Evidencia de aprendizaje. Aplicacin de la derivada
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Un alambre de se corta para formar un cuadrado y un tringulo equiltero, Cmo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de rea mxima?
Sea el lado del cuadrado y el lado del tringulo equiltero.
El rea del cuadrado es El rea del tringulo es Se calcula la altura de la manera siguiente: el tringulo equiltero tiene 60 en cada ngulo, y la altura es el lado por el seno de 60. Entonces el rea es:
El rea total es:
Esta funcin es de dos variables, pero se puede hacer de una:
El rea es:
Derivaremos e igualaremos a cero para calcular los extremos relativos:
Entonces tenemos que:
Por lo tanto:
2.
Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una velocidad de . Con qu velocidad crece el rea quemada cuando el radio es igual a ?
La velocidad de se refiere a todas las direcciones, esto quiere decir que en un minuto aumenta el radio.
Por lo tanto el rea quemada es una funcin del tiempo a travs del radio.
El radio se considera como y es
La velocidad instantnea es la derivada del rea quemada respecto del tiempo:
Calculamos el instante en que el radio es :
3.
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al crculo de tal manera que ambas tangentes pasen por el punto .
Las rectas tienen un vector director con lo cual su ecuacin vectorial es:
Si fuera cero tendramos puntos ) entonces no habra interseccin con la circunferencia ya que
Por consiguiente no puede ser cero con lo cual podemos dividir entre las coordenadas del vector, quedando de la siguiente manera:
Lo cual podemos expresar como
El Vector director de las rectas es y los puntos tienen la expresin
Calculemos la interseccin con la circunferencia
La solucin es:
Lo que nos interesa de esa ecuacin es que debe haber una sola respuesta para que la interseccin recta circunferencia sea un solo punto y entonces son tangentes. La respuesta nica se da cuando el discriminante es nulo, entonces es necesario que:
Se simplifica entre 32
Los vectores de las tangentes son:
Se pueden hacer enteros multiplicando por el denominador:
Las ecuaciones son:
4. Grfica la siguiente curva .
Es un polinomio, est definida en todo , es continua, derivable y no tiene asntotas, como todos los polinomios.
Se puede calcular las intersecciones con los ejes.Para los cortes con el eje hay que resolver
Probamos si hay una solucin entera, sera 1, -1, 2 o -2. Se comprueba que -1 lo es
Dividimos por divisin sinttica
Las intersecciones con el eje y son
El es raz doble, entonces esto significa que la funcin es tangente al eje en .
El corte con en eje es . Con las aplicaciones de la derivada. Calculamos la derivada primera:
Veamos las races de la derivada:
En el intervalo: Calculamos la funcin crece. Calculamos la funcin decrece. Calculamos la funcin crece.
La derivada segunda es:
Entonces es mximo relativo. Entonces es mnimo relativo.
Los puntos concretos son:
Mximo relativo:
Mnimo relativo:
Tambin se puede calcular la concavidad:
Si la derivada segunda es negativa entonces es cncava hacia abajoSi la derivada segunda es positiva entonces es cncava hacia arriba La grafica es la siguiente: