Post on 01-Jan-2016
Universidad de El Salvador
Facultad Multidisciplinaria Oriental Departamento de Ingeniería y Arquitectura
Mecánica de los Solidos III
Esfuerzos Combinados Esfuerzos en Recipientes de Pared Delgada Transformación de Esfuerzos en un Punto Superposición de Esfuerzos
Ciclo I-2012
Ciudad Universitaria Oriental, 25 de Mayo de 2012
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 1
INDICE
INTRODUCCION….…………………………………………………………………... 2
OBJETIVOS………………………………..…………………..……………………….. 3
ESFUERZOS COMBINADOS..………….…………………..……………………….. 4
1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA……………….. 5
1.1 RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A PRECION………………… 5
1.2 RECIPIENTES CILINDRICOS SOMETIDOS A PRESION…………….….. 8
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO………………… 10
2.1 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES MAXIMOS……………….. 13
2.2 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL PLANO……………………... 16
2.3 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO…...…………………… 17
3. SUPERPOSICION DE ESFUERZOS……….……………………...…...……. 20
3.1 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXION……………. 21
3.2 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS FLEXION Y TORSION…………... 22
EJEMPLOS TEORICOS……………………………………………………………….. 25
PROBLEMAS DE APLICACION…………………………………………………….. 32
CONCLUSIONES……………………………………………………………………… 42
RECOMENDACIONES…………………………………………………………….…. 43
BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………… 44
REFERENCIA……………………………………………………………………...45
ANEXOS………………………………………………………………………………… 46
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 2
INTRODUCCION
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de
materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son
básicos para el entendimiento de los temas a tratar.
Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son
aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial, esfuerzo por carga de flexión o
esfuerzo por carga de torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la
ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo
de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea.
También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de
construcción.
A continuación se hace un análisis de lo que son los recipientes a presión de pared delgada
(recipientes cilíndricos y esféricos) los cuales representan una importante aplicación en el
análisis de esfuerzo principalmente en el análisis de esfuerzo plano. A La transformación de
esfuerzo la cual representa la relación de esfuerzos sobre diferentes planos que pasan por un
punto. Y el método de superposición de esfuerzos que sirve para determinar por separado
cada una de las fuerzas que son aplicadas sobre el miembro en análisis, para posteriormente
combinar sus resultados y obtener la solución del problema.
Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos cuenta ya sea en nuestras
casas que están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la
flexión y otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde las vigas son de
hierro y cemento.
Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven involucrados los temas
antes mencionados, de manera que en el diseño de estructuras y elementos sometidos a
múltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de
los mismos.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 3
OBJETIVOS
General
Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados aplicables en superficies de pared
delgada, transformaciones en un punto y superposición de esfuerzos, además de
analizar la interacción de esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos
estructurales, determinando su intensidad.
Específicos
Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos combinados en superficies de
pared delgada, transformación en un punto y superposición de esfuerzo.
Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga axial, por carga de
torsión y por carga de flexión cuando actúan conjuntamente, para determinar el
esfuerzo neto.
Resolver tres problemas prácticos en los que sea aplicable el método de superposición
de esfuerzo.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 4
ESFUERZOS COMBINADOS
Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del esfuerzo de carga axial,
esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por carga de torsión.
En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los elementos analizados no
están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos
de manera simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en donde la
estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se analiza la interacción de todos los
esfuerzos a los que está sometido el elemento. También es un método para dimensionar y
seleccionar el material adecuado para el elemento.
En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de carga:
Carga axial y
flexión
Carga axial y por
torsión
Carga axial y
flexión
Carga axial,
torsión y flexión
ESFUERZOS COMBINADOS
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 5
1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Los recipientes a presión son estructuras cerradas que
contienen líquidos o gases a presión, ejemplo de ello son
los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los
tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y
globos inflados, las calderas de vapor, los tanques de
almacenamiento de líquidos o gases a presión, los tanques
de agua, los tanques de almacenamiento de gramos y las
tuberías entre otros.
Se consideraran recipientes de pared delgada los
contenedores de forma cilíndrica o esférica en los que el
espesor de la pared es pequeño comparado con el radio y
su longitud, y en tales casos se encuentran en la clase
general de estructuras conocidas como “cascarones”.
(Figura 1.0).
Recipientes esféricos sometidos a
presión.
Un tanque de forma esférica es el recipiente ideal para
resistir presión interna. Algunos ejemplos conocidos son
tanques, tubos y cabinas de presión en aeronaves y
vehículos espaciales. Cuando los recipientes a presión
tienen pared delgada en comparación a sus dimensiones
generales, se les incluye dentro de la categoría más
general de cascarones. (Figura 1.0c).
Figura 1.0
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 6
El término de pared delgada no es preciso, pero una regla
general es que la relación de radio al espesor de la pared
debe de ser mayor que 10 a fin que podamos determinar
los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable
mediante únicamente estática. Una segunda limitación es
que la presión interna debe de ser mayor que la externa; de
lo contrario, el cascaron puede fallar por colapso debido al
pandeo de las paredes.
A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente esférico,
cortamos a través de la esfera según un plano diametral
vertical y aislamos la mitad del cascaron junto con su
contenido de fluido como un solo cuerpo libre (figura 1.1-
a). Sobre este cuerpo libre actúan los esfuerzos de tensión
σ en la pared y la presión p del fluido que permanece
dentro del hemisferio. El peso del tanque y su contenido se
omiten en este análisis.
La presión actúa horizontalmente sobre el área circular
plana formada por el corte y dado que la presión en
uniforme, la fuerza resultante de la presión es:
donde es el radio interior de la esfera. Obsérvese que la
presión es la presión interna neta, o presión manométrica
(esto es, la presión por encima de la presión atmosférica, o
presión externa).
Debido a la simetría del recipiente y su carga (figura 1.1-b),
el esfuerzo de tensión σ es uniforme alrededor de la
circunferencia, además como la pared es delgada podemos
suponer con buena precisión que el esfuerzo está
distribuido uniformemente a través del espesor t.
Figura 1.1
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 7
La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más delgado el cascaron, y se
reduce según se vuelve más grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es
, donde es el espesor y es el radio medio del cascaron ⁄ Por
supuesto, dado que nuestro análisis únicamente es válido para cascarones muy delgados,
podemos considerar que ; entonces, la fuerza resultante se convierte en .
Ec. 1.0
Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta misma ecuación para el
esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en cualquier dirección. Por lo
tanto, concluimos que una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión
σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en la (Fig. 1.2b) por el
pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones mutuamente perpendiculares.
En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan esfuerzos normales a la
superficie, por lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que
y son iguales (Fig. 1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se
reduce a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos principales son:
Ec. 1.1
También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero.
Sin embargo, se debe advertir el elemento es tridimensional
y que el tercer esfuerzo principal (en la dirección ) es
cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto, originado
mediante una rotación de del elemento respecto a
cualquiera de los o , es
Ec. 1.2
En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento esforzado tiene los
mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero, adicionalmente, actúa un esfuerzo de
Figura 1.2
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 8
compresión en la dirección , (Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos
principales:
Ec .1.3
El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera del plano (producido
mediante una rotación de alrededor de cualquiera de los ejes y ) es:
Ec. 1.4
Si la relación de ⁄ es suficientemente grande, el último término de esta ecuación puede
omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la misma Ec.1.3, y se puede suponer que el
esfuerzo cortante máximo es constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico
utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la pared, así como varios
accesorios y soportes. Esta característica origina distribuciones no uniformes de esfuerzos que
no pueden analizarse mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan
grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.
Recipientes cilíndricos sometidos a presión.
Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se encuentran en instalaciones
industriales (tanques de aire comprimidos y motores de cohete, en casas de habitación
(extinguidores de incendios y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de
granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de agua y las tuberías de
carga, también se clasifican como recipientes cilíndricos a presión.
Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con extremos cerrados y
presión interna (Fig. 1.3). En la figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son
paralelas y perpendiculares al eje del tanque.
Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada sometido a presión interna.
Los esfuerzos normales en un tanque y que actúan sobre las caras laterales de este
elemento son esfuerzos de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos y son
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 9
esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo se denomina esfuerzo
circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar, es el esfuerzo longitudinal o
esfuerzo axial. Cada uno de estos esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el
empleo de diagramas de cuerpo libre apropiados.
Para determinar el esfuerzo cincunferencial ,
aplicamos dos cortes (mn y pq) perpendiculares al eje
longitudinal y separamos una distancia b (Figura 1.3-a).
Luego efectuamos un tercer corte en un plano vertical a
traves del eje longitudinal del tanque con lo cual resulta el
diagrama de cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este
cuerpo libre no consiste solamente en la pieza longitudinal
del tanque, sino tambien el el fluido contenido dentro de
los cortes. Los esfuerzos circunferenciales y la presion
interna p actuan sobre el corte longitudinal (mnpq).
Los esfuerzos circunferenciales que actuan en la pared
del recipiente tiene una resultante igual a , donde t
es el espesor de la pared. Además, la fuerza resultante de
la presión interna es igual a PdA=2pb , donde es el radio
interior del cilindro. Haciendo equilibrio de las ecuaciones
antes mencionadas se obtiene lo siguiente (El esfuerzo
circunferencial para un cilindro a presión):
Ec. 1.5
El esfuerzo longitudinal se obtiene del equilibrio de
un cuerpo libre de la parte del recipiente a la izquierda de la
sección transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual que en el
análisis anterior no solo la parte del tanque, sino también
su contenido. Los esfuerzos actúan en sentido
Figura 1.3
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 10
longitudinal y tiene la fuerza resultante igual a
. La fuerza resultante la presión interna es
igual a . Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y despejando para p
se obtiene:
Ec.1.6
La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de membrana a través de
las paredes del recipiente eran uniformes.
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO
La transformación del esfuerzo significa la variación, con la
dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL
estudio de este tema se refiere principalmente a casos
bidimensionales, pero también se dan algunos resultados
importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este
tema es importante en la determinación de los esfuerzos
máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones
de esfuerzos que producen la falla de un elemento.
Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos
planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por
ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente
da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos
cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como
se muestra en la figura 2.1a: Los esfuerzos en planos cortantes
orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes.
Figura 2.1
En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son
diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que
otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente
el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 11
representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a
representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente
perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un
elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de
manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son
iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante
único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos
diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la
figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura
2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes
de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.
Figura 2.2
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 12
El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son
independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y
/están relacionadas
con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes
sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un
punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo.
Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de
las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño
infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura.
(fig.2.3) esta formada por planos cortantes normales a los ejes
de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje
inclinado X´ que forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los
esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y
τx´τy´asociados a las coordenadas x´,y´. Se consideran
cantidades positivas si tienen los sentidos indicados y negativas
si tienen los sentidos opuestos.
Figura 2.3
Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para
los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se
obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara
sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al
plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara
adyacente al ángulo θ tiene áreas dAsenθ y dAcosθ, respectivamente. También se hace uso de las
identidades trigonométricas.
Y finalmente tenemos:
(
) (Ec.2-1)
O, finalmente:
(Ec.2-2)
Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso
bidimensional y dan valores de σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La
componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 13
Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden
pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos
x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto,
utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es
suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto.
Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura
2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones
estáticas y dinámicas de un cuerpo.
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.
Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal , y el
esfuerzo cortante y varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo . Con
fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para
determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales,
empezamos con la expresión :
(Ec.2-3)
Al tomar la derivada con respecto a e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores
de para los cuales es máximo o e mínimo:
( )
De la cual obtenemos:
(Ec.2-4)
De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de en el intervalo entre . Estos
valores difieren en , estando el valor mas pequeños entre y y el valor mas grane entre
y . Por lo tanto, el ángulo tiene dos valores que difieren en , uno entre y , y
el otro entre y . Para uno de estos ángulos el esfuerzo es un esfuerzo principal
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 14
máximo; para el otro, es un esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de difiere en
, concluimos que los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares.
Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse
fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de en la
ecuación de la transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar
. Mediante este procedimiento podemos conocer también
cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de
los dos ángulos principales
En donde :
√(
)
(Ec.2-5)
Se sustituyen las expresiones para y en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico
mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por :
√(
)
El más pequeño de los esfuerzos se denota por determina por la la condición
Puesto que actúan sobre planos perpendiculares.
√(
)
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 15
Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos
principales:
√(
)
(Ec.2-6)
Este resultado de los esfuerzos principales, designados por
, en función de las componentes de referencia, , , y
. Donde se especificó anteriormente y
. Los esfuerzos principales siempre representan los valores
mayor y menor de , en un punto.
Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos
axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que
(véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores
de son 0° y 90°
Figura 2.5
Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos
principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b),
ya que tan es infinito y, por consiguiente, los dos valores
de son 45° y 135°. Si es positivo, los esfuerzos
principales son y
El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere
únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano
xy(esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos
esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al-
gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.
Figura 2.6
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 16
Mediante un análisis tridimensional más completo, puede
demostrarse que los tres planos principales para un elemento en
esfuerzo plano son los dos planos principales que se han
descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se
muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la
Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo , que es
uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los
esfuerzos principales son , donde y resultan de
la Ec. (2-6) y es igual a cero.
F
Figura 2.7
ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO.
La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo
cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la
derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a
cero el resultado. Se obtiene
( )
(Ec.2-7)
Las dos raíces de esta ecuación , se pueden
determinar con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de
esta a 90° de . Así las raíces de y forman 45° entre
ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante
máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45°
con respecto a la posición de un elemento que defina los planos
del esfuerzo principal.
Figura 2.8
Usando cualquiera de las raíces , se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando
los valores trigonométricos de sen y cos en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-
2). El resultado es: √(
)
(Ec.2-8)
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 17
El valor de calculado con la ecuación (2-8) se llama “esfuerzo cortante máximo en
el plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen y
cos en la ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo
cortante máximo en el plano. Se obtiene:
(Ec.2-9)
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO
El circulo de usado para obtener algunas ecuaciones básicas
relativas a la transformación de esfuerzo en un plano. Este
método se basa en consideraciones geométricas simples y no
requiere el uso de ecuaciones especializadas.
Considere un elemento cuadrado de un material sometido a
esfuerzo plano (figura 2-9a), y sean, las componentes
del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de
coordenadas y y un punto Y de coordenadas y
(figura2-9). Si es positivo, como se supone en la figura
2-9 a, el punto X está situado debajo del eje y el punto Y
encima, como se muestra en la figura 2-9 b. Si es negativo,
X se sitúa encima del eje y Y debajo. Uniendo X y Y mediante
una línea recta se define el punto C de intersección de la línea
XY con el eje y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro
XY. Al observar que la abscisa de C y el radio del círculo son
respectivamente iguales a las cantidades y R definidas
por las ecuaciones (2-5, 2-9), se concluye que el círculo
obtenido es el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las
abscisas de los puntos A y B, en donde el círculo interseca el eje
, representan respectivamente los esfuerzos principales y
en el punto considerado.
Figura 2.9
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 18
Se nota también que como tan
,el ángulo XCA
es igual en magnitud a uno de los ángulos que satisfacen las
ecuaciones (2-4). Así, el ángulo que define la figura (2.9)la
orientación del plano principal correspondiente al punto A en la
figura 2.9 puede obtenerse dividiendo entre la mitad el ángulo
XCA medido en el círculo de Mohr. Observe además que si
>0, como en el caso considerado aquí, la rotación
que trae CX a CA es en sentido contrario a las agujas del reloj.
Pero en ese caso el ángulo obtenido de la ecuación (2-4), el
cual define la dirección de la normal Oaal plano principal, es
positivo; por ello la rotación que trae Oxa Oaes también en
sentido contrario al de las agujas del reloj. Se concluye que los
sentidos de rotación en ambas partes de la figura 2.9 son los
mismos. Si se requiere un giro para llevar CX a CA en el
círculo Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas
del reloj llevará Oxa Oaen la figura 2.9a.
Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el
mismo círculo puede obtenerse considerando las
componentes, , correspondiente a los ejes de
la figura 2.10a. El punto X' de las coordenadas y ., y el
punto Y´ de coordenadas y están, por tanto, localizadas
en el círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe
ser el doble del ángulo x'Oade la figura 2.10a. Como el ángulo
XCA es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de
la figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el
diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes
, puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo
igual al doble del ángulo formado por los ejes x' y x de la fi-
gura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el
diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual
sentido que la rotación que superpone los ejes xya los ejes x'y'
en la figura 2-10a.
Figura 2.10
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 19
La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para
verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante
máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente,
recuerde que los puntos D y E del círculo de Mohr
corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo,
mientras A y B corresponden a los planos principales (figura
2.11b). Puesto que los diámetros AB y DE del círculo de Mohr
están a 90° el uno del otro, se tiene que las caras de los
elementos correspondientes están a 45° la una de la otra
(figura2.11a).
La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se
simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del
elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De
las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante
ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento
en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a
esa cara está colocado por encima del eje el círculo de Mohr.
Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el
elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto
correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje (Fig.
2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención
usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se
gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se
gráfica hacia la izquierda.
a)
b)
Figura 2.11
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 20
3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS
En la práctica de la ingeniería, se usa a menudo el
principio de superposición en la solución de problemas.
Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema
de carga completo que involucra un cierto número de
fuerzas de diferentes tipos, podemos determinar el efecto
de cada fuerza del sistema sobre el miembro
separadamente. Después, los resultados de cada una de
ellas se combinan para obtener la solución del problema.
El principio de superposición es fácil de entender y
aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido
combinar los resultados. Si los resultados combinados no
son lineales, la superposición no es válida.
Existen tres tipos de esfuerzos básicos:
1- P/A solamente se consideran cargas axiales
aplicadas a través del centroide de la sección.
2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de sección
circular.
3- c/I solamente cargas aplicadas perpendicularmente
al eje transversal
Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de
problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando
adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica
frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan
con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 21
válidas como se muestra en las figuras a la derecha las
cuales muestran varios ejemplos de problemas de este
tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse
mediante una combinación adecuada de los métodos ya
estudiados.
Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados:
Axial y flexion.
Flexion y torsión.
Axial y torsión.
En este trabajo solamente se abordaran las dos primeras combinaciones de esfuerzos que se
analizaran por el método de superposición.
SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXIÓN
Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una
carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura
3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial
solamente, sino una combinación de las dos. Si se
descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y
vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas
componentes actúan en las direcciones que permiten
aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente.
La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce
esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras.
La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión
Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o
acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente.
Figura 3.1
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 22
El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción
confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra
pueden calcularse como:
±
(Ec.3-1)
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión
son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los
esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia
general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las
fibras externas.
Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son
enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se
multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos
casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento
total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el
momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta
conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el
efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas
esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.
FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS
A veces se necesita que los miembros estructurales soporten conjuntamente cargas de
flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de
rotación suelen estar sometidos tantos a momentos de flexión, como a torsión. Tales
condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial
siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender
momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada
resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 23
medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo de esfuerzos en el punto
elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del
CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los
esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de
situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el
diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo
Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra
circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al
eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la
distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática.
Tales resultantes son:
1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L –
x ), donde L es la longitud de la viga;
2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y.
3) Un momento torsionante T. Observe que en este
caso el momento flector se considera positivo
cuando produce tracción en la parte superior de la
viga si ahora examinamos un elemento localizado
en la superficie superior de la barra (Elementos A
en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará
sometido a los esfuerzos de flexión, X Debido a
M y a los esfuerzos cortantes, Debidos a T
(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las
ecuaciones X =
y
Respectivamente,en
el caso de un árbol circular de diámetro d, esta
ecuaciones se convierte en. x=
(Ec.3-2) ;
(Ec.3-3)
Figura 3.2
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 24
Conociendo x y Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento girado cualquier
ángulo que se desee en el punto A.
Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación.
1,2=
√
) + (Ec.3-4)
Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es:
=
√
) + . (Ec.3-5)
Si se conocen los valores admisibles w y de los esfuerzos normal y cortante
sustitúyanse en la dos ecuaciones anteriores en lugar de 1 y 2 y , y luego despéjese
“d” el diámetro requerido de la barra circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos
máximos cuando el elemento A seleccione al extremo de la barra donde el momento
Flexionante M tiene el valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un
elemento en la parte superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para
analizar los esfuerzos en la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se
producirán por lo general donde los esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte
superior o en l parte inferior de la viga en la sección recta del máximo momento Flexionarte
sin embargo a veces es necesario considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza
cortante V= Q produce un esfuerzo máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente
se debe considerar también un elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje
neutro (Elemento B). Tal elemento se hallará en estado de cortadura pura (figura),
constando el esfuerzo cortante de dos partes:
1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y
2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y
. Los
esfuerzos principales en tal elemento ocurren en planos a 450 con el eje. Estos
esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior
y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar
en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 25
comparándose los valores obtenidos para los elementos A y B. Si la viga esta
empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es
circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y
compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo
el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los
puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar
razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.
EJEMPLOS TEORICOS
RECIPIENTES DE PARED DELGADA
EJEMPLO 1.1
Cuando se llena a toda su capacidad el tanque no pasteurizado
que se representa en la figura, contiene agua hasta un nivel de
15.5m arriba de su base. Sabiendo que la porción inferior del
tanque tiene un espesor de pared de 16mm encuentre:
a) El esfuerzo normal máximo
b) El esfuerzo cortante máximo del tanque
(La densidad del agua es de 1000 kg/m3)
DATOS
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 26
Para determinar el Peso específico:
Encontrando la presión del agua en el nivel de 15.5 m arriba de su base
Haciendo un corte en la región media del
recipiente cilíndrico
∑
(
)
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 27
Esfuerzo longitudinal en el elemento A.
∑
Sustituyendo datos:
(
)
Debe observarse que el tercer esfuerzo principal es cero en la superficie exterior del
cilindro pero en la superficie interna es igual al esfuerzo longitudinal.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 28
ESFUERZOS EN UN PUNTO
Ejemplo 1.2
El eje de un automóvil esta sometido a las fuerzas y al par que
se muestra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje solido
es de 1.25in, Determine a) los planos principales en el punto H
localizado en la parte superior del eje b) el esfuerzo cortante
máximo ejercido en el mismo punto.
Encontrando Inercia
Encontrando el momento
∑
Encontrando esfuerzo
Con torsion encontramos el esfuerzo cortante
⁄
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 29
a) Esfuerzos Principales:
√(
)
√(
)
b) Esfuerzo Cortante Maximo
ESFUERZOS COMBINADOS
Ejemplo 1.3
Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un
cigüeñal AB, que se mantiene en equilibrio gracias a un par
giratorio T y a las reacciones A y B. Sabiendo que los cojinetes
se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje,
determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H, J,
K, L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y
horizontal de una sección transversal localizada a 2.5 in a la
izquierda del cojinete B.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 30
SOLUCION:
∑
⁄
∑
∑ :
Se reemplaza la seccion B y el par giratorio T por un sistema de
par de fuerzas equivalentes en el centro C de la seccion
transversal que contiene a H, J, K y L.
La fuerza V produce un momento en el eje y:
Las propiedades geométricas de la seccion de 0.9 in de
diametro son:
Usando la ecuacion ⁄ se determinan los esfuerzos
cortantes en los puntos H, J, K, L, se ilustran en la figura a.
DCL Cigüeñal completo
Fuerzas internas en la
sección trnasversal
Esfuerzos producidos por
un par giratorio T.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 31
La fuerza cortante V no produce esfuerzos cortantes J y L.
Primero se calcula Q para los puntos H y L para un semicirculo
respecto de un diametro vertical y despues se calcula el
esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V = 250 lb.
Estos esfuerzos se muestran en la figura b.
(
) (
)
Como el par flector actua en un plano horizontal, no
produce esfuerzos en H y K. Con el uso de la ecuación
| |
se determinan los esfuerzos normales en los puntos J y L,
se ilustran en la figura c.
| |
Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los
esfuerzos total normal y cortante en los puntos H, J, K, L.
En el punto H:
En el punto J:
En el punto K:
En el punto L:
Esfuerzos producidos por la
fuerza cortante V.
Esfuerzos producidos por el
par flector My.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 32
PROBLEMAS DE APLICACION
RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Problema 1.1
Un tanque de gas propano de la empresa Z Gas con capacidad de 1000 litros, descansa
sobre dos soportes fijos. El tanque esta hecho de ACERO SA GRADO C con longitud L
de 2.253m y consiste de un cuerpo cilíndrico con espesor de placa de 6.35 mm y diámetro
interior de 79 cm. El cilindro esta soldado en los extremos a dos cabezas esféricas con un
espesor de 4.76 mm para cada una. El gas dentro del tanque se encuentra a una presión de
20 PSI. Determine:
a) Los esfuerzos longitudinal y transversal en las cabezas esféricas
b) Los esfuerzos longitudinal y transversal en el cuerpo cilíndrico del tanque
(Considerando que los soportes fijos no ejercen ninguna reacción sobre el tanque)
Solución
Datos
⁄
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 33
a)
Analizando las cabezas esféricas
∑
- Sustituyendo datos
⁄
⁄
Debido a la simetría de las cabezas el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo tangencial son iguales.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 34
b)
Analizando el cuerpo cilíndrico
- Para el eje x
∑
- Sustituyendo datos
⁄
⁄
- Para el eje Z
∑
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 35
(
⁄ )
⁄
Se puede observar que el esfuerzo transversal es dos veces el
esfuerzo longitudinal
ESFUERZOS EN UN PUNTO
Problema 1.2
Determine los esfuerzos principales y el
esfuerzo cortante máximo en el punto M de
una tuerca de la llanta de un automóvil si se
necesita ajustar para que funcione
correctamente por medio de una llave cruz.
El diámetro de la tuerca es de 16mm.
Sustituyendo la fuerza en A y C en un momento par en D
∑
Encontrando el momento.
∑
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 36
Encontrando esfuerzos en el plano
Inercia
Encontrando cortante
Obtuvimos:
a) Esfuerzos Principales
√(
)
√
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 37
b) Esfuerzo Cortante Maximo
ESFUERZOS COMBINADOS.
Problema 1.3
Una lámpara de alumbrado eléctrico público de 16.5 kg,
diámetro 11 in y altura 7 in en la parte inferior y 6.5 in de
diámetro y altura 7 in en la parte superior, esta soportada
por un poste de concreto con una altura L de 240 in y con
diámetro de 10.186 in. La lámpara tiene una
excentricidad de 25.593 in desde la línea central del
poste, y se encuentra conectada al poste a 225 in. arriba
del suelo.
Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos
cortantes máximos en el punto P y Q. (el peso específico
del concreto reforzado es de ⁄ )
Datos
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 38
Área de la sección transversal del poste
A=
=
- Encontrando el Peso del poste
(Ec.1)
Donde:
(
)
1- Analizando W1 para los puntos P y Q
Siendo W1 =
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 39
2- Analizando W2 para los puntos P y Q
El peso de la lámpara produce una fuerza de compresión
F1= peso de la lámpara =
y un momento:
in) = 1130.8524 lb.in
I =
=
( )
3- Analizando los puntos P y Q para la presión del viento
La presión del viento contra la lámpara produce una fuerza
resultando Fv
( )
La Fv es la fuerza cortante a lo largo del poste
V = Fv = 23.275 lb
Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2
Un par de tensión T
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 40
Sumando los efectos de cada fuerza tenemos:
- En el punto P:
=
± √
=
+ √
=
- √
-0.3857 psi
= √
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 41
√(
)
15.9604 psi
- En el punto Q:
=
± √
=-
+ √
=-
- √
-
= √
√(
)
15.6 psi
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 42
CONCLUSIONES
Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de
estructuras, es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas
soportadas.
Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes
en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el
diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo
es máximo para que la estructura se mantenga estable.
Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso
común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se
someten a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando
tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente
de presión cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos
longitudinal y circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones
determinadas para su resolución.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 43
RECOMENDACIONES
Es importante recordar que a la hora del análisis de una determinada estructura el
conocimiento teórico del fenómeno es indispensable, por lo cual se debe hacer una
investigación previa del comportamiento promedio del problema a analizar.
Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la que van
a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del material y el espesor del
mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales.
Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para saber
de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o soportes, para
que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario sufriría una
deflexión que podría deformarla permanentemente (deflexión permanente).
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 44
BIBLIOGRAFIA
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición
2010. Editorial McGraw-Hill.
Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición,
México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.
James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma.
Edición, 2009. Cengage Learning Editores, S.A de
C.V.
Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988.
Editorial McGraw-Hill.
Mecánica De Sólidos III
Esfuerzos combinados
Página 45
REFERENCIAS
Los ejemplos teóricos fueron plasmados de los libros antes mencionados específicamente de:
Ejemplo 1.1
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 3er edición. Editorial McGraw-Hill.
Capítulo 7
Sección 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada Bajo presión
Ejemplo 1.2
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.
Capítulo 7
TRANSFORMACIONES DE ESFUERZO Y DEFORMACIONES
Ejemplo 1.3
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.
Capítulo 8
ESFURZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA