Las ecuaciones de primer grado.

7/28/2019 Las ecuaciones de primer grado.

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2013Antonio Garca MegaLAS ECUACIONES DE PRIMER GRADOAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
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El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cul tur a y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.

Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.

Los vdeos estn localizables en la seccin Vdeos del Portal o en elCanal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:

Vdeos en el Portal:http://angarmegia.com/videos.htm

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Las actividades interactivas se encuentran en la seccin Refuerzo alestudio.http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm

Esta misma informacin en formato html est accesible desde lassecciones Matemticas

http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm y Matemticas fciles, que recoge las fichas esquemticas de todoslos contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas por elProfesor Bienvenido Ayala:

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Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestramayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.

Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,

Doctor en Filologa Hispnica.
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CONTENIDO

Introduccin _________________________________________________________________ 9

Clases de Ecuaciones _________________________________________________________ 10Fundamentos para la resolucin de Ecuaciones _____________________________________ 11La resolucin de problemas con Ecuaciones Simples ________________________________ 12Sistemas de Ecuaciones Simples ________________________________________________ 14


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DR.D. ANTONIO GARCA MEGASERIE APOYOS DIDCTICOSLAS ECUACIONES SIMPLES

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LAS ECUACIONES DE PRIMERGRADO

INTRODUCCIN

Una EXPRESIN ALGEBRAICA es toda combinacin de variables y nmeros relacionadosmediante operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin...Cuando dos expresiones numricas o algebraicas se relacionan entre s mediante el signo igual,se denomina IGUALDAD.

(a+b)2=a2+2ab+b2

Cuando la igualdad se verifica siempre cualquiera que sea el valor numrico de las letras o lasvariables, como ocurre en el ejemplo anterior, se denomina IDENTIDAD.Si la igualdad se cumple slo para algunos valores de las letras o las variables, la igualdad sedenomina ECUACIN. Un ejemplo:

3x+4=19

La expresin anterior se verifica slo cuando x=5. Cualquier otro valor atribuido a la variable xno cumple la igualdad. Se trata, por tanto, de una ECUACIN.

Tambin es ECUACIN la igualdad:4x-2y=2

Slo se cumple cuando x=5 e y=9.

La RESOLUCIN DE ECUACIONES, es decir, el clculo de las variables o INCGNITAS que hacenvlida la igualdad, permite encontrar la solucin de una enorme cantidad de problemascientficos o de la vida cotidiana.


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CLASES DE ECUACIONES

Ecuaciones con una o ms incgnitas:3x+5=x+33x+4y-12=3y

Con la incgnita en un denominador: FRACCIONARIAS

Con la incgnita bajo un radical: IRRACIONALES

Varias ecuaciones relacionadas con varias incgnitas constituyen un SISTEMA DEECUACIONES

5x - 2y = 113x - y = 7

El exponente que acompaa a la incgnita indica el grado de la ECUACIN. Si ningunaincgnita est elevada a una potencia se dice de PRIMER GRADO. Si la incgnita estelevada al cuadrado de SEGUNDO GRADO.Si est elevada al cubo, se dice de TERCERGRADO...

x + 6 = 18 ECUACIN DEPRIMER GRADOx2 + 6 = 10 ECUACIN DESEGUNDO GRADO

x3 - 2 = 7 ECUACIN DETERCER GRADO


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FUNDAMENTOS PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES

Encontrar la solucin a un problema planteado mediante una ecuacin, o sistema de ecuaciones,se fundamenta sobre la idea de ECUACIN EQUIVALENTE.Se denominan ECUACIONES EQUIVALENTES a aquellas que tiene la misma solucin final parasus incgnitas:

Ecuacin 1

Se cumple para x = 63 + 5 = 9 - 1

Ecuacin 2

Se cumple para x = 66 + 2 = 3 + 5

La Ecuacin 1y la Ecuacin 2que se cumplen para el mismo valor de x son EQUIVALENTES.

Partiendo de la idea de equivalencia entre ecuaciones, se recurre a la aplicacin de algunosteoremas bsicos que facilitan el clculo de las soluciones buscadas.

TEOREMA I:Si a los dos miembros de una ecuacin se le suma un mismo nmero o expresin,

se obtiene otra ecuacin equivalente.

La ecuacin: 3x - 7 = 2x - 3 se cumple para x = 412 - 7 = 8 - 3

Sumando 7 en ambos miembros:3x - 7 + 7 = 2x - 3 + 7

3x = 2x + 4

Se sigue cumpliendo para x = 412 = 8 + 4

Luego 3x - 7 = 2x - 3 y 3x - 7 + 7 = 2x - 3 + 7 sonEQUIVALENTES

En la prctica, se puede pasar cualquier trmino de una ecuacin de un miembro a otro con lanica condicin de cambiarle el signo. Es la operacin denominada TRANSPOSICIN DETRMINOS.

3x - 7 = 2x - 33x = 2x - 3 + 7

3x - 7 = 2x - 33x - 2x - 7 = - 3

3x - 7 = 2x - 33x - 2x = - 3 + 7


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Ejemplo:

Se busca un nmero tal cuya suma con el triple de otro nmero menor que l en cuatrounidades, sea igual a la mitad de su cudruplo menos dos.

Datos e incgnitas:Nmero buscado = xNmero menor en cuatro unidades = x-4Triple del nmero menor= 3(x-4)Suma de ambos nmeros= x+ 3(x-4)Cudruplo del nmero buscado = 4x

Planteamiento de la ecuacin acuerdo con los datos anteriores:

Eliminacin de parntesis:

Quitando denominadores:

Transponiendo trminos:8x - 4x = -4 + 24

4x = 20

Despejando la incgnita:


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SISTEMAS DE ECUACIONES SIMPLES

Para encontrar la solucin de un sistema de dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas sepueden seguir tres procedimientos diferentes que llegan a la misma conclusin.

Mtodo de sustitucin:

Ejemplo:5x - 2y = 11

3x - y = 7

Paso 1. Se despeja una de las incgnitas en una ecuacin:

5x - 2y = 115x = 11 + 2y

Paso 2. Se sustituye la misma incgnita en la segunda ecuacin por la expresinobtenida. Se resuelve la nueva ecuacin.

3x - y = 7

...y se calcula el valor de y

33 + 6y - 5y = 35y = 35 - 33 = 2

Paso 3. Se calcula la incgnita despejada en el Paso 1, conocido el valor de la segunda.

Mtodo de igualacin:

Ejemplo:5x - 2y = 11

3x - y = 7

Paso 1. Se despeja la misma incgnita en las dos ecuaciones:

Ecuacin 1 (Calculada tambin en el epgrafe anterior)5x - 2y = 115x = 11 + 2y


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Ecuacin 23x - y = 73x = 7 + y

Paso 2. Se igualan las dos expresiones finales obtenidas:

...y se calcula el valor de y6y - 5y = 35 - 33

y = 2

Paso 3. Se calcula el valor de la primera incgnita a partir de cualquiera de las

expresiones que la despejan.

Mtodo de reduccin:

Ejemplo:

5x - 2y = 113x - y = 7

Paso 1. INCGNITA 1 - Se multiplica los dos miembros de cada ecuacin por elcoeficiente que acompaa a la incgnita en la otra:

Ecuacin 13(5x - 2y) = 3 11

15 x - 6y = 33

Ecuacin 25(3x - y) = 5 715 x - 5 y = 35

Restando ambas expresiones15 x - 6y = 3315 x - 5 y = 35

y = 2

Paso 2. INCGNITA 2 - Se sustituye y despeja en cualquiera de las expresiones.

x=3


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