7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
1/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
2/18
2013Antonio Garca MegaLAS ECUACIONES DE PRIMER GRADOAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1307225460879mailto:[email protected]://angarmegia.com/7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
3/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
4/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
5/18
El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cul tur a y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.
Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.
Los vdeos estn localizables en la seccin Vdeos del Portal o en elCanal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:
Vdeos en el Portal:http://angarmegia.com/videos.htm
Angarmegia en YouTube:http://www.youtube.com/user/angarmegia
Las actividades interactivas se encuentran en la seccin Refuerzo alestudio.http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm
Esta misma informacin en formato html est accesible desde lassecciones Matemticas
http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm y Matemticas fciles, que recoge las fichas esquemticas de todoslos contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas por elProfesor Bienvenido Ayala:
http://angarmegia.com/menumatematicas.htm
Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestramayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.
Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,
Doctor en Filologa Hispnica.
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/videos.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/menumatematicas.htmhttp://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htmhttp://angarmegia.com/refuerzoestudio.htmhttp://www.youtube.com/user/angarmegiahttp://angarmegia.com/videos.htmhttp://angarmegia.com/7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
6/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
7/18
CONTENIDO
Introduccin _________________________________________________________________ 9
Clases de Ecuaciones _________________________________________________________ 10Fundamentos para la resolucin de Ecuaciones _____________________________________ 11La resolucin de problemas con Ecuaciones Simples ________________________________ 12Sistemas de Ecuaciones Simples ________________________________________________ 14
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
8/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
9/18
DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES
_____9
LAS ECUACIONES DE PRIMERGRADO
INTRODUCCIN
Una EXPRESIN ALGEBRAICA es toda combinacin de variables y nmeros relacionadosmediante operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin...Cuando dos expresiones numricas o algebraicas se relacionan entre s mediante el signo igual,se denomina IGUALDAD.
(a+b)2=a2+2ab+b2
Cuando la igualdad se verifica siempre cualquiera que sea el valor numrico de las letras o lasvariables, como ocurre en el ejemplo anterior, se denomina IDENTIDAD.Si la igualdad se cumple slo para algunos valores de las letras o las variables, la igualdad sedenomina ECUACIN. Un ejemplo:
3x+4=19
La expresin anterior se verifica slo cuando x=5. Cualquier otro valor atribuido a la variable xno cumple la igualdad. Se trata, por tanto, de una ECUACIN.
Tambin es ECUACIN la igualdad:4x-2y=2
Slo se cumple cuando x=5 e y=9.
La RESOLUCIN DE ECUACIONES, es decir, el clculo de las variables o INCGNITAS que hacenvlida la igualdad, permite encontrar la solucin de una enorme cantidad de problemascientficos o de la vida cotidiana.
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
10/18
DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES
_____10
CLASES DE ECUACIONES
Ecuaciones con una o ms incgnitas:3x+5=x+33x+4y-12=3y
Con la incgnita en un denominador: FRACCIONARIAS
Con la incgnita bajo un radical: IRRACIONALES
Varias ecuaciones relacionadas con varias incgnitas constituyen un SISTEMA DEECUACIONES
5x - 2y = 113x - y = 7
El exponente que acompaa a la incgnita indica el grado de la ECUACIN. Si ningunaincgnita est elevada a una potencia se dice de PRIMER GRADO. Si la incgnita estelevada al cuadrado de SEGUNDO GRADO.Si est elevada al cubo, se dice de TERCERGRADO...
x + 6 = 18 ECUACIN DEPRIMER GRADOx2 + 6 = 10 ECUACIN DESEGUNDO GRADO
x3 - 2 = 7 ECUACIN DETERCER GRADO
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
11/18
DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES
_____11
FUNDAMENTOS PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES
Encontrar la solucin a un problema planteado mediante una ecuacin, o sistema de ecuaciones,se fundamenta sobre la idea de ECUACIN EQUIVALENTE.Se denominan ECUACIONES EQUIVALENTES a aquellas que tiene la misma solucin final parasus incgnitas:
Ecuacin 1
Se cumple para x = 63 + 5 = 9 - 1
Ecuacin 2
Se cumple para x = 66 + 2 = 3 + 5
La Ecuacin 1y la Ecuacin 2que se cumplen para el mismo valor de x son EQUIVALENTES.
Partiendo de la idea de equivalencia entre ecuaciones, se recurre a la aplicacin de algunosteoremas bsicos que facilitan el clculo de las soluciones buscadas.
TEOREMA I:Si a los dos miembros de una ecuacin se le suma un mismo nmero o expresin,
se obtiene otra ecuacin equivalente.
La ecuacin: 3x - 7 = 2x - 3 se cumple para x = 412 - 7 = 8 - 3
Sumando 7 en ambos miembros:3x - 7 + 7 = 2x - 3 + 7
3x = 2x + 4
Se sigue cumpliendo para x = 412 = 8 + 4
Luego 3x - 7 = 2x - 3 y 3x - 7 + 7 = 2x - 3 + 7 sonEQUIVALENTES
En la prctica, se puede pasar cualquier trmino de una ecuacin de un miembro a otro con lanica condicin de cambiarle el signo. Es la operacin denominada TRANSPOSICIN DETRMINOS.
3x - 7 = 2x - 33x = 2x - 3 + 7
3x - 7 = 2x - 33x - 2x - 7 = - 3
3x - 7 = 2x - 33x - 2x = - 3 + 7
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
12/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
13/18
DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES
_____13
Ejemplo:
Se busca un nmero tal cuya suma con el triple de otro nmero menor que l en cuatrounidades, sea igual a la mitad de su cudruplo menos dos.
Datos e incgnitas:Nmero buscado = xNmero menor en cuatro unidades = x-4Triple del nmero menor= 3(x-4)Suma de ambos nmeros= x+ 3(x-4)Cudruplo del nmero buscado = 4x
Planteamiento de la ecuacin acuerdo con los datos anteriores:
Eliminacin de parntesis:
Quitando denominadores:
Transponiendo trminos:8x - 4x = -4 + 24
4x = 20
Despejando la incgnita:
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
14/18
DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES
_____14
SISTEMAS DE ECUACIONES SIMPLES
Para encontrar la solucin de un sistema de dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas sepueden seguir tres procedimientos diferentes que llegan a la misma conclusin.
Mtodo de sustitucin:
Ejemplo:5x - 2y = 11
3x - y = 7
Paso 1. Se despeja una de las incgnitas en una ecuacin:
5x - 2y = 115x = 11 + 2y
Paso 2. Se sustituye la misma incgnita en la segunda ecuacin por la expresinobtenida. Se resuelve la nueva ecuacin.
3x - y = 7
...y se calcula el valor de y
33 + 6y - 5y = 35y = 35 - 33 = 2
Paso 3. Se calcula la incgnita despejada en el Paso 1, conocido el valor de la segunda.
Mtodo de igualacin:
Ejemplo:5x - 2y = 11
3x - y = 7
Paso 1. Se despeja la misma incgnita en las dos ecuaciones:
Ecuacin 1 (Calculada tambin en el epgrafe anterior)5x - 2y = 115x = 11 + 2y
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
15/18
DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES
_____15
Ecuacin 23x - y = 73x = 7 + y
Paso 2. Se igualan las dos expresiones finales obtenidas:
...y se calcula el valor de y6y - 5y = 35 - 33
y = 2
Paso 3. Se calcula el valor de la primera incgnita a partir de cualquiera de las
expresiones que la despejan.
Mtodo de reduccin:
Ejemplo:
5x - 2y = 113x - y = 7
Paso 1. INCGNITA 1 - Se multiplica los dos miembros de cada ecuacin por elcoeficiente que acompaa a la incgnita en la otra:
Ecuacin 13(5x - 2y) = 3 11
15 x - 6y = 33
Ecuacin 25(3x - y) = 5 715 x - 5 y = 35
Restando ambas expresiones15 x - 6y = 3315 x - 5 y = 35
y = 2
Paso 2. INCGNITA 2 - Se sustituye y despeja en cualquiera de las expresiones.
x=3
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
16/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
17/18
7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.
18/18
Top Related