1.1 LA FUNCIÓN F(X) ES POSITIVA EN [A, B]
b,aen0)x(f
Área del recinto = b
a
dx)x(f
1 Área del recinto donde interviene una función
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos
recta verticales x =a y x = b.
y=x2
y=x4-2x3+2
Área =
2
4
2
4
2
32 u
3
56
3
8
3
64
3
xdxx
Área =
2
1
2
2
1
4534 u
10
51x2
2
x
5
xdx)2x2x(
EJEMPLOS
1. Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2, el eje OX, la recta x = 2 y la recta x = 4.
2. Hallar el área de la región R limitada por la curva y = x4 – 2x3 + 2 entre
x = -1 y x = 2.
1.2 LA FUNCIÓN F(X) ES NEGATIVA EN [A, B]
Área del recinto = - b
a
dx)x(f
Ejemplo:
Área = 2
2
2
2
2
32 u
3
16
3
8
3
8
3
xdx)x(
y = -x2
Hallar el área del recinto determinado por la parábola de ecuación y = -x2, el eje OX y las rectas
x = -2 y x = 2
El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos
recta verticales x =a y x = b.
1.3 LA FUNCIÓN TOMA VALORES
POSITIVOS Y NEGATIVOS
Área (R) = b
e
e
d
d
c
c
adx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Volver al índice
Ejemplo:
1. Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo [0 , 2]
2
2
3 2
y=cosx
Área (R) = 2u4dxxcosdxxcosdxxcos 2
3
2
2
2
3
2
0
Ejemplo:
2. Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX.
Área (R) = 24
2232
023 u8dx)x8x6x(dx)x8x6x(
y = x3 – 6x2 + 8x
Ejemplo:
1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e y = 2x – 3 entre x = 2 y x = 4
Área (R) = 24
22 u
3
38dx)]3x2(x[
y = x2
y = 2x – 3
2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]
Área (R) = b
c
c
adx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[
Volver al índice
VOLÚMENES
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se
obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por
la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este
tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de
producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: cilindro, cono, esfera, etc.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje
de giro paralelo al eje OX o al eje OY .
Se demuestra que el volumen del cuerpo engendrado por una función y = f(x) definida en un intervalo x = [a, b] al girar en torno del eje OX se calcula con la formula:
b 2
Volumen = . ∫ f(x) dx
a
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
TEOREMA
EJEMPLO_1
b
Volumen = . ∫ f 2 (x) dx
a Hallar el volumen que engendra
la función y = 2 al girar alrededor del eje OX entre
x = - 2 y x = 2
2 2
V = π . ∫ 22 dx = π. [ 4x ] =
-2 -2
π. [8 - (- 8 )] = π. 16 = 16. π u3
MÉTODO DEL ANILLO
Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b] y las rectas x = a y x = b.
Diferencial de volumen
f(xi) g(xi)
xi
i22
i x))]x(g[)]x(f[(V
Top Related