8/17/2019 OPOs 2014 Problemas_Andalucía Prob 1
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Hallar la condición necesaria y suficiente que deben verificar los números
racionales d cba ,,, ( c y d no simultáneamente nulos) para que el número
dxc
bxa
+
+ sea racional R x∈∀
En primer lugar cabe señalar que la pregunta no tiene sentido en el caso 0≠d y
d
c x −= , ya que el denominador se anula. Esto ocurre también en el caso 0=c y 0= x .
En los casos señalados, la condición no es válida R x∈∀ sino que habría que suprimir
los valores de x mencionados.
Condición necesaria
Vamos a estudiar caso a caso según el valor de d .
Sea 0=d
. En este caso R xQbxa ∈∀∈+
, lo que implica .0=b
Haciendoun razonamiento análogo podemos ver que si 0=b entonces 0=d .
Sea 0≠d . Sea x un irracional cualquiera, entonces existe Qe∈ tal que:
edxc
bxa=
+
+
operando y despejando tendremos:
( ) eca xed b +−=−
Puesto que tanto ed b − como eca +− son racionales pero x es irracional,tendremos que 0=+−=− ecaed b y por tanto ed b = y eca = , esto es, los
vectores ( )ba, y ( )d c, son linealmente dependientes. Esta es, por tanto, lacondición necesaria (ya que el caso 0=d también cumple esta condición).
Condición suficiente
Supongamos que los vectores ( )ba, y ( )d c, son linealmente dependientes, esto es,ed becaQe ==∈∃ ; / con c y d no simultáneamente nulos. Entonces:
Qedxcdxce
dxcbxa ∈=
+
+=+
+
)()( QED