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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 1
SISTEMA DE LOS
NÚMEROS REALES
En este capítulo se estudia el conjuntode números reales como una agrupaciónde números dotados de operaciones yde una relación de orden. Se presentansus propiedades básicas, así como elvalor absoluto de un número real.
También se tratan métodos para resolverecuaciones e inecuaciones algebraicasde grado mayor o igual a dos.
Conocimientos previos
Operaciones con los númerosreales. Álgebra elemental:operaciones algebraicas,
factorización y productos notables.
Secciones
1.1 Conjuntos numéricos.1.2 Números reales.1.3 Valor absoluto.1.4 Ecuaciones.1.5 Inecuaciones.1.6 Revisión del capítulo.
Sabes
Capacidades necesarias
Piensas
Habilidades a desarrollar
Resolver ejercicios y problemasque involucren ecuaciones einecuaciones algebraicas.
Efectuar operaciones conlos números reales.
Operar correctamente conpolinomios y fracciones
algebraicas.
Haces
Competencias a lograr
Resolver ecuacionesalgebraicas.
Resolver inecuacionesalgebraicas.
Resolver ecuaciones e
inecuaciones con valor absoluto.
Capítulo
1
P
P
P
P
P
P
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2 MATEMÁTICA BÁSICA
Los números han sido usados por el hombre desde tiempos remotos,
incluso antes de la aparición de las grafías para simbolizarlos ya se
utilizaban para dar información importante que permitía contribuir
con la recolección, planificación y distribución de los recursos para
que la sociedad, cualquiera sea su cultura, avance y progrese.
Las sociedades, aun las menos desarrolladas desde el punto de vista
occidental, tenían una noción de número que utilizaban en susdiversas transacciones. Algunas solamente manejaban información
numérica para el uno y el dos. Los demás números estaban
representados por un adjetivo que significaba “más de dos”. Su
economía, al ser muy simple, no necesitaba de una mayor
información numérica, ni de otros recursos matemáticos.
En sociedades de estructuras más complejas fue necesario crear más
números, así como nuevos objetos matemáticos, pues el desarrollo de
sus economías así lo exigía. De esta manera se pasó de contar a
medir.Para mostrar cómo la matemática acompañó al hombre en su avance
cultural, se presenta el significado y origen de dos palabras que
definen partes importantes de esta.
Por ejemplo, la palabra cálculo significa “piedra”, ya que nuestros
antepasados contaban su ganado según los montoncitos de piedras
que iban juntando, una piedra por cada uno de sus animales. En la
actualidad la palabra cálculo, en matemática, se usa para estudiar
conceptos muy importantes que se aplican en diferentes áreas del
saber humano.
Asimismo, la palabra geometría significa “medida de la tierra”, debido
a que en el antiguo Egipto las inundaciones periódicas del río Nilo
ocasionaban caos respecto a los límites de las tierras cultivables. Los
agrimensores del faraón, apoyados en la geometría, reconstruían
estos límites de acuerdo a su estado anterior.
Y para referirnos a una época más reciente, podemos afirmar que los
viajes de las naves tripuladas a la Luna, así como la navegación de las
sondas espaciales, tienen como base primordial la precisión de las
trayectorias antes de lanzarlas al espacio. Para esto se utilizancomputadoras que analizan grandes cantidades de datos a
velocidades increíbles que ningún ser humano sería capaz de
efectuar. Vivimos en una era tecnológicamente privilegiada,
imaginada solamente por algunos autores de novelas de ciencia
ficción, que la matemática ha hecho realidad.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 3
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOSEn la vida cotidiana hay muchas ocasiones en las que se utilizan
números: para expresar la edad de una persona, la temperatura del
medio ambiente, el peso de un objeto o la nota que obtiene un
alumno en un examen. No solo se utilizan los números para expresar
cantidades, sino también para efectuar operaciones con ellos; por
ejemplo, se calcula la rebaja en el precio de un producto que se deseacomprar, el área de un terreno o el promedio de las notas de una
asignatura.
En general, en la mayoría de las actividades que realiza el ser humano
está presente algún número que pertenece a uno de los siguientes
conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, irracionales,
reales y complejos.
Conjunto de los números naturales
El matemático alemán Leopold Kronecker decía: “Dios ha creado a los
números naturales, el resto es obra del ser humano”. Esto tiene que
ver con el uso que se le da a estos números, que es el de contar
objetos. Desde hace mucho tiempo, el hombre ha contado animales,
personas, frutos u otros objetos, incluso antes de tener una idea clara
y precisa acerca del concepto de número. ¿Cuántas ovejas tengo?
¿Cuántos son los integrantes de la tribu?, etc.
El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra ℕ eincluye también al cero, esto es
ℕ = 0; 1; 2; 3; . . . ; ; . . . , siendo un elemento genérico del conjunto ℕ.Conjunto de los números enteros
Para referirse al número de metros al que se encuentra una ciudad
sobre o bajo el nivel del mar, o a las bajas o altas temperaturas que se
presentan en invierno o verano, se necesita otra clase de número que
exprese su posición relativa respecto del cero, es decir si es mayor,
menor o igual que cero. Estos conforman el conjunto de números
enteros que incluyen a los números naturales y a sus negativos. Por
ejemplo, la ciudad de New Orleans se encuentra a 3 msnm mientrasque la ciudad de Chosica está a 810 msnm; en el invierno latemperatura en algunas ciudades del sur del Perú es de 10 °C ,mientras que en el verano la ciudad de Iquitos soporta temperaturas
de hasta 45 °C.El conjunto de los números enteros se simboliza con ℤ y está dadopor ℤ = . . . ; ; . . . ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; . . . ; ; . . .
Se observa que ℕℤ, es decir, todonúmero natural es también entero, pero
existen números enteros que no son
naturales.
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4 MATEMÁTICA BÁSICA
Se observa queℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Esto es,todo número entero es también
racional pero existen números
racionales que no son enteros. Por
ejemplo, el número entero 3 = − esun número racional ya que se escribe
como un cociente de dos números
enteros; sin embargo, 0,42= es unnúmero racional que no es entero.
Conjunto de los números racionales
Al medir la estatura de una persona en metros, por experiencia se
sabe que no siempre se obtiene un número entero, ya que la estatura
puede estar comprendida entre dos números enteros. Para expresar
esta medida se necesita otra clase de número: los números
racionales. En este conjunto se encuentran los números naturales, los
números enteros y las fracciones decimales finitas o infinitas
periódicas. Por ejemplo, al describir a una persona se puede decir que
su estatura es de 1,72 m y su peso de 80,5 Kg.
El conjunto de los números racionales se simboliza con ℚ y está dadopor
ℚ = ab / a ∈ ℤ , b ∈ ℤ y b ≠ 0 Por ejemplo, son números racionales:
5 = 51 ; 8 = 81 ; 0 ,25= 25100 = 14 ; 0, 3̂ = 39 = 13 . Conjunto de los números irracionales
Al calcular la longitud de una circunferencia de radio igual a 2 cm, no
se puede usar ninguno de los números señalados hasta ahora, porque
esa longitud es igual a 4 cm, donde la letra griega es un númeroque en su forma decimal es
=3,1415926335… Este número, a
diferencia de los números racionales, tiene una expresión decimalinfinita no periódica. Un número como se denomina númeroirracional, que por el prefijo “i“, que antecede a la palabra racional,
significa “no racional”. Otros números irracionales destacados,
además de , son el número =2,7182818284… (base de loslogaritmos naturales) y el número áureo = 1,6180339887….Asimismo, si es un número racional positivo entonces su raízcuadrada, cúbica o de cualquier índice que no resulta racional, es un
número irracional, por ejemplo
√ 2 ó √ 4
son números irracionales.
El conjunto de los números irracionales se denota con la letra y estádado por = / tiene una expresión decimal infinita y no periódica Se observa que ℚ ∩ = ∅. Esto es, no hay ningún número que seasimultáneamente racional e irracional. Evidentemente, los números
naturales y enteros no son irracionales.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 5
Conjunto de los números reales
Se llama número real a cualquiera de los números anteriores. Esto es,
un número natural, entero, racional o irracional es un número real. El
conjunto de los números reales se simboliza con ℝ y está dado por
ℝ = / ∈
ℚ ∪
Nota. Un diagrama de Venn que representa a los conjuntos numéricosℕ,ℤ,ℚ, y ℝ se muestra en la figura 1.1.1.
50
21 72,1
10 3
0
Q
Z
N
e
R
5
2
Fig. 1.1.1
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1.1
1. Identifique los conjuntos numéricos a los que pertenecen cada uno
de los siguientes números:
a) 5 c) 0,101010… e) 3,1416 g) 1 √ 2 b)
1 √ 8
d)
f)
Solución
a) El número 5 es un número natural porque se usa para contar, y
como ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, entonces 5 ∈ ℕ , 5 ∈ ℤ , 5 ∈ ℚ y 5 ∈ ℝ (ver figura 1.1.2).
b) El número 1 √ 8 = 1 2 = 1 es un número entero, dadoque es el negativo de un número natural; además, comoℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ , entonces 1 ∈ ℤ , 1 ∈ ℚ y 1 ∈ ℝ (ver figura1.1.3).
c) El número 0,101010…=0,10 es un número con expresióndecimal infinita periódica y por esta razón es un númeroracional, y como ℚ⊂ ℝ, entonces 0,10 ∈ ℚ y 0,10 ∈ ℝ (verfigura 1.1.4).
d) El número de Neper =2,718281… es un número irracional,ya que su expresión decimal es infinita no periódica. Dado que ⊂ ℝ, entonces ∈ y ∈ ℝ (ver figura 1.1.5).
ℚ
ℤ
ℕ
ℝ
5
Fig. 1.1.2
ℚ
ℤ
ℕ
ℝ
1
Fig. 1.1.3
ℚ
ℤ
ℕ
ℝ
...101010,0
Fig. 1.1.4
ℚ
ℤ
ℕ
ℝ
e
Fig. 1.1.5
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6 MATEMÁTICA BÁSICA
ℚ
ℤ
ℕ
ℝ
1416,3
Fig. 1.1.6
ℚ
ℤ
ℕ
ℝ
Fig. 1.1.7
ℚ
ℤ
ℕ
21
Fig. 1.1.8
ℝ
La fracción generatriz es la fracción
irreductible que genera un número
decimal exacto o finito, o uno periódico.
Regla:
La fracción irreductible que genera un
número decimal periódico se obtiene de
la siguiente manera:
En el numerador se escribe la resta
entre el número y la parte no
periódica, en ambos no se considera
la coma decimal.
En el denominador se escriben tantosnueves como cifras tenga el periodo,
seguido de tantos ceros como cifras
no periódicas tenga la parte decimal.
ℚ
ℤ
ℕ
Fig. 1.1.9
ℝ
Q
Z
N
Fig . 1.1.10
R
e) 3,1416 es un número racional, dado que su expresión decimales finita, y como ℚ⊂ ℝ, entonces 3,1416∈ℚ y 3,1416∈ℝ (ver figura 1.1.6).
f) =3,141592… es un número irracional, porque su expresióndecimal es infinita no periódica. Como ⊂ ℝ, entonces π ∈ y ∈ ℝ
(ver figura 1.1.7).
g) 1 √ 2 es un número irracional, porque la expresión decimalde √ 2 es infinita no periódica. Ya que ⊂ ℝ , entonces1 √ 2 ∈ y 1 √ 2 ∈ ℝ (ver figura 1.1.8).2. Exprese cada uno de los siguientes números: 0,24; 0,53̂ ; 0, 63 y1,234 como una fracción de números enteros.
Solución
Las fracciones generatrices que corresponden a las cifras dadas
son:
a) 0,24= 24100 = 625 b) 0,53̂ = 5 3 590 = 4890 = 815 c) 0,63 = 6 3 099 = 6399 = 711 d) 1,234 = 12341999 = 1233999 = 411333 = 137111
3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?
a)
ℕ⊂ ℝ c)
⊂ ℝ
b) ℤ ⊂ d) ℚ ⊂ SoluciónDe acuerdo al diagrama de Venn (ver figura 1.1.9) la veracidad o
falsedad de cada una de las afirmaciones es:
a) ℕ⊂ ℝ , verdaderab) ℤ⊂ , falsac) ⊂ ℝ, verdaderad) ℚ⊂ , falsa
4. En el diagrama de Venn de los conjuntos numéricos, sombree laregión que corresponda a cada uno de los siguientes conjuntos:
a) ℝ ∪ c) ℚ ℕ b) ∩ ℚ d) ℕ´ Solución
a) Como ⊂ ℝ, entonces ℝ ∪ = ℝ (ver figura 1.1.10).b) Dado que y ℚ no tienen elementos comunes, entonces ∩ ℚ = ∅ (ver figura 1.1.9).
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 7
c) El conjunto ℚ ℕ está formado por todos los númerosracionales que no son naturales (ver figura 1.1.11).
d) ℕ´ está formado por los números reales que no son naturales
ℕ ´ = ℝ ℕ (ver figura 1.1.12).
5. Complete el siguiente cuadro escribiendo ∈,∉,⊂ ó ⊄ en cadarecuadro en blanco, según corresponda.
Solución
ℚ
ℤ
ℕ
Fig. 1.1.11
ℝ
ℚ
ℤ
ℕ
Fig. 1.1.12
ℝ
|e2,7172| ∈ √1 √ 4 = 1 2 = 1 ∈ ℕ
12,1212…=12,12 ∈ ℚ ℝ ´ = ∅ ℤ ∩ ℕ = ℕ ℤ+ ∪ ℚ = ℚ ℝ ℚ
ℝ´ ℤ ∩ ℕ ℤ+ ∪ ℚ ℝ ℚ |e2,7172|
√ 1
√ 4
12,1212… ℤ 1;1;0
ℝ´ ℤ ∩ ℕ ℤ+ ∪ ℚ ℝ ℚ
|e2,7172| ∉ ∉ ∉ ∈
√ 1 √ 4 ∉ ∈ ∈ ∉ 12,1212… ∉ ∉ ∈ ∉ ℤ 1;1;0 ⊄ ⊄ ⊂ ⊄
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8 MATEMÁTICA BÁSICA
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1
1. Determine a qué conjunto o conjuntos numéri-
cos pertenece cada uno de los siguientes
números:
a) 3 √ 4 b) √ 8 5 c) 0,12135 d) 5 0 , 2̂ e) √ 2 f) 2,1736…
2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ver-
daderas o falsas?
a) ℕ ⊂ ℤ b ℤ ⊂ ℚ c) ℤ ℕ ⊂ ℤ d) ⊂ ℝ e)
ℚ ⊂ ℝ f)
ℝ ℚ ⊂ ∪ ℚ ´
3. En el diagrama de Venn de los conjuntos
numéricos, sombree la región que corresponde a
cada uno de los siguientes conjuntos:a ℚℤ b) ∩ ℝ c) ℝ d ℚ ∩ ℕ e) ℚ′⋃ℚℤ f) ℕ ´ ∪ ℤ ∩ ℚ ℤ ∪
4. Ubique en un diagrama deVennde los conjuntos
numéricos cada uno de los siguientes números:
a) 3 √ 12 b) √ 27 c) 1 √ 8 d) √ 22 35 e) 2− 49 2√ 24 √ 22 f (√ 2 √ 3)(√ 2 √ 3)
5. Complete los espacios colocando ∈ , ∉ , ⊂ ó ⊂ según corresponda en cada una de las siguientes
relaciones:
a)34 … . b) 0.25. . . . ℚ
c) ℤ … . d) 1 √ 22 … . e) ℝ ℚ … . ℝ f) ℚ ´ ….ℚ ´ g)
229 … . . h) √ 22 … . ℚ
i 3,1416 ; π … . j 2 (π √ 7) … . ℤ 6. Exprese las regiones sombreadas mediante ope-
raciones entre los conjuntos indicados.
ℚ
ℤ
ℕ
a)
ℚ
ℤ
ℕ
b)
ℚ
ℤ
ℕ
c)
7. Determine por extensión cada uno de los
siguientes conjuntos: = ∈ ℚ / 1 = 0 = ∈ / 1 = 0
= ∈ ℕ /
9 = 0
= ∈ ℤ / 4 = 0
= ∈ ℝ / 3 = 0 = ∈ ℝ / 3 = 0 = ∈ ℕ / 1 = 0 8. Escriba la fracción generatriz de cada uno de los
siguientes números: 0,75;0,015̂ ;0,038 y 2,312 .
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 9
1.2 NÚMEROS REALES
Los números reales se utilizan para representar y operar las medidas
de las diversas magnitudes que se presentan en la vida real, razón por
la cual se desarrollan con mayor detalle en esta sección.
Operaciones con números reales
Las operaciones básicas que se definen en el conjunto de los númerosreales son la adición y la multiplicación ⋅. A partir de estas seobtienen las operaciones de sustracción, división, potenciación y
radicación.
A continuación se presentan los axiomas que definen las operaciones
de adición y multiplicación.
1. Clausura
Si
y
son números reales cualesquiera, entonces
∈ ℝ y ∈ ℝ 2. Conmutatividad Si y son números reales cualesquiera, entonces = =
3. Asociatividad
Si , y son números reales cualesquiera, entonces = y = 4. Existencia de los elementos neutros
a) Neutro aditivo. Existe el número cero, denotado por el símbolo
0, tal que para todo número real
se cumple
0 = 0 = b) Neutro multiplicativo. Existe el número uno, denotado por elsímbolo 1, tal que para todo número real se cumple1==1
5. Existencia de los elementos inversos
a) Inverso aditivo. Para todo número real existe su inversoaditivo ,tal que = = 0 Al inverso aditivo de
también se le denomina opuesto o
simétrico de
.
b) Inverso multiplicativo. Para todo número real diferente decero existe su inverso multiplicativo 1/, tal que 1 = 1 = 1 Al inverso multiplicativo de también se le denomina recíprocode .
6. Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición
Si , y son números reales cualesquiera, entonces
= =
En la operación de adición de dos
números reales y , el resultado de laoperación se llama suma de y y sedenota por ; y en la operación demultiplicación, el resultado se llama
producto de y y se simboliza por ó ⋅ ó .
El inverso multiplicativo de , ≠ 0 , también se denota por −, es decir ⋅ − = − ⋅ = 1
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10 MATEMÁTICA BÁSICA
En la operación de sustracción de dos
números reales y el resultado de laoperación se llama diferencia de
y
y
se denota por .
En la operación de división de dos
números reales y con ≠ 0 , elresultado de la operación se llama
cociente de
y
y se denota por
÷ ó
.
Nota
i) El símbolo " ∧ " representa el conectivo“”.
ii) El símbolo " ∨ " representa el conectivo“”.
Sustracción de números reales
Sean y dos números reales cualesquiera. La operación desustracción entre y , denotada por , es la adición de con elinverso aditivo de , es decir = Por ejemplo, la sustracción de 5 y 8 se realiza del siguiente modo:
5 8 = 5 8 = 3 División de números reales
Sean y dos números reales cualesquiera, con ≠ 0 . La operaciónde división entre y , denotada por ÷, es la multiplicación de con el inverso multiplicativo de , es decir ÷ = 1 = , ≠ 0 Por ejemplo, la división entre
8 y
2 se realiza del siguiente modo:
8 ÷ 2 = 8 12 = 82 = 4 Relación “menor que” en los números reales
Los números reales están ordenados mediante la relación menor que,
la cual se simboliza por “ ii) ≤ ⟺ < ∨ = iii) ≥ ⟺ ≤ iv) < < ⟺ < ∧ <
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 11
Representación geométrica de los números reales
El conjunto de números reales se representa geométricamente como
el conjunto de puntos de una recta numérica, recta en la cual se
define un origen de coordenadas , un sentido y una unidad. Así, acada número real le corresponde un único punto de la recta numérica
y viceversa. El punto
asociado al número real
se denota por
. Al número real se le denomina coordenada del punto .12 210
P x
u1 P O
Los números reales mayores que cero se denominan positivos,
mientras que los números reales menores que cero se llaman
negativos. El número real cero no es positivo ni negativo.
El conjunto de los números reales positivos se denota por ℝ y elconjunto de los números reales negativos por ℝ−. Luego,
ℝ = ℝ− ∪ 0 ∪ ℝ+ Observación 2Si y son números reales cualesquiera y es un número realnegativo, entonces < ⟺ > Los axiomas 2 y 3 y la observación 2 justifican la transposición de
términos en una inecuación:
El axioma 2 hace referencia a que cuando sumamos o restamos a
ambos miembros de una desigualdad un mismo número, ladesigualdad no se altera.
El axioma 3 se refiere a que si multiplicamos o dividimos a ambos
miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, la
desigualdad permanece igual.
La observación 2 indica que cuando se multiplica o divide ambos
miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Por ejemplo, para despejar
en la inecuación
3 < 1 2 (*)Se multiplica a los dos miembros por 1/3 (axioma 3), es decir
3 < 1 2 ⟺ 3 13 < 1 2 13 ⟺ < 4
El conjunto de números reales no
negativos esℝ+ = ℝ+ ∪ 0 El conjunto de números reales no
positivos esℝ− = ℝ− ∪ 0
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12 MATEMÁTICA BÁSICA
Un manera práctica para despejar en la inecuación (*) es transponerel coeficiente 3 del primero al segundo miembro, pasando de
multiplicar a a dividir a 12, es decir3 < 1 2 ⟺ < 123 ⟺ < 4
Además, al transponer un número negativo de un miembro a otro,
pasando de multiplicar a dividir o de dividir a multiplicar, se debetener especial cuidado, porque en estos casos la desigualdad cambia
de sentido.
Por ejemplo, en la inecuación 5 > 3 5, para despejar se divide aambos miembros entre 5 (observación 2), por lo que la desigualdadcambia de sentido
5> 35 ⟺ 5
5< 35
5 ⟺ < 7
IntervalosLos intervalos son conjuntos de números reales definidos por una
doble inecuación o una inecuación, tal como se presentan en los
siguientes cuadros. Se clasifican en acotados y no acotados.
i) Intervalos acotados. Para ∈ ℝ y ∈ ℝ tal que ≤ , se tieneNombre del intervalo Definición conjuntista Representación geométrica
Abierto de extremos a y b
Cerrado de extremos a y b
Semiabierto osemicerrado
de extremos a y b
b xa xba /R ;
b xa xba /R ;
b xa xba /R ;
b xa xba /R ;
a b
a b
a b
a b
La representación gráfica de un intervalo acotado es un segmento de
recta o un punto.
ii) Intervalos no acotados. Para ∈ ℝ , se tieneNombre del intervalo Definición conjuntista Representación geométrica
No acotado por la derecha
No acotado por la izquierda
No acotado por la derechani por la izquierda
a xR xa /; a
a
a xR xa /;
a xR xa /;
a xR xa /;
R ;
a
a
La representación gráfica de un intervalo no acotado es una
semirrecta, un rayo o una recta.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 13
Nota. Un error frecuente es considerar a un intervalo como un
conjunto de números enteros, cuando lo correcto es que se trata de
un conjunto de números reales. Por ejemplo:1 ; 3 ≠ 1; 0; 1; 2; 3, porque en el intervalo 1 ; 3 hay infinitos números reales talescomo
0,5 ó √ 2, entre otros, mientras que en el conjunto
1;0; 1; 2; 3 solo hay cinco números enteros.Operaciones con intervalos
Con los intervalos se efectúan operaciones básicas tales como
reunión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos.
Ejemplo 1.Dados los intervalos = 1 ; 6 y = 〈2 ; 8〉, determine:
∪ , ∩ , , ,
y
′
Solución
i) El conjunto ∪ está formado por los números reales quepertenecen por lo menos a uno de los dos conjuntos, es decirA ∪ B = 1 ; 6 ∪ 〈2 ; 8〉 = 1;8〉 (ver figura 1.2.1).
ii) El conjunto ∩ está formado por los números realescomunes a ambos conjuntos, esto es,A ∩ B = 1 ; 6 ∩ 〈2 ; 8〉 = 〈2; 6 (ver figura 1.2.2).
iii) El conjunto
A B está formado por los números reales que
pertenecen al conjunto A, pero no al conjunto B, es decirA B = 1 ; 6 〈2 ; 8〉 = 1 ; 2 (ver figura 1.2.3).iv) B A tiene como elementos a los números reales que
pertenecen al conjunto B, pero no al conjunto A.B A = 〈2 ; 8〉 1 ; 6 = 〈6 ; 8〉 (ver figura 1.2.4).v) El complemento de está formado por los números reales que
no pertenecen al conjunto , esto esA = 〈∞ ; 1〉 ∪ 〈6 ;∞〉
(ver figura 1.2.5).
vi) B está formado por los números reales que no pertenecen alconjunto B, es decirB = 〈∞; 2 ∪ 8;∞〉 (ver figura 1.2.6).
Fig. 1.2.1
1 6
1 6
8
A
2
B
8
Fig. 1.2.2
1 6
1 6
8
A
2
B
Fig. 1.2.3
1 6
1 6
8
A
2
B
Fig. 1.2.4
1 6
1 6
8
A
2
B
8
Fig. 1.2.5
1 6
1 6
A
´ A
Fig. 1.2.6
2 8
B
´ B82
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14 MATEMÁTICA BÁSICA
Recuerde que al multiplicar a ambos
miembros de una desigualdad por un
mismo número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Fig. 1.2.7
Ejemplo 2. Dados los conjuntos:
= ∈ ℝ / 3 ≤ 1 2 < 4 y = ∈ ℝ /
2∈ 1; ∞〉
Determine el intervalo que corresponde al conjunto ∩ . SoluciónPara determinar ∩ se expresa previamente cada conjunto comoun intervalo. Así, se tiene
Conjunto :3 ≤ 1 2 < 4
Al multiplicar a los tres miembros por 2, resulta
32 ≤ 1 2 2 < 42 ⟺ 6 ≤ 1 x < 8Al sumar 1 a los tres miembros de la última expresión, se obtiene⟺ 6 1 ≤ 1 1 < 8 1 ⟺ 7 ≤ < 7Al multiplicar a los tres miembros del último resultado por (1, paracambiar el signo a – , se tiene⟺ 7 ≥ > 7 ⟺ 7 < ≤ 7Por consiguiente,
A = x ∈ ℝ / 7 < ≤ 7 = 〈7; 7 Conjunto B:
2 ∈ 1; ∞〉 ⟺ 2 ≥ 1 Al multiplicar a ambos miembros de la desigualdad por (2), se tiene
2 2 ≤ 12 ⟺ ≤ 2 Luego,
= ∈ ℝ / ≤ 2 = 〈∞;2 Por lo tanto, el intervalo que corresponde al conjunto A ∩ B esA ∩ B = 〈7; 7 ∩ 〈∞; 2 = 〈7; 2
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 15
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1.2
1. Identifique el axioma de los números reales que se utiliza en cada
una de las siguientes operaciones
a) 7 ∙ 1 = 1 ∙ 7 = 7 b) 8 0 = 0 8 = 8 c)
2 5 9 = 2 5 9
d) 2 8 = 2 4 e) 7 ∙ = ∙ 7 = 1 f) 5 5 = 5 5 Solución
En cada operación se utiliza el axioma que se indica
a) Existencia del elemento neutro multiplicativo.
b) Existencia del elemento neutro aditivo.
c) Asociatividad de la adición.
d) Distributividad de la multiplicación con respecto de la adición.
e) Existencia del elemento inverso multiplicativo.
f) Conmutatividad de la adición.
2. Determine si la operación de multiplicación en el conjunto
A=1;0;1 verifica:a) La propiedad de clausura.
b) La existencia del elemento neutro multiplicativo.
Solución
a) En la siguiente tabla se muestran todos los resultados de la
operación multiplicación entre dos elementos cualesquiera del
conjunto .
Se observa que en todos los casos el resultado de la
multiplicación pertenece al conjunto .Por lo tanto, la operación de multiplicación verifica la propiedadde clausura en el conjunto .
b) Existe el elemento 1 ∈ tal que: 1 ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 = 1 0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 0 = 0 1 ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 = 1 Como al multiplicar cada elemento de por 1 el resultado es elmismo elemento, entonces 1 es el elemento neutro
multiplicativo del conjunto .
Nota
i) Propiedad de clausura.
Una operación * definida en un
conjunto cualquiera verifica lapropiedad de clausura (o cerradura),
si el resultado de operar con dos
elementos cualesquiera de , perte-nece también al conjunto
. Esto es,
si ∈ ∈ , entonces ∗ ∈ ii) Propiedad de existencia del elemento
neutro
Una operación * definida en un
conjunto cualquiera verifica lapropiedad de existencia del elemento
neutro, si existe un elemento quepertenece a , tal que al operarlo,por la derecha o por la izquierda, con
cualquier otro elemento
de
, da
como resultado
. Esto es,
∗ = ∗ =
⋅ 1 0 11 1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1
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16 MATEMÁTICA BÁSICA
NotaPropiedad de la existencia de los
elementos inversos.
Una operación * definida en un conjunto
cualquiera verifica la propiedad deexistencia de los elementos inversos, si:
i) Existe el elemento neutro ∈ .ii) Para cada ∈ , existe ∈ tal que ∗ = ∗ = .El conjunto de los números racionales no
enteros se simboliza por ℚ ℤ
El conjunto ℤ ℕ representa a losnúmeros enteros que no son naturales,
esto es, los números enteros negativos.
Nota
Propiedad asociativa.
Una operación * definida en un conjunto
cualquiera verifica la propiedadasociativa, si para los elementos , , que pertenecen al conjunto, se cumple ∗ ∗ = ∗ ∗
3. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas. Justifique su respuesta.
a) En el conjunto de los números naturales existe elemento
neutro para la operación de multiplicación.
b) En el conjunto de los números enteros cada elemento tiene su
inverso aditivo.
c) En el conjunto de los números racionales no enteros existeelemento neutro para la operación de multiplicación.
d) En el conjunto de los números irracionales cada elemento tiene
su inverso aditivo.
e) La sustracción en el conjunto de los números enteros negativos
verifica la propiedad de clausura.
Solución
a) Verdadero, porque para todo ∈ ℕ se cumple1 ∙ = ∙ 1 =
y
1 ∈ ℕ
b) Verdadero, pues para todo ∈ existe ∈ ℤ, tal que = = 0,donde 0 es el elemento neutro aditivo en ℤ. c) Falso, ya que 1 ∉ ℚ ℤ.d) Falso, pues la operación de adición de números irracionales no
posee elemento neutro 0 ∉ . e) Falso, pues por ejemplo 2 8 = 6, y 6 no es un número
entero negativo.
4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?
Justifique su respuesta.
a) La operación de multiplicación verifica la propiedad de clausura
en el conjunto (ℤ – ℕ).b) La operación de adición verifica la propiedad de existencia de
los elementos inversos en ℚ.c) La operación de multiplicación verifica la propiedad de
existencia de los elementos inversos en ℤ. Solución
a) Falso, pues, por ejemplo:
2 ∙ 1 = 2 y 2 ∉ ℤ ℕ b) Verdadero, porque para todo ∈ ℚ existe ∈ ℚ, tal que = = 0,donde 0 es el elemento neutro aditivo en ℚ.
c) Falso, ya que por ejemplo, para 2 ∈ ℤ no existe otro númeroentero que multiplicado por 2 sea igual al elemento neutro
multiplicativo, que es 1.
5. Determine si la operación de sustracción en el conjunto de los
números enteros pares verifica la propiedad asociativa.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 17
Solución
La operación de sustracción no verifica la propiedad asociativa, ya
que, por ejemplo, para los números enteros pares 2, 4 y 6, se tiene2 4 6 ≠ 2 4 6 ⟺ 2 2 ≠ 2 6 ⟺ 4 ≠ 8 6. Determine si la operación de adición verifica la propiedad de
clausura:a) En el conjunto de los números racionales no enteros.
b) En el conjunto de los números irracionales.
Solución
a) La operación de adición no verifica la propiedad de clausura en
el conjunto ℚ ℤ, pues, por ejemplo, para los números34 y 14 se tiene 34 14 = 1 y 1 ∉ ℚ ℤ b) La operación de adición no verifica la propiedad de clausura en
el conjunto de los irracionales, ya que, por ejemplo, para losnúmeros √ 3 √ 3 se tiene √ 3 (√ 3) = 0 y 0 ∉ .
7. Sean ; ⊂ ℚ y ; ⊂ . En cada recuadro en blanco coloqueun aspa donde corresponda. En el caso de que marque la opción
“A veces” indique en la columna de observaciones la justificación.
Solución
ℚ ℤ representa al conjunto de losnúmeros racionales no enteros.
Proposición Siempre Nunca A veces Observaciones
∈ ℚ ⋅ ∈ ∈ ∈ ℚ ℤ ∈ ∈
Proposición Siempre Nunca A veces Observaciones
∈ ℚ X ⋅ ∈ X Si = 0 , entonces ∙ = 0 y 0 ∉ ∈ X Si = , entonces = 1 y 1 ∉
∈ ℚ ℤ X Si = , ≠ 0, entonces = 1 y 1 ∉ ℚ ℤ ∈ X ∈
X Si = , entonces = 0 y 0 ∉
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18 MATEMÁTICA BÁSICA
Notación científica
Un número real se expresa en notacióncientífica cuando se escribe en la forma = × 1 0 Donde es un número entero o decimalmayor o igual que 1 y menor que 10, y es un número entero.
8. Efectúe las siguientes operaciones:
a)57 92 45 b) 1
3 2 c)
√ 24 √ 54 √ 96d)
8
27
−
32
243
−
e) 7,2×10−8,0×10 exprese el resultado en notación científica Solución
a) Para obtener la suma de las fracciones se halla el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Luego, se tiene
57 92 45 = 51093541470 = 42170 b) Al efectuar las operaciones, resulta1 3 2 =
+3 =− =
=2710
c) Al factorizar 6 en cada subradical, se tiene
√ 24 √ 54 √ 96 = 46 96 166
= 2√ 6 3√ 6 4√ 6 = 3√ 6
d) Al expresar las potencias de exponentes negativos como
potencias de exponentes positivos y efectuar las operaciones
indicadas, se obtiene
827− 32243−
= 278 24332
= 32 32
= 94 32 = 34 e) Al efectuar las operaciones y expresar el resultado en notación
científica, se tiene7,2×10−8,0×10 = 7,28,0 × 10−10 = 0 , 9 × 1 0− = 9 × 1 0−
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 19
9. Dados los conjuntos = 〈4;6〉 , = 〈2; ∞〉 y = 3; 8〉 , hallea) ∪ b) ∩ c) d) ′ e) ∪ f) ∩
Solución
a) ∪ = 〈4;6〉 ∪ 〈2; ∞〉 = 〈4;∞〉 (Fig. 1.2.8)b) ∩ = 〈2; ∞〉 ∩3;8〉 = 3; 8〉 (Fig. 1.2.9)c) = 〈4;6〉 〈2; ∞〉 = 〈4;2 (Fig. 1.2.10)d) = 〈∞;4 ∪ 6;∞〉 〈2; ∞〉 = 〈∞;4 (Fig. 1.2.11)e) Sea ∪ = , = 〈∞;3〉 ∪ 8; ∞〉 ∪ 〈2;∞〉 〈4;6〉 = 〈∞;3〉 ∪ 8; ∞〉 ∪ 6; ∞〉 = 〈∞;3〉 ∪6;∞〉 (Fig. 1.2.12)f) ∩ = 〈∞;4∩ 〈∞;3〉 ∪ 8; ∞〉 = 〈∞;4 (Fig. 1.2.13)
10. Halle el conjunto solución de la inecuación
3 ≤ 3 2 2 2 ≤ 7 SoluciónAl multiplicar por 2 a los tres miembros de la inecuación y efectuar
las operaciones, se tiene
3 ≤ 3 2 2 2 ≤ 7 ⟺ 6 ≤ 2 1 ≤ 1 4
⟺ 7 ≤ 2 ≤ 15
Al multiplicar por a los tres miembros de la inecuación, elsentido de la desigualdad cambia y resulta, 152 ≤ ≤ 72
Luego, el conjunto solución es = 152 ; 72
Fig. 1.2.84 0 62
Fig. 1.2.9
0 82 4 63
Fig. 1.2.104 0 62
Fig. 1.2.11
4 0 62
0 63 8
Fig. 1.2.12
Fig. 1.2.13
4 3 8
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20 MATEMÁTICA BÁSICA
Observación 1(iv): < < ⟺ < ∧ <
Nota
Si al resolver una ecuación o una
inecuación se obtiene:
a) Una relación numérica verdadera,
entonces el conjunto solución es el
conjunto de los números reales.
Ejemplo 1 < 3⟺ 1 < 3
(Verdadera)
Luego, S= ℝ b) Una relación numérica falsa, entonces el
conjunto solución es el conjunto vacío. Ejemplo 12 ≤ 6⟺ ≤6 (Falsa)Luego, S=
11. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones y escriba su
conjunto solución como un intervalo.a 1 < 3 ≤ 2 b) 12 ≤ 6 < 2 12 c)
3 <
≤ 3
Solución
Al descomponer cada una de las inecuaciones (observación 1(iv))
y aplicar las propiedades básicas de la relación de orden, se tiene
a 1 < 3 ≤ 2 ⟺ 1 < 3 ∧ 3 ≤ 2 ⟺ 1 < 3 ∧ 3 ≤ ⟺ ∈ ℝ ∧ ≥ 3 Luego, el conjunto solución es = ℝ ∩ 3; ∞ > = 3; ∞ >
b) 12 ≤ 6 < 2 12 ⟺ 12 ≤ 6 ∧ 6 < 2 12 ⟺ 12 ≤6 ∧ 112 < ⟺ ∈ ∧ x > 112 Luego, el conjunto solución es = ∩ 112 ; ∞ = c) 3 < ≤ 3 ⟺ 3 < ∧ ≤ 3 ⟺ 3 < ∧ ≤ 3 ⟺ < 3 ∧ 4 ≥ 0 ⟺ < 3 ∧ ≥ 0 Luego, el conjunto solución es = 〈∞; 3〉 ∩ 0;∞〉 = 0; 3〉
12. Dados los conjuntos = ∈ ℝ ⁄ 1 ∈ 〈3;6 〈0; 2〉 = ℝ 1 ; 4 Determine ∩ ∩ ℕ, siendo ℕ el conjunto de númerosnaturales.
Solución
Al escribir los conjuntos y como intervalos, se tiene
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 21
= ∈ ⁄ 1 ∈ 〈3;6 〈0; 2〉 = ∈ 3 < ⁄ 1 ≤ 6 〈0; 2〉 = ∈ 4 < ⁄ ≤ 5 〈0; 2〉
= 〈4;5 〈0; 2〉 = 〈4;0∪ 2; 5
= 〈∞;1〉 ∪ 〈4;∞〉. Luego, ∩ = 〈4;1〉 ∪ 〈4;5 Por consiguiente, resulta ∩ ∩ ℕ = 5
13. Determine el intervalo o unión de intervalos que corresponden a
cada uno de los siguientes conjuntos:
= ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 12 ∈ 1; 2〉
= ∈ ℝ / 2 1 ∉ 1; 2〉 = ∈ ℝ / 1 2 ∈ 〈2; 3 1 = ∈ ℝ / 1 ∈ ; 2〉 ∩ 〈x 1; 4〉 Solución
Al escribir los conjuntos , , como intervalos, se tieneConjunto
= ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 12 ∈ 1; 2〉 = ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 1 ≤ 12 < 2 = ∈ ℝ / ∈ 0; 3 ∧ 32 < ≤ 32 = ∈ ℝ / ∈ 0 ; 32
Por lo tanto, el intervalo correspondiente al conjunto es = 0 ; 32
Conjunto = ∈ ℝ / 2 1 ∉ 1; 2〉 = ∈ ℝ / 2 1 ∈ 〈∞;1〉 ∪ 2; ∞⟩ = ∈ ℝ / 2 1 < 1 ∨ 2 1 ≥ 2 = ∈ ℝ / < 1 ∨ ≥ 3
2
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22 MATEMÁTICA BÁSICA
Luego, el conjunto es la unión de intervalos = 〈∞; 1〉 ∪ 32 ; ∞
Conjunto = ∈ ℝ / 1
2 ∈ 〈2; 3 1
= ∈ ℝ / 1 2 ∈ 〈2; 3 ∧ 1 2 ≠ 1 = ∈ ℝ / 2 < 1 2 ≤ 3 ∧ ≠ 0 = ∈ ℝ / 4 ≤ < 6 ∧ ≠ 0 Por lo tanto, el conjunto es la unión de intervalos = 4; 0⟩ ∪ 〈0; 6〉 Conjunto
= ∈ ℝ / 1 ∈ ; 2〉 ∩ 〈x 1; 4〉
= ∈ ℝ / ≤ 1 < 2 ∧ 1 < 1 < 4 = ∈ ℝ/ > 1 ∧ 3 < < 0 Por consiguiente, el conjunto D es = 〈1; 0〉
14. Un alumno que está matriculado en la asignatura de Matemática
Básica tiene 13 en el examen parcial (EP) y 12 en tarea académica
(TA). ¿Cuál es la nota que debe obtener en el examen final (EF),
para aprobar la asignatura con 15 de promedio final (PF)?
La fórmula que se aplica para obtener el promedio final es
= 33410 Solución
Al reemplazar las notas en la fórmula del promedio final, se tiene
= 313312410 Dado que en el Reglamento de Estudios de la Universidad de
Lima se establece que “toda fracción en las notas mayor o igual a
0,5 es redondeada al entero superior”, y como el alumno desea
obtener 15 de promedio final, se tiene14,5≤ < 15,5 14,5≤ 313312410
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 23
Luego, para aprobar la asignatura de Matemática Básica con 15
el alumno debe obtener 18 ó 19 en el examen final.
15. A una mesa de sufragio de las últimas elecciones asistieron a
votar un total de personas. Hasta el mediodía ya habíanvotado
80 personas y faltaban votar más de la tercera parte de
. Entre el mediodía y las tres de la tarde votaron 29 personas
más, con lo que el número de personas que faltaban votar fue
menos de 13 personas. Si se sabe que todas las personas que
figuraban en el padrón electoral asistieron a sufragar,
determine el número de personas que faltaban votar al
mediodía.
Solución
Sea el número de votantes en la mesa de sufragio. Luego, deacuerdo al enunciado del problema, se tiene
8 0 > 3 ∧ 80 2 9 < 1 3⟺ > 1 2 0 ∧ < 1 2 2 ⟺ = 1 2 1 Por lo tanto, al mediodía faltaban votar 41 personas.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.2
1. Marque con un aspa si se verifica o no lapropiedad de clausura en cada una de las
operaciones definidas para cada conjunto.
Conjunto numérico Operación Sí No
Irracionales Multiplicación
Naturales pares Adición
Enteros negativos Adición
Naturales impares MultiplicaciónRacionales no enteros Multiplicación
Enteros no naturales Adición
2. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos
numéricos no se verifica la propiedad declausura con respecto a la operación desustracción? Justifique su respuesta medianteun ejemplo.
a) Conjunto de números naturales b) Conjunto de números enterosc) Conjunto de números racionalesd) Conjunto de números irracionalese) Conjunto de números reales
3. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos existeelemento neutro con respecto a la operación
de adición?a) Conjunto de los números racionales no
enterosb) Conjunto de los números irracionales
c) Conjunto de números enteros pares
d) Conjunto de números reales no irracionales
4. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos existeelemento neutro con respecto a la operaciónde multiplicación?
a) Conjunto de los números racionales nonaturales
b) Conjunto de los números racionales
c) Conjunto de números reales no racionales
d) Conjunto de números enteros impares
e) = 1;0;1 5. ¿Qué propiedad de los números reales
justifica cada una de las siguientes igualdades?
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24 MATEMÁTICA BÁSICA
a) 9 ∙ 1 = 9 b) 170 = 17c) 5 3 8 = 5 3 8 d) 5 15 = 5 3 e) 4 ∙ 4− = 1 f)
8 8 = 0
6. En cada uno de los siguientes casos nombrelas propiedades de los números reales que
justifican cada igualdad.
a) 1 9 71 = 9 1 7 b) 2 3 7 = 2 7 3 c) 4 0 (√ 3 √ 5) = 4√ 3 4√ 5
7. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos numéri-cos se verifica la existencia del elementoinverso aditivo?
a) Conjunto de números naturales
b) Conjunto de números racionales
c) Conjunto de números reales
d) Conjunto de números irracionales
8. ¿En cuáles de los siguientes conjuntos numéri-
cos se verifica la existencia del elemento
inverso multiplicativo?
a) Conjunto de números enteros impares
b) Conjunto de números racionales diferentesde cero
c) Conjunto de números reales no racionales
d) = 1; 1 9. Escriba en los espacios correspondientes las
propiedades que se utilizan en la solución de
la siguiente inecuación3 2 ≤ 6 ⟺ 3 2 3 ≤ 6 3
(…..…….)
⟺ 2 ≤ 9 ⟺ 2 ≤ 9 (…..…….) ⟺ 3 ≤ 9 ⟺31 ≥91 (…..…….) ⟺ 3 ≥ 9 ⟺ 3 13 ≥ 9 13 … . … . ⟺ ≥ 3
10. Determine cuáles de las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas.Justifique su respuesta.
a) En el conjunto de los números
irracionales existe elemento neutro para
la operación de multiplicación
b) En el conjunto de los números racionales
existe elemento neutro para la operación
de adición
c) En el conjunto de los números racionales
existen elementos inversos para la
operación de adición
d) En el conjunto de los números naturales
existen elementos inversos para la
operación de multiplicación
e) La diferencia de dos números enteros
negativos siempre es un número enteronegativo
f) En la operación de división de los
números enteros el elemento neutro es
el número uno
g) El número cero es el elemento neutro de
la operación de sustracción de números
naturales
11. Marque con un aspa si se verifica o no lapropiedad señalada en cada una de lasoperaciones definidas para cada conjunto.
Conjunto Operación Propiedad Sí Noℚ 0 División Clausuraℝ ℚ Adición E. neutroℤ ℕ Adición E. inversoℚ+ ℕ Multiplicación Clausura1;0;1 Adición E. inverso12. Dados los siguientes intervalos:
= 〈7;2 = 5;∞〉 = 〈4;8 0; 2 Determine los intervalos o unión de
intervalos correspondientes a cada una de
las siguientes operaciones.
a) ´ ∩ c) ∪ ´ ∩ b) d) ∩
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 25
13. Determine los intervalos o unión deintervalos correspondientes a cada uno delos siguientes conjuntos. = ∈ ℝ / 4 ≤ 2 13 ≤ 1 = ∈ ℝ / 4 ∈ 〈3;2 = ∈ ℝ / 17 ∈ 〈1,2 ; ∞〉 = ∈ ℝ / 3 ∉ 〈2;6 = ∈ ℝ / 2 2 ∈ 1;7〉 〈1; 4
14. Si los números reales y verifican larelación 1 < < 0 < < 1, ¿cuáles de lassiguientes desigualdades siempre secumplen? Justifique su respuesta.
a)
– 2 > 2b)
– <
c) 2 < 0 d) > 0 e) > f 1 < 1 g) 1 < 1 h) 1 > 1
15. Sean , y números reales. ¿Cuáles de lassiguientes afirmaciones son siempreverdaderas?a) Si
< , entonces
≤
b) Si = , entonces ≤ c) Si ≤ , entonces < d) Si ≤ , entonces = e) Si ≤ , entonces < ó =
16. En cada uno de los siguientes casos,efectúe las operaciones indicadas.a) 〈2;2〉 〈∞;3 ∪ 〈3; 6 b) 〈3;2〉 0 ∩ 〈4;8 c) 〈2;3〉 ∪ 〈3; 5 〈1;4 d) ([4;5⟩—3;2⟩) ∩ ℤ e) ([8;2⟩—3;5⟩) ∩ ℝ 2;6
17. Resuelva cada una de las siguientesinecuaciones y presente su conjuntosolución como un intervalo o unión deintervalos.
a) 4 < 2 13 ≤ 72 b) 3 ≤ 15 13 < 3 c) 5 < 2 13 ≤ 52
d)
2 4 ≤ 2 5 < 4 12
e) 4 < 13 < 2 72 18. Halle el conjunto solución de cada
inecuación y exprese su conjunto solucióncomo intervalo.a) 2 ≤ 2 ≤ 2 b) 4 < 2 12 ≤ 1 c)
3 2 ≤ 2 5 < 2 6
d) ( √ 10 ) < 3 < √ 30 19. Un alumno que está matriculado en laasignatura de Cálculo I tiene 10 en elexamen parcial (EP) y 13 en tarea académica(TA). ¿Cuál es la nota que debe obtener en elexamen final (EF), para aprobar la asignaturacon 13 de promedio final (PF)?La fórmula que se aplica para obtener elpromedio final es
= 33410 20. Un usuario del servicio de agua yalcantarillado de una ciudad ha pagadoS/.130 por el consumo de agua en el últimomes, mientras que por el mes anterior pagóS/.50. Si cada mes paga S/.15 como un cargofijo y S/.5 por cada m de agua consumida,determine entre qué valores ha variado elconsumo de agua, en m, entre estos meses.
21. Las estaturas de dos personas están en larelación de 5 a 6. Si la suma de las mismasestá comprendida entre 3 y 4 metros,determine el intervalo al cual pertenececada una de estas estaturas.
22. Halle los posibles valores del precio (en S/.)de un litro de vino, si se sabe que el tripledel precio más 14 es menor que 200, y queel doble del mismo más 6 es mayor que 100.
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26 MATEMÁTICA BÁSICA
1.3 VALOR ABSOLUTO
Para cualquier número real el valor absoluto de , denotado como||, es el número real no negativo dado por
|| = ; si ≥ 0
; s i < 0
Así, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número, sieste es positivo o cero, o es igual a su inverso aditivo si es negativo.Por ejemplo, los valores absolutos de los números4 , 0 ó6 son |4| =4, |0| = 0, |6 | = 6 = 6, respectivamente.Ejemplo 1. Determine el valor que corresponde a cada una de las
siguientes expresiones:
a) |2 2| b √ 3 2 c) | 3| d)
|2
52
5 |
Solución
Al aplicar la definición de valor absoluto, se tiene
a) |2 2| = |0| = 0b) √ 3 2 = (√ 3 2) = 2 √ 3 (porque √ 3 2 < 0 c) | 3| = 3(porque 3 > 0)d) |2525 | = |25 5 | = |2| = 2 Ejemplo 2. Si los números reales y son tales que < 0 y > 0,determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas. Justifique su respuesta:a || = b || = c) | | = d) = Solución
a) Como
es negativo, su valor absoluto es
–. Luego, la
afirmación es falsa.b) Dado que – es positivo, su valor absoluto es –. Porconsiguiente, la afirmación es falsa.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 27
c) Ya que es negativo, su valor absoluto es .Por lo tanto, laafirmación es verdadera.
d) Puesto que es negativo, su valor absoluto es . Luego, la
afirmación es verdadera.
Ejemplo 3. Aplique la definición del valor absoluto en cada una de las
siguientes expresiones:a)| 6| b)|3 2| Solución
Al aplicar la definición del valor absoluto, se tiene
a) | 6| = 6; si 6 ≥ 06 ; si 6 < 0 = 6; si ≥ 66 ; si < 6
b) |3 2| = 3 2; si 3 2 ≥ 03 2; si 3 2 < 0 = 3 2; si ≥ 233 2; si < 23
Interpretación geométrica
El valor absoluto de un número real
se interpreta geométricamente
como la distancia entre el punto de coordenada y el origen decoordenadas.
En general, si los puntos y tienen coordenadas y , entoncesla distancia entre el punto y el punto está dada por | |.
Ejemplo 4. Interprete geométricamente las siguientes expresiones
que contienen valor absoluto:
a) || = 2 b) | 4| = 1 c)| 1| = 5 d) | 3| = 2 e) | 2| ≤ 3 f) | 3| > 2
|| 0
|
|
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28 MATEMÁTICA BÁSICA
Solución
a) || = 2 representa que la distancia entre el punto decoordenada y el origen de coordenadas es igual a 2. Los valoresde que verifican esta ecuación son 2 y 2.
b) | 4| = 1 expresa que la distancia entre el punto decoordenada
y el punto de coordenada 4 es igual a 1. En este
caso los valores de que verifican la ecuación son 3 y 5. c) Al escribir | 1| = 5 como |1| = 5 , esta últimaecuación representa que la distancia entre el punto de
coordenada y el punto de coordenada 1 es igual a 5. Losvalores de que verifican esta ecuación son6 y 4.
d) | 3| = 2 no representa ninguna distancia porque no existeningún número real que la verifique. (El valor absoluto nopuede ser negativo)
e) La inecuación | 2| ≤ 3 expresa que la distancia entre el puntode coordenada y el punto de coordenada 2 es menor ó igual a3. En este caso los valores de que verifican la inecuaciónpertenecen al intervalo 1;5.
f) La inecuación | 3| > 2 expresa que la distancia entre el puntode coordenada y el punto de coordenada 3 es mayor que 2.En este caso los valores de que verifican la inecuaciónpertenecen a la unión de intervalos 〈∞ ; 1 〉 ∪ 〈 5; ∞〉.
Nota
El valor absoluto tiene diversas aplicaciones. Una de ellas se refiere a
la diferencia de dos números, cuando no se conoce cuál de ellos es el
mayor. Por ejemplo, para indicar que la diferencia de dos
temperaturas T y T es 10 °C, sin conocer cuál es la mayortemperatura, se escribe |T T| =10 ó |T T| =10, ambasigualdades expresan lo mismo. Otra aplicación se presenta en el
cálculo de los valores de ciertas magnitudes, que por su naturaleza no
pueden ser negativas, como por ejemplo la longitud de un segmento
o la distancia entre planos paralelos.
Propiedades del valor absoluto
Sean , y números reales cualesquiera. Se verifican las siguientespropiedades básicas del valor absoluto.
i. || ≥ 0
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 29
ii. || = 0 si y solo si = 0 iii. || = || iv. || = || = v. || = √
vi.
|| = ||||
vii. = |||| , ≠ 0 viii. | | ≤ || || (Desigualdad triangular)ix. | | ≥ || || x. || = || si y solo si = ∨ = xi. || = si y solo si = ∨ = ∧ ≥ 0 xii. || ≤ si y solo si – ≤ ≤ xiii.
|| < si y solo si
– < <
xiv. || ≥ si y solo si ( ≤ ∨ ≥ )xv. || > si y solo si < ∨ > )Solución de ecuaciones e inecuaciones de primer grado con
valor absoluto
Para hallar el conjunto solución de una ecuación o inecuación de
primer grado que contiene al menos un valor absoluto, se aplican las
propiedades básicas correspondientes o la definición del valor
absoluto.
En los ejemplos 7, 8 y 9 se resuelven las ecuaciones e inecuaciones
mediante el uso de las propiedades básicas del valor absoluto,
mientras que en los ejemplos 10 y 11 se utiliza la definición.
Ejemplo 5. Halle el conjunto solución de la ecuación
2 12 = 3 1 Solución
Al aplicar la propiedad xi, se tiene2 12 = 3 1⟺ 2 12 = 3 1 ∨ 2 12 = 3 1 ∧ 3 1 ≥ 0 ⟺ = ∨ = ∧ ≥
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30 MATEMÁTICA BÁSICA
⟺ ∈ 32 ; 110 ∩ 13 ; ∞〉 ⟺ ∈ 32 Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es el conjunto = 32 Ejemplo 6. Determine el conjunto solución de la inecuación2 12 ≤ 23 1 Solución
Al aplicar la Propiedad xii, se tiene2 12 ≤ 23 1
⟺ 23 1 ≤ 2 12 ≤ 23 1⟺ 4 3 ≤ 12 ≤ 4 9 ⟺ 4 3 ≤ 1 2 ∧ 1 2 ≤ 4 9 ⟺ 316 ≤ ∧ ≤ 98 ⟺ ∈ 316 ; ∞〉 ∩ 〈∞; 98 ⟺ ∈ 316 ; 98
Luego, el conjunto solución de la inecuación es = 316 ; 98 Ejemplo 7. Determine el conjunto solución de la inecuación|2 2 | ≥ 32 1 Solución
Al aplicar la propiedad xiv, se tiene|2 2 | ≥ 32
1⟺ 2 2 ≤ 32 1 ∨ 2 2 ≥ 32 1 ⟺ 2 ≤ ∨ ≤ 67 ⟺ ∈ 〈∞; 67 ∪ 2; ∞〉
Por consiguiente, el conjunto solución de la inecuación es
= 〈∞; 67 ∪ 2; ∞〉
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 31
Ejemplo 8. Utilice la definición de valor absoluto para resolver la
ecuación|3 2| = 12 Solución
Al aplicar la definición del valor absoluto a la ecuación, se tiene
|3 2| = 12 ⟺ 3 2 ≥ 0 ∧ 3 2 =
12∨3 2 < 0 ∧ 3 2 = 12
⟺ ≥ 23 ∧ = 54
∨ < 23 ∧ = 38
⟺ ∈ 23 ; ∞〉 ∩ 54∨ ∈ 〈∞; 23 ∩ 38
⟺ ∈ 54
∨ ∈ 38
⟺ ∈ 54 ∪ 38 ⟺ ∈ 38 ; 54
Luego, el conjunto solución de la ecuación es = 3
8 ; 5
4
Ejemplo 9. Utilice la definición de valor absoluto para resolver la
inecuación
4 32 ≤ 2 12 Solución
Al aplicar la definición de valor absoluto a la inecuación, se tiene
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32 MATEMÁTICA BÁSICA
4 32 ≤ 2 12 ⟺ 4
32 ≥ 0 ∧ 4 32 ≤ 2 12∨ 4 32 < 0 ∧ 3 2 4 ≤ 2 12
⟺ ≤ 83 ∧ ≥ 97∨ > 83 ∧ ≥ 7
⟺ ∈∞;83 ∩ 97 ;∞∨
∈ 83 ; ∞∩ 7 ; ∞〉
⟺ ∈ 97 ; 83∨ ∈ 83 ; ∞
⟺ ∈ 97 ; 83 ∪ 83 ; ∞
⟺ ∈ 97 ; ∞ Luego, el conjunto solución de la inecuación es = 97 ; ∞
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1.3
1. Efectúe las operaciones y escriba el resultado sin valor absoluto.
a) √ 3 11 √ 3 b) |5 | | 5| c) 3 3√ 3 d 0,9̂ 0 , 8̂ e 45° √ 2 f) 1 1√ 3 1√ 3 1
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 33
Solución
Al aplicar la definición de valor absoluto en cada ejercicio, se tiene
a) √ 3 11 √ 3 = (√ 3 1)(√ 3 1) = 3 1 = 2 b)
|5 π
| |π
5| = 5 π— (π 5) = 5 π
π
5
= 5 π π 5 = 0 c 3 3√ 3 = 3 √ 3 = 3 √ 3 d 0,9̂ 0 , 8̂ = 1,8̂ = 1,8̂ e)sen45° √ 2 = √ 22 √ 2 = √ 2 2√ 22 = √ 22 f)
1 1√ 3 1 1√ 3 = 1 13 = 23 = 23
2. Si y son números reales tales que < 8y > 7, simplifiquelas expresiones , y .a) = |2| |3| | | | | 1 b) = |2 | |2 | |2 | 4 c) = 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 2
Solución
Al aplicar la definición de valor absoluto en cada una de las
expresiones, se tiene
a) = |2| |3| | | | | 1 =2 3 1 = 2 3 1 = 1 b)
= |2 | |2 | |2 | 4
= 2 2 2 4 = 2 2 2 c = 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 2 = 2 √ 2 √ 2 5 √ 2 2 = 4 5 √ 2
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34 MATEMÁTICA BÁSICA
3. Si ∈ ℝ− y ∈ ℝ+, determine si las siguientes afirmaciones sonverdaderas o falsas. Justifique cada respuesta.
a) |3| =3 b) = c)|| || = 0 d)
−−
+ = 1
e) 1 1 = 1Solución
a) |3| =3 Como y tienen signos diferentes, entonces 3 < 0. Luego,su valor absoluto es igual a su inverso aditivo. Por lo tanto, la
afirmación es verdadera.
b)
23 =
23
Dado que y tienen signos diferentes, la expresión esnegativa. Luego, su valor absoluto es igual a su inverso aditivo, es decir 23 = 23 Por lo tanto, la afirmación es falsa.
En forma análoga a los casos a) y b), se tiene
c) || || = = =2
Así, la afirmación es falsa.
d) 1 22 1 = | 1 2||2 1| = 1 21 2 = 1 2 1 2 = 1 Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
e) 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 Luego, la afirmación es verdadera.
4. Efectúe las operaciones y escriba el resultado sin valor absoluto.
a) = 1 3√ 2 √ 2 3 3√ 2 2 2√ 2 3 √ 2 b) = 7 √ 5 5√ 5 6 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 c) = 1 √ 3 √ 3 √ 2 5√ 3 4 2 2√ 2 3
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 35
Solución
Al aplicar la definición de valor absoluto en cada ejercicio, se tiene
a) = 1 3√ 2 √ 2 3 3√ 2 2 2√ 2 3 √ 2 = (1 3√ 2) (√ 2 3) (3√ 2 2) (2√ 2 3) √ 2 = 1 3√ 2 √ 2 3 3√ 2 2 2√ 2 3 √ 2 = 7 2√ 2
b) = 7 √ 5 5√ 5 6 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 = 7 √ 5 5 √ 5 6 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 = 1 6 3 √ 5
c)
= 1 √ 3 √ 3 √ 2 5√ 3 4 2 2√ 2 3
= 1 √ 3 √ 3 √ 2 5√ 3 4 2 2√ 2 3 = 4 3√ 3 √ 2 5. Exprese cada uno de los siguientes enunciados como una
desigualdad que contenga valor absoluto:
a) El radio de una bola de billar difiere a lo más en 0,01 cm de suradio ideal, que mide 5 cm.
b) La estatura E de una persona para ser aceptada en una
institución militar debe tener una diferencia máxima de 6 cmrespecto de la estatura ideal, que es 1,74 cm.
c) La diferencia de las temperaturas y (medidas en gradoscentígrados) de dos elementos químicos al combinarse, debeestar entre 15 °C y 40 °C, inclusive.
d) El diámetro D de un cuerpo esférico debe tener 0,7 cm pero seaceptan aquellos cuerpos esféricos cuyos diámetros seencuentren dentro de los límites de tolerancia de 0, 67 cm y0,73 cm.
e) La distancia entre los puntos de coordenadas
y
9 es de por
lo menos 8,2 unidades.
f) La distancia entre los puntos de coordenadas 3 y √ 2 es a losumo √ 5.
Solución
Al expresar los enunciados en términos de desigualdades que
contienen valor absoluto, se tiene
a) | 5| ≤0,01
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36 MATEMÁTICA BÁSICA
b) |1,74| ≤ 6 c) 15 ≤ | | ≤ 40 d) | 0 , 7|
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 37
Por lo tanto, para el próximo año la producción mínima de
petróleo es de 1 800 barriles y la máxima es de 2 200 barriles.
b) Al emplear la propiedad xii, se tiene| 3 500 000| ≤ 150 000
⟺ 150 000 ≤ 3 500 000 ≤ 150 000
⟺ 3 350 000 ≤ ≤ 3 650 000, ∈ ℕ Por consiguiente, para el primer bimestre del próximo año laproducción mínima de monedas es de 3 350 000 unidades y la
máxima es de 3 650 000 unidades.
c) Al aplicar la propiedad xii, se tiene| 1| ≤ 0,05 ⟺ 0,05≤ 1≤ 0,05 ⟺ 0 , 9 5 ≤ ≤ 1 , 0 5 Así, las tuercas aprueban el control de calidad si la longitudmínima de su radio es 0,95 cm y su longitud máxima es 1,05
cm.
d) Al emplear la propiedad xiv, se tiene
5 010 ≥1,5 ⟺ 5 010 ≥1,5 ∨ 5 010 ≤1,5 ⟺ ≥ 6 5 ∨ ≤ 3 5
⟺ ∈ 65; ∞⟩ ∪ ⟨∞; 35, ∈ ℕComo ∈ ℕ y ≤ 1 0 0, la moneda es falsa si el número decaras obtenidas pertenece al conjunto0;1;…;35;65;66;…;100 7. Utilice las propiedades del valor absoluto para determinar el
conjunto solución de las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
a) | 5| ≥ 8 b)| 3| < c)
|5 10| < 5 d)
| 5| 4 > 2 6
e) 3 |1 | ≤ 1 2 f)|4 5 | 3 2 = 8g)
12 ≤ |3 2| < 32 h)| 2| 6 = 1 0 Solución
a) Al aplicar la propiedad xiv, se tiene| 5| ≥ 8 ⟺ [( 5 ≥ 8 ∨ 5 ≤ 8 )]
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38 MATEMÁTICA BÁSICA
⟺ ≥ 132 ∨ 3 ≤ 0 ⟺ ∈ 132 ; ∞ ∨ ∈ ∅
⟺ ∈ 132 ; ∞ ∪ ∅
Por consiguiente, el conjunto solución de la inecuación es
= 132 ; ∞ b) Al aplicar la propiedad xiii, se tiene| 3| < ⟺ < 3 < ⟺ < 3 ∧ 3 <
⟺ > 32 ∧ 3 < 0
⟺ ∈ 32 ; ∞ ∧ ∈ ℝ ⟺ ∈ 32 ; ∞ ∩ ℝ
Luego, el conjunto solución es
= 32 ; ∞ c) Al aplicar la propiedad xiii, se tiene
|5 10| < 5 ⟺ 5 < 5 1 0 < 5 ⟺ 5 < 5 1 0 ∧ 5 1 0 < 5 ⟺ < 109 ∧ > 0 ⟺ ∈ ∞ ; 109 ∩ 〈0;∞〉 ⟺ ∈ 0 ; 109 Luego, el conjunto solución de la inecuación es
= 0 ; 109 d) Al despejar el valor absoluto, se obtiene
| 5| 4 > 2 6 ⟺ | 5| > 6 6 Luego, al emplear la propiedad xv, se tiene
5 > 6 6 ∨ 5 < 6 6
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 39
⟺ < 15 ∨ < 117 ⟺ ∈ ∞ ; 15 ∪∞; 117 ⟺ ∈ ∞ ; 117
Por tanto, el conjunto solución de la inecuación es
= ∞; 117 e) Al despejar el valor absoluto, resulta
3 |1 | ≤ 1 2 ⟺ |1 | ≥ 1 Luego, al aplicar la propiedad xiv, se tiene
1 ≥ 1 ∨ 1 ≤ 1
⟺ 1 ≥ ∨ 1 ≤ 1
⟺ ∈ ⟨∞; 1 ∨ ∈ ℝ ⟺ ∈ ℝPor lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es
= ℝ f) Al despejar el valor absoluto, se obtiene
|4 5 | 3 2 = 8 ⟺ |4 5 | = 2 5 Luego, al aplicar la propiedad xi, se tiene
[4 5 = 2 5 ∨ ( 4 5 = 2 5)] ∧ 2 5 ≥ 0 ⟺ = 17 ∨ = 3 ∧ ≥ 52 ⟺ ∈ 17 ; 3 ∩ 52 ;∞
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es
= 17 ; 3 g) Al descomponer12 ≤ |3 2| < 32
en dos inecuaciones, resulta12 ≤ |3 2| ∧ |3 2| < 32 …
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40 MATEMÁTICA BÁSICA
Al aplicar la propiedad xiv a la primera inecuación de , setiene
3 2 ≥ 12 ∨ 3 2 ≤ 12
⟺ ≥ 45 ∨ ≤ 47
⟺ ∈ 45 ;∞∪∞; 47 Así, el conjunto solución de la primera inecuación de es
= 45 ;∞∪∞; 47 En forma análoga, al aplicar la propiedad xiii a la segunda
inecuación de
, se tiene
⟺ 32 < 3 2 < 32 ⟺ 32 < 3 2 ∧ 3 2 < 32 ⟺ > 18 ∧ < 74 ⟺ ∈ 18 ;∞ ∩ ∞; 18
Luego, el conjunto solución de la segunda inecuación de
es
el intervalo
= 18 ; 74 Por consiguiente, el conjunto solución de la inecuación dada es
= ∩ = 〈∞ ; 47 ∪ 45 ;∞ 〉 ∩ 18 ; 74
= 18 ;
47 ∪
45 ;
74
h) Dado que para todo número real , 2 > 0, se tiene| 2| 6 = 1 0 ⟺ | 2 | 6 = 1 0 ⟺ | 2| = 6 1 0
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 41
Luego, al utilizar la propiedad xi, se tiene 2 = 6 1 0 ∨ 2 = 6 1 0 ∧ 6 1 0 ≥ 0 ⟺ = 85 ∨ = 127 ∧ ≥ 53
⟺ ∈ 85 ;
127 ∩
53 ; ∞ ⟺ ∈
85
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es = 85 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3
1. Efectúe las operaciones indicadas y escriba el
resultado sin valor absoluto.
a)
√ 7 11 √ 7
b) |3 | | 3| c)5 √ 3 2√ 3 4 √ 3 5 d) 0, 3̂ 0 , 2̂ 0,1 e) |tan 135° 120°| f)
1 1
√ 2 1
√ 2 1
2. Sean y números reales tales que < 1 y > 1 . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sonverdaderas o falsas? Justifique su respuesta.
a) |5| =5 b) 34 = 34 c)
|5 1 1 | = 5 1 1
d) || = || e) 1 1 = 1 f) 1 1 = 1
3. Simplifique cada una de las siguientes
expresiones para ∈ ℝ+ y ∈ ℝ−.a) |2| || | | | | b) |3 | |3 | |3 | c) |3| |4| | | | | 2 d) | | | 3 | |3 | 3 2 2
4. Escriba cada uno de los siguientes enunciados
como una desigualdad, o una doble desigualdad,
en la que intervenga un valor absoluto.
a) La longitud del radio de un rodaje esféricono debe diferir en más de 0,02 cm de su radioideal de longitud 0,5 cm.b) Una de las condiciones para que una persona
sea aceptada en una escuela de educación
física es que su peso difiera a lo más 5 kgrespecto del peso exigido por la escuela, que
es de 75 kg.
c) La diferencia de las temperaturas
y
de
dos reactivos, dentro de una combinación de
elementos químicos, debe ser mayor a 5 ℃ ya lo más 30 ℃.
d) El diámetro de un cuerpo esférico debetener 0,5 cm pero se aceptan aquellos que
están dentro de los límites de tolerancia de
0,480 cm y 0,520 cm, inclusive.
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42 MATEMÁTICA BÁSICA
e) El número real difiere a lo sumo 2 unidadesdel número 15.
f) El número real que difiere por lo menos 3unidades del número 7.
g) El número real
3 1 no difiere en más de 4
unidades del número real 5 3.5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas:
a) La producción de gas natural en el Lote 41,
para el primer trimestre del próximo año, se
ha estimado mediante la inecuación
| 3 × 1 0| ≤ 1 , 2 × 1 0, donde
es el número de metros cúbicos de
gas. Determine la producción mínima ymáxima de metros cúbicos de gas estimada
para el primer trimestre del próximo año.
b) La producción de una refinería de petróleo
para el próximo bimestre se estima en barriles, donde satisface la inecuación| 4 000 000| ≤ 200 000 Determine la producción máxima y mínima
estimada para el próximo bimestre.
c) La longitud (en cm) del radio de unamoneda de un nuevo sol, fabricada por el
Banco Central de Reserva, verifica la
inecuación|1,25| ≤0,01
Obtenga la longitud mínima y máxima que
deben tener los radios de estas monedas
d) Una moneda es declarada legítima si se
verifica la inecuación
2 55 ≤1,6
Donde es el número de caras obtenidas allanzar 50 veces la moneda al aire. ¿Para quévalores de la moneda es legítima?
6. Aplique las propiedades del valor absoluto para
determinar el conjunto solución de las siguientes
ecuaciones e inecuaciones:
a)
|3 6| ≥ 1 2
b) 2 < c) |4 2 | ≤ 2 d)|4 2| 3 > 1 e) 2 |3 | ≤ 4 f)
|2 3 | 2 3 = 6
g) ≤ |2 1| < 1 h) 2 < | 4| 3 = 8
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 43
1.4 ECUACIONES
Una ecuación algebraica en la variable es un enunciado de la forma = 0,Donde es una expresión algebraica.Por ejemplo, son ecuaciones algebraicas:
a) 5 3 4 = 0 b) 2 3√ 4 = 0 c) 5 6 1 = 0 , ya que los primeros miembros de las ecuaciones son expresiones
algebraicas.
Mientras que, por ejemplo, no son ecuaciones algebraicas:
a) 1 = 0 b) 2+ 4 1 = 0 c) 3 log 1 2 = 0 Porque los primeros miembros no son expresiones algebraicas. Las
ecuaciones que involucran a funciones trigonométricas, logaritmos o
exponenciales son llamadas ecuaciones trascendentes.
El conjunto de validez de la expresión
es el conjunto de números
reales
para los cuales
es un número real. Por ejemplo,
a) La expresión algebraica = 53 es un número real para todo ≠ 3. Por lo tanto, su conjunto de validez es el conjunto ℝ 3.b) La expresión algebraica = √ 4 representa un número
real para todo tal que 4 ≥ 0. Luego, su conjunto devalidez es el intervalo 4; ∞〉.
c) La expresión algebraica
= 2
7
4 1 representa
un número real para todo
∈ ℝ . Por consiguiente, su conjunto
de validez es ℝ.d) La expresión algebraica = 2 63 representa un número
real para todo tal que 2 ≥ 0 ∧ ≠ 6 . Luego, suconjunto de validez es el conjunto 2; ∞〉 6.
Sean una variable y una constante.Una expresión algebraica se construye en
forma recurrente de la siguiente manera:
i) Son expresiones algebraicas , ,
y
.
ii) La suma, diferencia, producto,cociente y potencia (de exponente
constante) de expresiones algebraicas
son también expresiones algebraicas.
Las ecuaciones algebraicas = 0 seclasifican en:
a) Ecuaciones enteras. Son aquellas en
las que
es un polinomio en
. El
conjunto de validez de es elconjunto de los números reales.Ejemplo: = 2 7 4 1 = 0
b) Ecuaciones racionales.Son aquellas
donde es un cociente depolinomios. En este caso, el conjunto
de validez de es el conjunto ℝ menos el conjunto de números que
hacen cero el denominador de
.
Ejemplo:
= 5 2 1 = 0 El conjunto de validez de esℝ 1; 1
c) Ecuaciones irracionales. Son aquellas
en las que presenta al menos unradical cuyoradicando contiene a la
variable . El conjunto de validez de es el conjunto de númerosreales para los cuales
esun
número real.
Ejemplo: = 3√ 2 1 = 0 El conjunto de validez de es elintervalo 〈2; ∞〉 , ya que √ − esun número real para todo tal que 2 > 0 , es decir para > 2.
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44 MATEMÁTICA BÁSICA
Las propiedades sobre equivalencia de
ecuaciones justifican el procedimiento
denominado transposición de términos,
que se utiliza al resolver una ecuación.
Así, cuando un término que suma a un
miembro de la ecuación pasa a restar al
otro miembro, en realidad se aplica lapropiedad ii.
Por ejemplo: 3 = 4 ⇔ 3 3 = 4 3 ⇔ = 1 El número 3 pasa de sumar a restar, pero
en realidad se resta 3 de ambos
miembros.
Asimismo, cuando un factor pasa de un
miembro a dividir al otro miembro, en
realidad se aplica la propiedad iv.Por ejemplo:6 = 2 4 ⇔ 66 = 246 ⇔ = 4 El factor 6 pasa de multiplicar a dividir,
pero en realidad se dividen ambos
miembros entre 6.
Raíz de una ecuación
Se llama raíz o solución de la ecuación = 0 a un número real que al reemplazar a la variable verifica la ecuación, es decir verifica = 0. La agrupación de las raíces de la ecuación se denominaconjunto solución de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación
= 4 = 0
tiene como raíces a los números = 2 y = 2, ya que2 = 2 4 = 0 2 = 2 4 = 0Luego, el conjunto solución de la ecuación es = 2; 2.Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto
solución.
Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son equivalentes
= 1 6 = 0 ⇔ = 16√ 1 9 = 0 pues, el conjunto solución de ambas ecuaciones es = 4; 4.Resolver una ecuación consiste en formar una sucesión de ecuaciones
o conjunto de ecuaciones equivalentes, hasta encontrar su conjunto
solución.
Por ejemplo, al resolver la ecuación 16 = 0, se tiene
16 = 0 ⇔ 4 4 = 0⇔ 4 = 0 ∨ 4 = 0 ⇔ = 4 ∨ = 4Luego, el conjunto solución de la ecuación dada es = 4; 4. Algunas ecuaciones equivalentes se obtienen de acuerdo a la
siguiente propiedad.
Propiedades de equivalencia de ecuaciones
Dada la ecuación
=
Si es una expresión algebraica, entonces cada una de lassiguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación dada:i) = ii) = iii) = , para ≠ 0 iv)
= , para ≠ 0
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 45
Las equivalencias de las ecuaciones se dan sobre la intersección de los
conjuntos de validez de las expresiones algebraicas y ,teniendo en consideración las restricciones de las propiedades iii y iv.
El conjunto de validez de la expresión es el conjunto de númerosreales para los cuales es también un número real.Ejemplo 1. En la ecuación
= √ 2 3 = 1 = Las expresiones y tienen como conjunto de validez alintervalo ;∞ y al conjunto de los números reales,respectivamente. Luego, al resolver la ecuación mediante ecuaciones
equivalentes, estas serán válidas sobre la intersección de los
conjuntos de validez de y . Esto es,
32 ; ∞ ∩ ℝ =
32 ;∞
Ecuación de primer grado
Se denomina ecuación de primer grado a una expresión de la forma = 0 , donde ∈ ℝ , ∈ ℝ y ≠ 0. En los ejemplos que siguen se resuelven algunas ecuaciones de primer
grado o reducibles a primer grado.
Ejemplo 2. Determine el conjunto solución de la ecuación35 3 = 14 Solución
Al multiplicar ambos miembros de la igualdad por el mínimo común
múltiplo de los denominadores, que en este caso es 60 (propiedad iii),
se tiene
35 3 = 14 ⟺ 60 35 60 3 = 60 14 ⟺ 3 6 2 0 = 1 5 1 5 ⟺ 1 6 = 1 5 1 5 ⟺ = 1 5 Luego, el conjunto solución de la ecuación es = 15.
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Ejemplo 3. Resuelva la ecuación
42 3 104 9 = 12 3 Solución
Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores, que es 2 32 3, se tiene2 32 3 42 3 104 9 = 2 3 2 3 12 3 ⟺ 2 34 1 0 = 2 3 ⟺ 8 2 2 = 2 3 ⟺ = 256
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es
=
256
Ejemplo 4. Un trabajador recibe una bonificación de 5000 nuevossoles y los ahorra durante un año de lasiguiente manera: una parte ladeposita en una cuenta de ahorros que le rinde 3 % anual, mientras
que la cantidad restante la coloca a plazo fijo en una institución
financiera a una tasa del 6 % anual. ¿Cuánto debe invertir en cada
caso si desea que su ganancia total, después de un año, sea de 240
nuevos soles?
Solución
Sea
la cantidad que deposita el trabajador en la cuenta de ahorros.
Luego, la cantidad restante que coloca a plazo fijo es 5000. Así, la ganancia que obtiene, en cada caso, después de un año es:En la cuenta de ahorros: 3 % de , esto es 3100 =0,03 A plazo fijo: 6 % de 5000, esto es
6100 5000= 0,065000 Como la ganancia debe ser 240 nuevos soles, se tiene
0,03 0,065000 =240 ⟺ 0,03 300= 240 ⟺ = 2000 Por lo tanto, el trabajador debe depositar 2000 nuevos soles en la
cuenta de ahorros y 3000 nuevos soles a plazo fijo.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 47
Conjunto de números complejos
Al resolver ecuaciones de grado mayor o igual a dos pueden aparecer
raíces que no son reales, como por ejemplo √ 4. Por ello, esnecesario ampliar el conjunto de los números reales a un nuevo
conjunto que se denomina conjunto de los números complejos, que
se denota por la letra
ℂ y es igual a
ℂ = / ∈ ℝ , ∈ ℝ, = 1 Observación
1. El número complejo está escrito en la llamada formabinomial o estándar; además, “” es llamada parte real y “” parteimaginaria de .
2. Si = 0 , entonces el número complejo es un número real, ya quesi ∈ ℝ, = 0 ∧ 0 ∈ℂ.Si ≠ 0 , el número se denomina número imaginario. Siademás = 0 , el número se denomina imaginario puro.Luego, ℂ = ℝ ∪ (donde representa el conjunto de losnúmeros imaginarios).
3. = √ 1 se denomina unidad imaginaria, además =1 ∧ ( > 0 ⟹ √ = √ ) 4. Igualdad de números complejos:
= ⟺ =
=
5. Conjugado de un número complejo: Si = , el conjugado de es ̅ = .Operaciones con números complejos
Dados los números complejos = ; = , se definenlas siguientes operaciones:
Adición y sustracción = = Multiplicación
= = División
Para efectuar la división de dos números complejos y expresar la
respuesta en su forma binomial, se multiplican, tanto el numerador
como el denominador, por el conjugado del denominador, esto es = = ∙ =
C
,bia 0b
R
Im
,bia 0b
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Potencias de i = 1 = ∙ = 1 = = ∙ = 11 = 1 = ⋅ = 1 = = ⋅ = 1 = = 1 = ⋅ = 1 = = ⋅ = 11 = 1 En general,
+ = =1 =
Ejemplo 5.Efectúe las operaciones indicadas y escriba la respuesta
en forma binomial.
a) (5 √ 9) (√ 8 3) b) 23 4 c)1 Solución
a) Como √ 9 = √ 9 = 3 y = 1, se tiene(5 √ 9) = 5 3 = 2 5 3 0 9 = 2 5 3 0 91 = 1 6 3 0 b) (√ 8 3) = (√ 8 3) = (2√ 2 3) = 2√ 2 3 = 2√ 21 3 = 2√ 2 3 c) 2
3 4 = 2
9 2 4 1 6 = 2
724
= 2724 ⋅ 724724 = 144849576 = 4814625 = 48625 14625 d) 1 = 1 = 1 2 = 2 = 2 = 1 024 = 1 0241 = 1 024 Ejemplo 6. Sea = 3 6 4 a) Calcular el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
b) Calcular el valor de k para que z sea un número real.
Solución
Al efectuar las operaciones indicadas y expresar en su formabinomial, se tiene = 3 6 4 = 1 2 3 2 4 6 = 12 6 3 2 4 a) Para que sea un número imaginario puro, la parte real debe ser
cero. Así,
1 2 6 = 0 ⟹ = 2 Por consiguente, para = 2 , = 3 0 , número imaginariopuro.
b) Para que que sea un número real, la parte imaginaria debe sercero. Así,3 2 4 = 0 ⟹ = 8Por lo tanto, para = 8 , = 6 0 , número real.
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CAPÍTULO 1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 49
Ecuación de segundo grado
Se denomina ecuación de segundo grado a una expresión de la forma = 0 donde los coeficientes , y son números reales con ≠ 0 . Los principales métodos de solución de la ecuación de segundo grado
son:
a) Método de solución por factorización
Para resolver una ecuación de segundo grado por este método se
factoriza su primer miembro en dos factores lineales. Luego, se aplica
la siguiente propiedad.
Propiedad 1. Si son números reales, entonces se cumple ∙ = 0 ⟺ = 0 ∨ = 0 Esto es, el producto de dos números reales es igual a cero si y solo sipor lo menos uno de los factores es igual a cero.
Ejemplo 7. Resuelva la ecuación 2 1 = 0 Solución
Al factorizar el primer miembro de la ecuación, resulta2 1 = 2 1 1 = 0 Luego, al aplicar la propiedad, se tiene
2 1 = 0 ∨ 1 = 0
⟺ = 12 ∨ = 1 Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es
= 12 ; 1 Ejemplo 8. Obtenga el conjunto solución de la ecuación = ,donde es una constante real diferente de cero.Solución
Al transponer al primer miembro y factorizar, se tiene = 0 ⟺ = 0 ⟺ = 0 ∨ = Por consiguiente, el conjunto solución de la ecuación es = 0 ;
Nota
Un error frecuente en la solución de una
ecuación es cancelar en ambos miembros
un factor que contenga , sin colocarninguna restricción. La consecuencia de
este error es que al hacer esa simplifica-
ción ya no se obtiene una ecuación
equivalente, porque se pierde la raíz que
hace cero al factor cancelado.En el ejemplo 8, al cancelar el factor enambos miembros no se obtiene una
ecuación equivalente, esto es = ⇎ = Con lo cual se pierde la raíz = 0.
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Ejemplo 9. Determine el conjunto solución de la ecuación = ,donde es una constante real no negativa.Solución
Al transponer al primer miembro y factorizar, se tiene = 0 ⟺(
√
)(
√
)
= 0 ⟺ = √ ∨ = √ Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es = √ ; √ }
b) Método de solución por la fórmula general
Para obtener la fórmula general que resuelve la ecuación de segundo
grado se completan cuadrados y se aplica la propiedad demostrada en
el ejemplo 9.
Así, para completar cuadrados en el primer miembro de la ecuaciónde segundo grado = 0, ≠ 0, se dividen ambos miembros de la ecuación entre y luego se lessuma
, es decir = 0 ⟺ 4 = 4
Dado que el primer miembro de la última ecuación es un trinomio
cuadrado perfecto, resulta
2 = 44 Luego, al aplicar la propiedad demostrada en el ejemplo 9, se obtiene
2 = ± 44 ⟺ = ± √ 42 Por lo tanto, las raíces de una ecuación de segundo grado se obtienen
al utilizar la expresión = ± √ 42 ,
que se denomina fórmula general de la ecuación