Análisis de Fourier
DFT/FFT
24/08/2011 Señales y Sistemas 2
Temas a tratar
Introducción
Series de Fourier
Transformada continua de Fourier
Propiedades y transformada inversa
Transformada discreta de Fourier
Alias de muestreo en el dominio
de la frecuencia
Algoritmos de cálculo.
“Análisis” en frecuencias
La luz del sol puede descomponerse en un espectro de
colores.
El sonido puede descomponerse en señales de
frecuencias puras.
Este análisis puede extenderse también a una amplia
variedad de señales analógicas o digitales.
24/08/2011 Señales y Sistemas 3 24/08/2011 Señales y Sistemas 4
Un poco de historia...
En 1807 Fourier estudiaba el fenómeno de la
conducción del calor en un cuerpo.
Le interesaba en particular el problema de la
difusión del calor en los cañones…
24/08/2011 Señales y Sistemas 5
Un poco de historia...
Sabía que:
– una cuerda puede vibrar de varios modos, pero
todos armónicos (la relación entre sus frecuencias es
un número fraccionario, Euler 1748).
– las proyecciones de un vector rotativo con velocidad
angular fija sobre los ejes x e y dan el coseno y el seno
del ángulo correspondiente.
24/08/2011 Señales y Sistemas 6
Un poco de historia...
La nota producida por una cuerda vendrá
determinada por la longitud (L), la tensión (T), la
densidad (d) y la sección (S).
– Así, si disponemos de una cuerda muy tensa y fina,
obtendremos una nota aguda;
– y por el contrario, si la cuerda está poco tensa y es
gruesa, la nota será grave.
24/08/2011 Señales y Sistemas 7
Un poco de historia...
La frecuencia se puede encontrar a partir de la
fórmula:
1
2
Tf
L d S
24/08/2011 Señales y Sistemas 8
Un poco de historia...
Con estos conceptos Fourier elaboró su
teoría:– Sumando funciones armónicas de diferente amplitud y
fase podemos construir cualquier función periódica (y
la uso para resolver la ecuación del calor).
– El conjunto de estas armónicas forma el espectro (por
“spectrum”, Newton 1670).
24/08/2011 Señales y Sistemas 9
Un poco de historia...
Su trabajo fue publicado recién en 1822:
Lagrange Laplace
24/08/2011 Señales y Sistemas 10
¿Qué es el Análisis de Fourier...?
Análisis:
– Consiste en aislar los componentes del sistema que
tienen una forma compleja para tratar de comprender
mejor su naturaleza u origen.
24/08/2011 Señales y Sistemas 11
¿Qué es el Análisis de Fourier...?
Se dedica al estudio de señales: periódicas o no
periódicas, continuas o discretas, en el dominio
del tiempo, o de cualquier otra variable
unidimensional, bidimensional o
multidimensional.
En sus versiones más avanzadas estudia: procesos
estocásticos, funciones de distribución, y
topologías complejas, pero sus fundamentos
siguen siendo muy simples.
24/08/2011 Señales y Sistemas 12
¿Qué es el Análisis de Fourier...?
Las señales pueden ser tan variadas como:
– La población de un país a lo largo de los siglos.
– La altura de las mareas en su ciclo mensual.
– La irradiación de una antena, en función del ángulo.
– La forma de onda de la vocal /A/ del francés.
– La iluminación en cada punto de una imagen de TV.
– Las espigas de un electroencefalograma (EEG).
– las rugosidades en el perfil de un terreno.
– las variaciones de resistividad eléctrica, mientras se explora el perfil de un pozo de petróleo.
24/08/2011 Señales y Sistemas 13
Transformada de Fourier
La TF es una representación de una función
en el dominio de la frecuencia:
– Contiene exactamente la misma información
que la señal original
– Sólo difiere en la manera en que se presenta
24/08/2011 Señales y Sistemas 19
Por ejemplo:
la fundamental
menos 1/3 de la 3er armónica...
más 1/5 de la 5ta armónica...
menos 1/7 de la 7ma armónica....
Una onda cuadrada puede obtenerse sumando:
Problema en el
DominioTransformado
Problema
Original
Solución en el
Dominio Transformado
Solución del
Problema original
Transformación
Solución relativamente fácil
Solución difícil
Transformada Inversa
Solución de Problemas
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas"
(dominio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver
al transformarlo al dominio f.
Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en
el espacio original.
24/08/2011 20Señales y Sistemas 24/08/2011 Señales y Sistemas 21
El piano como “analizador” espectral:
Abrir la tapa del piano y presionar el pedal que controla la intensidad.
Aplaudir fuerte sobre el piano.
Se verán y oirán las cuerdas vibrando como eco al sonido del aplauso.
Las cuerdas que vibran muestran las componentes de frecuencia.
La cantidad de vibración muestra la amplitud de cada una.
Cada cuerda actúa como un resonador sintonizado cuidadosamente.
Nuestro oído
funciona “así”
24/08/2011 Señales y Sistemas 22
El oído como analizador
espectral Curvas de
sintonía de
las fibras
del nervio
auditivo
24/08/2011 Señales y Sistemas 23
Tiempo vs Frecuencia
Entender la relación entre tiempo y frecuencia es útil:
– Algunas señales se visualizan mejor en la frecuencia.
– Algunas señales se visualizan mejor en el tiempo.
– Esto tiene que ver con la forma en que se presenta la información en cada dominio.
Ejemplo:
– Una onda senoidal utiliza “mucha” información para definirse adecuadamente en el tiempo, pero no en la frecuencia.
La familia de Fourier
24/08/2011 Señales y Sistemas 37
Funciones de Fourier
Senos y cosenos con frecuencias discretas
– Series seno y coseno
Exponenciales complejos con frecuencia discreta
– Series de Fourier
Exponenciales complejos continuos
– Transformada continua de Fourier
Exponenciales complejos discretos
– Transformada discreta de Fourier
24/08/2011 Señales y Sistemas 38
x(t)
periódica Serie de Fourier (discreta e infinita)
(FS) (Caso Par/Impar Coseno/Seno)
no periódica Transformada de Fourier (continua)
(FT)
muestreada
Transformada Discreta de Fourier
(DFT) (discreta y finita)
Transformada Rápida de Fourier
(FFT)
Transformada de Fourier de una
Secuencia Discreta (continua y periódica)
(DFT)
¿Y si x(t) es aleatoria?
Estimación Espectral
24/08/2011 Señales y Sistemas 39
Estimación espectral
Si x(t) es aleatoria no puedo conocer exactamente su espectro, debo estimarlo.
Métodos:
– No paramétricos
– Paramétricos
– Subespacio
24/08/2011 Señales y Sistemas 40
Series seno: base
tnftn 02sin)(
•
•
•24/08/2011 Señales y Sistemas 41
Series seno: transformación
2/
2/
0
0
0
0
2sin)(2
T
T
n dttnftxT
a
24/08/2011 Señales y Sistemas 42
Series seno: inversa
0
02sin)(n
n tnfatx
24/08/2011 Señales y Sistemas 43
Series coseno:
0
02cos)(n
n tnfbtx
tnftn 02cos)(
2/
2/
0
0
0
0
2cos)(2
T
T
n dttnftxT
b
24/08/2011 Señales y Sistemas 44
Series de Fourier: base
tnfj
n et 02)(
•
•
•24/08/2011 Señales y Sistemas 45
Serie de Fourier
Si x(t) = x(t+T) " t
x ta
a kt T b kt T
donde
aT
x t kt T dt k
bT
x t kt T dt k
kk
k
k
T
T
k
T
T
( ) [ cos( / ) sen( / )]
( ).cos( / ) , , ,...
( ).sen( / ) , ,...
/
/
/
/
0
1
2
2
2
2
22 2
22 0 1 2
22 1 2
24/08/2011 Señales y Sistemas 46
Serie de Fourier
Si x(t) = x(t+T) " t
x ta
a kt T b kt T
donde
aT
x t kt T dt k
bT
x t kt T dt k
kk
k
k
T
T
k
T
T
( ) [ cos( / ) sen( / )]
( ).cos( / ) , , ,...
( ).sen( / ) , ,...
/
/
/
/
0
1
2
2
2
2
22 2
22 0 1 2
22 1 2
1
2
0
0 0
Tf
f
,...2,1,0)(
)(1
)/2(
)/2(
2/
2/
kectx
dtetxT
c
k
Ttkj
k
Ttkj
T
T
k
24/08/2011 Señales y Sistemas 47
Serie de Fourier
La forma compleja de la serie de Fourier es
Ecuación de Síntesis
Ecuación de Análisis
24/08/2011 Señales y Sistemas 48
x(t) puede expresarse como una suma de armónicos de
la frecuencia fundamental 1/T
A a b
b a
k k k
k k k
2 2 1 2
arctg
1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T fk
Ak
1/T 4/T 5/T 6/T fk
k
2/T 3/T
Serie de Fourier
24/08/2011 Señales y Sistemas 49
Espectro de una señal periódica
1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T fk
|ck|
1/T 4/T 5/T 6/T fk
k
2/T 3/T
Espectro de Magnitud Espectro de Fase(Discretos)
De la Serie de Fourier a
la Transformada de Fourier
La SF nos permite obtener una representación
en el dominio de la frecuencia de funciones
periódicas x(t).
¿Es posible extender las SF para obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones no periódicas?
24/08/2011 50Señales y Sistemas
¿ó ?
T ¿Qué ocurre cuando ?
0 0f
Consideremos la función periódica:
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1x(t)
t
. . . -T -T/20 T/2
T . . .
p
-p/2p/2
22
22
22
0
1
0
)(
Tp
pp
pT
t
t
t
tx
24/08/2011 52Señales y Sistemas
Haciendo las cuentas…
Los coeficientes de la serie compleja de Fourier
son (en este caso todos reales):
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn contra = n0.
)(
)(
20
20
p
p
nn
nsen
T
pc
24/08/2011 53Señales y Sistemas
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
cn
24/08/2011 54Señales y Sistemas
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T = 20
t
f(t)
24/08/2011 55Señales y Sistemas
-50 0 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
p = 1, T = 5
-50 0 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
p = 1, T = 10
-50 0 50-0.02
0
0.02
0.04
0.06p = 1, T = 20
-50 0 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6p = 1, T = 2
=n0
cn
...el espectro se "densifica". En el límite cuando T, la función deja de serperiódica:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie deFourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p = 1, T =
t
f(t)
24/08/2011 57Señales y Sistemas
Si se hace T muy grande (T), el espectro se
vuelve "continuo":
24/08/2011 58Señales y Sistemas 24/08/2011 Señales y Sistemas 59
Transformada de Fourier
X f x t e dtj f t( ) ( )
2
dfefXtx tfj 2)()(
k
Ttkj
k
Ttkj
T
T
k
ectx
dtetxT
c
)/2(
)/2(
2/
2/
)(
)(1
T
24/08/2011 Señales y Sistemas 60
Transformada continua de Fourier:
base
tfjeft 2),(
•
•
•
Propiedades de la
Transformada de Fourier
24/08/2011 Señales y Sistemas 62
En general la TF es un complejo:
X( f )=R( f ) + j I( f ) = |X( f )| e j( f )
donde:
R( f ) es la parte real de la TF
I( f ) es la parte imaginaria
|X( f )| es la amplitud o espectro de Fourier de x(t)
( f ) es el ángulo de fase de la TF
X f R f I f
f tan I f R f
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) / ( )]
2 2
1
24/08/2011 Señales y Sistemas 63
Existencia de la FT
X f si x t dt( ) ( )2
Es decir, si la señal es de energía finita
Las señales transitorias cumplen con esa condición
24/08/2011 Señales y Sistemas 64
Las señales periódicas (- no
cumplen con esa condición.
Se requiere la utilización de funciones
generalizadas o teoría de distribuciones.
Existencia de la FT
t
f1(t)
f2(t)fm(t) = m exp[-(mt)2]/√f3(t)
d(t)
24/08/2011 Señales y Sistemas 65
Linealidad
Si x(t) y y(t) tienen transformadas de
Fourier X( f ) y Y( f ), entonces:
a x(t)+b y(t) a X( f )+b Y( f )
x(t)
y(t)
t
t
t
f
f
f
X(f)
Y(f)
x(t) + y(t)
X(f) + Y(f)
24/08/2011 Señales y Sistemas 66
Linealidad
)}({)}({
)}()({
tybFtxaF
tbytaxF
24/08/2011 Señales y Sistemas 67
Simetría (Dualidad)
Si x(t) y X( f ) son un par de transformadas
de Fourier, entonces:
X(t) x(-f )
24/08/2011 Señales y Sistemas 68
Desplazamiento Temporal
(retardo)
Si x(t) está desplazada un valor to, entonces:
X( f )e -j2 f tox(t - t0)
el desplazamiento temporal no afecta la magnitud de la TF
24/08/2011 Señales y Sistemas 69
Desplazamiento Frecuencial
(modulación)
Si X( f ) está desplazada un valor f0 , entonces:
x(t) e j2 t foX( f - f0)
24/08/2011 Señales y Sistemas 70
Escala Temporal
Si X( f ) es la transformada de x(t) , entonces:
1/k X(f/k)x(k t)
24/08/2011 Señales y Sistemas 71
Escala Frecuencial
Si X( f ) es la transformada de x(t) , entonces:
1/|k| x(t/k)X( k f )
Efecto de
la propiedad
de escalado
x(t) X(f)
Pulso
corto
Pulso
medio
Pulso
largo
Mientras más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Esta es la esencia del
principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.
f
f
f
t
t
t
7224/08/2011 Señales y Sistemas 73
Funciones pares
Si xp(t) es una función par, la FT de xp(t)
será par y real:
xp(t) Rp( f )
24/08/2011 Señales y Sistemas 74
Funciones impares
Si xi(t) es una función impar, la FT de xi(t)
será impar e imaginaria pura:
xi(t) Ii( f )
24/08/2011 Señales y Sistemas 75
Convolución en el tiempo
Convolución en la frecuencia
No se cumple para la DFT
)()()()( fYfXtytx
)()()()( fYfXtytx
De la FT a la DFT
¿Qué ocurre ahora cuando
discretizamos?:
t nT f kF
(simplificando un poco...)
1 ,
1 ,
n N
k N
24/08/2011 Señales y Sistemas 95
Transformada discreta de Fourier:
transformación
2
1
1nkN j
Nk n
n
X x eN
24/08/2011 Señales y Sistemas 96
Transformada discreta de Fourier:
inversa
2
1
nkN jN
n k
k
x X e
24/08/2011 Señales y Sistemas 97
Transformada discreta de Fourier:
base
N
nkj
kn e
2
,
•
•
•24/08/2011 Señales y Sistemas 98
Ejemplo: SigTeach...
Magnitud y
fase de la DFT
de una señal de
voz (/a/)
24/08/2011 Señales y Sistemas 99
Ejemplo: SigTeach...
Parte Real e
Imaginaria de
la DFT de una
señal de voz
(/a/)
24/08/2011 Señales y Sistemas 100
Ejemplo: SigTeach...
Otra forma de
verlo...
24/08/2011 Señales y Sistemas 101
Algunas observaciones...
Para poder realmente calcular la DFT en la práctica debemos pasar de la señal analógica a una digital
Esto parece relativamente sencillo, pero no debemos olvidar que en general perdemos información.
La señal original “sufre” 3 transformaciones:
– Muestreo (variable independiente)
– Ventaneo (variable independiente)
– Cuantización (variable dependiente)
24/08/2011 Señales y Sistemas 102
Algunas observaciones...
Muestreo:
– Solo medimos a intervalos prefijados por lo cual
perdemos los cambios rápidos.
– Dependemos de la fiabilidad del reloj del sistema.
Ventaneo:
– Solo medimos durante un intervalo finito de tiempo por
lo cual perdemos los cambios más lentos.
– La forma de esta ventana también afecta el resultado.
24/08/2011 Señales y Sistemas 103
Algunas observaciones...
Una señal continua
...medida contra un
reloj...
...mantiene su valor
entre cada pulso del
reloj...
24/08/2011 Señales y Sistemas 104
Algunas observaciones...
Un reloj preciso...
.... conduce a
valores precisos.
Un error en el
reloj...
... se traduce en
error en los valores.
24/08/2011 Señales y Sistemas 105
Algunas observaciones...
Una “evento” de la señal...
que ocurre entre muestras...
parece como...
si no hubiese estado allí
24/08/2011 Señales y Sistemas 106
Algunas observaciones...
Las componentes
de alta frecuencia...
...pasadas por un
filtro pasa bajos...
...desaparecen
24/08/2011 Señales y Sistemas 107
Algunas observaciones...
Una señal periódica...
muestreada dos veces
por ciclo...
tiene suficiente
información como...
para ser reconstruida
24/08/2011 Señales y Sistemas 108
Algunas observaciones...
Una señal de alta frecuencia...
...muestreada suficientemente rápido...
...puede verse todavía mal...
...pero puede ser reconstruida.
24/08/2011 Señales y Sistemas 109
Algunas observaciones...
Una señal muestreada...
...debe ser procesada por un filtro pasa-bajos...
...para reconstruir la señal original.
La respuesta al impulso del filtro debe ser una sincrónica.
24/08/2011 Señales y Sistemas 110
Algunas observaciones...
Una señal de alta frecuencia...
muestreada a una tasa muy baja...
parece como...
una señal de menor frecuencia.
24/08/2011 Señales y Sistemas 111
Algunas observaciones...
Cuantización:
– La precisión está limitada al número de bits disponible.
– Depende también del rango dinámico de la señal.
– Los errores introducidos en el proceso son no lineales y
dependientes de la señal.
– También pueden cometerse errores aritméticos dentro
del procesador debido a la precisión.
24/08/2011 Señales y Sistemas 112
Algunas observaciones...
La precisión
limitada en la
cuantización...
...conduce a
errores...
... que dependen de
la señal
Ruido de cuantización (± ½ LSB)
24/08/2011 Señales y Sistemas 113
Algunas observaciones...
Por ello el espectro
de un tono puro...
...se ensucia cuando
lo cuantizamos.
24/08/2011 Señales y Sistemas 114
Algunas observaciones...
Ya no podemos movernos libremente entre
el dominio frecuencial y temporal sin perder
información:
– Debido a los errores producidos en los cálculos
por la precisión, o a que hay información que
no podemos medir o calcular.
24/08/2011 Señales y Sistemas 115
Algunas observaciones...
Como resumen:
– Debemos tener bien claros todos estos efectos y
tratar de minimizarlos al máximo, en función de
los recursos disponibles.
Transformada Discreta de Fourier
DFT
Desarrollo Intuitivo
24/08/2011 Señales y Sistemas 117
h(t) H(f)
t f
24/08/2011 Señales y Sistemas 118
h(t) H(f)
t f
Buscamos modificar el dominio de la
variable tiempo y el de la variable frecuencia
para obtener secuencias en ambos dominios
aptas de tratarse mediante procesamiento
digital.
24/08/2011 Señales y Sistemas 119
h(t) H(f)
Do(t) Do(f)
t f
t -1/T 1/T f
. . . . . .
T
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 120
h(t) Do(t) H(f)*Do(f)
t -1/2T 1/2T fT
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 121
h(t) Do(t) H(f)*Do(f)
t -1/2T 1/2T fT
Infinitas muestras
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 122
h(t) Do(t) H(f)*Do(f)
t -1/2T 1/2T fT
espectro continuo
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 123
h(t) Do(t) H(f)*Do(f)
x(t)
t -1/2T 1/2T f
t
T
-To / 2 To / 2
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 124
h(t) Do(t) H(f)*Do(f)
x(t) X(f)
t -1/2T 1/2T f
t -1/To 1/To f
T
-To / 2 To / 2
. . . . . .
Alias
Ventaneo
24/08/2011 Señales y Sistemas 125
Ventanas: Hamming y Blackman
24/08/2011 Señales y Sistemas 126
h(t) Do(t) x(t)
-To / 2 To / 2 t
N
24/08/2011 Señales y Sistemas 127
h(t) Do(t) x(t)
-To / 2 To / 2 t
N
?
24/08/2011 Señales y Sistemas 128
h(t) Do(t) x(t) H(f)*Do(f)*X(f)
-To / 2 To / 2 t -1/2T 1/2T f
N
24/08/2011 Señales y Sistemas 129
h(t) Do(t) x(t) H(f)*Do(f)*X(f)
-To / 2 To / 2 t -1/2T 1/2T f
N
sigue continuo
24/08/2011 Señales y Sistemas 130
h(t) Do(t) x(t) H(f)*Do(f)*X(f)
D1(t) D1(f)
f
-To / 2 To / 2 t -1/2T 1/2T f
1/T1
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 131
h(t) Do(t) x(t) H(f)*Do(f)*X(f)
D1(t) D1(f)
f
-To / 2 To / 2 t -1/2T 1/2T f
1/To
-To To t
. . . . . .
24/08/2011 Señales y Sistemas 132
[h(t) Do(t) x(t)]*D1(t) [H(f)*Do(f)*X(f)]. D1(f)
t f
N N
X n x kj
nk
N
k
N
e( ) ( )
2
0
1
n, k = 0, 1, 2, 3, ... N - 1
Transformada Rápida de Fourier
FFT
24/08/2011 Señales y Sistemas 160
X n x kj
nk
N
k
N
e( ) ( )
2
0
1
Si consideramos que W = e - j2π/N
X n x k Wnk
k
N
( ) ( )
0
1
n=0, 1, 2, 3 ,... N-1
24/08/2011 Señales y Sistemas 161
Esta expresión define un sistema de N ecuaciones.
X n x k Wnk
k
N
( ) ( )
0
1
24/08/2011 Señales y Sistemas 162
X n x k Wnk
k
N
( ) ( )
0
1
Si N = 4
X(0) = x(0)W0 + x(1)W0 + x(2)W0 + x(3)W0
X(1) = x(0)W0 + x(1)W1 + x(2)W2 + x(3)W3
X(2) = x(0)W0 + x(1)W2 + x(2)W4 + x(3)W6
X(3) = x(0)W0 + x(1)W3 + x(2)W6 + x(3)W9
24/08/2011 Señales y Sistemas 163
X n x k Wnk
k
( ) ( )
0
3
Que es lo mismo que
X
X
X
X
W W W W
W W W W
W W W W
W W W W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2
3
0
1
2
3
0 0 0 0
0 1 2 3
0 2 4 6
0 3 6 9
24/08/2011 Señales y Sistemas 164
X n x k Wnk
k
( ) ( )
0
3
Que es lo mismo que
X
X
X
X
W W W
W W W
W W W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2
3
1 1 1 1
1
1
1
0
1
2
3
1 2 3
2 4 6
3 6 9
24/08/2011 Señales y Sistemas 165
X
X
X
X
W W W
W W W
W W W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2
3
1 1 1 1
1
1
1
0
1
2
3
1 2 3
2 4 6
3 6 9
Como W es complejo y x(n) puede serlo, son necesarias
N2 multiplicaciones complejas y N(N-1) sumas complejaspara realizar este cálculo.
24/08/2011 Señales y Sistemas 166
Como Wnk = W(nk mod N)
X
X
X
X
W W W
W W W
W W W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2
3
1 1 1 1
1
1
1
0
1
2
3
1 2 3
2 4 6
3 6 9
24/08/2011 Señales y Sistemas 167
X
X
X
X
W W W
W W W
W W W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
2
3
1 1 1 1
1
1
1
0
1
2
3
1 2 3
2 0 2
3 2 1
Como Wnk = W(nk mod N)
24/08/2011 Señales y Sistemas 168
X
X
X
X
W
W
W
W
W
W
W
W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
1
3
1 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0
1
2
3
0
2
1
3
0
0
2
2
Es posible factorizar la matriz W de modo que
Observación: Se intercambiaron los renglones 2 y 3 de X
24/08/2011 Señales y Sistemas 169
x
x
x
x
W
W
W
W
x
x
x
x
1
1
1
1
0
0
2
2
0
1
2
3
1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0
1
2
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Podemos tomar un vector intermediario
24/08/2011 Señales y Sistemas 170
x
x
x
x
W
W
W
W
x
x
x
x
1
1
1
1
0
0
2
2
0
1
2
3
1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0
1
2
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Podemos tomar un vector intermediario
donde x1(0) puede calcularse como x1(0)= x(0) + W0 x(2)
24/08/2011 Señales y Sistemas 171
x1(0)= x(0) + W0 x(2)
Una multiplicación y una suma complejas
24/08/2011 Señales y Sistemas 172
x1(2)= x(0) + W2 x(2)
Una multiplicación y una suma complejas
24/08/2011 Señales y Sistemas 173
x1(2)= x(0) + W2 x(2)
donde además se verifica que W0 = - W2
por lo que
x1(2)= x(0) - W0 x(2)
24/08/2011 Señales y Sistemas 174
x1(2)= x (0) - W0 x(2)
pero el segundo término ya fue calculado para hallar x1(0)
por lo cual estamos ahorrando una multiplicación compleja
24/08/2011 Señales y Sistemas 175
Análogamente x1(3) también puede calcularse con sólo
una suma y ninguna multiplicación adicional.
Por lo que el vector intermediario x1 puede calcularse
con cuatro sumas y dos multiplicaciones
24/08/2011 Señales y Sistemas 176
Volviendo al cálculo inicial tenemos
X
X
X
X
x
x
x
x
W
W
W
W
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
1
3
0
1
2
3
1 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0
1
2
3
2
2
2
2
0
2
1
3
1
1
1
1
Donde, por un razonamiento análogo, puede realizarse la operación
con cuatro sumas y 2 multiplicaciones
24/08/2011 Señales y Sistemas 177
En total hemos empleado 4
multiplicaciones y 8 sumas complejas
El cálculo realizado en la forma primitiva
hubiese requerido 16 multiplicaciones y 12sumas complejas
24/08/2011 Señales y Sistemas 178
Para N = 2g el algoritmo de la FFT es
simplemente un procedimiento para
factorizar una matriz N x N en g matrices
que minimizan el número de productos y
sumas complejas
24/08/2011 Señales y Sistemas 179
FFT DFT
Ng2 multiplicaciones
complejas
Ng sumas complejas
N 2 multiplicaciones
complejas
NN1 sumas complejas
24/08/2011 Señales y Sistemas 180
FFT DFT
Ng2 multiplicaciones
complejas
Ng sumas complejas
N 2 multiplicaciones
complejas
NN1 sumas complejas
Si N=1024 y asumimos que el tiempo de cómputo es proporcional
al número de multiplicaciones, la relación de velocidades es de
200 a 1
Diagramas “mariposa”
Revisando la factorización …
x0(0)
x0(1)
x0(2)
x0(3)
x1(0)
x1(1)
x1(2)
x1(3)
x2(0)
x2(1)
x2(2)
x2(3)
W 0
W 0
W 2
W 2
W 2
W 0
W 1
W 3
x0(0)
x0(1)
x0(2)
x0(3)
x1(0)
x1(1)
x1(2)
x1(3)
x2(0)
x2(1)
x2(2)
x2(3)
W 0
W 0
W 2
W 2
W 2
W 0
W 1
W 3
24/08/2011 Señales y Sistemas 182
Gráfico de flujo de la FFTN = 4
x0(0)
x0(1)
x0(2)
x0(3)
x1(0)
x1(1)
x1(2)
x1(3)
x2(0)
x2(1)
x2(2)
x2(3)
W 0
W 0
W 2
W 2
W 2
W 0
W 1
W 3
Diagramas “mariposa”
24/08/2011 Señales y Sistemas 183
Gráfico de flujo de la FFT
x0(0)
x0(1)
x0(2)
x0(3)
x1(0)
x1(1)
x1(2)
x1(3)
x2(0)
x2(1)
x2(2)
x2(3)
N = 4
W 0
W 0
W 2
W 2
W 2
W 0
W 1
W 3
1
24/08/2011 Señales y Sistemas 184
Gráfico de flujo de la FFT
x0(0)
x0(1)
x0(2)
x0(3)
x1(0)
x1(1)
x1(2)
x1(3)
x2(0)
x2(1)
x2(2)
x2(3)
N = 4
W 0
W 0
W 2
W 2
W 2
W 0
W 1
W 3
24/08/2011 Señales y Sistemas 185
Gráfico de
flujo de la FFT
N = 16
24/08/2011 Señales y Sistemas 186
Multiplicaciones FFT vs. DFT
N=1024N=512N=0
512 K
1 M
FFT
DFT
Introducción al Análisis Tiempo-
Frecuencia
24/08/2011 Señales y Sistemas 199
¿Problemas con señales no
estacionarias o transitorias...?
La familia de Fourier está “diseñada” para
analizar señales cuyo “comportamiento” o
propiedades no varien en el tiempo...
Se requiere otra “base” que permita realizar
este análisis...
. . . . . .
t t
24/08/2011 Señales y Sistemas 210
Resolución Tiempo-Frecuencia
24/08/2011 Señales y Sistemas 211
Espectrograma
Escalograma
Sonograma
Análisis de Fourier en Imágenes
Transformada de Fourier en 2D
24/08/2011 Señales y Sistemas 213
sen(y) = sen(1y)
24/08/2011 Señales y Sistemas 214
sen(2y)
24/08/2011 Señales y Sistemas 215
sen(15y)
24/08/2011 Señales y Sistemas 216
sen(15x)
24/08/2011 Señales y Sistemas 217
sen( 3.5x + 7y )
24/08/2011 Señales y Sistemas 218
sen(12x) + sen(4y)
24/08/2011 Señales y Sistemas 219
Fourier Bidimensional
Ahora la base es:
24/08/2011 Señales y Sistemas 220 24/08/2011 Señales y Sistemas 221
24/08/2011 Señales y Sistemas 222
Ejemplo: Compresión 2D
Para almacenar o transmitir.
Submuestreo,
en el espacio de la imagen.
Filtrado,
en el espacio de frecuencias.
24/08/2011 Señales y Sistemas 223
24/08/2011 Señales y Sistemas 224 24/08/2011 Señales y Sistemas 225
24/08/2011 Señales y Sistemas 226 24/08/2011 Señales y Sistemas 227
24/08/2011 Señales y Sistemas 228
Onditas Bidimensionales
24/08/2011 Señales y Sistemas 229
Bibliografía recomendada
Brigham: 2.1 a 2.3, 5.1, 5.3, 5.4, 6.1 a 6.3, 6.5
Oppenheim, A. V. and R. W. Schafer, Discrete-Time
Signal Processing, Prentice-Hall, 1989, p. 611-619.
Cooley, J. W. and J. W. Tukey, "An Algorithm for the
Machine Computation of the Complex Fourier Series,"
Mathematics of Computation, Vol. 19, April 1965, pp.
297-301.
Duhamel, P. and M. Vetterli, "Fast Fourier Transforms: A
Tutorial Review and a State of the Art," Signal Processing,
Vol. 19, April 1990, pp. 259-299.
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