Procesamiento digital de señales
Semana 1. Introducción (segunda parte)
Dra. María del Pilar Gómez Gil
Otoño 2017
Coordinación de computación
INAOE Versión: 28 de Agosto 2017
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Tema Estadística,
probabilidad y ruido (tarea: leer el capítulo 2 del libro de texto)
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Puntos importantes
O Definiciones de:
O Señal discreta y continua
O Dominios de tiempo, frecuencia y espacio
O Media, varianza y desviación estándar
O Estadística, probabilidad, error estadístico
O Histograma
O PMF (probability mass function) y Pdf (probability density function)
O Distribución Gaussiana
O Números al azar y ruido digital
O Precisión y Exactitud
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Señal
O Cualquier cantidad física que varía con el tiempo, espacio o cualquier otra u otras variables independientes
O Una señal continua está definida en cualquier punto.
O Una señal discreta solo está definida en valores determinados.
O A su vez, los valores de señales continuas o discretas pueden ser continuos o discretos
O Para poder manejarse en una computadora digital, las señales tienen que representarse en forma discreta, lo que se hace a través de un proceso llamado “cuantificar” (quantize)
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Ejemplo de señal continua y discreta
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https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-a-
discrete-and-digital-signal
Ejemplos
O 𝑠 𝑡 = 2𝑡 (señal continua)
O 𝑠 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑦3 (señal continua)
O 𝑥 𝑛 =0. 8𝑛 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 00 𝑠𝑖 𝑛𝑜
(señal discreta)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 6
Señales uniformes y no uniformes
O Si la señal tiene una forma uniforme (ejemplo
una función seno) se puede identificar
simplemente con su amplitud entre el punto mal
alto y el mas bajo (peak-to-peak amplitude
O Si la señal no es uniforme se requiere de otras
medidas, como la desviación estándar y el error
cuadrático medio.
O En electrónica, la media se identifica como DC
(corriente directa) y sus fluctuaciones se
designan como AC (corriente alterna).
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Media (representa la
corriente directa, o DC)
Varianza
(representa la
potencia de la
fluctuación)
Desviación estándar
(mide la porción AC de
la señal)
Media, varianza y desviación estándar
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𝜎 = 𝜎2
𝜇 =1
𝑁 𝑥𝑖
𝑁−1
𝑖=0
𝜎2 =1
𝑁 − 1 (𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑁−1
𝑖=0
Nótese que
la sumatoria
va de 0 a N-1
Valor cuadrático medio (Root mean square ó RMS)
O La desviación estándar (σ) sólo mide la potencia de una fluctuación.
O El valor cuadrático medio (rms) mide tanto la parte AC como DC.
O Si una señal no tiene un componente DC, su valor rms es igual a la desviación estándar
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N
i
irms xN
x
1
21
Calculando la desviación estandar dinámicamente
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(Smith, 1999)
Razón señal a ruido (SNR) y coeficiente de variación (CV) O SNR= media/deviación estándar
O CV = (desviación estándar/media)*100
O Se busca que las señales tengan una SNR
alta o CV bajo
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Señales y procesos
O La estadística interpreta datos, la
probabilidad estudia el comportamiento de
los procesos que pudieron generar esos
datos (la probabilidad es teórica, la
estadística trabajo con datos reales)
O La irregularidad aleatoria que se encuentra
en datos reales se llama variación
estadística, ruido estadístico o fluctuación
estadística.
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Error típico
O El error generado al calcular la media de un
proceso usando un conjunto finito de
mediciones es:
O En probabilidad, la “ley de los grandes
números” establece que este error es cero
si el número de ejemplos es infinito
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NoerrorTipic
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Procesos no estacionarios
O Son a aquellos que cambian sus
características (estadística) con el tiempo;
dicho cambio no se debe a ruido sino al
proceso en sí mismo
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Histograma
O Número de ejemplos en una señal que
tienen un valor determinado, o están en un
rango determinado
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 15 (Smith, 1999)
Cálculo de la media y desviación estándar usando el histograma
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(Smith, 1999)
Función de distribución de probabilidad discreta y función de densidad
probabilística
O Un histograma es el resultado de una señal
adquirida, mientras que su equivalente en
un proceso es una función de distribución
de probabilidad, la cual se define
teóricamente.
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(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 18 (Smith, 1999)
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(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 20
O La función de distribución de probabilidad de una señal de ruido aleatorio es una función Gaussiana
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Binning
O Cuando el número de posibles valores en un
histograma es grande, estos se agrupan en
rangos o intervalos, llamados “bins”
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Distribución normal o Gaussiana
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Distribución normal o Gaussiana (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 24
Función de distribución acumulada (cdf)
O Es la integral de una pdf
O Para el caso de distribuciones Gaussianas, se calcula
numéricamente y se representa como (x)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 25
Generación de ruido digital
O El ruido digital es útil para probar equipo y algoritmos, por ejemplo: que tan pequeña puede ser una señal medida, cuanta radiación se necesita para construir un aparato de rayos X o la distancia a la que se puede comunicar un radio
O Está basado en la generación de números al azar
O Los lenguajes contienen instrucciones para generarse, normalmente entre 0 y 1, con distribución uniforme
O Debido a que los lenguajes usan una semilla para generar números, realmente no se habla de números rándom sino pseudo-random
O La semilla permite generar exactamente los mismos valores cada vez que se ejecuta un programa
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 26
Ejemplo usando RND de BASIC (Smith, 1999)
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Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999)
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Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 29
Teorema del límite central
O La suma de números generados al azar se
acerca a una distribución normal a medida
de que se van añadiendo números.
O La distribución de los números generados
no afecta, ni el hecho de que tengan
diferentes distribuciones.
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Otra manera de generar números al azar con distribución normal, =0 y
σ=1
O Para generar números con distribución y σ
arbitrarios: σ *X +
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(Smith, 1999)
Precisión y Exactitud
O Estos términos se usan muchas veces como sinónimos, pero no son lo mismo.
O Ambos describen la relación entre el valor verdadero y el valor encontrado por algún método.
O Exactitud (Accuracy): muestra la diferencia entre el valor verdadero y la media de los datos generados por el proceso en cuestión.
O Precisión (Precision): es la dispersión de los valores generados. Se especifica con la desviación estándar, la relación señal a ruido (SNR) o el coeficiente de variación (CV)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 32
Precisión y Exactitud (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 33
Smith, 1999)
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