.125

Calculamos directamente si con los parámetros de la variable media muestral se puede admitir un

error menor o igual a 0.5 Ha.

1 8%

2.33

nx N x N Nn

zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = =

=

12.33

640.29 0.5= =

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea

menor que 0.5 ton. con un nivel de confianza del 95%

2 2

2

2 2

max

max

Estimamos el tamaño muestral mínimo a partir del máximo error admitido

1 5 11.96 15.3

1.96 0.516z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-21 Se supone que la calificación en Matemáticas obtenida por los alumnos

de una cierta clase es una variable aleatoria con distribución normal de

desviación típica 1.5 puntos. Se elige una muestra aleatoria simple de

tamaño 10 y se obtiene una suma de sus calificaciones igual a 59.5

puntos.

a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la calificación

media de la clase.

b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la

estimación sea de 0.5 puntos con el nivel de confianza del 95%?


Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la calificación media de la

clase.

( ) ( )

( )2

2

10

1

1.510: ,1.5 : , ,0.474

59.55.95

10 10

5.021 5% 1.5 1.

,6.85

5.95 1.96 ,5.95 1.961.96 10 1

70

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

= = =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para que el error máximo de la estimación

sea de 0.5 puntos con el nivel de confianza del 95%?

2 2

2

2 2

max

max

Nos dan el error máximo, que viene dado por la expresión:

1 5 1.51.96 34.6

1.96 0 535

.z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-22 La duración de la vida de una determinada especie de tortuga se supone

que es una variable aleatoria, con distribución normal de desviación típica

igual a 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se

obtienen las siguientes duraciones, en años:

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34

a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la vida media de

dicha especie de tortugas.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de la

estimación de la vida media no sea superior a 5 años con un nivel de confianza

del 90%?


Solución:

a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para la vida media de dicha

especie de tortugas.

( ) ( )

( )2

2

10

1

1010: ,10 : , ,3.16

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34 37537.5

10 10 10

1 5% 10 1037.5 1.96 ,37.5 1.96

1.931.3,43.7

6 10 10

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + + += = = =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada para que el error de la estimación

de la vida media no sea superior a 5 años con un nivel de confianza del 90%?

2 2

2

2 2

max

max


1 0 101.645 10.82

1.645 511z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-23 La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una

variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media

35 años y desviación típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de

100 hombres de dicha isla. Sea X la media muestral de la edad de casamiento.

a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la

muestra esté comprendida entre 36 y 37 años?


Solución:

a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X?

( )

( ) ( )

2

535

100

Como la muestra es suficientemente grande 30

: 35,5 : , 35,0.5

35 0.25

n

n

x N x N Nn

===

⎯⎯⎯→ =

= =

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra

esté comprendida entre 36 y 37 años?

( ) ( ) ( ) ( )36 35 37 35

2 4 4 20.5 0.5

1 0.9772 0.0228

36 37

2.28%

p z p z p zp p z− −

= = = − =

= − = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-24 La duración de las rosas conservadas en agua en un jarrón es una variable

aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con una

desviación típica de 10 horas. Se torna una muestra aleatoria simple de 10 rosas

y se obtienen las siguientes duraciones (en horas):

57 49 70 40 45 44 49 32 55 45

Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las rosas.


Solución:

( ) ( )

( )2

2

10

1

1010: ,10 : , ,3.16

57 49 70 40 45 44 49 32 55 45 48648.6

10 10 10

1 5% 10 1048.6 1.96 ,48.6 1.96

1.942.4,54.8

6 10 10

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + + += = = =

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-25 Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado

es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de

desviación típica 328 euros. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de

dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1248

euros. Calcular:

a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel

de confianza del 99%.

b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir con un nivel de

confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria

media menor de 127 euros.


Solución:

a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel de

confianza del 99%.

( ) ( )

( )2

2

328100: ,328 : , ,32.8

1 91163.3,1332

% 328 3281248 2.58 ,1248 2.58

2.58 100 100.6

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir con un nivel de

confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria media

menor de 127 euros.

2 2

2

2 2

max

max


1 5 3281.96 25.6

1.96 1 726

2z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-26 El tiempo invertido en cenar por cada cliente de una cadena de restaurantes es

una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con

desviación típica de 32 minutos. Se quiere estimar la media de dicho tiempo con

un error no superior a 10 minutos y con un nivel de confianza del 95%.

Determinar el tamaño mínimo muestral necesario para poder llevar a cabo dicha

estimación.


Solución:

( )

2 2

2

2 2

max

max

32 32: ,32 : , ,


1 5 321.96 39.3

1.96 1040

x N x N Nn n

z n zzn

n

= ⎯⎯⎯→ =

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-27 En cierta población humana, la media muestral x de una característica se

distribuye mediante una distribución normal. La probabilidad de que x sea

menor o igual que 75 es 0’58 y la de que x sea mayor que 80 es 0’04.

Hallar la media y la desviación típica de x. (Tamaño muestral 100n = )


Solución:

( )

( ) ( )

Eabla

Eabla

75 7575 0.58 0.58 0.205 0.205 10 750

100 100

80 8080 0.04 1 80 0.04 0.96 1.75

100 100

1.75 10 800

0.205 10 750 0.205

1.75 10 800

p x p z

p x p x p z

− −

= → = ⎯⎯⎯→ = → + =

− −

= → − = → = ⎯⎯⎯→ = →

→ + =

+ = −→

+ =

751.545 50

1.7

3

5 80

.

= − = − → = →

+ = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-28 El tiempo de espera en minutos en una ventanilla se supone aproximado

mediante una distribución ( ),N , con igual a 3 minutos. Se lleva a cabo

un muestreo aleatorio simple de 10 individuos y se obtiene que la media

muestral del tiempo de espera es de 5 minutos. Determinar un intervalo de

confianza al 95% para .

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 Opción B)


Solución:

( ) ( )

( )2

2

310: ,3 : , ,0.95

1 5% 3 35 1.96 ,5 1.96

1.963.14,6.

10 186

0

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-29 La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede

aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 5 meses. Se

toma una muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes

duraciones (en meses):

33 34 26 37 30 39 26 31 36 19

Hallar un intervalo de confianza al 95% para la duración media de este modelo

de batería.


Solución:

( ) ( )

( )2

2

10

1

510: ,5 : , ,1.58

33 34 26 37 30 39 26 31 36 19 31131.1

10 10 10

28,34.1 5% 5 5

31.1 1.96 ,31.1 1.961.96 10 10

2

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + + += = = =

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-30 El peso en Kg. de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se supone

aproximado por una distribución normal con media 60 Kg. y desviación típica 8

Kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64 estudiantes cada una. Se

pide:

a) La media y la desviación típica de la distribución de la media muestral.

b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 Kg.?


Solución:

a) La media y la desviación típica de la distribución de la media muestral.

( ) ( )8

64: 60,8 : , 60,1nx N x Nn

N

===

⎯⎯⎯→ =

b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 Kg.?

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

59 60 61 601 1 1 1

1 1

1 1 1 2 1 1 2 0.8413 1 0.6826

59 61

68.2

Como el número de muestras es 100:

100 0.6826 68.

6%

68 mues26 tras

p z p z p z p z

p z p z p z

p x − −

= = − = − − =

= − − = − = − = =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-31 En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año

obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una

distribución normal con desviación típica 2.

a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.

b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a

0.25 con un nivel de confianza del 95%. ¿a cuántas personas como mínimo sería

necesario entrevistar?


Solución:

a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.

( ) ( )

( )2

2

10000

1

210000: ,2 : , ,0.02

5

4.97,5

10000

1 80% 2 25 1.285 ,5 1.285

2.85 10000 10000.03

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯⎯→ =

= =

− = = = = − + = =

IC

b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0.25 con

un nivel de confianza del 95%. ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario

entrevistar?

2 2

2

2 2

max

max


1 5 21.96 245.9

1.96 0.26

524z n z n

zn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-32 Para una población ( ), 25N = , ¿qué tamaño muestral mínimo es necesario

para estimar mediante un intervalo de confianza, con un error menor o igual

que 5 unidades, y con una probabilidad mayor o igual que 0’95?


Solución:

2 2

2

2 2

max

max

1 5 251.96 96.04

1.97

96 5nz n z

zn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-33 La duración de las baterías de un determinado modelo de teléfono móvil tiene

una distribución normal de media 34’5 horas y desviación típica 6’9 horas. Se

toma una muestra aleatoria simple de 36 teléfonos móviles.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la

muestra esté comprendida entre 32 y 33’5 horas?

b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?


Solución:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté

comprendida entre 32 y 33’5 horas?

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

34.56.936: 34.5,6.9 : ,

32 34.5 33.5 34.52.17 0.87 0.87 2.17

1.15 1.15

2.17 0.87 0.9850 0.8078 0.

34.5,1.15

32 33.5

1 17.72%772

nx N x Nn

p z p z p z

p z p z

N

p x

===

⎯⎯⎯→ =

− − = = − − = =

= − = − = =

b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas?

( ) ( ) ( )38 34.5

3.04 1 3.04 1 0.9988 0.0038 0.12121.

%15

p z p z p zp x−

= = = − = − = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-34 El tiempo de reacción de una alarma electrónica ante un fallo del sistema es

una variable aleatoria normal con desviación típica 1 segundo. A partir de una

muestra de 100 alarmas se ha estimado la media poblacional del tiempo de

reacción mediante un intervalo de confianza, con un error máximo de

estimación igual a 0’2 segundos. ¿Con qué nivel de confianza se ha realizado la

estimación?


Solución:

( ) ( )

( )

2 2

max

max

1100: ,1 : , ,0.01


0.2 1002 1 0.9772

21

1 0.9772 0.0456

Por tanto el nivel de confianza s 1erá:

nx N x N Nn

nz z

n

==

⎯⎯⎯→ =

→ = = → − = →

→ = − =

95.44%− =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-35 En un servicio de atención al cliente el tiempo de espera hasta recibir atención

es una variable aleatoria normal de media 10 minutos y desviación típica 2

minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que

llegan un día concreto. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de

25 clientes no supere los 9 minutos?

b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias

de 64 clientes? Especificar sus parámetros.


Solución:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25

clientes no supere los 9 minutos?

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

102

25: 10,2 : ,

9 102.5 2.5 1 2.5 1 0.99

10,0.

380.4

4

9 0.62%

nx N x Nn

p z p z z z

N

p px p

===

⎯⎯⎯→ =

− = = − = = − = − =

b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64

clientes? Especificar sus parámetros.

( ) ( )

102

64 10,0.: 10 25,2 : ,nx N x Nn

N

===

⎯⎯⎯→ =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-36 El precio de ciertos electrodomésticos puede considerarse una variable

aleatoria con distribución normal de desviación típica 100 euros. Los precios en

euros correspondientes a una muestra de 9 de estos electrodomésticos son:

255 85 120 290 80 80 275 290 135

a) Construir un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional.

b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que con un nivel de

confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere 50 euros.


Solución:

a) Construir un intervalo de confianza al 98% para la media poblacional.

( ) ( )

( )2

2

9

1

1009: ,33.3 : , ,33.3

255 85 120 290 80 80 275 290 135 1610178.9

9 9 9

1 98% 100 100178.9 2.33 ,1 101.2,25678.9 2.3 .63

2.33 9 9

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + += = = =

− = = = = − + = =

IC

b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que con un nivel de

confianza del 99%, el error de estimación del precio medio no supere 50 euros.

2 2

2

2 2

max

max


1 9 1002.575 26.5

2.575 5027z n z

znn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-37 Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos:

88 90 90 86 87 88 91 92 89

Hallar un intervalo al 95% para la media de la población, sabiendo que el peso

de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación típica de 1’8 gramos.


Solución:

( ) ( )

( )2

2

9

1

1.89: ,1.8 : , ,0.6

88 90 90 86 87 88 91 92 89 8018

87.8,90.

99 9 9

1 95% 1.8 1.889 1.96 ,89 1.96

1.96 9 92

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

+ + + + + + + += = = =

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-38 Calcular el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para

garantizar que, en la estimación de la media de una población normal con

varianza igual a 60 al 90% de confianza, el error de estimación cometido no sea

superior a 3 unidades.


Solución:

2 2

2

2

22

max

max

60 60


1 0 601.65 18.15

1.69

31

5z n z

znn

= → =

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-39 Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo

imprevisto tiene una distribución normal con desviación típica 0,05 segundos. Si

se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01

segundos con un nivel de confianza del 99%, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la

muestra de tiempos de reacción?


Solución:

( )

2 2

2

2 2

max

max

0.05 0.05: ,0.05 : , ,


1 9 0.052.58 166.4 1

2.58 0.0167

x N x N Nn n

z n zzn

n

= ⎯⎯⎯→ =

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-40 Se probaron diez automóviles, escogidos aleatoriamente de una misma marca y

modelo, por conductores con la misma forma de conducir y en carreteras

similares. Se obtuvo que el consumo medio de gasolina, en litros, por cada cien

kilómetros fue de 6,5. Estudios previos indican que el consumo de gasolina tiene

una distribución normal de desviación típica 2 litros. Determinar un intervalo de

confianza al 95% para la media del consumo de gasolina de estos automóviles.


Solución:

( ) ( )

( )2

2

210: ,2 : , ,0.63

1 95% 2 26.5 1.96 ,6.5 1.96

1.96 10 105.26,7.74

nx N x N Nn

x zzn

==

⎯⎯⎯→ =

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-41 El tiempo de conexión a Internet de los alumnos de una cierta universidad,

sigue una distribución normal con una desviación típica de 15 minutos. Para

estimar la media del tiempo de conexión, se quiere calcular un intervalo de

confianza que tenga una amplitud menor o igual a 6 minutos con un nivel de

confianza del 95%.

Determinar cuál es el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar. (PAU Madrid CCSS Septiembre 2003 – Opción A)

Solución:

( )

( )

15 15: ,15 : , ,

Cuando nos dan la amplitud del intervalo de confianza lo que realmente nos están dando

es el margen de error , es decir, el doble del error máximo, que viene d

x N x N Nn n

= ⎯⎯⎯→ =

2 2

2

2 2

ado por la expresión:

1 5 152 2 2 1.96 96.04

1.96 697nz n z

zn

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-42 Se ha extraído una muestra de 150 familias de residentes en un barrio

obteniéndose que la renta familiar media asciende a 20000 euros. Se supone que

la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de

desviación típica 1500 euros.

a) A partir de estos datos, calcular un intervalo de confianza para la renta

familiar media con un nivel de confianza del 95%

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo es necesario para conseguir, con un nivel de

confianza del 90%, un error en la estimación de la renta familiar media no

superior a 142 euros?


Solución:

a) A partir de estos datos, calcular un intervalo de confianza para la renta familiar

media con un nivel de confianza del 95%

( ) ( )

( )2

2

150

1

1500150: ,1500 : , ,122

197

.5

20000150

1 95% 1500 150020000 1.96 ,20000 1.96

1.96 15060,20240

150

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯⎯→ =

= =

− = = = = − + = =

IC

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo es necesario para conseguir, con un nivel de

confianza del 90%, un error en la estimación de la renta familiar media no superior a

142 euros?

2 2

2

2 2

max

max


1 0 15001.64 300.1

1.64 142301z n z

zn

n

− = → = = = → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-43 Se quiere comprobar si una máquina destinada al llenado de envases de

agua mineral ha sufrido un desajuste. Una muestra aleatoria de diez

envases de esta máquina ha proporcionado los siguientes resultados:

0,49 0,52 0,51 0,48 0,53 0,55 0,49 0,50 0,52 0,49

Suponiendo que la cantidad de agua mineral que este tipo de máquinas

deposita en cada envase sigue una distribución normal de media 0,5 litros y

desviación típica 0,02 litros, se desea contrastar si el contenido medio de los

envases de esta máquina es de 0,5 litros, con un nivel de significación del 5%.

a) Plantear las hipótesis nula y alternativa del contraste.

b) Determinar la región crítica del contraste.

c) Realizar el contraste.


Solución:

a) Plantear las hipótesis nula y alternativa del contraste.

0

1

:

:

H

H

=

b) Determinar la región crítica del contraste.

( ) ( )

2

0.0210: 0.5,0.02 : , 0.5,0.006

la región de aceptación para en muestras de tamaño 10 con 5% es:

0.49 0.52 0.51 0.48 0.53 0.55 0.49 0.50 0.52 0.49 5.080.508

10 10

nx N x N Nn

x

x zn

===

⎯⎯⎯⎯→ =

=

+ + + + + + + + += = =

= IC ( )

( ) ( )

2

1 5% 0.02 0.020.508 1.96 ,0.508 1.96

1.96 10 10

Por tanto la región crítica del rechazo e

0.496,0.520

,0.496 0.520,s:

z

− = = = − + = =

− +

c) Realizar el contraste.

( )

( )

( )

0

1

por tanto se acepta

la hipótesis nula y se rechaza la alternativa

. Con un riesgo del 5% se considera que

la embotelladora no ha sufrido desajuste

0.496,0.52

.

0

H

H

=

− −

x

y

95%5%

25%

2

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-44 La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue

una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se hace una

encuesta entre 50 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra

es 35 segundos. Calcular un intervalo de confianza al 99% para la duración

media de las llamadas.


Solución:

( ) ( )

( )2

2

150

1

1050: ,10 : , ,1.41

35

31.4,3

150

1 99% 10 1035 2.58 ,35 2.58

2.58 5 08.6

0 5

i

i

i

nx N x N Nn

x

x

x zzn

=

=

==

⎯⎯⎯→ =

= =

− = = = = − + = =

IC

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



ICO-45 Los depósitos mensuales, en euros, en una entidad bancaria, siguen una

distribución normal de media y desviación típica = . Con el fin de

contrastar si la media de los depósitos mensuales es 20 euros, se toma una

muestra de tamaño 16, resultando ser la media muestral 22.4 euros ¿Se puede

aceptar la hipótesis de que la media es 20 a un nivel de significación del 5%?


Solución:

( ) ( )

2

2

0

5.116

: 2

: ,5.1 : , ,1.27

la región de aceptación para en muestras de tamaño 16 con 5% es:

22.4

1 5% 5.1 5.122.4 1.96 ,22.4 1.96

1.96 16 16

n

H

x N x N Nn

x

x zzn

==

=

⎯⎯⎯→ =

=

=

− = = = = − + =

IC ( )

( ) ( )

( )0

Por tanto la región crítica del rechazo es:

Por tanto, como la media poblacional 2 está en el intervalo de aceptación,

19.9,24.9

,19.90 2

aceptamos

la hip

4.9,

ótesis nula H

−

=

=

+

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


ICO-46 De una población de distribución normal de media 50 y desviación típica 6, se

extrae una muestra aleatoria de tamaño n y se calcula su media muestral.

a) ¿Qué valor debe tener n para que se cumpla la desigualdad 2x − con

una probabilidad de 0’95?

b) Resolver el apartado anterior con una probabilidad de 0’90. Comparar ambos

resultados.


Solución:

a) ¿Qué valor debe tener n para que se cumpla la desigualdad 2x − con una

probabilidad de 0’95?

2 2

2

max

max

Al darnos el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la poblaciona, lo

que nos están dando es el error máximo, que viene dado por la expresión:

1 5z n z

zn

− = → =

2

26

1.96 34.61.96 2

35n

= = → =

=

b) Resolver el apartado anterior con una probabilidad de 0’90. Comparar ambos

resultados.

2 2

2

2 2

max

max

1 0 61.64 24.2

1.64 2

Al reducir el nivel de confianza requerido, se puede reducir también el número de muestras para

mantener el error o

2

má

5

xim

z n nzzn

− = → = = = → =

=

.

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



sirzunzu.files.wordpress.com · ´Indice general 2016 Modelo Opcion A -´ Ejercicio 5. . . . . . ....

Documents

Transcript of sirzunzu.files.wordpress.com · ´Indice general 2016 Modelo Opcion A -´ Ejercicio 5. . . . . . ....