Evidencia de aprendizaje. Aplicacin de la derivada

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Un alambre de se corta para formar un cuadrado y un tringulo equiltero, Cmo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de rea mxima?

Sea el lado del cuadrado y el lado del tringulo equiltero.

El rea del cuadrado es El rea del tringulo es Se calcula la altura de la manera siguiente: el tringulo equiltero tiene 60 en cada ngulo, y la altura es el lado por el seno de 60. Entonces el rea es:

El rea total es:

Esta funcin es de dos variables, pero se puede hacer de una:

El rea es:

Derivaremos e igualaremos a cero para calcular los extremos relativos:

Entonces tenemos que:

Por lo tanto:

2.

Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una velocidad de . Con qu velocidad crece el rea quemada cuando el radio es igual a ?

La velocidad de se refiere a todas las direcciones, esto quiere decir que en un minuto aumenta el radio.

Por lo tanto el rea quemada es una funcin del tiempo a travs del radio.

El radio se considera como y es

La velocidad instantnea es la derivada del rea quemada respecto del tiempo:

Calculamos el instante en que el radio es :

3.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al crculo de tal manera que ambas tangentes pasen por el punto .

Las rectas tienen un vector director con lo cual su ecuacin vectorial es:

Si fuera cero tendramos puntos ) entonces no habra interseccin con la circunferencia ya que

Por consiguiente no puede ser cero con lo cual podemos dividir entre las coordenadas del vector, quedando de la siguiente manera:

Lo cual podemos expresar como

El Vector director de las rectas es y los puntos tienen la expresin

Calculemos la interseccin con la circunferencia

La solucin es:

Lo que nos interesa de esa ecuacin es que debe haber una sola respuesta para que la interseccin recta circunferencia sea un solo punto y entonces son tangentes. La respuesta nica se da cuando el discriminante es nulo, entonces es necesario que:

Se simplifica entre 32

Los vectores de las tangentes son:

Se pueden hacer enteros multiplicando por el denominador:

Las ecuaciones son:

4. Grfica la siguiente curva .

Es un polinomio, est definida en todo , es continua, derivable y no tiene asntotas, como todos los polinomios.

Se puede calcular las intersecciones con los ejes.Para los cortes con el eje hay que resolver

Probamos si hay una solucin entera, sera 1, -1, 2 o -2. Se comprueba que -1 lo es

Dividimos por divisin sinttica

Las intersecciones con el eje y son

El es raz doble, entonces esto significa que la funcin es tangente al eje en .

El corte con en eje es . Con las aplicaciones de la derivada. Calculamos la derivada primera:

Veamos las races de la derivada:

En el intervalo: Calculamos la funcin crece. Calculamos la funcin decrece. Calculamos la funcin crece.

La derivada segunda es:

Entonces es mximo relativo. Entonces es mnimo relativo.

Los puntos concretos son:

Mximo relativo:

Mnimo relativo:

Tambin se puede calcular la concavidad:

Si la derivada segunda es negativa entonces es cncava hacia abajoSi la derivada segunda es positiva entonces es cncava hacia arriba La grafica es la siguiente: