8/17/2019 OPOs 2014 Problemas_Andalucía Prob 1

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Hallar la condición necesaria y suficiente que deben verificar los números

racionales d cba ,,,  ( c  y d   no simultáneamente nulos) para que el número

dxc

bxa

+

+ sea racional  R x∈∀  

En primer lugar cabe señalar que la pregunta no tiene sentido en el caso 0≠d    y

d 

c x   −= , ya que el denominador se anula. Esto ocurre también en el caso 0=c  y 0= x .

En los casos señalados, la condición no es válida  R x∈∀ sino que habría que suprimir

los valores de  x  mencionados.

Condición necesaria

Vamos a estudiar caso a caso según el valor de d  .

 

Sea 0=d 

. En este caso R xQbxa   ∈∀∈+

, lo que implica .0=b

  Haciendoun razonamiento análogo podemos ver que si 0=b  entonces 0=d  .

  Sea 0≠d  . Sea  x  un irracional cualquiera, entonces existe Qe∈  tal que:

edxc

bxa=

+

+ 

operando y despejando tendremos:

( )   eca xed b   +−=−  

Puesto que tanto ed b −   como eca +−   son racionales pero  x   es irracional,tendremos que 0=+−=−   ecaed b   y por tanto ed b  =   y eca  = , esto es, los

vectores ( )ba,   y ( )d c,   son linealmente dependientes. Esta es, por tanto, lacondición necesaria (ya que el caso 0=d   también cumple esta condición).

Condición suficiente 

Supongamos que los vectores ( )ba,   y ( )d c,   son linealmente dependientes, esto es,ed becaQe   ==∈∃ ; / con c  y d   no simultáneamente nulos. Entonces:

Qedxcdxce

dxcbxa ∈=

+

+=+

+

)()(   QED