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ANÁLISIS VECTORIAL Semana 01
1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la dirección. El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.
2. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:
i : tiene dirección del eje X positivo.
i : tiene dirección del eje X negativo.
j : tiene dirección del eje Y positivo
j : tiene dirección del eje Y negativo
k : tiene dirección del eje Z positivo.
k : tiene dirección del eje Z negativo.
El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida:
1ˆˆˆ kji
Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares:
kji ˆˆˆ
En el espacio tridimensional el vector a
tiene tres
componentes:
ˆˆ ˆ( ; ; )x y z x y z
a a a a a i a j a k
EJEMPLO 01: Se tiene un vector ˆˆ ˆ3 1 2 4a i j k .
Determine el módulo del vector. Resolución Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.
22 2
3 1 2 4 9 1 4 4 1 6a
1 3a
Respuesta: el módulo del vector es 13. 3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es
paralelo a su respetivo vector de origen.
uaa
a
au ˆ.ˆ
En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.
EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector: kjiA 1243
Resolución
El vector unitario se define como: 13
1243ˆ
kji
A
Au
El vector unitario es: kjiu13
12
13
4
13
3ˆ
4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano.
En el sistema cartesiano tridimensional vector a
tiene tres componentes rectangulares:
ˆˆ ˆ( ; ; )x y z x y z
a a a a a i a j a k
Designamos con y, los ángulos que el vector a
hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes:
Cosaax
. , Cosaay
. , Cosaaz
. …(1)
Cálculo del módulo del vector:
2222
xyxaaaa …(2)
reemplazando (1) en (2) tenemos:
1222
CosCosCos
Entonces el vector unitario de a
es: CosCosCosu ;;ˆ
EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vector kjiA 161512
.
RESOLUCIÓN
Cálculo del módulo del vector: 2 2 2
1 2 1 5 1 6 1 4 4 2 2 5 2 5 6 2 5 a
A i j ku i j k
A
1 2 1 5 1 6ˆ 0, 4 8 0, 6 0, 6 4
2 5
y CosCosCosu ;;ˆ
Comparando tenemos que: C o s 0, 4 8 , C o s 0, 6 , C o s 0, 6 4
5. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores A y B , su producto escalar o interno se representa por A B ,
y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es:
A B A . B .C o s B . A .C o s ,
donde 0
Debemos enfatizar que A B es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.
Dado los vectores: 1 2 3
A a .i a . j a .k y 1 2 3
B b .i b . j b .k
1 1 2 2 3 3A B a .b a .b a .b
PROPIEDADES
Se cumple la propiedad conmutativa: A B B A
Propiedad Distributiva: A B C A B A C
Vectores paralelos: i i j j k k 1
Vectores ortogonales: i j j k i k 0
22 2
1 2 3A A a a a y
22 2
1 2 3B B b b b
Cuadrado del módulo: 2
A A A
Si A B 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.
EJEMPLO 04: Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular:
ba
RESOLUCIÓN
De la definición: 0
a b a . b .C o s 3 4 C o s1 2 0 6
EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de “m” los vectores a m . i 3 j 2 k y b 1 i 2 j m .k son
perpendiculares entre sí? RESOLUCIÓN
De la definición: 1 2 3
a a .i a . j a .k y 1 2 3
b b .i b . j b .k
1 1 2 2 3 3a b a .b a .b a .b
De la condición: Si a b 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.
Entonces: m . 1 3 . 2 2 . m 0
Resolviendo: m 6
6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores A y B , su
producto vectorial o externo se representa por otro vector C ,
que se denota como C A B . Su módulo se define como
el producto de sus módulos por el seno del ángulo que
forman entre sí, esto es:
A B A . B .S en , donde 0
Debemos enfatizar que C es perpendicular al plano formado
por los vectores A y B .
Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo
gira en el sentido desde A hacia B.
PROPIEDADES
I. Si A B 0 , entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos.
II. Anti conmutativo: A B B A
III. Propiedad Distributiva: A B C A B A C
IV. Vectores paralelos: i i j j k k 0
V. Vectores ortogonales: i j k , j k i , k i j
VI. Dado los vectores:
1 2 3A a .i a . j a .k y
1 2 3B b .i b . j b .k entonces se cumple que:
1 2 3
1 2 3
i j k
A B a a a
b b b
El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A y B es:
A rea d e l p ara le lo g ram o A B
El área de la región triangular formado por los vectores A y B es:
A B
A re a d e l tr ia n g u lo2
EJEMPLO 06: Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que 56 bya
. Calcular:
ba
RESOLUCIÓN
De la definición: 0
a b a . b .S en 6 5 S en 3 0 1 5
EJEMPLO 07: Dado los vectores kjiA 213
y kjiB 121
determinar las componentes
vectoriales de: A B
RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre dos vectores:
1 2 3
1 2 3
i j k
A B a a a
b b b
i j k
3 1 2
1 2 1
1 2 3 2 3 1i j k
2 1 1 1 1 2
A B i j kˆ ˆ ˆ5 1 7
EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el área de la región definida por el triángulo de vértices A, B y C. RESOLUCIÓN
Sean los vectores A B y A C donde
A B 3; 0 ; 0 y A C 0; 4 ; 0
1 2 3
1 2 3
i j k
A B A C a a a
b b b
i j k
3 0 0
0 4 0
0 0 3 0 3 0ˆ ˆ ˆi j k
4 0 0 0 0 4
ˆA B A C 1 2 k
El valor o módulo es: A B A C 1 2
A B A C 1 2A re a d e l tr ia n g u lo 6
2 2
Respuesta: el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las
componentes vectoriales de: A B B C
RESOLUCIÓN
Determinamos las componentes de cada vector: A B 1; 3; 3 y B C 2; 0 ; 2
i j k
A B B C 1 3 3
2 0 2
3 3 1 3 1 3ˆ ˆ ˆi j k
0 2 2 2 2 0
ˆ ˆ ˆA B B C 6 i 4 j 6 k
7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores A , B y C
se forma: A B C
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
A B C B B B
C C C
PROPIEDADES:
I. El producto triple escalar es un número real: A B C n ú m ero rea l
II. A B C B C A C A B
III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas A , B y C .
EJEMPLO 09: Se conocen los vértices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular el volumen del sólido de vértices A, B, C y D.
RESOLUCIÓN
Sean los vectores D A 4; 0 ; 0 , D B 0; 5; 0 , D C 0; 0 ; 3
El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas
D A , D B y D C .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
D A D B D C B B B
C C C
4 0 0
0 5 0
0 0 3
5 0 0 0 0 5
4 0 0 6 00 3 0 3 0 0
Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas.
EJEMPLO 10: Se dan los vectores a 1 i 1 j 3 k , b 2 i 2 j 1 k y c 3i 2 j 5 k . Determinar:
a b c
RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre dos vectores:
1 2 3
1 2 3
i j k
a b a a a
b b b
i j k
1 1 3
2 2 1
1 3 1 3 1 1
i j k2 1 2 1 2 2
a b i j kˆ ˆ ˆ7 7 0
Cálculo de: a b c 7 ; 7 ; 0 3; 2; 5 7
8. TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A , B y C se pueden formar
productos como: A B C , A B C o C B A , en todos estos casos el resultado es otro
vector. PROPIEDADES:
I. No se puede asociar: A B C A B C
II. A B C A C B A B C
III. A B C A C B B C A
EJEMPLO 11: Sean los vectores A 4; 0 ; 0 , B 0 ; 5; 0 , C 0 ; 1; 3 , determine A B C y
A B C ¿se obtiene el mismo resultado?
RESOLUCIÓN
Primer caso: A B C
i j k
B C 0 5 0
0 1 3
5 0 0 0 0 5ˆ ˆ ˆi j k
1 3 0 3 0 1
ˆ ˆ ˆ1 5 i 0 j 0 k
Cálculo de A B C 4; 0; 0 1 5; 0 ; 0
i j k
ˆ ˆ ˆA B C 4 0 0 0 i 0 j 0 k 0
1 5 0 0
Segundo caso: A B C
i j k
A B 4 0 0
0 5 0
0 0 4 0 4 0ˆ ˆ ˆi j k
5 0 0 0 0 5
ˆ ˆ ˆ0 i 0 j 2 0 k
Cálculo de A B C 0; 0; 2 0 0;1; 3
i j k
ˆ ˆ ˆ ˆA B C 0 0 2 0 2 0 i 0 j 0 k 2 0 i
0 1 3
Es importante hacer notar que: A B C A B C
9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proyección del vector A sobre el vector B , es otro vector paralelo al
vector B que se denota del siguiente modo:
B
A B BP r o ye c A .
B B
Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector B.
B
A BC o m p A
B
B B
BP r o yec A C o m p A .
B
BB BˆP r o yec A C o m p A . u
EJEMPLO 11: Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendicular a los
vectores 1F 2 i 3 j 1 k y 2
F 1 i 2 j 3 k además satisface a la condición: m 1 i 2 j 7 k 1 0
RESOLUCIÓN
Sea 1 2m q F F pero
1 2F F
i j k
ˆ ˆ ˆ2 3 1 7 i 5 j 1 k 7 ; 5; 1
1 2 3
la condición: m 1 i 2 j 7 k 1 0
la condición: q 7 ; 5; 1 1 ; 2 ; 7 1 0
Resolviendo la ecuación tenemos que: q 1
Respuesta: 1 2
ˆ ˆ ˆm 1 F F 7 i 5 j 1 k
x
ˆP r o yec m 7 i , y
ˆP r o ye c m 5 j , z
ˆP r o yec m 1 k
PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES
1. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a b c d ¿Qué
ángulo forman a b y c d ?
RESOLUCIÓN
Los vectores son: ˆ ˆa 3 i 2 j , ˆ ˆb 1 i 2 j , ˆ ˆc 2 i 2 j , ˆ ˆd 2 i 2 j
Cálculo de: ˆa b 4 i 0 j y ˆc d 0 i 4 j
Piden: a b c d 4; 0 0; 4 0
Respuesta: a b y c d forman un ángulo recto.
2. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a b a c ¿Qué
ángulo forman a b y a c ?
1
a
b
c
RESOLUCIÓN
Los vectores son: ˆ ˆa 3 i 2 j , ˆ ˆb 4 i 2 j , ˆ ˆc 3 i 1 j
Cálculo de: ˆ ˆa b 7 i 0 j y ˆ ˆa c 0 i 1 j
Piden: a b a c 7 ; 0 0; 1 0
Respuesta: a b y a c forman un ángulo recto.
3. Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que A m .B n .C , donde m y n son números reales.
Determine m n
C
AB
RESOLUCIÓN
Los vectores son: ˆ ˆA 2 i 1 j , ˆ ˆB 0 i 1 j , ˆ ˆC 1 i 1 j
Reemplazamos en la relación: A m .B n .C , entonces 2; 1 m . 0; 1 n . 1; 1
ab
c d
1
2; 1 n ; m n comparando las coordenadas cartesianas tenemos que: n 2 y 1 m n
resolviendo m 3 Respuesta: m n 1
4. Verificar que los cuatro puntos A 3; 1; 2 , B 1; 2; 1 , C 1; 1; 3 y D 3; 5; 3 son los vértices
de un trapecio. RESOLUCIÓN
Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: 2 1 1 2 1 2A B x x ; y y ; z z
entonces: A B 2 ; 3; 3 , B C 2 ; 1; 2 , C D 4 ; 6 ; 6 , D A 0 ; 4 ; 1
Comparando las coordenadas de los vectores A B 2 ; 3; 3 y C D 4; 6; 6
1K
2 entonces A B K .C D
Entonces A B y C D son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio.
5. ¿Para qué valores de y los vectores ˆ ˆ ˆa 2 i 3 j k y ˆ ˆ ˆb i 6 j 2 k son colineales?
RESOLUCIÓN
Si a y b sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales: 1 1 1
2 2 2
x y zK
x y z
Reemplazando tenemos que: 2 3
K6 2
Resolviendo se tiene que: 4 y 1
PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES
1. Calcular el módulo del vector: kjiA 236
2. Calcular el módulo del vector: kjiW 1234
3. Dado los puntos 2;1;3 A y 1;2;1B determinar los vectores: A B y B A respectivamente.
4. Dado los puntos 1;2;3P y 1;2;1 Q determinar los vectores: P Q y Q P respectivamente.
5. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector kjiA 234
sabiendo que el origen
coincide con el punto M de coordenadas 3;2;1 .
6. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector kjiC 534
sabiendo que el origen
coincide con el punto Q de coordenadas 3;1;2 .
7. Se dan los vectores kjiA 624
y jiB 42
. Determinar la proyección del vector 2
BA
sobre
los ejes coordenados cartesianos.
8. Dado el módulo de vector 2A
y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z
respectivamente
45 ,
60 y
120 . Determinar la proyección del vector A
sobre los ejes
coordenados.
9. Dado el módulo de vector 10A
y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z
respectivamente
90 ,
150 y
60 . Determinar la proyección del vector A
sobre los ejes
coordenados.
10. Calcular los cosenos directores del vector kjiA 161512
.
11. Calcular los cosenos directores del vector P 3 i 4 j 1 2 k .
12. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes
45 ,
135 y
60 ?
13. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes
45 ,
60 y
120 ?
14. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes
90 ,
150 y
60 ?
15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos
120 y
45 respectivamente, ¿qué ángulo
forma el vector con el eje OY?
16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos
45 y
135 respectivamente, ¿qué ángulo
forma el vector con el eje OZ?
17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos
150 y
60 respectivamente, ¿qué ángulo
forma el vector con el eje OX? 18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos
iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos?
19. Calcular el vector unitario del vector kjiT 1234
20. Calcular el vector unitario del vector kjia 326
21. Calcular el vector unitario del vector G 4 i 3 j
22. Determinar el vector unitario perpendicular al vector E 6 i 8 j
23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A
(10; 20) y el lado AB es paralelo al vector ji 43 . Determinar la posición de los vértices B, C y D.
24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A
(20; 10) y el lado AB es paralelo al vector ji 34 . Determinar la posición de los vértices B, C y D.
25. Si los módulos de los vectores P y Q son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los ejes X, Y y Z
son 3
2;
3
1;
3
2 y
7
2;
7
3;
7
6 respectivamente. Determinar el resultado de:
P Q
2
26. Dado 13A
, 19B
y 24 BA
Calcular: BA
27. Sabiendo que los vectores ByA
forman entre si un ángulo de 120° y además 3A
, 5B
Determinar:
BA
28. ¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores kpjiA 32
y kjiqB 26
son colineales?
29. ¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores kjirA 312
y ksjiB 28
son paralelos?
30. Los siguientes vectores W 1 5 i 1 2 j 9 k y P 5 i 4 j 3 k ¿son colineales?
31. Los siguientes vectores E 1 5 i 1 2 j 9 k y T 5 i 4 j 3 k ¿son paralelos?
32. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio? 33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿Es un
trapecio?
34. Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; 2). ¿ AB y CD son colineales?
35. El vector T
de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector kjia 121516
. Determinar las
proyecciones del vector T
en el sistema coordenado cartesiano.
36. Dado los vectores en el plano p 2 i 3 j y q 1 i 2 j . Expresar el vector A 9 i 4 j en función de los
vectores p y q .
37. Dado los vectores en el plano p 3 i 2 j y q 2 i 1 j . Expresar el vector A 7 i 4 j en función de
los vectores p y q .
38. Dado los vectores en el plano p 3 i 2 j y q 7 i 4 j . Expresar el vector A 2 i 1 j en función de
los vectores p y q .
39. Dado los vectores en el plano p 7 i 4 j y q 2 i 1 j . Expresar el vector A 3 i 2 j en función de
los vectores p y q .
40. Se dan los vectores a 3 i 1 j , b 1 i 2 j y jic 71
. Determinar la descomposición del vector
p a b c en base de los vectores bya
.
41. Se dan los vectores a 6 i 2 j , b 1 i 5 j y jic 71
. Determinar la descomposición del vector
a b cp
2
en base de los vectores bya
.
42. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la
descomposición del vector A D tomado como base los vectores A B y A C .
43. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la
descomposición del vector B D tomado como base los vectores A B y A C .
44. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la
descomposición del vector C D tomado como base los vectores ACyAB .
45. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la
descomposición del vector A D B C C D tomado como base los vectores A B y A C .
46. Se dan los vectores p 3 i 2 j , q 1 i 1 j y r 2 i 1 j . Determinar la descomposición del vector
c 1 1 i 6 j en base de los vectores p ; q y r .
47. Se dan los vectores p 3 i 2 j 1 k , q 1 i 1 j 2 k y r 2 i 1 j 3k . Determinar la
descomposición del vector c 1 1 i 6 j 5 k en base de los vectores p ; q y r .
48. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular: ba
49. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular: 2
a
50. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular: 2
ba
51. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular: 2
ba
52. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular:
3a 2 b a 2 b
53. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que 43 bya
. Calcular:
2
23 ba
54. Conociendo los vectores ja 1 , jib 21 y ic 3 . Determinar: cba
cbcabaE
55. Conociendo los vectores jia 13 , jib 21 y jic 24 . Determinar:
cba
cbcabaK
56. Los vectores bya
son perpendiculares entre si, además el vector c
forma con cada uno de ellos un
ángulo de 60°. Sabiendo que: 3a
, 5b
y 8c
calcular: 3a 2 b b 3c
57. Los vectores bya
son perpendiculares entre si, además el vector c
forma con cada uno de ellos un
ángulo de 60°. Sabiendo que: 3a
, 5b
y 8c
calcular: 2
cba
58. Cada par de vectores cyba
, forman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que 4a
, 2b
y
6c
Determina el módulo de cba
.
59. Para que valores de “m” los vectores a m . i 3 j 2 k y b 1 i 2 j m .k son perpendiculares entre sí.
60. Para que valores de “p” los vectores a 1 2 . i p . j 2 k y b 1 i 2 j p.k son perpendiculares entre sí.
61. Sabiendo que 3a
y 5b
determinar para que valor de “q” los vectores bqa
. y bqa
. son
perpendiculares entre sí.
62. Sabiendo que 4a
y 2b
determinar para que valor de “q” los vectores bqa
. y bqa
. son
perpendiculares entre sí.
63. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores bya
para que ba
y ba
sean perpendiculares
entre sí?
64. Demostrar que el vector baccabp
es perpendicular con el vector a
.
65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.
66. Los vectores bya
forman 30° entre sí. Sabiendo que: 3a
y 1b
Determine la medida del
ángulo que forman entre si los vectores ba
y ba
67. Los vectores bya
forman 120° entre sí. Sabiendo que: 5a
y 5b
Determine la medida del ángulo
que forman entre si los vectores ba
y ba
68. Los vectores bya
forman 60° entre sí. Sabiendo que: 5a
y 3b
Determina la medida del ángulo
que forman entre si los vectores ba
y ba
69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles.
70. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 3, 4 y 5.
71. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 5, 12 y 13.
72. Calcular la componente del vector kjiA 525
sobre el eje del vector kjiB 212
73. Calcularla proyección del vector jiA 510
sobre el eje del vector jiB 43
74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice C.
75. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice B.
76. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice A.
77. El vector de módulo 50a
es colineal con el vector kjib 5,786
y forma un ángulo agudo con el
eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a .
78. Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector
kjib 112
y satisface la condición 3 ba
.
79. Determinar el vector m , si se sabe que es perpendicular con los vectores: kjiA 132
y
kjiB 321
además satisface a la condición: 6111 kjim
80. Se dan los vectores kjiA 513
y kjiB 321
. Determinar el vector X
que es perpendicular
al eje OZ y satisface a las condiciones: 9 AX
y 4 BX
81. Se dan los vectores kjiA 312
, kjiB 231
y kjiC 323 . Determinar el vector
X
que satisface a las condiciones: 5 AX
, 11 BX
y 20 CX
82. Determinar las componentes del vector S 4 i 3 j 2 k sobre el eje L que forma con los ejes
cartesianos ángulos agudos iguales.
83. Dado los vectores A , B ; C y D se cumple que: kjiA 434
y kjiB 122
además se sabe
que C es paralelo a B y el vector D es ortogonal con B . Si A C D determinar las expresiones
vectoriales de C y D .
84. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que 56 bya
. Calcular: ba
85. Sabiendo que 210 bya
, además 12 ba
. Calcular: ba
86. Sabiendo que 263 bya
, además 72 ba
. Calcular: ba
87. Sabiendo que 43 bya
, además 0 ba
. Calcular: baba
88. Sabiendo que 43 bya
, además 0 ba
. Calcular: baba
23
89. Los vectores bya
forman 120° entre sí. Sabiendo que: 1a
y 2b
. Calcular: 2
ba
90. Los vectores bya
forman 120° entre sí. Sabiendo que: 1a
y 2b
. Calcular:
2
22 baba
91. Los vectores bya
forman 120° entre sí. Sabiendo que: 1a
y 2b
. Calcular:
2
233 baba
92. Dado los vectores kjiA 213
y kjiB 121
determinar las componentes vectoriales de:
ba
93. Dado los vectores kjiA 213
y kjiB 121
determinar las componentes vectoriales de:
bba
94. Dado los vectores kjiA 213
y kjiB 121
determinar las componentes vectoriales de:
baba
22
95. Dado los vectores kjiA 213
y kjiB 121
determinar las componentes vectoriales de:
baba
2332
96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las
componentes vectoriales de: A B B C
97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes
vectoriales de: B C 2 .C A C B
98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.
99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.
100. La fuerza F 3 i 2 j 4 k está aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque de esta fuerza
respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r F donde r O A es el vector posición.
101. La fuerza F 2 i 4 j 5 k está aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque de esta fuerza
respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que r F donde r B A es el vector posición.
102. La fuerza F 3 i 2 j 2 k está aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque de esta fuerza
respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r F donde r O A es el vector posición.
103. Dado los vectores kjiA 212
y kjiB 223
, determinar los cosenos directores de A B
104. Se dan las fuerzas 1F 2 i 1 j 3 k , 2
F 3 i 2 j 1 k y 3F 4 i 1 j 3 k , determinar los cosenos
directores de 21 3
F F F
105. Se dan las fuerzas 1F 2 i 1 j 3 k , 2
F 3 i 2 j 1 k y 3F 4 i 1 j 3 k , determinar los cosenos
directores de 21 3
F F F
106. Se dan las fuerzas 1F 2 i 1 j 3 k , 2
F 3 i 2 j 1 k y 3F 4 i 1 j 3 k , determinar los cosenos
directores de 21 3 2
F F F F
107. Las fuerzas 1F 2 i 1 j 3 k , 2
F 3 i 2 j 1 k y 3F 4 i 1 j 3 k están aplicadas en el punto A
(2;-1;-2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas.
108. Las fuerzas 1F 2 i 1 j 3 k , 2
F 3 i 2 j 1 k y 3F 4 i 1 j 3 k están aplicadas en el punto A (-
1; 4; -2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto B (2; 3; -1). 109. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el área de la región
triangular.
110. El vector 3F de módulo 26 es perpendicular a los vectores 1F 4 i 2 j 3 k y 2
F 1 j 3 k , además
forma con el eje OY un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de 3F .
111. El vector 3F de módulo 39 es perpendicular a los vectores 1F 4 i 2 j 3 k y 2
F 1 j 3 k , además
forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F 3 .
112. El vector m de módulo 51 es perpendicular al eje OZ y al vector Q 8 i 1 5 j 3 k y, además forma con
el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de m .
113. Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendicular a los vectores
1F 2 i 3 j 1 k y 2
F 1 i 2 j 3 k además satisface a la condición: m 1 i 2 j 7 k 1 0
114. Se dan los vectores a 2 i 3 j 1 k , b 3 i 1 j 2 k y c 1 i 2 j 3 k , calcular: a b c
115. Se dan los vectores a 2 i 3 j 1 k , b 3 i 1 j 2 k y c 1 i 2 j 3 k , calcular: a b c
116. Se dan los vectores a 2 i 3 j 1 k , b 3 i 1 j 2 k y c 1 i 2 j 3 k , calcular: b a c
117. Se dan los vectores a 2 i 2 j 1 k , b 1 i 1 k y c 1 i 1 j 4 k . Determinar el vector unitario u
contenido en el plano formado por los vectores a y b además que sea perpendicular al vector c .
118. Se dan los vectores a 2 i , b 4 k y c 3 j . Determinar: a b c
119. Se dan los vectores a 3 i , b 4 j y c 2 k . Determinar: c b a
120. Se dan los vectores a 5 i , b 3 j y c 4 k . Determinar: a c b
121. Los vectores bya
forman entre si un ángulo de 30° además 6a
y 3b Sabiendo que el vector c
de módulo 3 es perpendicular a bya
, calcular: a b c
122. Se dan los vectores a 1 i 1 j 3 k , b 2 i 2 j 1 k y c 3i 2 j 5 k . Determinar: a b c
123. Se dan los vectores a 1 i 1 j 3 k , b 2 i 2 j 1 k y c 3i 2 j 5 k . Determinar: c b a
124. Se dan los vectores a 2 i 3 j 1 k , b 1 i 1 j 3 k y c 1 i 9 j 1 1 k . ¿Son coplanares los
vectores cyba
, ?
125. Se dan los vectores a 3 i 2 j 1 k , b 2 i 1 j 2 k y c 3 i 1 j 2 k . ¿Son coplanares los
vectores cyba
, ?
126. Se dan los vectores a 2 i 1 j 2 k , b 1 i 2 j 3 k y c 3 i 4 j 7 k . ¿Son coplanares los
vectores cyba
, ?
127. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). ¿Son coplanares estos cuatro puntos?
128. Se conocen los cuatro puntos: A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1) y D (2; 1; 3). ¿Son coplanares estos cuatro puntos?
129. Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -1) y D (4; 1; 3).
130. Se tiene un tetraedro cuyos vértices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la longitud de la altura bajad desde el vértice D al plano ABC.
131. El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos: A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe que está contenida en el eje OY.
132. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes
a 8 i , b 2 i 8 j y c 1 i 1 j 8 k
133. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes
a 4 i , b 4 j y c m . j 4 k , donde “m” es un número real.
134. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 2 x + 2y - 3 z – 20 = 0. Determine el vector unitario
perpendicular al plano. 135. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 3x + 4y +12z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al
plano.
136. Descomponer el vector a 1 0 i 1 0 j 4 k en dos componentes rectangulares en las direcciones
perpendicular y paralela al plano P cuya ecuación es: 6x +3y +2z – 11= 0.
137. Una fuerza F 2 0 i 1 0 j 3 0 k (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la
posición A (2; 3; -4) hasta B (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el
desplazamiento: F
A B A BW F d
Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).
138. Una fuerza F 5 0 i 2 0 j 3 0 k (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la
posición A (2; 0; -4) hasta B (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).
139. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:
a) F a b c d
b) I a b c d
c) a b a c b c
S
a b c
d) Y a b c d
e) a b a c a d
Cb c b d c d
f) A a b c d
g) Sabiendo que a m .b n .c , donde m y n son números reales. Determine m n
h) Sabiendo que d r .b s.c , donde r y s son números reales. Determine r s
i) Sabiendo que c p .b q .d , donde p y q son números reales. Determine p q
140. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el
valor de la siguiente operación:
a) a b c d
b) a b c d
c) a b a c b c
a b c
d) a b c c d a
e) a b a c a d
b c b d c d
f) a b c d
g) Sabiendo que a m .b n .c , donde m y n son números reales. Determine m n
h) Sabiendo que d r .b s.c , donde r y s son números reales. Determine r s
i) Sabiendo que c p .b q .d , donde p y q son números reales. Determine p q
141. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. En el sistema vectorial mostrado, determine
el valor de la siguiente operación:
a) a b c b
b) a b c b
c) a b c
a b a c b c
d) Y a b c a
e) a b a c b c
a a b b c c
f)
a b c a
a b c
g) El resultado de a b c compara con a b c ¿son iguales?
142. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida.
a) Calcular: a b c
b) Calcular: a 2 b 3 c
c) Determine el vector unitario de: a b c
d) Determine el vector unitario de: a b c
e) Reducir:
a b c b
a b c
f) Reducir:
a b c b
a b c
g) Reducir: a b c
a b a c b c
h) a b c c b a
a a b b c c
i) a b c a c b
b b a a c c
j)
a b b c
a b c
k) El resultado de a b c compara con a b c
¿son iguales?
143. Se muestra un sistema de vectores.
a) Expresar el vector A C en función de los vectores
A B y A D .
b) Expresar el vector A D en función de los vectores
A B y A C .
c) Expresar el vector A B en función de los vectores
A D y A C .