8| Cinemática: Movimiento Parabólico Física | Derum
52 Pre facultativos de Ingeniería
8 | Movimiento Parabólico Definición
Es aquel movimiento compuesto en donde los cuerpos se mueven en el
plano con una trayectoria parabólica.
Es un movimiento compuesto ya que el cuerpo se mueve en ambos ejes
de forma independiente:
: Movimiento Rectilíneo Uniforme. El proyectil muestra
movimiento con velocidad constante, su aceleración es cero, por lo que
se mueve distancias X iguales en intervalos de tiempos iguales, por
tanto ( =velocidad constante)
: Movimiento Vertical de caída libre. Muestra movimiento con
aceleración constante (g=gravedad)
Descomposición de la Velocidad
Para el movimiento parabólico, es conveniente descomponer la
velocidad inicial en sus componentes rectangulares, para así poder
trabajar independiente en cada eje.
Características
Para que un cuerpo al ser lanzado en forma parabólica con la misma
velocidad pero con dos diferentes ángulos de inclinación, tenga el
mismo alcance horizontal, estos ángulos deben ser complementarios.
Ángulos Complementarios: Ángulos que sumados nos dan 90°.
Para que un cuerpo al ser lanzado en forma parabólica, tenga un
alcance horizontal máximo, su ángulo de inclinación debe ser 45°.
Cuando un cuerpo lanzado en forma
parabólica, vuelve al mismo nivel de
lanzamiento su velocidad final es
igual en magnitud a la velocidad
inicial.
MRU
M
V
C
L
Descomponiendo la velocidad, del
grafico tenemos:
Eje X:
Eje Y:
θ
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Pre facultativos de Ingeniería 53
FORMULARIO Movimiento Parabólico
Ya que el movimiento parabólico es un movimiento compuesto,
tenemos:
EJE (X): El cuerpo se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme (V
= Ctte.)
En donde:
EJE (Y): El cuerpo se mueve con un movimiento vertical de caída libre
(a = g)
(
)
En donde:
Problemas Resueltos Movimiento Parabólico
PROBLEMA 1: En el circo de Springfield Crosty y Bob Patiño
saltan al mismo tiempo a un trapecio, desde lados opuestos de la carpa,
Crosty salta con un ángulo de 60° y Bob con uno de 45° respecto a la
horizontal si ellos llegan al mismo tiempo al trapecio en 0,7 s ¿Cuál es
el ancho D de la carpa?
Solución: Nos piden hallar la distancia de la carpa.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica tenemos:
DATOS:
Antes del planteamiento de ecuaciones para trabajar
independientemente en ambos ejes se debe descomponer la velocidad
inicial en sus componentes rectangulares.
Nota: Estas ecuaciones son
validas para cuerpos que
inician su movimiento en
dirección hacia arriba, en caso
de que el cuerpo inicie su
movimiento en dirección hacia
abajo, debemos cambiar el
signo (–) por el signo (+) de las
ecuaciones B, D y E.
A =Krosty
B = Bob Patiño
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Para Krosty:
Para Bob:
Planteamiento de ecuaciones:
Tomando en cuenta que el movimiento parabólico es un movimiento
compuesto e independiente en cada eje.
Eje X: M.R.U.
Eje Y: M.V.C.L.
Para Krosty:
En el eje (X), tenemos:
Recordando que ( ), la ecuación queda:
En el eje (Y), tenemos:
Viendo que Krosty llega al mismo nivel de salto, su desplazamiento
vertical es cero ( ) y recordando que ( ) la
ecuación queda:
Para Bob:
En el eje (X), tenemos:
Recordando que ( ), la ecuación queda:
En el eje (Y), tenemos:
Viendo que Bob llega también al mismo nivel de salto, su
desplazamiento vertical es cero ( ) y recordando que
( ) la ecuación queda:
Obteniendo una ecuación adicional del grafico, tenemos:
Resolución de las ecuaciones:
Despejando la velocidad de la ecuación 2:
Remplazando esta ecuación en 1, se tiene:
Despejando la velocidad de la ecuación 4:
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Pre facultativos de Ingeniería 55
Remplazando esta ecuación en 3, se tiene:
Remplazando las ecuaciones A y B en 5
Factorizando la ecuación queda:
(
)
Remplazando datos, se tiene:
(
)
PROBLEMA 2: Simultáneamente dos objetos se lanzan; A de
forma horizontal y B formando un ángulo de θ ° respecto a la
horizontal como se muestra en la figura. Si los objetos colisionan,
calcular la distancia X1.
Solución: Nos piden hallar la distancia X1 que recorre el objeto A.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS:
Descomponiendo las velocidades en sus componentes rectangulares:
Viendo que el objeto A se lanza horizontalmente, la componente de su
velocidad inicial en el eje Y es igual a cero, por lo tanto tenemos:
Para el objeto B:
Planteamiento de ecuaciones:
Para el objeto A:
En el eje X, no tomamos en cuenta la ecuación, ya que nos estaríamos
aumentando la incógnita ( ).
En el eje Y, tenemos:
Recordando que ( ) la ecuación queda:
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Para el objeto B:
En el eje X, tenemos:
Recordando que ( ), la ecuación queda:
En el eje Y, tenemos:
Recordando que ( ) la ecuación queda:
Obteniendo las ecuaciones adicionales del grafico, tenemos:
Resolución de las ecuaciones:
Remplazando las ecuaciones 1 y 3 en 5, tenemos:
Simplificando
Despejando t, se tiene:
Remplazando esta ecuación en 2, tenemos:
Por último remplazando esta ecuación en 4, se tiene:
Despejando nuestra incógnita, tenemos:
Remplazando datos.
PROBLEMA 3: Un cañón se coloca en la base de un cero cuya
pendiente hace un ángulo de 15° con la horizontal. Si el cañón forma un
ángulo de 45° con la horizontal cuando dispara un proyectil con una
rapidez inicial de 80 m/s, hallar la distancia horizontal X a la que
impacta el proyectil.
Solución: Nos piden hallar la distancia x a la que impacta el proyectil.
Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos:
DATOS:
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Descomponiendo la velocidad del proyectil en sus componentes
rectangulares:
Planteamiento de ecuaciones:
En el eje X, tenemos:
Recordando que ( ), la ecuación queda:
En el eje Y, tenemos:
Recordando que ( ) la ecuación queda:
Obteniendo la ecuación adicional del grafico tenemos:
Resolución de las ecuaciones:
Despejando t de la ecuación 1 tenemos:
Remplazando esta ecuación y la ecuación 3 en 2, se tiene:
(
)
Ordenado
(
)
Factorizando x .
(
)
Despejando la incógnita x, tenemos:
Remplazando datos.
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PROBLEMA 4: Una pelota de tenis rebota en una grada de h=4,0 cm como se indica en la figura determinar VB y el tiempo empleado en llegar de A hasta B. Solución: Nos piden hallar la velocidad final de la pelota (VB) y el tiempo empleado en llegar al punto B. Realizando un listado de datos y analizando la grafica, tenemos: DATOS: Descomponiendo las velocidades en sus componentes rectangulares: Velocidad inicial en el punto A.
Velocidad final en el punto B.
Planteamiento de ecuaciones:
En el eje X, la pelota se mueve con velocidad constante, por lo tanto la
componente de la velocidad en el eje X del punto A es la misma que del
punto B, por lo cual se tiene:
En el eje Y, viendo que se mueve con un M.V.C.L. en donde (
) es la velocidad inicial y ( ) es la velocidad
final, por lo cual tenemos:
Nota que en esta ecuación aunque el movimiento es en contra de la
gravedad se mantienen el signo positivo ya que la altura es negativa.
Por otra parte para poder hallar el tiempo tenemos:
Resolución de las ecuaciones:
Despejando de la ecuación 1, tenemos:
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Remplazando (A) en 2, se tiene:
(
)
Multiplicando por ( ) ambos miembros de la ecuación y
ordenando tenemos:
Factorizando y despejando, tenemos
√
Remplazando datos:
√
Para hallar el tiempo, remplazando la ecuación A en 3, tenemos:
Ordenando
Despejando el tiempo, y factorizando se tiene:
(
)
Remplazando datos.
(
)