Pauta Solemne 1 Algebra y Geometra
1) Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones, en cada caso justifique su respuesta.
a) El conjunto solucin de la ecuacin 0)xcos()x(sen2)xcos(2 , en el intervalo 2,0 es el conjunto 434232 ,,, b) Sabiendo que 5
3)(sen , y es un ngulo del segundo cuadrante, entonces
2031)(tg)cos(
c) El punto )5,2( es equidistante de la recta 04y2x3 y del centro de la circunferencia
012x4yx 22 Solucin:
a) Falso, pues 0)x(sen22xcos 2
2xsen0)x(cos 232 ,x
b) Falso, pues es un ngulo del segundo cuadrante, entonces 54cos y 43tg . Luego
20
1
4
3
5
4tgcos
c) Falso, pues la distancia del punto a la recta es 13
20
49
4)5(2)2(3
y la distancia del punto al
centro de la circunferencia es 410522 22
2) Para determinar la altura h de un poste vertical de extremos inferior D y superior C se han seleccionado los puntos A y B a un mismo lado de D; separados por una distancia m y colineales con D sobre un plano horizontal. Desde A y B el extremo C del poste, se observa con ngulos de elevacin
y 2 respectivamente. Demuestre que
2sec
tgm2h
Solucin:
Se cumple que x
h2tg y
mx
htg
De lo cual se deduce que
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tg2tg
2tgtgmh
tg
tg1
tg2tg1
tg2tgm
2
2
2
2
tg1tgtg2
tgm
2tg1
tgm
2sec
tgm
3) Demuestre que al unir los extremos del lado recto de la parbola 04x8yx2 2 con el punto de interseccin del eje focal con la directriz, las rectas que se forman son perpendiculares entre s.Solucin:
04x8yx2 2 4y2
12x 2
de donde se obtiene que el punto A es
8
33,2 ,
el punto B es
8
31,
4
9y el punto C
8
31,
4
7
Luego
12
m4
98
328
31
AB
y 12m
47
832
831
AC
As 1mm ACAB
4) a) Determine la ecuacin de la elipse que pasa por el punto
32,
2
1, tiene su centro en el
punto (-1,2), su eje menor es paralelo al eje X; y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.
b) Grafique la hiprbola 04y4x6yx3 22 e identifique: centro, focos, asntotas, longitud del lado recto, excentricidad.c) Determine los puntos de interseccin de la elipse encontrada en (a) y la hiprbola dada en (b). Solucin:a) Como el eje menor es paralelo al eje x, y el centro es el punto (-1,2), la ecuacin de la elipse tiene
la forma
1a
2y
b
1x2
2
2
2 . Adems el eje mayor es el doble del eje menor, es decir b2a , lo
A
B C
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que nos lleva a la ecuacin
1b4
2y
b
1x2
2
2
2 y pasa por el punto
32,
2
1de lo que se
concluye que
1b4
232
b
12
2
2
22
1
2a1b1
b4
3
b 224
1 .
Por lo tanto la elipse buscada es
14
2y
1
1x 22
b) Completando cuadrado tenemos
13
2y
1
1x 22
De donde:Centro: (-1,2)Focos: (-3,2) y (1,2)Longitud del lado recto: 6Excentricidad: 2
c) Los puntos de interseccin son: (0,2) y (-2,2)
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