Matrices
UNIDAD 4
Prof. Rosa De Peña
1
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Matrices
Unidad 4
Índice
4.1 Definición y notación…………………………………………………………………….......... 2 4.2 Orden y dimensión………………………………………………………………………..…..3 4.3 Matríz cuadrada y rectangular. Diagonal principal de una matríz cuadrada. Traza de una matríz cuadrada…………………………………………………………..…. 3 4.4 Igualdad de matrices. Propiedades………………………………………………………..….4 4.5 Operaciones con matrices:……………………………………………………………………..6 4.5.1 Suma o adición de matrices………………………………………………………………....6 4.5.2 Diferencia o sustracción de matrices……………………………………………………….8 4.5.3 Multiplicación de un escalar por una matríz………………………………………………8 4.5.4 Multiplicación de matrices. Propiedades: Asociativa, distributiva con relación a la adición, no cancelativa. Divisores de cero…………………………………………..9 4.5.5 Potencia entera positiva de una matriz cuadrada………………………………………. 11 4.6 Tipos especiales de matrices: Triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, unidad o matriz identidad, conmutativa, anticonmutativa, simétrica y antisimétrica……………………………………………………………………………………..12 4.7 Matríz traspuesta. Propiedades de la matríz traspuesta…………………………………...13 4.8 Matríz inversa. Matrices inversibles…………………………………………………………..14 4.9 Dependencia lineal de las filas y columnas de una matríz………………………………..15 4.10 Rango o característica de una matríz..............................................................................16 4.11 Operaciones elementales en una matríz ……………………………………………..….16 4.12 Matrices equivalentes. Notación. Propiedades como relación de equivalencia….…….16 4.13 Matrices escalonadas.………………………………………………………………….……. 17 4.14 Matríz en la forma escalonada reducida…………………………………………………....17 4.15 Determinación del rango o característica de una matríz ……………………………..18 4.16 Cálculo de la inversa de una matríz cuadrada usando las operaciones elementales de filas…………………………………………………………………………...19 4.17 Ecuaciones con matrices…………………………………………………………………….. 21 Practica Propuesta No. 1. Unidad 4…………………………………………………………..…. . 24 Practica Propuesta No. 2. Unidad 4 ……………………………………………………...……..27 Cuestionario Unidad 4……………………………………………………………………………… 34
Bibliografia Consultada..….............………………………………………………………...35
2
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Unidad 4
MATRICES
Introducción
Por el uso creciente de las matemáticas en la ciencia y la tecnología, así como en otros campos del
saber humano, se hace necesario dedicar nuestra atención al estudio de las matrices, las cuales
constituyen herramientas eminentemente útiles por su valor estructural y operativo. Ellas se manejan
en la mayoría de las ciencias, y gran cantidad de las operaciones realizadas por las computadoras son
efectuadas tomando elementos a las matrices. La teoría de matrices, introducida en 1858 tiene hoy
aplicaciones en campos tan diversos como el control de inventarios en las fábricas; teoría cuántica en
física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las
operaciones militares y análisis de datos, en sociología y psicología.
4. 1 Definición
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. Los elementos
pueden ser números reales, números complejos, funciones, etc., y se acostumbran a colocar entre
corchetes.
Notación
A las matrices, en general, se le acostumbra denotar por letras mayúsculas y sus elementos se suelen
designar con letras minúsculas seguidas de dos subíndices, indicando el primero en qué fila está el
elemento y el segundo en qué columna. Por ejemplo: a i j , donde la “i” señalará la fila y la “j” la
columna. De manera que, en general, una matriz se escribe así:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
......
......
......
...
...
21
22221
11211
3
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Es bueno tener presente que una matriz no tiene valor numérico y que es solo una manera de ordenar
números.
A las filas y las columnas se les llama líneas, cuando no hay necesidad de distinguirlas.
El conjunto de matrices definen un espacio vectorial, pues con ellas podemos verificar todas las
propiedades que se satisfacen en los espacios vectoriales.
4.2 Orden o Dimensión
Si una matiz tiene “m” filas y “n” columnas, entonces decimos que la matriz es de orden ""mxn .
Siempre se indicará el orden de una matriz escribiendo primero el número de filas y luego el número
de columnas de la matriz.
Otra notación usada para las matrices es: mxnijaA
donde A es de orden mxn y sus elementos los ija , deben variar “i” de “1”
a “m” y “j” de “1” a “n” .
4.3 Si en una matriz el número de filas es igual al número de columnas se dice que la matriz es
cuadrada. Cuando se tiene una matriz cuadrada mxm, decimos que su orden es m en lugar de decir
que su orden es mxm.
Así, la matriz B cuadrada 2x2: B =
03
21 es una matriz cuadrada de orden dos.
En una matriz cuadrada de orden “n” se le llamará a los elementos:
ija siendo i = j , es decir nnaaa ,...,, 2211 , la Diagonal Principal.
ija siendo ji , es decir 1)1(21 ,...,, nnn aaa , la Diagonal Secundaria.
Es decir, en la matriz:
302
540
321
A
La diagonal principal la forman los elementos 3,4,1 y la diagonal secundaria 2,4,3 .
La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se llama traza
de A. Es decir Traza de nnaaaaA ...332211
4
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Ejemplo.:
La traza de A es: 8341332211 aaaA
Si el número de filas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una fila o
vector fila.
Ejemplos:
382 A 101B
BA son puntos del espacio, expresado en términos de sus coordenadas rectangulares.
Si el número de columnas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una columna o
vector columna.
Ejemplos:
0
1A
0
1
2
B
1
1
1
C
4.4 Igualdad de Matrices
Dos matrices A y B son iguales si se cumple que:
1) A tiene el mismo orden de B.
2) Cada elemento de A es igual al elemento correspondiente de B simbólicamente:
Dada las matrices mxnijaA
y mxnijbB
entonces:
ijij baBA para todo ij .
Ejemplos:
a)
31
02
30
12
30
12
b) Resuelva la siguiente ecuación.
37
53
2
3
vuyx
vuyx
5
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Resolver la ecuación matricial planteada significa hallar los valores de vuyx ,,,
que satisfacen la igualdad, con este propósito formamos dos sistemas:
1) a) 3 yx 2) a) 53 vu
b) 7 yx b) 22 vu
De 1 Sumando las ecuaciones a, b anteriores: De 2 Multiplicando a por 2:
102 x 1026 vu
52
10x 22 vu
Sustituyendo x en a :
2353 xy 127 u
x=5
y=2 7
12u
De 2 Sustituyendo u en a tenemos:
57
123
v
Despejando v: 7
1
7
3635
7
365
v
7
12u
7
1v
Propiedades de la Igualdad de Matrices
a) AA Propiedad Reflexiva
b) ABBA Propiedad Simétrica
c) Si CACBBA Propiedad Transitiva
6
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4.5 Operaciones con Matrices.
4.5.1 Suma de Matrices
Si no se definen operaciones entre las matrices, éstas tendrían relativamente poco interés. Lo que las
hace útiles dentro de la ciencia y la tecnología es el hecho de que se pueden definir entre ellas las
operaciones suma y multiplicación. Veamos en primer lugar la suma de matrices.
Si mxnijaA y
mxnijbB entonces se define:
mxnijij baBA para todo ., ji
Nota:
Obsérvese que para poder sumar dos matrices, éstas deben ser del mismo
orden.
Ejemplos:
a) Si
431
012A
210
311B
641
323BA
b) Si
4
3
y
vuyxA
3
22
yx
vuyxB
7
32
x
vuxBA
Si consideramos el conjunto de todas las matrices de orden ""mxn , mxnR , entonces si:
mxnRA y mxnRB , se sigue que mxnRBA , es decir que la suma de matrices es una
operación interna en mxnR .
7
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Propiedades de la suma de matrices
1) Existe mxnmxn R0 , tal que mxnmxnmxnmxnmxn AAA 00
La matriz mxn0 es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero, y a ella llamaremos Matriz Cero
o Matriz Nula. Se representará por n0 . Si m = n.
La matriz cero es el elemento identidad para la suma de matrices.
00
0002
000
000
000
03
0000
0000
0000
0000
0 4
Si
2221
1211
aa
aaA luego, A
aa
aa
aa
aaA
00
00
00
000
2221
1211
2221
1211
2
2) En mxnR la suma de matrices es una operación conmutativa por ser los elementos de las matrices
números reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números reales. O sea:
mxnmxnmxnmxn ABBA
3) En el conjunto mxnR , la suma de matrices es asociativa, es decir, mxnRCBA ,,
entonces : CBACBA
4) Toda matriz mxnA , mxnR , tiene una inversa aditiva mxnA , tal que:
mxnmxnmxn AA 0
La matriz mxnA es aquella cuyos elementos son los de mxnA cambiados de signo, es decir los
inversos aditivos de los elementos de mxnA . A la matriz mxnA también se le llama la negativa de
mxnA .
8
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4.5.2 Diferencia de Matrices
Si mxnRBA , , entonces la diferencia entre BA, , que se denota por BA es una matriz
mxnRC , tal que C es la suma de la matriz A A y la opuesta de B , es decir:
BABAC
Ejemplos: Dadas las matrices
56
40
21
A
10
13
12
B
Hallar a) A – B b) B – A
56
40
21
BA
10
13
12
=
56
40
21
+
10
13
12
=
46
53
13
10
13
12
AB
56
40
21
=
10
13
12
+
56
40
21
=
46
53
13
4.5.3 Multiplicación de una Matriz por un Escalar
Si A= [aij ]mxn y k R k.A = [ kaij]mxn
Nota: El producto de una matriz por un número, es una matriz y no un número.
Si
56
40
21
A para k =3 entonces KA= 3
1518
120
63
A
9
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Propiedades de la Multiplicación de una Matriz por un Escalar
Sean A y B matrices de orden ""mxn y ""k ^ ""t escalares R , entonces se cumple :
1) kA es una matriz de orden ""mxn
2) AkttAk
3) kBkABAk
4) tAkAAtk
5) AA .1
4.5.4 Multiplicación de dos Matrices
Si A es una matriz de orden mxp y B una matriz de orden pxn , entonces la matriz producto C = A.
B es de orden ""mxn , en la cual el elemento ijc viene dado por la suma de los productos formados
multiplicando los elementos de la i-ésima fila de
ipii aaaA ,...,, 21 por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de
pjjj bbbB ,...,, 21
pjipjiji
pj
j
j
ipiiij bababa
b
b
b
aaaC
...
.
.
.... 2211
2
1
21
Simbólicamente:
Dadas mxpikaA y
pxnkjbB , se define C = A . B
donde mxnijcC
y kj
p
k
ikij baC
1
Debe tenerse en cuenta:
a) Sólo es posible multiplicar una matriz A, por una matriz B, si el número de columnas de A es
igual al número de filas de B. En ese caso se dice que A es conforme con B respecto de la
multiplicación.
10
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b) La matriz producto ABC tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de
columnas de B.
c) A fin de obtener el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de AB multiplicamos los
elementos de la i-ésima fila de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y
sumamos los productos obtenidos.
Ejemplos
a) Si
301
132A
14
01
23
B
a.1) Hallar
130021431031
110322411332
14
01
23
301
132AB
19
513
3021203
104436AB
Siendo la matriz A de orden 2x3, B de orden 3x2 la matriz que resulta al multiplicar AB
es de orden 2.
a.2) Hallar
311401341124
301100311021
321302331223
301
132
14
01
23
BA
1129
132
398
3401218
010302
630926
BA
Siendo la matriz B de orden 3x2 , A de orden 2x3 la matriz que resulta al multiplicar BA
es de orden 3.
11
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Propiedades de la Multiplicación de Matrices
a) ACABCBA 1ra. Propiedad Distributiva
b) BCACCBA 2da. Propiedad Distributiva
c) CABBCA Propiedad Asociativa
Sin embargo,
d) BAAB En general no se cumple la propiedad conmutativa.
e) 0AB Esto no implica necesariamente que A = 0 ó B = 0
f) ACAB Esto no implica necesariamente que B = C
4.5.5 Potencia Entera Positiva de una Matriz Cuadrada
Sea ijaA una matriz cuadrada de orden “n”, luego si queremos obtener una potencia entera
positiva de dicha matriz cuadrada, sólo tenemos que multiplicarla por si misma tantas veces como
lo indique la potencia.
Ejemplos: Sea
101
210
112
A , entonces
112011011011110021
122110021110120120
112112011112110122
101
210
112
101
210
1122 AAA
213
412
1352A
AAA 23
213
412
135
101
210
112
348
818
0811
y así sucesivamente
IA 0
12
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4.6 Tipos Especiales de Matrices
Una matriz cuadrada A cuyos elementos 0ija para ji se llama Matriz Triangular Superior.
Ejemplo:
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
A Los elementos debajo de la diagonal principal son cero.
Una matriz cuadrada A cuyos elementos 0ija para ji se denomina Matriz Triangular Inferior.
Ejemplo:
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
A Los elementos encima de la diagonal principal son cero.
La matriz que es a la vez triangular superior e inferior se identifica como Matriz Diagonal.
En esta matriz tenemos 0ija siendo i = j
Ejemplos
44
33
22
11
000
000
000
000
a
a
a
a
D
5000
0300
0040
0006
H
Matriz Escalar es una matriz diagonal donde se verifica que kaij 0 siendo k un escalar .
Ejemplo:
6000
0600
0060
0006
C
13
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Matriz Unidad o Matriz Identidad es una matriz escalar donde el valor asignado a
k = 1
Se representa por “I”.
10
012I
100
010
001
3I
1000
0100
0010
0001
4I
10000
01000
00100
00010
00001
5I
La matriz unidad I es el elemento idéntico o neutro para la multiplicación de matrices.
Matrices Conmutativas y Anticonmutativas
Si A y B son dos matrices cuadradas y se verifica que BAAB , entonces dichas matrices se llaman
Conmutativas. En las condiciones anteriores, si A y B son tales que
BAAB , entonces las matrices A y B se llaman Anticonmutativas.
4.7 Matriz Traspuesta
La matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz tA , traspuesta de A, de orden nxm
obtenida intercambiando las filas por las columnas. Abreviadamente si:
mxnijaA , entonces
nxmji
t aA
Ejemplo
Si
52
63
41
A
564
231tA
Propiedades de la Matriz Traspuesta
Sean At y B
t, respectivamente, las traspuestas de las matrices A y B, “k” un escalar cualquiera, entonces
vale que:
1) AAtt
2) tttBABA
3) ttkAkA
4) tttABAB
14
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Matriz Simétrica
Una matriz cuadrada A tal que At =A se llama Matriz Simétrica. Por tanto, en una matriz cuadrada
ijaA simétrica se verifica que jiij aa para todos los valores de “i” y de “j”.
Ejemplos:
653
542
321
A
101
034
142
B
A y B son matrices simétricas.
Matriz Antisimétrica (o hemisimétrica)
Es una matriz cuadrada A tal que AAt . Por tanto en una matriz cuadrada A antisimétrica se
verifica jiij aa , para todo valor de “i” y de “j”.
Evidentemente que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos .
Ejemplo:
042
401
210
A
4.8 Matriz Inversa. Matrices Inversibles
Se dice que una matriz cuadrada A es inversible si existe una matriz B con la cual se satisfaga la
relación IBAAB , donde I es la Matriz Unidad. En estas condiciones, la matriz B se llama la
inversa de A y se escribe 1 AB (B es igual a la inversa de A ). Recíprocamente, la matriz A
es la inversa de B, y se puede escribir 1 BA .
Importante:
No todas las matrices poseen inversa, pero si la tienen, es única.
Ejemplo
Hallar la inversa de
11
32A
Una manera de hallar la inversa, consiste en suponer una matriz desconocida de orden igual a la que
se conoce, donde cada elemento es una incógnita a determinar, que se obtiene realizando un
producto matricial y posteriormente una igualdad de matrices, considerando la matriz unidad de
orden igual a la matriz dada.
15
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Sea B la matriz inversa a determinar, 2I la matriz unidad a considerar.
dc
baB
10
012I
2IAB
11
32
dc
ba
10
01
10
013232
dbca
dbca
Planteando la igualdad de matrices:
1) 132 ca 3) 032 db
2) 0 ca 4) 1 db
Resolviendo simultáneamente 1 y 2:
De 2) a = c Sustituyendo en 1) 2a – 3a = 1 a = -1 c = -1
Resolviendo simultáneamente 3 y 4:
Multiplicando 4) por –3 y sumando con 3): 032 db
333 db
3b
b = 3 ;
23
32
3
2
bd
luego d = 2
Los valores determinados son los indicados a continuación a= -1, b=3, c= -1, d= 2
Entonces:
1
21
31
A
dc
baB siendo la matriz B la inversa de A
4.9 Dependencia Lineal de las Filas y las Columnas de una Matriz
Llamaremos combinación lineal de varias líneas (filas y columnas) de una matriz, a otra línea que
resulte de sumar sus elementos después de multiplicarlos por ciertos números llamados coeficientes;
con ello una línea (fila o columna) de una matriz se dice que es linealmente dependiente de otras
paralelas a élla cuando es una combinación lineal de éllas.
Por ejemplo, en la matriz A la tercera fila es linealmente dependiente de las dos primeras, pues
213 23 FFF
16
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2543
5210
4321
A
F1 = ( 1 -2 3 4) 3F1 = ( 3 - 6 9 12)
F2 = ( 0 1 -2 -5) 2F2 = ( 0 2 - 4 -10)
F3 = ( 3 - 4 5 2 ) 3F1 + 2F2 = ( 3 - 4 5 2 ) = F3
En cambio , diremos que varias líneas paralelas son linealmente independientes ( o que no existe
una relación lineal entre éllas) cuando ninguna se puede expresar como combinación lineal de las
otras. Por ejemplo en la matriz B:
2540
5210
4321
B Sus tres filas son linealmente independientes
4.10 Rango o Característica de una Matriz
Viene dado por el máximo número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes que
hay en una matriz. Si una línea de una matriz es combinación de otras paralelas a élla, al
suprimirla se obtiene otra matriz de igual característica.
4.11 Operaciones Elementales en Matrices
Son operaciones que se efectúan con las líneas (filas o columnas) de una matriz que no modifican
ni su orden ni su característica. Las tres operaciones elementales sobre líneas son:
1.- Intercambio de dos líneas (filas o columnas).
2.- Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar 0 .
3.- Suma de los elementos de una línea con los correspondientes de otra línea, luego de multiplicarlos
por un escalar . 0 .
4.12 Matrices Equivalentes
Dos matrices A y B se denominan equivalentes, A ~ B, si una de ellas se deduce de la otra como
consecuencia de de la aplicación de una o varias operaciones elementales de líneas. Las matrices
equivalentes tienen el mismo orden e igual característica.
17
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4.13 Matrices Escalonadas
Una matriz está en la forma escalonada si se cumplen las condiciones siguientes:
1) Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte de abajo de
la matriz.
2) El primer número distinto de cero (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no
consista únicamente de cero es igual a la unidad.
3) Si dos filas sucesivas no consisten únicamente de ceros, entonces el primer uno en la fila inferior
está más a la derecha que el primer uno de la fila superior.
Ejemplos de matrices en la forma escalonada:
100
510
321
A
1000
8210
4611
B
10
21C
2100
5201D
4.14 Matriz en la Forma Escalonada Reducida
Una matriz está en la forma escalonada reducida si se verifican las tres condiciones requeridas para
tener una matriz escalonada y además se cumple que:
“Cualquier columna que contenga el primer uno de una fila tendrá ceros en los demás lugares”.
La diferencia entre las dos formas es clara. En la forma escalonada todos los números que están abajo
del primer uno de una fila son cero. En la forma escalonada reducida todos los números que están arriba
y abajo del primer uno de una fila son cero. Así, la forma escalonada reducida es más exclusiva. Esto
es, cualquier matriz en forma escalonada reducida está en forma escalada pero no inversamente.
Ejemplo
Reduzca la siguiente matriz a la forma escalonada y escalonada reducida:
3
2
1
343
222
062
F
F
F
A
Para formar la matriz escalonada realizamos en la matriz A las operaciones elementales siguientes:
343
240
0312
1
3
21
1
F
FF
F
;
3502
110
031
34
1
31
2
1
FF
F
F
;
2
100
2110
031
5 32
2
1
FF
F
F
18
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1002
110
031
2 3
2
1
F
F
F
Esta matriz está escalonada
100
010
031
21
3
23
1
F
FF
F
;
100
010
0013
3
2
12
F
F
FF
Esta matriz está en la forma escalonada reducida.
4.15 Determinación del Rango o Característica de una Matriz
El rango o característica de una matriz podemos obtenerlo expresando dicha matriz en su forma
escalonada mediante las operaciones elementales (matrices equivalentes). En ésta, el rango viene
dado por el número de filas que no consista únicamente de ceros, lo cual se corresponde con el
número de filas linealmente independiente de la matriz.
Ejemplos
Determine la característica en cada caso aplicando operaciones elementales.
1)
7621
5342
4121
A Para A escalonamos la matriz:
3500
61000
4121
31
231
1
FF
FFF
F
;
0000
61000
4121
2 32
2
1
FF
F
F
000010
6100
4121
101
3
2
1
F
F
F
Como la última fila es cero, entonces el rango de A es dos.
Por tanto, r(A) = 2
19
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Unidad 4
2)
5431
1532
2321
B Para B escalonamos la matriz:
3110
3110
2321
2
13
21
1
FF
FF
F
;
0000
3110
2321
32
2
1
FF
F
F
Como la última fila es cero, entonces el rango de B es dos (2)
4.16 Cálculo de la Inversa de una Matriz Cuadrada A aplicando las
Operaciones Elementales de Filas
Procedimento:
1) Escribir la matriz aumentada IA Utilizar las operaciones elementales para reducir la matriz A
a su forma escalonada reducida.
2) Decidir si la matriz A es invertible:
a) Si A puede ser reducida a la matriz identidad I, entonces la inversa de 1AA es la
matriz que está a la derecha de la barra vertical.
b) Si al aplicar las operaciones por filas se obtiene alguna fila de ceros a la izquierda de la
barra vertical, la matriz A no es invertible.
Ejemplo
Hallar la inversa de A, si :
421
331
321
A
Escribimos la matriz A y la matriz identidad de orden tres I3 , por ser A de orden tres.
100421
010331
001321
3
2
1
F
F
F
;
20
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Matrices
Unidad 4
010010342211
000110332311
001321
13
12
1
FF
FF
F
101100
011010
001321
3
2
1
F
F
F
;
101100
011010
0002123022102
3
2
12
F
F
FF
101100
011010
023301
3
2
1
F
F
F
101100
011010
0320330300103
3
2
13
F
F
FF
101100
011010
326001
3
2
1
F
F
F
La matriz inversa es:
101
011
3261A
21
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Unidad 4
4.17 Ecuaciones con matrices.
a) En la ecuación matricial: A+X = B
donde A y B son matrices del mismo orden, podemos hallar la solución y dicha solución es
única si :
X = B + (-A)
X es una matriz de igual orden que los sumandos A, B.
b) Si la ecuación matricial es de la forma: AX= B
donde A y B existen, entonces X existe siempre que exista la inversa de la matriz A y
esté definido el producto de BA 1 .
BAAXA 11
En éste caso: BAX 1
Ejemplos. Resuelva las ecuaciones matriciales propuestas.
A) Hallar X en:
37
02
76
42X
Consideremos
dc
baX Reemplazando X en la ecuación matricial conocida tenemos:
37
02
76
42
dc
ba
37
02
76
42
dc
ba
Igualando los términos semejantes:
2-a = 2 a = 2-2 = 0
4-b = 0 b = 4
6-c =7 c = 6-7 = -1
7- d = 3 d = 7-3 = 4
Por lo que :
41
40
dc
baX
22
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Unidad 4
B)
54
23
37
25X
Consideremos
dc
baX Reemplazando X en la ecuación matricial conocida tenemos:
54
23
37
25
dc
ba Efectuando el producto de matrices:
54
23
3275
3275
dcdc
baba
Igualando los términos semejantes tenemos las ecuaciones:
5a+7b = 3 2a+3b = -2
5c+7d = 4 2c+3d = -5
Resolviendo simultáneamente las parejas de ecuaciones, hallamos a,b,c,d.
De este modo: 5a+7b = 3 Multiplicando por 2: 10 a +14b = 6
2a+3b = -2 Multiplicando por -5:-10 a - 15b = -10
--------------------
-b = - 4
Por lo que : b= 4
Reemplazando en : 2a+3b = -2 2 a + 3(4) = - 2
2 a + 12 = -2
Luego 2 a = -2 -12 = -14 a = - 72
14 , a = -7
De este modo: 5c+7d = 4 Multiplicando por 2: 10 c +14d = 8
2c+3 d =-5 Multiplicando por -5:-10 c – 15d = - 25
--------------------
- d = - 17
Por lo que : d= 17
Reemplazando en : 2c+ 3d = -5 2 c + 3( 17) = - 5
23
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Matrices
Unidad 4
2 c + 51 = -5
Luego 2 c = - 5 - 51 = -56 c = - 282
56 , c = - 28
Por lo que la Matriz X es:
1728
47
dc
baX
24
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Unidad 4
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 4
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
I. A partir de las matrices conocidas, determine si es posible la operación planteada.
Justifique su respuesta.
541
132A
55
41
32
B
12
43C
632
132
045
D
651
403E
671
201F
1) DA 2) AD 62 3) CAB 4
4) DBA 3 5) 2A -3B – 5F = 6) FB=
7) BF= 8) ABC 42 9) 3C
10) CDtrABCtr 11) Compruebe si: tttBABA
12) La matriz X si: CABX t 32
13) Halle M a partir de: 320 xMA
II.
1) Busque el valor de K en: EKA 43
2) Determine la matriz N siendo NEF 32 igual a la matriz cero de orden 2x3
3) Encuentre X de modo que: FEAX 4532
25
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Matrices
Unidad 4
III. Forme la matriz A de orden 4 cuyos elementos correspondan a lo que se indica:
a ii = 4 para i = 1, 2, 3, 4
a12 + a 21 = 3 a12 = -6
a13 – a 31 = 7 a13 = 8
a14 ( a 41 ) = -1 a14 = 5
a24 + a 42 = - 3 a24 = 9
a34 – a43 = 7 a34 = -7
a23(a32 ) = 12 a23 = - 3
IV. A partir de
122
212
221
W compruebe si se verifica que: 0542 IWW
V. Halle X en cada caso.
a) XtrI 223
45
13
42
43
21
43
24
15
311
56246
b) X
t
13
42
43
21
43
20
15
311
5023
61
542
2
c)
421
331
321
431
341
331
3
2
4
X
d)
5
4
6
28198
27208
24177
X
26
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Matrices
Unidad 4
VI. En cada matriz complete lo que se solicita. Obtenga la inversa mediante la
realización de operaciones elementales
Matriz Dada Matriz / I Matriz
Escalonada
Matriz Inversa Rango
1)
87
42A
2)
123
312
111
B
3)
653
321
542
C
4)
312
625
311
D
27
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AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 2 . UNIDAD 4
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________ Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se
plantea en cada caso. 1. ¿Cómo se indica el orden de una matriz? Escribiendo el número de:
a) Filas b) Columnas x el de filas c) Filas x el de columnas d) Filas entre columnas
2. Una matriz es cuadrada cuando:
a)Todos sus elementos son pares b) Sus elementos son cuadrados de números
c) Número de filas es igual al de columnas d) a y b son correctas
3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como:
a) Matriz Traspuesta b) Matriz escalar c) Matriz nula d) Traza
4. Cuando realizamos Intercambio de líneas, producto de un escalar por una línea de una matriz y/o
adición de líneas nos referimos a:
a) Propiedades de las matrices b) Operaciones elementales entre matrices
c) Característica de una matriz d) Equivalencia de matrices
5. Al multiplicar una matriz cuadrada por su inversa obtenemos:
a) Una matriz escalonada b) Una matriz nula c) La matriz unidad d) El rango de una matriz
6. Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas:
a) Igualdad de matrices b) Traspuesta c) Notación d) Una matriz
7. ¿ Cuál es la traspuesta de la matriz 𝐴 = [1 −43 62 5
]?
a) [−−1 43 −6
−2 −5] b) [
−1 −3 −24 −6 −5
] c) [1 3 2
−4 6 5] d) [
1 6 5−4 3 2
]
28
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8. Una matriz cuadrada A tal que 𝐴𝑡 = 𝐴 se llama matriz:
a) Traspuesta b) Unidad c) Escalar d) Simétrica
9. El producto de dos matrices de orden 2x3 y 3x3 produce una matriz de orden:
a) 2x3 b) 2x2 c) 3x2 d) 3x3
10. El producto de dos matrices de orden 3x3 y 2x3 produce una matriz de orden:
a) 2x3 b) No es posible c) 3x2 d) 3x3
11. El producto de dos matrices de orden 2x3 y 2x3 produce una matriz de orden:
a) 2x3 b) 3x2 c) 3x3 d) No es posible
12. Dos matrices A, B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra como
consecuencia de :
a) La aplicación de una o varias operaciones elementales entre líneas
b) La adición de un escalar a sus líneas c) Matriz escalonada d) Ninguna de las anteriores
13. ¿Cuál es la traspuesta de la matriz 𝐴 = [2 3 61 5 8
]?
a) [2 83 62 5
] b) [−2 −1−3 −5−6 −8
] c) [1 5 82 3 6
] d) [2 13 56 8
]
14. Para escalonar una matriz las operaciones a realizar pueden ser:
a) Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar.
b) Adición o sustracción de filas .
c) Intercambio de dos líneas (filas o columnas).
d) Todas las anteriores son correctas.
15. Una matriz diagonal donde se verifica que 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑎𝑖𝑖 = 𝑘 siendo k un escalar es
una matriz:
a) Escalonada b) Anti simétrica c) Simétrica d) Escalar
16. Una matriz diagonal donde se verifica que 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑎𝑖𝑖 = 𝑘 siendo k un escalar es
una matriz:
a) Unidad b) Anti simétrica c) Simétrica d) Escalonada
17. Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas.
a) Suma de matrices b) Matriz traspuesta c) Rango o característica de una matriz d) Matriz
18. Si A es de orden PxN y B de orden NxP, entonces la matriz C es de orden P en la
operación matricial de:
a) Multiplicación b) Adición c) Diferencia d) b y c son correctas
29
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19. Si A es una matriz de orden PxN, B es una matriz de orden NxQ entonces la matriz
C = AxB es de orden:
a) PxN b) NxQ c) PxQ d) a y b son correctas
20. Si A es una matriz de orden PxN, B es una matriz de orden NxQ entonces la operación
matricial a realizar es:
a) Multiplicación b) Adición c) Diferencia d) b y c son correctas
21. Para que dos matrices A y B sean iguales se debe cumplir que:
a) A tiene el mismo orden de B. b) A y B deben ser iguales.
c) Cada elemento de A debe ser igual al elemento de B simbólicamente.
d) a y c son correctas.
22. La propiedad simétrica de las matrices indica que:
a) A=A b)[A=B] ^[B=C] → [A=C] c)[A=B] ]↔[B=A] d)[A=B]
23. La propiedad distributiva de la multiplicación de matrices establece que:
a) (A+B)C = AC + BC b)A(B+C) = AB + AC c) A(BC) = (AB)C d)a y b son correctas
24. La matriz que a la vez es triangular superior e inferior se identifica como Matriz:
a) Escalar. b) Idéntica. c) Diagonal. d) Traspuesta.
25. La matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son igual a cero es la matriz :
a) Diagonal superior. b) Diagonal inferior. c) Diagonal. d) Inversa.
26. ¿Cuándo una matriz es cuadrada?
a) Si el número de filas es igual al número de columnas
b) Si la suma de los elementos de la diagonal principal es 2
c) Si el resultado de cualquier operación matricial es igual a 4
d) Si el número de columnas difiere del número de filas
27. Siendo 𝐴 = [4 2 31 5 6
] 𝐵 = [1 2 30 2 4
] entonces A+B =?
a) [3 0 11 7 6
] b) [1 7 105 4 6
] 𝑐) [5 4 61 7 10
] d) [−3 0 0−1 −3 −2
]
28. Si una matriz tiene cuatro filas y dos columnas su orden es:
a) mxn b) 2x4 c) 4x3 d) 4x2
29. ¿Cuál de las siguientes matrices esta escalonada?
a) [7 2 30 5 71 3 6
] b) [1 2 30 5 71 3 6
] c) [1 2 30 1 70 1 6
] d) [1 2 30 1 50 0 1
]
30
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Unidad 4
30. ¿Cuál de las siguientes matrices esta escalonada?
𝑎) [1 2 30 1 50 0 5
] b) [1 2 30 5 71 3 6
] c) [1 2 30 1 70 0 1
] d) [1 2 30 0 10 1 7
]
31. ¿Cuál de las siguientes matrices esta escalonada?
𝑎) [2 21 5
] b) [1 20 1
] c) [1 20 5
] d) [0 51 2
]
32. ¿Cuál de las siguientes matrices esta escalonada?
𝑎) [1 60 10 4
] b) [1 20 1
] c) [1 20 5
] d) [0 51 2
]
33. Una matriz diagonal es:
a) Una matriz cuadrada cuyos elementos son cero
b) Es aquella que viene dada por el máximo número de filas o columnas
c) Es una matriz escalar donde k = 1
d) Una matriz cuadrada cuyos elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 y 𝑎𝑖𝑖 = 𝑘
34. La traza de la matriz [1 7 105 4 6
] es:
a) 7 b) 8 c) 11 d) Ninguna de las anteriores
35. La traza de la matriz [1 7 105 4 6
] es:
a) 15 b) 7 c) No es posible d) 11
36. La traza de la matriz [1 2 34 5 69 8 9
] es:
a) 17 b) 15 c) 14 d) 18
37. El orden de la matriz dada [2 4 62 4 88 4 2
866
] es:
a) 4x3 b) 4x4 c) 3x4 d) Todas son correctas
38. El orden de la matriz dada [2 4 62 4 88 4 2
866
] es:
a) 4x3 b) No posee c) 3x4 d) Todas son correctas
39. El orden de la matriz dada [2 4 62 4 88 4 2
866
] es:
a) 4x3 b) 4 c) 3 d) Todas son incorrectas
31
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Matrices
Unidad 4
40. El orden de la matriz [1 2 34 5 69 8 9
] es:
a) 4 b) 3x3 c) 3 d) b y c son correctas
41. Dos matrices son iguales si:
a) A tiene el mismo orden de B b) Su determinante es cero
c) Cada elemento de A es igual al correspondiente de B d) a y c son correctas
42. Cuando nos referimos a la traspuesta entre matrices respecto al producto se cumple:
a) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡𝐵𝑡 b) (𝐴𝐵)𝑡 = (𝐵𝐴)𝑡 c) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡 d) Ninguna de las anteriores
43. Por qué la suma de matrices es una operación conmutativa? Por ser:
a) Números reales los sumandos b) Una función
c) Espacio Vectorial d) Ninguna de las anteriores
44. Dos matrices A, B son iguales si y solo si:
a) A es la opuesta de B b) Cada elemento de A es igual al correspondiente de B
c) A es diferente de B
d) Cada elemento de A es igual al opuesto que le corresponde en B.
45. El producto de una matriz por un escalar es:
a) Un escalar b) Una matriz c) Una función d) Una ecuación
46. La matriz que es simultáneamente triangular superior e inferior se identifica como matriz:
a) Traspuesta b) Diagonal c) Inversa d) a y b son correctas
47. La matriz Identidad es una matriz:
a) Diagonal b) Cuya traza es uno c) Es una matriz escalar donde k es uno d) ay b son correctas
48. El resultado de sumar las matrices [3 21 4
] + [2 46 8
] es:
a) [4 82 3
] b) [6 87 32
] c) [5 67 12
] d) [18 2826 16
]
49. El resultado de multiplicar las matrices [3 21 4
] + [2 46 8
] es:
a) [4 82 3
] b) [6 87 32
] c) [5 67 12
] d) [18 2826 16
]
50. Si decimos que en dos matrices [A=B] y [ B=A] estamos indicando que se cumple la propiedad:
a) Reflexiva b) Transitiva c) Simétrica d) Ninguna de las anteriores
51. De acuerdo a la matriz dada: [2 48 12
] Cuál es la traza?
a) 12 b) -14 c) 14 d) -12
52. El rango de la matriz [1 3 31 4 32 6 6
] es:
a) Dos b) Tres c) Uno d) Ninguna de las anteriores
32
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Matrices
Unidad 4
53. El rango de la matriz [1 3 31 4 31 3 4
] es:
a) Dos b) Tres c) Uno d) Ninguna de las anteriores
54. El producto de las matrices [2 33 2
] [3 22 3
] es:
a) [13 1212 13
] b) [12 1313 12
] c) [12 1212 12
] d) [12 1312 13
]
55. Sumar las matrices [2 45 3
] y [1 −25 −6
] es:
a) [1 20 −3
] b) [3 2
10 −3] c) [
2 −825 −18
] d) [22 −2820 −28
]
56. Multiplicar las matrices [2 45 3
] y [1 −25 −6
] es:
a) [1 20 −3
] b) [3 2
10 −3] c) [
2 −825 −18
] d) [22 −2820 −28
]
57. De acuerdo a las operaciones de matrices 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 es igual a:
a) 𝐴𝑡 + 𝐵 b) A+B c) (𝐴 + 𝐵)𝑡 d) (𝐴𝑡 + 𝐵𝑡)𝑡
58. Es una propiedad de la matriz traspuesta:
a) A(B+C) = AB +AC b) AB = 0 c) (𝐴𝑡)𝑡 d) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡
59. Es una propiedad de la matriz traspuesta:
a) A(B+C) = AB +AC b) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 𝐴𝑡 c) AB = 0 d) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡
60. Es un arreglo rectangular de elementos que se obtiene intercambiando filas por columnas:
a) Igualdad de matrices b) Traspuesta c) Notación d) Una matriz unidad
61.El producto de dos matrices de orden 2x3 y 3x2 produce una matriz de orden:
a) 2x3 b) 2x2 c) 3x2 d) 3x3
62. La matriz cuyos elementos por encima de la diagonal principal son igual a cero es la matriz :
a)Diagonal superior. b) Diagonal inferior. c) Diagonal. d) Inversa.
63. ¿Cuál de las siguientes matrices no está escalonada?
𝑎) [7 2 30 5 71 3 6
] b) [1 5 30 1 70 0 1
] c) [1 −2 30 1 −70 0 1
] d) [1 2 30 1 50 0 1
]
64. ¿Cuál de las siguientes matrices no está escalonada?
𝑎) [1 2 30 1 50 0 1
] b) [1 2 30 5 71 3 6
] c) [1 −2 −30 1 00 0 1
] d) [1 2 30 1 10 0 1
]
33
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Matrices
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65. ¿Cuál de las siguientes matrices no está escalonada?
𝑎) [2 21 5
] b) [1 20 1
] c) [1 −20 1
] d) [1 50 1
]
66. ¿Cuál de las siguientes matrices no está escalonada?
𝑎) [1 60 10 4
] b) [1 20 1
] c) [1 10 1
] d) [1 −10 1
]
34
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Matrices
Unidad 4
Cuestionario No. 4
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que
corresponde a cada una.
1. ¿Qué es una matriz?
2. ¿Cuándo decimos que dos matrices son equivalentes?
3. ¿Qué característica requieren dos o más matrices para efectuar entre ellas la
adición y /o sustracción?
4. Enumere las operaciones elementales que podemos efectuar en matrices.
5. ¿Cuándo decimos que una matriz es simétrica de otra?
6. ¿Qué característica requieren dos matrices A,B para efectuar entre ellas un pr
oducto.
7. Siendo A,B matrices que se pueden multiplicar, si AB difiere de BA a que
nos referimos?
8. Defina rango de una matriz.
9. Siendo A,B dos matrices, ¿cuándo decimos que B es la inversa de A ?
10. Podemos decir que todas las matrices poseen inversa?
11. Ponga un ejemplo acerca del uso de matrices.
35
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Unidad 4
Bibliografía Consultada
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A. Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto. Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior. Direcciones Electrónicas: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices_jgrb/matrices_intro.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)