Tema 1 Relaciones y funciones
Introduccin al Clculo Superior
Tema 1- Relaciones y funciones
Bibliografa bsica
(AF) Afined. lgebra y Principios del Anlisis, Tomo II. Lumbreras. Cap. 5. (S) Stewart, Clculo de una variable . Cengage Learning Editores. Cap. 1 y 7. (SHE) Salas, Hille y Etgen. Calculus, Volumen I. Revert. Cap 1 y 7. (LHE) Larson, Hostetler y Edwards. Clculo, Volumen I. Cap. 1, 7 y 8.
Introduccin al Clculo Superior
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso). 2. Producto cartesiano. 3. Plano cartesiano. 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin.6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales.
4Introduccin al Clculo Superior
1. Conjuntos (repaso)
En esta seccin se har un breve repaso a la teora elemental deconjuntos. Se realizar a travs de la resolucin de algunosejercicios. Esta seccin servir e introduccin a los conceptos deproducto cartesiano y relacin.
Lecturas bsicas: tu libro de secundaria
Recursos en internet: Wikipedia, monografias.com , ditutor, udea entre muchos otros
5Introduccin al Clculo Superior
1. Conjuntos (repaso)Repaso de algunos smbolos matemticos tiles...
Smbolo Significado= Igual a.
:= Se define como. Es equivalente. Implica que. Si entonces Si y solo s, sii. Equivalencia. O lgico. Y lgico. y No. Negacin. Existe (al menos un). No existe.! Existe un nico.
Smbolo Significado/|:
Tal que.
Pertenece a. Es elemento de{ , , } Enumerando los elementos deun conjunto.:| El conjunto de los elementos tales que Por tanto La funcin mapea Para todo.
\ menos, sin. Es subconjunto dems smbolos
6Introduccin al Clculo Superior
1. Conjuntos (repaso)Recordatorio.
Conjunto: agrupacin de objetos elementos- (en este tema nos interesan elementos que pertenezcan a lo nmeros reales )
Conjunto A:{2,4,5,7,12.3,23}
2
5
4
12.37
Conjunto B:{1,8,13,17,23,102}
1
813
17
102
Ejercicios. Define los conjuntos ; B; ; ; #Verdadero o Falso: ; ; B # ; % &'()*+,'; \A # ;A=B
2323
7Introduccin al Clculo Superior
Conjunto A={2,4,5,7,12.3,23} Conjunto B={1,8,13,17,23,102}
1: 0 0 0 # ?2: 0 0 0 # ?3: : cardinal nmero de elementos- |A|=?4: card( ): cardinal del conjunto ( ) card( )=?5:#: cardinal # #?6: Sea A={1,1,1,3,3,5,5} y B={5,3,1}. A=B?
Algunos ejercicios:
Realiza los diagramas de Venn de las cuestiones 1 y 2.
1. Conjuntos (repaso)
8Introduccin al Clculo Superior
Conjunto A={2,4,5,7,12.3,23} Conjunto B={1,8,513,17,23,102}
1: 3 4 0, 0 0 es ?2: ; es ?3: B # es ?4: % &'()*+,' 0 0 % &'()*+,' es ?5: \A 7 . 0 \A 0 30 4. \A # es ?6: # 0, 0 0 . # es ?
Verdadero o Falso?
Ilustra con diagramas de Venn las cuestiones 1 a 5
1. Conjuntos (repaso)
9Introduccin al Clculo Superior
Cuestiones adicionales:Para dos conjuntos A y B cualesquiera, calcula :
(A B) (A \ B) = ?(A B) (A \ B) = ?(A B) 3\A4 = ?
1.1- Conjuntos (repaso)
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso). 2. Producto cartesiano. 3. Plano cartesiano. 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin.6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales.
11Introduccin al Clculo Superior
Definicin:
2. Producto cartesiano
Par ordenado : es un par de objetos matemticos ordenados, de tal manera quese distingue el primer elemento y el segundo elemento. Si el primerelemento es a y el segundo es b, el par ordenado se denota como(a,b). El par ordenado queda definido por sus elementos y el orden.Esta definicin se puede extender a ms de dos elementos.
(a,b)Primer elemento o componente
Segundo elemento o componente
1-El conjunto {a,b} es igual al {b,a}?2-El par ordenado (a,b) es igual al (b,a)?3-Cundo (a,b) ser idntico a (c,d)?
Ejercicios:4-Y el conjunto {a,b} al conjunto {c,d}?5-El trio ordenado (a,b,c) es igual al (b,c,a)?6-El conjunto {a,b} es igual al par ordenado
(a,b)?
12Introduccin al Clculo Superior
2. Producto cartesiano
Producto cartesiano de dos conjuntos A y B: Es el conjunto formado portodos los pares ordenados que puedan formarse tomando la primeracomponente de A y la segunda de B. Se denota por : . Estadefinicin se puede extender a ms de dos conjuntos.
Verdadero o falso?1- 0, % : 0 % .2- 0, % : 0 % .3- : = A # # .
Ejemplo: Sea A={1,3,4} y B={1,5}. Entonces : ={(1,1),(1,5),(3,1),(3,5),(4,5),(4,1)}
Ejercicios: 1. Cmo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?
2. Demostrar que 3 : 43; : 30;4.
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso). 2. Producto cartesiano. 3. Plano cartesiano. 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin.6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales.
14Introduccin al Clculo Superior
3. Plano cartesiano
Sea el conjunto de los nmeros reales. Entonces: # 0, % 0 % ?
Por lo que el producto cartesiano : es el conjunto de todas las parejasde nmeros reales. Su representacin geomtrica es el planocartesiano llamado tambin plano numrico, geomtrico, plano eucldeo oeuclideano (por cumplirse los 5 axiomas de Euclides) .
P(x,y)
x
y
Se establece una relacin biunvoca entre ? y el conjunto de los puntos delplano cartesiano, asocindose de esta forma el par ordenado (x, y) con el puntoP(x,y).
15Introduccin al Clculo Superior
P(x,y)
x
y
3. Plano cartesiano
El plano cartesiano, tambin llamado eucldeo oeuclideano, es un sistema de referencia formado pordos rectas perpendiculares que se cortan en el origen(0,0) para representar puntos en dos dimensiones.
Cada punto de este plano representa un parordenado, y puede etiquetarse mediante dos nmeros:(x, y), que son sus coordenadas cartesianas,llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, y queson las distancias ortogonales de dicho punto respectoa los ejes cartesianos.
(0,0)
La ecuacin del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0. Se denomina eje de lasabscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacioen cuatro cuadrantes donde los signos de las coordenadas alternan de positivo anegativo .Para localizar las abscisas, se contarn las unidades correspondientes en direccinderecha, si son positivas y en direccin izquierda, si son negativas. Y luego, desde dondese localiz el valor de x, se localiza la ordenada contando las unidades correspondienteshacia arriba en caso de ser positivas, hacia abajo, en caso de ser negativas. De estamanera se localiza cualquier punto dada las coordenadas cartesianas.
(http://www.definicionabc.com)
16Introduccin al Clculo Superior
3. Plano cartesiano
Ejercicios:
1. Sea el conjunto # 1,2,3,4.Calcula y grafica el producto cartesiano : .2. Sea B=C, el conjunto de los nmeros naturales. Grafica : y : .3. Sea C=D el conjunto de los nmeros reales positivos. Grafica : ;.4. Grafica ; : ;.5. Sean los conjuntos A = 0/0 10 G 1 } , y B = . Realiza el
grfico cartesiano de : .
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones.
4.1 Definicin4.2 Representacin grfica
5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
18Introduccin al Clculo Superior
4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos
Definicin:
Relacin matemtica Una relacin H de los conjuntos I, ?, , K es unsubconjunto de su producto cartesiano. Es decir,
L 3MN : MO :: MQ4En el caso de relacin entre dos conjuntos , se denomina tambin relacinbinaria o correspondencia
L 3M : R4 (Relacin binaria heterognea)L 3M : M4 (Relacin binaria homognea)Como el producto cartesiano no es conmutativo, no es lo mismo la relacin entre A y B que entre B y A. Por tanto, se puede tambin decir que L es una relacin de A a B, hacia B o sobre B:
L:M R S HR aLb a, b L
19Introduccin al Clculo Superior
A={1,2,3,4}B={2,7,8} : #{(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7),(4,8)}
Se pueden construir muchas relaciones (cuntas?). Por ejemplo:HI # , V : W V ={(3,2),(4,2)}
La regla que se utiliza para definir la relacin, es decir, para seleccionar los pares ordenados del producto cartesiano, se denomina Regla de Correspondencia.
La Regla de Correspondencia se puede expresar:
Mediante una expresin algebraica, que puede ser una ecuacin, inecuacin o un sistema de ecuaciones simultneas.
Mediante una tabla que representa los pares ordenados de H. Mediante alguna representacin grfica (grfico sagital, plano cartesiano)
Ejemplo 1
4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos
20Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 1
A={1,2,3,4}B={2,7,8} 0 #{(1,2),(1,7),(1,8),(2,2),(2,7),(2,8),(3,2),(3,7),(3,8),(4,2),(4,7)
,(4,8)}Se pueden construir muchas relaciones (cuntas?). Por ejemplo:
HI # , V : W V ={(3,2),(4,2)}A B
1234
2
7
8Conjunto de partida o inicial
Conjunto de llegada o final
HI
Esta representacin se denomina diagrama o grfico sagital
4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos
21Introduccin al Clculo Superior
HI # a, b : W V ={(3,2),(4,2)}A B
1234
2
7
8
HI
A los elementos del conjunto de
llegada que definen la relacin se les
denomina RANGO o conjunto IMAGEN
A los elementos del conjunto de
partida que definen la relacin se les
denomina DOMINIOo conjunto ORIGEN DomHI # , V HI}RangHI # V , V HI}
Ejemplo 1
Extensin de una relacin: Dominio y Rango
4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos
22Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 2
A=B= : # :
Un estudiante de la UDEP, a fin de investigar la RELACIN entre el aumento depeso y la edad de un pavo del campus de Piura, lo va pesando cada mes, desdeque nace hasta el momento de su total desarrollo, que se produce cuando abresus plumas por primera vez. Obtiene la siguiente tabla:
Edad en meses
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Kg 0.1 0.6 2.1 4.0 6.2 8.4 10.6 12.2 14.6
H? A : :H?={(0,0.1);(1,0.6);(2,2.1); (3,4.0);(4,6.2);(5,8.4);(6,10.6);(7,12.2);(8,14.6)}
NOTA: para evitar confusiones se ha empleado el punto como separador decimal, tambin se podra haber sustituido la coma del separador del par ( , ) por ( ; )
H? # , V : eslaedaddelpavo Vessupeso
4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos
23Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 2 Un estudiante de la UDEP, a fin de investigar la RELACIN entre el aumento depeso y la edad de un pavo del campus de Piura, lo va pesando cada mes, desdeque nace hasta el momento de su total desarrollo, que se produce cuando abresus plumas por primera vez. Obtiene la siguiente tabla:
Edad en meses
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Kg 0.1 0.6 2.1 4.0 6.2 8.4 10.6 12.2 14.6
Podemos representar la relacin en el plano cartesiano (Cul sera la de : ?)
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
0
5
10
15
4. Relaciones/4.1. Definicin y ejemplos
24Introduccin al Clculo Superior
En general, para graficar una relacin en el plano cartesiano es til seguir los siguientes pasos:
1. Definir la extensin de la relacin en el plan cartesiano: dominio y rango2. Analizar el comportamiento en los extremos, cuando x e y van hacia infinito. As
podemos tambin encontrar asntotas (una asntota es una recta a la que la funcin se acerca pero no llega a alcanzar, no la corta nunca). Las asntotas tambin suelen aparecer cuando hay un denominador que puede anularse.
3. Identificar la interseccin con los ejes. Imponiendo y = 0, o x=0, se encuentra las intersecciones con el eje X, o el Y, respectivamente.
4. Analizar simetras, que faciliten la representacin. Para encontrar la simetra con el eje X, se reemplaza y por -y y se comprueba si la relacin de correspondencia cambia. Igualmente, la simetra con el eje Y se analiza cambiando x por -x. Para encontrar la simetra respecto al origen, se reemplaza x por -x e -y por y .
5. Tabulacin: asignamos valores a x dentro del dominio de la relacin para encontrar los respectivos valores de y y ubicarlos en el plano.
X
Y (x, y)
(x, -y) X
(x, y)
Y(-x, y)
X
Y (x, y)
(-x, -y)
Simetra con el origenSimetra con el eje X Simetra con el eje Y
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
25Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 1: Sean 0, % y sea la regla de correspondencia % # 10 7 1Graficar la relacin.
Otra forma, ms matemtica, de definir esta relacin es:e # 0, % : 0, % ? % # 0 7 1 fIPaso 1: Dominio y Rango.
DomHI # 0 0 g 1}RangHI # y % g 0
% # 10 7 1 0 # 1% > 10 g 1 % g 0
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
26Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 1: Sean 0, % y sea la regla de correspondencia % # 10 7 1Graficar la relacin.
% # 10 7 10 # 1% > 1
Si 0 % 0DSi 0 7 % 0f
Paso 2: comportamiento en los extremos
Si y 0 1DSi y 7 % 1f
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
27Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 1: Sean 0, % y sea la regla de correspondencia % # 10 7 1Graficar la relacin.
% # 10 7 10 # 1% > 1Si 0 # 0 % # 71Paso 3: interseccin con los ejes
Si % # 0 0 # >Paso 4: simetras. No tienePaso 5: asignamos algunos valores
X y
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
28Introduccin al Clculo Superior
Usando WinPlot
Informacin complementaria sobre WinPlot: 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Se trata de una ecuacin explcita (la y est despejada)
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
29Introduccin al Clculo Superior
Usando WinPlot
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
30Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 2: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? % # 0/ 0 7 1 .
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
31Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 3: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 4% # 12}.
X
Y
4
3
R A cada0le corresponde una sola %Se puede denotar por % # e304R(0)=3
La ecuacin es implcita (no est despejada la y)
Con WinPlot
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
32Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 4: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 4% k 12}.
X
Y
4
3
R
Tenemos una inecuacin implcita.A cada x le corresponden ms de un valor de y (infinitos).
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
33Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 4: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 4% k 12}.
Con WinPlot, a partir del grfico del Ejemplo 3:Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
34Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 4: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 4% k 12}.
Con WinPlot, a partir del grfico del Ejemplo 3:
4 3 2 1 1 2 3 4
3
2
1
1
2
3
x
y
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
35Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 5: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0?% 7 0 7 4% # 0.
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
36Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 6: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 > 2% > 6 W 0}.
Ejemplo 7: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 20 > 5% > 10 G 0}.
Solucin:
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
37Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 8: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0 > 2% # 4 20 > 3% # 7}.
Tenemos dos ecuaciones simultaneas que se deben cumplir. Su solucin es x=2, y=1, por lo que R es slo el punto (2,1)
Ejemplo 9: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}.
Para poder hacer la figura de la derecha con winplot tenemos que utilizar ecuaciones explcitas
Solucin:
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
38Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 9bis: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}.
0? > %? k 1 % k m 1 7 0?Empezamos dibujando dos ecuaciones explcitas % # 1 7 0?% # 7 1 7 0?
Solucin: (cont.)
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
39Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 9bis: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}.
0? > %? k 1 % k m 1 7 0?Empezamos dibujando dos ecuaciones explcitas % # 1 7 0?% # 7 1 7 0?
Aadimos la tercera ecuacin explcita % # 0?
Solucin: (cont.)
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
40Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 9bis: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}.
Cmo lo he obtenido?
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
41Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 9bis: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 0? > %? k 1 % k 0?}. Solucin: (cont.)
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
42Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo 10: Graficar la relacin e # 0, % : 0, % ? 30 7 4% > 1 k 3}.
La regla de correspondencia equivale a: 73 k 330 7 4% > 14 k 3Puede interpretare como dos inecuaciones simultneas:
30 7 4% > 4 W 030 7 4% 7 2 k 0
Solucin:
4. Relaciones/4.2 Representacin grfica
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso). 2. Producto cartesiano. 3. Plano cartesiano. 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin.6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales.
44Introduccin al Clculo Superior
5. Funciones. Definicin
Definicin de funcin:
Dados dos conjuntos n e o, una funcin (o aplicacin, o mapeo) es una asociacin f que a cada elemento del conjunto X le asigna un nico elemento del conjunto Y.
Se denota por p: n oo 0 % # p 0% # p304es lo que ya conocemos como regla de correspondencia.Una funcin es un caso particular de relacin, en la que los primeros elementos de los pares ordenados 30, %4estn formados por todos los elementos de n, y donde a cada primer elemento slo se le asigna un elemento del conjunto o. X Y
1234
2
7
8
Esta relacin no es una funcin, pues hay elementos de X sin imagen
XY
1234
2
7
8
Esta relacin s es un funcin. Todos los elementos de X tienen una, y slo una, imagen.
45Introduccin al Clculo Superior
De forma algo ms formal, una funcin es: q # 3r, s4|r t! s uVerdadero o falso? f es un conjunto (x,f(x)) es un par ordenado de n : Y La regla de correspondencia se denota por f(x) p 0I # p 0? 0I # 0?
En este curso nos interesan principalmente las funciones sobre valores reales, donde n : o ?. Se denomina funcin real en variable real. Se pueden as representar grficamente en el plano cartesiano.
X
Y=f(x) P(x,f(x))El lugar geomtrico* de los puntos P(x,f(x)) recibe el nombre de Grfico de f , Gr(f).
Gr(p4 # w30, %4|% # p 0 Gr p # 0, % % # p 0 ? ?
*Lugar geomtrico=figura geomtrica=representacin de un conjunto de puntos que cumplen cierta propiedad
5. Funciones. Definicin
46Introduccin al Clculo Superior
A B1234
2
7
8
Decir si corresponden o no a funciones las siguientes representaciones
A B1234
2
7
8
A B1234
2
7
8
1 2 3
4 5 6
test de la vertical
5. Funciones. Definicin
47Introduccin al Clculo Superior
X Y1234
2
7
8
Una funcin es un caso particular de relacin. Tiene los mismos componentes. Se suele emplear la letra X para el conjunto origen (o conjunto de partida) y la letra Y para el imagen (o de llegada)
El Dominio de f es elconjunto X.A X tambin se le suele denotar como variable independiente, o argumento de la funcin f(x)
Dom f# 0 nRang f# p304 o 0 nGr(f)=30, p 0 4|0 Dom f}
El Rango, o recorrido, o codominio, de f son slo los elementos de Y que son imgenes de algn elemento de X. A Y tambin se le suele denotar como variable dependiente.
Nota: cuando no se especifica el dominio, se asume que es el conjunto de nmeros reales para los que est definida f(x).
5. Funciones. Definicin
48Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Halla el rango y el dominio de la funcin p 0 # 40 7 15 7 0
Calcular el dominio equivale a hallar los valor de x para los que est definida la funcin en . En este caso es5 7 0 W 0 0 k 5 Dom p # 37, 54
El rango es la imagen de f(x),es decir, su variacin al recorrer x.
Si 0 5 p 0 Si0 7 p 0 # 7
Solucin:
5. Funciones. Definicin
49Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Halla el rango de la funcin real p 0 # 3 7 5 > 0?; 0 374; 2x
El dominio es claramente (-4;2]. En ese intervalo, la variacin de f(x) se puede calcular fcilmente de la siguiente manera:
74 k 0 G 2 0 G 0? k 16G 5 > 0? k 21 5 G 5 > 0? k 21 7 21 k 7 5 > 0? G 7 5 3 7 21 k 3 7 5 > 0? G 3 7 5 71.58 k % G 0.76
Solucin:
5. Funciones. Definicin
50Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente funcin p 0 # 0 > 10? > 0 7 6Para que f(x) sea un nmero real se debe cumplir que 0? > 0 7 6 g 0. Las races de esa ecuacin son x=-3 y x=2. Por tanto, el dominio es0 7,73 73,2 32,4
p 0 # 0? > 0 7 6 p 0 # 0 > 10? > 0 7 6
Solucin:
5. Funciones. Definicin
51Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente funcin
Ahora se necesita que 4 7 0? z 0 y que 0 7 1 g 0 . lo que lleva a 0 G 2 y 0 g 1.Por tanto el dominio es 72,1 31,2x
p 0 # 4 7 0?0 7 1Solucin:
5. Funciones. Definicin
52Introduccin al Clculo Superior
X Y1234
2
7
8
Si a cada valor del rango de p le corresponde slo un elemento de su dominio, la funcin se llama inyectiva, univalente o monovalente.
NO es inyectiva, por que los elementos 1,2 y 4 en X tienen la misma imagen (sera una funcin polivalente o multivalente)
X Y1234
12 4 6 8910
S es inyectiva. Los elementos de X tiene una y slo una imagen.
S es inyectiva No es inyectiva
5. Funciones. Definicin
53Introduccin al Clculo Superior
X Y1234
2
7
8
Una funcin es sobreyectiva, o suprayectiva, o exhaustiva cuando cada elemento de Y es la imagen de como mnimo un elemento de X.
NO es suprayectiva, pues el elemento 2 en Y no es imagen de ningn elemento en X.(tampoco e inyectiva)
S es suprayectiva con % No es suprayectiva para % , pues y
54Introduccin al Clculo Superior
Una funcin es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva ysuprayectiva (univalente y exhaustiva). Todos los elementos de Y sonimagen de un solo elemento de X. A cada elemento del conjunto dellegada le corresponde slo un elemento del conjunto de salida.
X Y1234
12 4 6
5. Funciones. Definicin
55Introduccin al Clculo Superior
5. Funciones. Definicin
Ms formalmente:
Inyectiva: , V np # p V # VSobreyectiva: % Y 0 n|p 0 # %Biyectiva: % Y ! 0 n|p 0 # %
56Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcinp 0 # 0 > 30 > 2 ; 0 7 72
Solucin:Para analizar la inyectividad debemos comprobar que p 0I # p 0? 0I # 0?0I > 30I > 2 # 0? > 30? > 2 1 > 10I > 2 # 1 > 10? > 2 0I > 2 # 0? > 2 0I # 0?
Es inyectiva
La funcin tiene una asntota en % # 1, por lo queno puede tomar ese valor. No existe un 0 tal quep304 # 1. No es por tanto sobreyectiva
5. Funciones. Definicin
% # 0 > 30 > 2 %0 7 2% # 0 > 3 0 % 7 1 # 3 > 2% 0 # 3 > 2%% 7 1
57Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcin p:C CSolucin:
Al estar definida en C? va a ser inyectiva, pues al excluirse valores negativos se comprueba que 0I? # 0?? 0I # 0? 0I # 0?. (Ntese que si fuese definida en ?no sera inyectiva, pues el mismo valor de p 0 se puede conseguir con0 y con 70.
p 0 # 0?
No es sobreyectiva en C? pues hay valores del conjunto de llegada que no pueden obtenerse, como el 3,5,7,8. Y en ??
5. Funciones. Definicin
58Introduccin al Clculo Superior
Problemas: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguientes funciones
(b) p 0 # 75 7 0 > 4; 0 74; 0(c) p 0 # 20; 0 C(a) p 0 # 0?; 0 D
(d) p 0 # 60 > 9; 0
5. Funciones. Definicin
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
60Introduccin al Clculo Superior
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
Forma implcita vs explcita
Lo habitual es expresar la regla de correspondencia en la forma y=f(x). Por ejemplo % # p 0 # 30 > 2 . Esta forma se denomina explcita, pues queda clara (explcita) la relacin entre x e y. La y est despejada.
En este contexto, a x se le denomina variable independiente, o argumentode la funcin. A y se le denomina tambin variable dependiente.
Forma explcita
Forma implcita
De forma alternativa, y bajo ciertas condiciones (Teorema de la funcin implcita*) se podra expresar la regla de correspondencia como una ecuacin F(x,y)=0. Por ejemplo } 0, % # 30 7 % > 2 # 0. En este caso, la relacin entre x e y est implcita, pues la y no est despejada. No toda funcin explcita se puede reescribir en forma implcita. Cuando la regla de correspondencia de una funcin no puede expresarse de forma explcita, se denomina funcin implcita (no confundir con forma implcita)
* El Teorema de la funcin implcita no forma parte del temario de este captulo. Se menciona slo como observacin.
61Introduccin al Clculo Superior
Forma paramtrica vs forma cartesianaEn ocasiones es conveniente expresar los elementos de una funcin (x, y) en funcin de una tercera variable llamada parmetro (por ejemplo t )
Estas ltimas sera la forma paramtrica de la funcin. Si logramos relacionar x con y eliminando la presencia de t obtendremos la representacin clsica o cartesiana.
Una posible representacin paramtrica: 0 # 2+ > 5% # 3+ > 5Operando, tenemos:
0 # 2+ > 5 + # 30 7 54/2% # 3+ > 5 # 32 0 7 5 > 102 # 30 7 52
Representacin explcita :} 0, % # 30 7 2% 7 5 # 0 % # p 0 # ~f? (rep. implcita)
Las tres representaciones: explcita, implcita, paramtrica, son equivalentes.
Ejemplo:
(puede haber muchas)t es ahora la v. independiente
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
62Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Sea la funcin p: n o formada por las ecuaciones paramtricas0 # +? 7 4% # +2 ,con 0 G + G 4.Escribir la funcin en forma explcita e implcita. Haz el grfico.
Operando tenemos que + # 2% 0 # 4%? 7 4La ecuacin implcita sera F x, y # 4%? 7 0 7 4 # 0.Si no restringimos el rango y dominio, esta ecuacin F(x,y) no representa una funcin (ver figura).
Vemos que no hemos utilizado an0 G + G 4
Solucin:
continua
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
63Introduccin al Clculo Superior
Como 0 G + G 4 0 G ? G 4 Rangp: 0 G % G 4 Slo utilizamos la parte positiva del eje YEn la variable x tenemos 0 # +? 7 4
Como 0 G + G 4 0 G +? G 16 74 G +? 7 4 G 12 Domp:74 G 0 G 12El grfico de } 0, % # 4%? 7 0 7 4 # 0, con estas restricciones de Dominio y Rango, queda:
continua
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
64Introduccin al Clculo Superior
4%? 7 0 7 4 # 0 4%? # 0 > 4 % # m12 0 > 4Veamos ahora la funcin explcita
Como tenemos las restricciones de dominio y rangoRangp: 0 G % G 4Domp:74 G 0 G 12
Con ellas vemos que se cumple la restriccin, para que % , que 0 > 4 z 0 0 z 74. Por tanto la forma explcita de la funcin es p 0 # 12 0 > 4, 0 74; 12x
continua
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
65Introduccin al Clculo Superior
Tenemos en este caso, tres formas equivalentes de representar esta funcin:
Explcita:
p # 30, %4|% # I? 0 > 4 0 74; 12x p 0 # I? 0 > 4; 0 74; 12xImplcita: p # 30, %4|4%? 7 0 7 4 # 0 % 0; 4x
Paramtrica:
0 # +? 7 4,% # +2 ,con 0 G + G 4.
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
66Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Sea la relacin e # 0, % ? 0? > %? # 1a) Es una funcin?b) Cuantas funciones podramos obtener basndonos en esa relacin?c) Haya la funcin explcita que, basada en dicha relacin, cumpla que 0, % z 0
a) No es funcin. Para que lo fuese cada valor de x debera tener slo un valor f(x). En este caso, al ser la ec. de la circunferencia, cada x tiene dos valores de y
b) Infinitas. Cualquier arco de circunferencia que para cada x tuviese slo un valor de y.
c) Operando, y puesto que necesitamos que y>0, resulta % # 1 7 0?. La funcin esp 0 # 1 7 0?; 0 z 0.
Solucin:
6. Forma explicita, implcita y paramtrica
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones
7.1 Monotona7.2 Acotacin7.3 Periodicidad7.4 Simetras7.5 Funciones por tramos
8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
68Introduccin al Clculo Superior
7.1 Monotona.
Funcin montona creciente (estrictamente creciente)Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I W p 0?
Funcin montona no decreciente (creciente dbil)
Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I z p 0?
Funcin montona decreciente (estrictamente decreciente)Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I k p 0?
Funcin montona no cecreciente (decreciente dbil)
Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 0I 0? en el intervalo 0I W 0? implica que p 0I G p 0?
69Introduccin al Clculo Superior
7.1 Monotona.
Aunque una funcin no sea montona, se suele describir su carcter creciente o decreciente por intervalos
Describe la monotona de esta funcin en cada intervalo
70Introduccin al Clculo Superior
7.2 Acotacin
Una funcin f es acotada cuando el valor absoluto de la funcin es menor que cierto nmero real fijo. Otra definicin algo ms formal es
f acotada 0 DompM D| p 0 k MLa funcin puede tener slo cota superior o inferior (seran, entonces, no acotados)
71Introduccin al Clculo Superior
Una funcin es peridica si los valores de la funcin se repiten conforme se aade a la variable independiente un determinado periodo, quedandop 0 # p 0 > w 0 Domp
Donde P>0 es el periodo. Si se repite cada P periodos hay F=1/P ciclos por periodo.
Algunos grficos sacados de internet
7.3 Periodicidad
72Introduccin al Clculo Superior
7.4 Simetras (paridad)Algunas funciones muestran un comportamiento simtrico respecto a losejes. Esta simetra se denomina paridad. Las funciones puedenser pares, impares o no tener paridad.
Funcin parUna funcin es par si p 70 # p 0 , con0, 70 Domp.De esta forma el grfico de f presenta una simetra respeto al eje Y.
Funcin imparUna funcin es impar si p 70 # 7p 0 con 0, 70 Domp.De esta forma el grfico de f presenta una simetra respeto al origen.
Cmo sera una funcin que fuese simtrica respecto al eje X?Puede una funcin ser par e impar al mismo tiempo?
370, p 70 4
70
30, p 0 40
370, p 70 40
7030, p 0 4
30, 7p 0 4
73Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Determinar la paridad de las siguientes funciones definidas en
e4p 0 # 05 > |0|a4 p 0 # 2 0 > 0?
b4 p 0 # 0? > 1 fI
c4 p 0 # 0~
4p 0 #0
5 > 0
a) p 70 # 2 70 > 70 ? # 2|0| > 0? luego es par
b) p 70 # 70 ? > 1 fI # 0? > 1 fI luego es par
c) p 70 # 70 ~ # 70~ # 7p304 luego es impar
d4p 70 #f
fg 7p 0 ytambin g p 70 ,no tiene paridad
e) p 70 # fD|f|
# 7
D # 7p304, luego es impar
Solucin:
7.4 Simetras (paridad)
74Introduccin al Clculo Superior
Una funcin puede tener diferentes reglas de correspondencia en diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se les denomina por tramos o a trozos (piecewise definedfunction). Esta funcin por tramos puede interpretarse como la unin de funciones de dominios que no se solapan.
Ejemplo:
p 0 # 1 7 0si0 G 10?si0 W 1Evala p304, p314yp324y dibuja el grfico de la siguiente funcin
Para 0=0, se tiene que la funcin es p 0 # 1 7 0 p 0 # 1Para 0=1, se tiene que la funcin es p 0 # 1 7 0 p 1 # 0Para 0=2, se tiene que la funcin es p 0 # 0? p 2 # 4
Solucin:
7.5 Funcin definida por tramos
75Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Encuentra la regla de correspondencia para la funcin del siguiente grfico
Solucin:
p 0 # 170?, 0 k 10 7 1, 1 G 0 k 21, 0 z 2
7.5 Funcin definida por tramos
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones
8.1 Funcin inversa8.2 lgebra de funciones8.3 Transformacin de una funcin8.4 Composicin de funciones
9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
77Introduccin al Clculo Superior
Dada una funcin p biyectiva se define su funcin inversa o recproca, que denotaremos por p la que cumple que% # p 0 0 # p % , 0 Domp
Se tiene entonces que:
Domp # Rangp # 0Rangp # Domp # %Para el clculo de la funcin inversa tenemos que:
1. Comprobar que f es biyectiva.2. Despejar 0 0 # %3. Cambiar la notacin y se reemplaza % por 0 , y se denota p.
Nota: es preferible la notacin q a la notacin qfN,pues sta puede ser confundida con la inversa de afuncin q; es decir, 1/q . No hay que confundir la funcin inversa con la inversa de la funcin.
Las grficas que representan f y f* son simtricas con relacin a la primera diagonal, es decir, la recta y = x. Esta propiedad puede verse intuitivamente pues: p 0 # 0I, %I , 0?, %? , 0~, %~ , p # %I, 0I , %?, 0? , %~, 0~ ,
8.1 Funcin inversa
78Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Calcular la funcin inversa de p 0 # 20 y la inversa de la funcin, definida en ?.
La funcin es biyectiva, como puede comprobarse en el grfico (lnea roja). Puede entonces calcularse la funcin inversa. Despejando x:
Solucin:
0 # %2 p 0 # 02Que en la figura es la lnea azul.Por otra parte, la inversa de la funcin f ser
0 # 1p304 # 120 ,que es la lnea verde.
8.1 Funcin inversa
79Introduccin al Clculo Superior
y=x
8.1 Funcin inversa
80Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Calcula la funcin inversa de f(x), si existe.
Solucin:
p 0 # 0 > 30 > 2
Calculamos dominio y rango:
Domp: 0 > 30 > 2 z 0 0 37;73x 372;4Rangp: 0; 1 31;4En ese dominio y rango hay biyectividad.
% # 0 > 30 > 2 0 # 72 > 1%? 7 1
p 0 # 3 7 20?0? 7 1 ; 0 D 7 1
8.1 Funcin inversa
81Introduccin al Clculo Superior
y=x
8.1 Funcin inversa
82Introduccin al Clculo Superior
Problemas Calcula y grafica la funcin inversa de las siguientes funciones, si existe. p 0 # 75 7 0 > 4; 0 74; 0V p 0 # 0? 7 20; 0 1; 3 p 0 # 0?; 0 D p 0 # 30 > 1; 0 0,2 p 0 # 3 7 0~; 0 72; 2p p 0 # 0 > 0~
8.1 Funcin inversa
83Introduccin al Clculo Superior
Se denomina lgebra de funciones al conjunto de relaciones uoperaciones entre dos o ms funciones. Si dos funciones p 0 y 0 estndefinidas en , entonces es posible hacer operaciones numricas reales comola suma, resta, multiplicacin y divisin (cociente) con ellas.
SUMA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones f y g, con sus respectivos dominios, la suma f+g se define como
p > : p > 0 # p 0 > 0 ; 0 Dom3p > 4Dom3p > 4 # Domf DomgDadas las funciones f={(2,4),(3,1),(4,8),(9,4)} y g={(1,2),(2,4),(9,3)}, halle f+gEjemplo:
Los dominios son: 4 # 8, 3p > 439)=4+3=7. Por tantop > # 32,84, 39,74
8.2 lgebra de funciones
84Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: Dadas las funciones p 0 # 0 > 3 y 0 # 5 7 0 7 2(a) Halla el dominio de cada una de ellas(b) Determina el dominio de p > .(c) Especifica 3p > 4304
Solucin:
3a4Domp # 73; ; Dom # 37; 5x3b4Dom p > # Domp Dom # 73,5x3c4 p > 0 # 0 > 3 > 5 7 0 7 2
8.2 lgebra de funciones
85Introduccin al Clculo Superior
SUSTRACCIN DE FUNCIONESDadas dos funciones f y g, con sus respectivos dominios, se define la funcin diferencia como
Seanp 0 # 0~ 7 50 > 7; 0 374; 2x y 0 # 20? > 70 7 9; 0 73; Halla 3p 7 4304
Ejemplo:
p 7 0 # p 0 7 0 ; conDom p 7 # Domp Dom
Solucin: Dom p 7 # 373,2xp 7 0 # 0~ 7 20? 7 120 > 16
8.2 lgebra de funciones
86Introduccin al Clculo Superior
MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FUNCIONESDadas dos funciones f y g, con sus respectivos dominios, se define el productop y la divisin p/ como C
Ejemplo:
conDom p # Domp Dom%Dom p/ # Domp Dom 0 g 0Dadas las funciones p 0 # 0? 7 5; 0 72,1 y 0 # 0? 7 3calcula (a)p (b)
Solucin:3p 4 0 # 30? 7 5430? 7 34p 304 # 0? 7 50? 7 3 # 1 7 20? 7 3
Dom3p 4 # 72,1Dom3p/4 # 72,1 -{ 3
p 0 # p 0 0 ; 3f/g4 0 # p304/ 0
8.2 lgebra de funciones
87Introduccin al Clculo Superior
Mediante transformaciones simples podemos obtener funciones ms complejas a partir de funciones simples.Mediante la adicin de constantes podemos conseguir trasladar el grfico.
Traslacin en el eje XLa transformacin 0 # p 0 > permite desplazar la funcin en horizontal.Si W0, se traslada hacia la izquierda. Si k 0 se traslada hacia la derecha.p 0 > # 30 > 4?; # 72,0,2 p 0 > # 0 > sin30 > 4; # 0,1
8.3 Transformacin de una funcin
88Introduccin al Clculo Superior
Traslacin en el eje YLa transformacin 0 # p 0 > permite desplazar la funcin en vertical.Si W0, se traslada hacia arriba. Si k 0 se traslada hacia abajo.p 0 > 0 # 0? > ; # 72,0,2 p 0 > # 0 sin 0 > # 0,2
8.3 Transformacin de una funcin
89Introduccin al Clculo Superior
Mediante la multiplicacin de contantes W 1 podemos comprimir o expandir el grficoComprime/expande horizontalmente
La transformacin p 0 comprime horizontalmente por un factor c. La transformacin p 0/ expande horizontalmente por un factor c.
p 0 # 304?; # 1,2,0.5 p 0 # 0 sin304 ; # 1,2
8.3 Transformacin de una funcin
90Introduccin al Clculo Superior
Comprime/expande verticalmente
La transformacin p 0 expande verticalmente por un factor c La transformacin 31 4p 0 comprime verticalmente por un factor c
p 0 # 0?; # 1,2,0.5 p 0 # 0 sin304 ; # 1,2
8.3 Transformacin de una funcin
91Introduccin al Clculo Superior
Comprime/expande verticalmente
La transformacin p 0 expande verticalmente por un factor c La transformacin 31 4p 0 comprime verticalmente por un factor c
8.3 Transformacin de una funcin
92Introduccin al Clculo Superior
Podemos conseguir una imagen reflejada segn un eje multiplicando por (-1)
El grfico de 7p 0 es un reflejo de la funcin en el eje X El grfico de p3704es un reflejo de la funcin en el eje Y
8.3 Transformacin de una funcin
93Introduccin al Clculo Superior
La composicin es una operacin entre dos (o ms) funciones que consiste en aplicar una funcin al resultado (imagen) de la otra, es decir aplicar p33044. Se denota p (p compuesta con )
La composicin es por tanto la funcin p 0 # p3 0 4El dominio de esta nueva funcin ser aquel en el que 0 y p3304 estn definidas
Ejemplo: Si p 0 # 0? y 0 # 0 7 3, encuentra las funciones p y p .Solucin: p 0 # p 0 # p 0 7 3 # 0 7 3 ? p 0 # p 0 # 0? # 0? 7 3
8.4 Composicin de funciones
94Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo:
Solucin:
Si p 0 # 0y 0 # 2 7 0 encuentra p V p p p
p 0 # p3 2 7 0)= 2 7 0El dominio es 2 7 0 z 0 0 G 2
V p 0 # 0 # 2 7 0Para que p304 est definida su dominio debe ser 0 z 0. Para que pest definida su dominio debe ser 2 7 0 z 0 0 G 2. Por tanto el dominio es [0,4]
p p 304 # 0 ; 0 0,4 0 # 2 7 2 7 0;0 72,2x
8.4 Composicin de funciones
95Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo:
Solucin:
Encuentra la composicin p dondep 0 # DI ; 0 # 0I; 0 # 0 > 3
p 0 # p3 0 # p3 0 > 3 # p 0 > 3 I# 0 > 3 I0 > 3 I > 1 ; 0
8.4 Composicin de funciones
96Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo:
Solucin:
Transforma la siguiente funcin en una composicin de funciones ms elementales
} 0 # cos?30 > 94
0 # 0 > 9; 0 # cos 0 ; p 0 # 0?De esta forma se tiene que 3p 4304 # cos?30 > 94
8.4 Composicin de funciones
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
98Introduccin al Clculo Superior
En esta seccin se har una panormica de los tipos de funciones matemticas mscomunes. Se pueden plantear infinidad de funciones. Sin embargo, un gran nmero deellas admite una clasificacin sencilla, que ayuda a entender su naturaleza, por lo que espertinente presentarlas, de forma resumida, en este tema.
Funciones elementales Funciones no elementales
FUNCIONES
Funciones polinmicas. Funcin exponencial. Funciones trigonomtricas. Funciones que pueden obtenerse a partir de las anteriores
mediante alguna de las siguientes operaciones:o Operaciones algebraicas ( +,-,*,/).o Transformaciones o Composicin de funciones
elementales.o Inversa de funciones elementales.
El resto
9. Tipos de funciones
99Introduccin al Clculo Superior
Funciones elementales Funciones no elementales
FUNCIONES
Algebraicas Trascendentes
Una funcin se dice algebraica si en suformulacin solo intervienen las operacionesalgebraicas de suma, diferencia, multiplicacin,divisin y potenciacin, si una funcin no esalgebraica es trascendente
Una funcin trascendente es una funcin quetrasciende al lgebra en el sentido de que nopuede ser expresada en trminos de unasecuencia finita de operaciones algebraicas desuma, resta y extraccin de races
9. Tipos de funciones
100Introduccin al Clculo Superior
Funciones elementales Funciones no elementales
FUNCIONES
Algebraicas Trascendentes
Polinmicas Potencial Racionales
p 0 # > I0 > ?0?>> 0p 0 # 0, p 0 # w304304,*w 0 , 0 polinomios
9. Tipos de funciones
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas
10.1 Polinmicas10.2 Potenciales10.3 Racionales
11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
102Introduccin al Clculo Superior
Una funcin p304 se llama polinmica si es de la formap 0 # > I0 > ?0? >> 0; * C
, I, , son constantes, y se denominan coeficientes del polinomio. Si g 0 el polinomio es de orden n. Por ejemplo, la siguiente funcin es polinmica de orden 5.w304 # 3 > 50 7 60n=0 Funcin constante p304 #
Veamos algunos casos:
Se suele utilizar para construir funciones por tramos
10.1 Funciones polinmicas
103Introduccin al Clculo Superior
n=1 Funcin lineal p 0 # > V0
Si a=0 y b=1 se denomina funcin identidad p 0 # 0(Dibjala)
pendienteinters. con eje Y
10.1 Funciones polinmicas
104Introduccin al Clculo Superior
n=2 Funcin cuadrtica p 0 # 0? > V0 > Tienen siempre forma de parbola. Si es p 0 # 0?, la parbola tiene elvrtice en (0,0). En cualquier otro caso, es una parbola desplazada. Si W 0 se abre hacia arriba (convexa*), y si k 0 se abre hacia abajo(cncava*). Cuanto mayor es || ms cerrada es la parbola.
*La convencin para denotar una curva como cncava o convexa es mirndolas desde el 7 del eje Y.Tambin se usa la terminologa convexa=cncava hacia arriba y cncava=cncava hacia abajo
10.1 Funciones polinmicas
105Introduccin al Clculo Superior
10.1 Funciones polinmicas
106Introduccin al Clculo Superior
n=3 Funcin cbica p 0 # 0~ > V0? > 0 > Su comportamiento depende de los coeficientes. Podra cambiar hasta dos veces de curvatura (pasar de cncava a convexa).
Una funcin polinmica de orden n puede cambiar hasta n-1 veces de curvatura.
10.1 Funciones polinmicas
107Introduccin al Clculo Superior
Una funcin potencial es de la forma p 0 # 0; (en las polinmicas se tena que C)
Si # C es un caso particular de funcin polinmica
Si n es par es similar a la parbola. Si es impar, es no decreciente.
Si n es grande, para |0| W 1la funcin va hacia m muy rpido, mientras que para 0 k 1 va a cero muy rpidamente
Veamos algunos casos de inters especial.
10.1 Funciones potenciales
108Introduccin al Clculo Superior
Si # N/ C se denominan tambin p)*&,*' &', pues se tiene que p 0 # 0 # 0
Si # 7 C tenemos funciones con forma de hiprbola. Si * # 71se denomina funcin recproca. Estas funciones pueden escribirse como p 0 # I . Se suelen usar para 0 z 0.
p304 # 1/0~p304 # 1/0?
p304 # 10
10.1 Funciones potenciales
109Introduccin al Clculo Superior
Una funcin racional es el resultado de dividir dos funciones polinmicas
p 0 # w304304 ,donde w 0 y 304 son funciones polinmicas. El dominio sern todos los valores de 0 tales que 0 g 0. En las races del denominador habr asntotas.
p 0 # 0~2 7 0?
10.3 Funciones racionales
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes
11.1 Trigonomtricas11.2 Exponenciales11.3 Logartmicas11.4 Hiperblicas
12. Funciones no elementales
111Introduccin al Clculo Superior
Funciones elementales Funciones no elementales
FUNCIONES
Algebraicas Trascendentes
Bsicas Otras
Trigonomtricas HiperblicasLogartmicaExponencial
Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente, y sus inversas
seno hiperblico, coseno hiperblico, etc, y sus inversas.
11. Funciones elementales trascendentes
112Introduccin al Clculo Superior
Funciones trascendentes
Algunos nmeros reales satisfacen ecuaciones con coeficientes enteros* (ecuacin algebraica): 89 satisfacelaecuacin90 7 8 # 05satisfacelaecuacin0? 7 5 # 0Estos nmeros se llaman algebraicos.
Otros nmeros reales no son algebraicos; es decir, no son las races de polinomios de coeficientes enteros. Por ejemplo, el nmero . Se llaman trascendentes.Con las funciones puede realizarse una analoga similar. Algunas funciones satisfacenecuaciones algebricas; es decir, ecuaciones polinomiales con coeficientespolinomiales. Por ejemplo
p 0 # 2 0 7 30?satisfacelaecuacin p 0 ? > 60?p 0 > 90 7 40 # 0Estas funciones se denominan algebraicas. Las que no lo son, se denominantrascendentes.
*Una ecuacin algebraica con coeficientes racionales siempre puede convertirse en una ecuacin con coeficientes enteros.
11. Funciones elementales trascendentes
113Introduccin al Clculo Superior
Funciones trigonomtricas:
0,0 A(1,0)
B(cos , sin )
gradosgradosgradosgrados # O radianesradianesradianesradianes
log. arco=un radio
1 grado 0.0175 radianes 1 radian 57.3 grados
Crculo unidad
Radian: medida del ngulo (ensentido antihorario) cuyos lados cortanun arco igual en longitud al radio de lacircunferencia. Como la longitud deeste arco es un radio, la medida deeste ngulo se denomina radin.
11.1 Funciones trigonomtricas
114Introduccin al Clculo Superior
Recordatorio (siempre en radianes salvo que se diga lo contrario)'* # 3sin 4
tan # %
csc # %,' # % sec # %
cot # %
11.1 Funciones trigonomtricas
115Introduccin al Clculo Superior
Funcin seno
p 0 # '* 0 ; 0 Funcin coseno
0 # ,' 0 ; 0
En ambas, el dominio es , y el rango es
Los ceros de '*304 son los mltiplos de , y los de cos304 los mltiplos de 2 . Son funciones llamadas tambin circulares, por ser peridicas de periodo 2.r '* 0 # '* 0 > 2* , cos 0 # cos 0 > 2* , * # 1,2,3, El seno es funcin impar, y el coseno es funcin par.
11.1 Funciones trigonomtricas
116Introduccin al Clculo Superior
Funcin tangente
p 0 # +* 0 # '*304cos304 ; 0 7 * 7 12 , * El dominio es la recta real salvo los puntos en los que el coseno es nulo, es decir, los mltiplos de 2.El rango es 37,4Es una funcin peridica, de periodo .Es una funcin impar.
11.1 Funciones trigonomtricas
117Introduccin al Clculo Superior
Funciones trigonomtricas inversas La funcin inversa del seno es el arcoseno: '* 0
11.1 Funciones trigonomtricas
118Introduccin al Clculo Superior
Funciones trigonomtricas inversas
La funcin inversa del coseno es el arcocoseno: ,' 0
11.1 Funciones trigonomtricas
119Introduccin al Clculo Superior
Funciones trigonomtricas inversas
La funcin inversa de la tangente es el arcotangente: +* 0
7 O
O
11.1 Funciones trigonomtricas
120Introduccin al Clculo Superior
Funciones exponenciales
Una funcin exponencial es del tipo p 0 # ; D, 0
W 1
a=10a=5a=2
Rango: 0, Da=0.5a=0.2a=0.1
k 1Tambin se llaman exponencial en base a
11.2 Funciones exponenciales
121Introduccin al Clculo Superior
Funciones exponenciales
Una funcin exponencial es del tipo p 0 # ; D, 0 Rango: 0, DAlgunas propiedades:
# D # V # V, , V W 0 0 k % W 1 k 0 k % 0 k k 1 W
11.2 Funciones exponenciales
122Introduccin al Clculo Superior
El nmero eExiste un nmero W 0que tiene una gran importancia en matemtica. Se denomina nmero o de Euler (Oiler) (matemtico del s. XVIII) , o tambin constante de Napier (Neper) (matemtico el XVII).El nmero es irracional, como el nmero . Aproximadamente, 2.72
p 0 # 1.5 p 0 # p 0 # 5
pendiente en (0,1)=1
11.2 Funciones exponenciales
123Introduccin al Clculo Superior
Funcin logartmicaEs La funcin inversa, o recproca, de la exponencial. Su notacin es p 0 # log304Se lee logaritmo en base a de x, y cumplelog # 0 y # 0
124Introduccin al Clculo Superior
Algunas propiedades: si 0, % D y D 7 13a4 log 0% # log 0 > log %3b4 log 0% # log 0 7 log %3c4 log 10 # 7log 03d4 log 0 # % log 03e4 siy # log 0 % # log 0log obien log 0 # log : log 0 .
Las bases ms habituales son # y despus # 10.Si ln 25 # 3.22, y logI # 0.4343Cunto vale logI 25?
logI 25 # logI : log 25 # 0.4343 : 3.22 # 1.398
regla de la cadena
11.3 Funcin logartmica
125Introduccin al Clculo Superior
11.3 Funcin logartmica
126Introduccin al Clculo Superior
Ejercicios: Usando el winplot grafica ln 0 , ln I , logI 0? Utilizando la regla de la cadena para conversin de bases, grafica:
log~ 0? log. 0 log 0fI
Calcula log 10 Demuestra queI # I Sabiendo que ln324 # 0.6931, calcula ln384
11.3 Funcin logartmica
127Introduccin al Clculo Superior
Ejercicio
11.3 Funcin logartmica
Analiza y grafica la funcin p 0 # ln 1 > 0Solucin:
El dominio son los valores positivos del argumento de ln34. Es decir,Domp # 0 | 1 > 0 W 0 0 W 71
Para dicho dominio, el rango de la funcin es
128Introduccin al Clculo Superior
Ejercicio
11.3 Funcin logartmica
Analizemos ahora la funcin p 0 # 7ln 0 7 1Solucin:
De nuevo, el dominio son los valores positivos del argumento de ln34. Es decir,Domp # 0 | 0 7 1 W 0 0 W 1
Para dicho dominio, el rango de la funcin es tambin
129Introduccin al Clculo Superior
Ejercicio
11.3 Funcin logartmica
Analizemos ahora la funcin que resulta de sumar ambas funciones, es decir, p 0 # ln30 > 147ln 0 7 1
Solucin:Al tratarse de una suma de funcione, el dominio ser la interseccin de los dominios:
Domp # 0 W 71 0 W 1# 0 W 1Como ln es montonacreciente, al ser 0 > 1 W 0 71 ln 0 > 1 W ln 0 7 1 p 0 W 0. A medida que xcrece 0 > 1 0 7 1 por lo quela funcin tiende a cero. Elrango esRanp: % D
130Introduccin al Clculo Superior
Ejercicio
11.3 Funcin logartmica
Finalmente, analiza la funcin p 0 # ln DIfI y comprala con la del ejercicio anterior
Solucin: Al tratarse de un logaritmo, el dominioser el conjunto de valores de x quehaga que el argumento de ln seapositivo. Es decir:0 > 10 7 1 W 0
Para ello, el numerados y eldenominador deben tener el mismosigno
0 > 1 W 0 0 7 1 W 0 0 W 10 > 1 k 0 0 7 1 k 0 0 k 71
131Introduccin al Clculo Superior
Ejercicio
11.3 Funcin logartmica
Finalmente, analiza la funcin p 0 # ln DIfI y comprala con la del ejercicio anterior
Solucin: La funcin tiene entonces dos ramas. La ramacorrespondiente al caso
0 > 1 W 0 0 7 1 W 0 0 W 1Es sencilla de representar, pues (slo) en esa zona se cumple la propiedad de los logaritmos por la que
ln 0 > 10 7 1 # ln 0 > 1 7 ln 0 7 1Por tanto, en ese tramo es igual a la funcin representada anteriormente
132Introduccin al Clculo Superior
Ejercicio
11.3 Funcin logartmica
Finalmente, analiza la funcin p 0 # ln DIfI y comprala con la del ejercicio anterior
Solucin: La segunda zona corresponde al caso.
0 > 1 k 0 0 7 1 k 0 0 k 71En 0 # 71hay una asntota, al tenerse ln 0 # 7. Desde esa asntota la curva se va a cero a medida que x va hacia 7pues vuelve a cumplirse que
0 > 1 0 7 1 ln 0 > 10 7 1 0
133Introduccin al Clculo Superior
Ilustracin de las llamadas secciones cnicas
circunferencia elipse parbola hiprbola
11.4 Funciones hiperblicas
134Introduccin al Clculo Superior
La hiprbola es una curva plana, abierta, con dos ramas.Es el lugar geomtrico de lospuntos cuya diferencia dedistancias a otros dos fijosllamados focos es constante eigual a la distancia entre susvrtices AB.w}I 7 w}? #
Funciones hiperblicas: se generan a partir de las coordenadas cartesianas de un punto que recorre la hiprbola equiltera
P(x,y)
P
11.4 Funciones hiperblicas
: 0? 7 %? # 1
135Introduccin al Clculo Superior
11.4 Funciones hiperblicas
136Introduccin al Clculo Superior
P(x,y)
O M
P*
A
Q
AP: arco de la hiprbolaOAP: sector de la hiprbola
11.4 Funciones hiperblicas
137Introduccin al Clculo Superior
P(x,y)
O M
P*
A
Q
AP: arco de la hiprbolaOAP: sector de la hiprbola
u=2 x rea OAP
u
138Introduccin al Clculo Superior
Funcin seno hiperblico: senh(u), sinh(u)
p ) # sinh ) # 7 f2 # 2 7 f2P(x,y)
0 # cosh)
% # sinh)
Funciones hiperblicas
Nota: se puede escribir sinh(x), pero usamos la letra u como argumento en esta transparencia para poder mostrar la representacin cartesiana de las funciones hiperblicas en los eje x e y.
u
f(u)=sinh(u)
11.4 Funciones hiperblicas
139Introduccin al Clculo Superior
Funcin seno hiperblico: senh(x), sinh(x)
p 0 # sinh 0 # 7 f2 # 2 7 f2Funciones hiperblicas
Dominio:Imagen:
cosecante hiperblicasech 0 # 1sinh304 Dominio:\0Imagen: \0arcoseno hiperblicosinhfI3x4 # ln30 > 0? > 14 Dominio:Imagen:
Aqu ya henos cambiado a la notacin y=f(x), ms habitual.
11.4 Funciones hiperblicas
140Introduccin al Clculo Superior
Funcin coseno hiperblico: cosh p 0 # cosh 0 # > f2 # 2 > f2catenaria
Dominio: Imagen: 1,
secante hiperblicacsch 0 # 1cosh304 Dominio:Imagen: 0,14arcocoseno hiperblicocoshfI 0 # ln 0 7 0? 7 1 Dominio:1,4Imagen: 0,4
11.4 Funciones hiperblicas
141Introduccin al Clculo Superior
Funcin tangente hiperblica: tanh
p 0 # tanh304 # sinh304cosh304 # 7 f > f
Tambin se puede definir, de manera anloga a las funciones circulares, la cotangente, secante y cosecantes hiperblicas, as como sus inversas (arcotangente hiperblica)
11.4 Funciones hiperblicas
142Introduccin al Clculo Superior
Ejercicios:14sinh 0 #?24Demuestraque coshfI 0 # ln 0 7 0? 7 1 34Comprueba que las funciones hiperblicas se generan a partir
de las coordenadas cartesianas de un punto que recorre
la hiprbola equiltera 0? 7 %? # 1 44Demuestraque cosh 20 # cosh? 0 > sinh? 0
11.4 Funciones hiperblicas
143Introduccin al Clculo Superior
Solucin:
14sinh 0 # 2 7 f2 #12 7 12 # 0
24argcosh x # y 0 # ,' % , 0 z 0. Portanto 0 # 2 > f2 20 # > f 20 # ? > 1Si llamamos ) # ? )? 7 20) > 1 # 0 ) # 0 > 0? 7 2 % # ln 0? 7 2
340 # sinh); % # cosh); Si 0? 7 %? # 1 cosh? ) 7 sinh? ) # 1 > f2
? 7 7 f2? # ? > f? > 2f 7 ? 7 f? > 2f4 # 1
11.4 Funciones hiperblicas
144Introduccin al Clculo Superior
Solucin:
44cosh 20 # cosh? 0 > sinh? 0cosh 20 # ?2 > f?2
cosh? 0 > sinh? 0 # > f2? > 7 f2
?
# ? > f? > 2f > ? > f? > 2f4# 2? > 2f?4 # ?2 > f?2
11.4 Funciones hiperblicas
Tema 1- Relaciones y funciones
ndice1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos5. Funciones. Definicin6. Forma explcita, implcita y paramtrica7. Algunas propiedades de las funciones8. Operaciones con funciones9. Tipos de funciones10. Funciones elementales algebraicas11. Funciones elementales trascendentes12. Funciones no elementales
12.1 Funcin indicatriz12.2 Funcin escalonada12.3 Funcin escaln unitario12.4 Funcin de parte entera12.5 Funcin signo12.6 Funcin valor absoluto
146Introduccin al Clculo Superior
Funciones elementales Funciones no elementales
FUNCIONES
Bsicas especiales Otras
Funcin indicatriz Funcin escalonada Funcin escaln unitario Funcin de parte entera Funcin signo Valor absoluto
12. Funciones no elementales
147Introduccin al Clculo Superior
Funcin indicatriz
La funcin indicatriz o caracterstica de un subconjunto nes una funcin definida en el conjunto nque indica la pertenencia o no de cada elemento de n en . (Se usa mucho multiplicando a otras funciones) 1: n 0,1
N 0 # 1si0 0si0 inEjemplo:X={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6} N 3 # 0
12.1 Funcin indicatriz
148Introduccin al Clculo Superior
Queremos construir una funcin que valga 1 si0 2,3xy cero en el resto.Definimos A=[2,3]
N 0 # 1si0 0si0 in
Ejemplo:
12.1 Funcin indicatriz
149Introduccin al Clculo Superior
Ahora queremos construir una funcin que sea p 0 # sinh 0 , 0 2,3xy cero en el resto.
p 0 # 1304 : sinh304
Ejemplo:
12.1 Funcin indicatriz
150Introduccin al Clculo Superior
Funcin escalonadaUna funcin escalonada es una funcin por tramos, donde en cada tramo toma un valor constante. No necesariamente es creciente o decreciente.
Dado el intervalo [a, b] una particin P de dicho intervalo es un conjunto de puntos 0I k 0? k k 0f? k 0fI de dicho intervalo, no necesariamente equidistantes, que lo divide en n sub-intervalos. En cada subintervalo tiene un valor constante
a b0~ 0f? 0fI0?0I
12.2 Funcin escalonada
151Introduccin al Clculo Superior
Funcin escaln unitarioLa funcin escaln unitario o funcin de Heaviside (en honor al matemticoingls Oliver Heaviside, s. XIX). Es un caso particular de funcin escaln, cuyo valor es) 0 =0 para 0 k 0 y ) 0 #1 para 0 z 0
) 0 0 # 0si0 k 01si0 z 0
Nota: tambin suele definirse como una funcin con valor 0 para r k , 1 para r W , y para x=0. As se tiene una funcin simtrica.
12.3 Funcin escaln unitario
152Introduccin al Clculo Superior
Sea la funcin
f 0 # 0si0 k 101si0 z 10Reescrbela para que se tenga una funcin de escaln unitario
Solucin:
Ejemplo:
Para que sea de escaln unitario debe ser 1 cuando el argumento de la funcin sea positivo, y 0 en el resto. Definimos lafuncin # 304 # 0 710.Entoncesp 0 7 10 # 0si0 7 10 k 101si0 7 10 z 10 p 0 7 10 # 0si0 k 01si0 z 0
0 # 3p 4304 # 0si0 k 01si0 z 0Donde 304 consiste primero en obtener v=x-10 y luego aplicar f(v). Esta composicin equivale a escribir 0 7 10 ) 0 7 10 .
12.3 Funcin escaln unitario
153Introduccin al Clculo Superior
) 0 0 # 0si0 k 1si0 z c
12.3 Funcin escaln unitarioPara dar flexibilidad a la definicin de escaln unitario, existe la siguiente definicin alternativa:
que es equivalente a escribir ) 0 7 y 0 7 , respectivamente.
0 a
1
154Introduccin al Clculo Superior
La funcin de parte entera, es una funcin tal que para cualquier valor real de 0; p30) es nmero entero ms prximo a x. Es tambin un caso particular de funcin escalonada.
Es, por tanto, una funcin p: Existen varias alternativas para esta funcin:
Funcin piso o suelo: (tambin llamada mximo entero) a cada nmero real se le asigna el nmero entero ms prximo por defecto; es decir, el mayor nmero entero que es menor o igual que ese nmero real. Por ejemplo, para x=4.3, sera 4.Para x=-2.8 sera -3. Notacin : E[x] [x] 0 , int(x), 0
Funcin techo: el nmero natural que se asigna es el ms prximo por exceso. Es el menor nmero entero que sea mayor que el real dado. Por ejemplo, para x=4.3, sera 5.Para x=-2.8 sera -2. Notacin 0
Funcin redondeo: A cada nmero real se le asigna el entero ms prximo segn su decimal. Por ejemplo, para x=4.3, sera 4, y para x=4.5 sera 5. Para x=-2.8 sera -3, y para x=-2.3 sera -2.
Funcin truncamiento: a cada nmero real se le asigna el entero que resulta de ignorar la parte decimal. Por ejemplo, para x=4.3, sera 4, y para x=4.5 sera 4. Para x=-2.8 sera -2, y para x=-2.3 sera -2.
Nota: no hay una notacin generalmente aceptada para estas funciones
12.4 Funcin de parte entera
155Introduccin al Clculo Superior
Ejemplo: funcin parte entera suelo
12.4 Funcin de parte entera
156Introduccin al Clculo Superior
A qu corresponden cada una de las siguientes expresiones, a funcin suelo, techo, redondeo, truncamiento, o ninguna de las anteriores?
4% # max | G 0 4% # min |0 G
4% # %: % 0 % G 0 G % > 1V4% # %: % 0 % 7 1 k 0 G %
4p 0 # 0 > 12p4p 0 # 0 7 124p304 # 0 si0 z 00 si0 k 0 4'*304 0 prximamente
12.4 Funcin de parte entera
157Introduccin al Clculo Superior
Funcin signoLa funcin signo (signum) es un caso particular de funcin escaln, que proporciona el signo de un nmero real. Se representa generalmente mediante '*304
p 0 '* 0 # 1si0 W 00si0 # 071si0 k 0
Dom f?Ran f?Paridad?
12.5 Funcin signo
158Introduccin al Clculo Superior
Funcin valor absolutoLa funcin valor absoluto o mdulo devuelve, para un nmero real, el mismo valor pero ignorando su signo
Es una funcin a trozos, uno para los valores positivos del argumento y otro para los negativos
p 0 # 0si0 z 070si0 k 0Notacin |x|
12.6 Funcin valor absoluto
159Introduccin al Clculo Superior
Ejemplos
Graficar | sinh 0 |p 0 # sinh304 si0 z 07 sinh304 si0 k 0
p 0 # |sinh304|
12.6 Funcin valor absoluto
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