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Procesamiento digital de señales
Semana 1. Introducción (segunda parte)
Dra. María del Pilar Gómez Gil
Otoño 2017
Coordinación de computación
INAOE Versión: 28 de Agosto 2017
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 1
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Tema Estadística,
probabilidad y ruido (tarea: leer el capítulo 2 del libro de texto)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 2
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Puntos importantes
O Definiciones de:
O Señal discreta y continua
O Dominios de tiempo, frecuencia y espacio
O Media, varianza y desviación estándar
O Estadística, probabilidad, error estadístico
O Histograma
O PMF (probability mass function) y Pdf (probability density function)
O Distribución Gaussiana
O Números al azar y ruido digital
O Precisión y Exactitud
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 3
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Señal
O Cualquier cantidad física que varía con el tiempo, espacio o cualquier otra u otras variables independientes
O Una señal continua está definida en cualquier punto.
O Una señal discreta solo está definida en valores determinados.
O A su vez, los valores de señales continuas o discretas pueden ser continuos o discretos
O Para poder manejarse en una computadora digital, las señales tienen que representarse en forma discreta, lo que se hace a través de un proceso llamado “cuantificar” (quantize)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 4
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Ejemplo de señal continua y discreta
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 5
https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-a-
discrete-and-digital-signal
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Ejemplos
O 𝑠 𝑡 = 2𝑡 (señal continua)
O 𝑠 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑦3 (señal continua)
O 𝑥 𝑛 =0. 8𝑛 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 00 𝑠𝑖 𝑛𝑜
(señal discreta)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 6
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Señales uniformes y no uniformes
O Si la señal tiene una forma uniforme (ejemplo
una función seno) se puede identificar
simplemente con su amplitud entre el punto mal
alto y el mas bajo (peak-to-peak amplitude
O Si la señal no es uniforme se requiere de otras
medidas, como la desviación estándar y el error
cuadrático medio.
O En electrónica, la media se identifica como DC
(corriente directa) y sus fluctuaciones se
designan como AC (corriente alterna).
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 7
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Media (representa la
corriente directa, o DC)
Varianza
(representa la
potencia de la
fluctuación)
Desviación estándar
(mide la porción AC de
la señal)
Media, varianza y desviación estándar
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 8
𝜎 = 𝜎2
𝜇 =1
𝑁 𝑥𝑖
𝑁−1
𝑖=0
𝜎2 =1
𝑁 − 1 (𝑥𝑖 − 𝜇)
2
𝑁−1
𝑖=0
Nótese que
la sumatoria
va de 0 a N-1
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Valor cuadrático medio (Root mean square ó RMS)
O La desviación estándar (σ) sólo mide la potencia de una fluctuación.
O El valor cuadrático medio (rms) mide tanto la parte AC como DC.
O Si una señal no tiene un componente DC, su valor rms es igual a la desviación estándar
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 9
N
i
irms xN
x
1
21
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Calculando la desviación estandar dinámicamente
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 10
(Smith, 1999)
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Razón señal a ruido (SNR) y coeficiente de variación (CV) O SNR= media/deviación estándar
O CV = (desviación estándar/media)*100
O Se busca que las señales tengan una SNR
alta o CV bajo
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 11
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Señales y procesos
O La estadística interpreta datos, la
probabilidad estudia el comportamiento de
los procesos que pudieron generar esos
datos (la probabilidad es teórica, la
estadística trabajo con datos reales)
O La irregularidad aleatoria que se encuentra
en datos reales se llama variación
estadística, ruido estadístico o fluctuación
estadística.
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 12
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Error típico
O El error generado al calcular la media de un
proceso usando un conjunto finito de
mediciones es:
O En probabilidad, la “ley de los grandes
números” establece que este error es cero
si el número de ejemplos es infinito
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 13
NoerrorTipic
2/1
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Procesos no estacionarios
O Son a aquellos que cambian sus
características (estadística) con el tiempo;
dicho cambio no se debe a ruido sino al
proceso en sí mismo
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 14
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Histograma
O Número de ejemplos en una señal que
tienen un valor determinado, o están en un
rango determinado
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 15 (Smith, 1999)
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Cálculo de la media y desviación estándar usando el histograma
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 16
(Smith, 1999)
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Función de distribución de probabilidad discreta y función de densidad
probabilística
O Un histograma es el resultado de una señal
adquirida, mientras que su equivalente en
un proceso es una función de distribución
de probabilidad, la cual se define
teóricamente.
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 17
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(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 18 (Smith, 1999)
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(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 19
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(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 20
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O La función de distribución de probabilidad de una señal de ruido aleatorio es una función Gaussiana
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 21
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Binning
O Cuando el número de posibles valores en un
histograma es grande, estos se agrupan en
rangos o intervalos, llamados “bins”
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 22
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Distribución normal o Gaussiana
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 23
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Distribución normal o Gaussiana (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 24
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Función de distribución acumulada (cdf)
O Es la integral de una pdf
O Para el caso de distribuciones Gaussianas, se calcula
numéricamente y se representa como (x)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 25
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Generación de ruido digital
O El ruido digital es útil para probar equipo y algoritmos, por ejemplo: que tan pequeña puede ser una señal medida, cuanta radiación se necesita para construir un aparato de rayos X o la distancia a la que se puede comunicar un radio
O Está basado en la generación de números al azar
O Los lenguajes contienen instrucciones para generarse, normalmente entre 0 y 1, con distribución uniforme
O Debido a que los lenguajes usan una semilla para generar números, realmente no se habla de números rándom sino pseudo-random
O La semilla permite generar exactamente los mismos valores cada vez que se ejecuta un programa
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 26
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Ejemplo usando RND de BASIC (Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 27
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Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 28
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Que pasa cuando se suman números random? (Smith, 1999)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 29
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Teorema del límite central
O La suma de números generados al azar se
acerca a una distribución normal a medida
de que se van añadiendo números.
O La distribución de los números generados
no afecta, ni el hecho de que tengan
diferentes distribuciones.
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 30
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Otra manera de generar números al azar con distribución normal, =0 y
σ=1
O Para generar números con distribución y σ
arbitrarios: σ *X +
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 31
(Smith, 1999)
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Precisión y Exactitud
O Estos términos se usan muchas veces como sinónimos, pero no son lo mismo.
O Ambos describen la relación entre el valor verdadero y el valor encontrado por algún método.
O Exactitud (Accuracy): muestra la diferencia entre el valor verdadero y la media de los datos generados por el proceso en cuestión.
O Precisión (Precision): es la dispersión de los valores generados. Se especifica con la desviación estándar, la relación señal a ruido (SNR) o el coeficiente de variación (CV)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 32
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Precisión y Exactitud (cont.)
(c) P.Gómez Gil, INAOE 2017 33
Smith, 1999)