106426492-Esfuerzos-Combinados

Universidad de El Salvador

Facultad Multidisciplinaria Oriental Departamento de Ingeniería y Arquitectura

Mecánica de los Solidos III

Esfuerzos Combinados Esfuerzos en Recipientes de Pared Delgada Transformación de Esfuerzos en un Punto Superposición de Esfuerzos

Ciclo I-2012

Ciudad Universitaria Oriental, 25 de Mayo de 2012

Mecánica De Sólidos III

Esfuerzos combinados

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INDICE

INTRODUCCION….…………………………………………………………………... 2

OBJETIVOS………………………………..…………………..……………………….. 3

ESFUERZOS COMBINADOS..………….…………………..……………………….. 4

1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA……………….. 5

1.1 RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A PRECION………………… 5

1.2 RECIPIENTES CILINDRICOS SOMETIDOS A PRESION…………….….. 8

2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO………………… 10

2.1 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES MAXIMOS……………….. 13

2.2 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL PLANO……………………... 16

2.3 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO…...…………………… 17

3. SUPERPOSICION DE ESFUERZOS……….……………………...…...……. 20

3.1 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXION……………. 21

3.2 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS FLEXION Y TORSION…………... 22

EJEMPLOS TEORICOS……………………………………………………………….. 25

PROBLEMAS DE APLICACION…………………………………………………….. 32

CONCLUSIONES……………………………………………………………………… 42

RECOMENDACIONES…………………………………………………………….…. 43

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………… 44

REFERENCIA……………………………………………………………………...45

ANEXOS………………………………………………………………………………… 46



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INTRODUCCION

El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de

materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son

básicos para el entendimiento de los temas a tratar.

Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son

aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial, esfuerzo por carga de flexión o

esfuerzo por carga de torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la

ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo

de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea.

También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de

construcción.

A continuación se hace un análisis de lo que son los recipientes a presión de pared delgada

(recipientes cilíndricos y esféricos) los cuales representan una importante aplicación en el

análisis de esfuerzo principalmente en el análisis de esfuerzo plano. A La transformación de

esfuerzo la cual representa la relación de esfuerzos sobre diferentes planos que pasan por un

punto. Y el método de superposición de esfuerzos que sirve para determinar por separado

cada una de las fuerzas que son aplicadas sobre el miembro en análisis, para posteriormente

combinar sus resultados y obtener la solución del problema.

Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos cuenta ya sea en nuestras

casas que están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la

flexión y otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde las vigas son de

hierro y cemento.

Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven involucrados los temas

antes mencionados, de manera que en el diseño de estructuras y elementos sometidos a

múltiples cargas se deben tener en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de

los mismos.



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OBJETIVOS

General

Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados aplicables en superficies de pared

delgada, transformaciones en un punto y superposición de esfuerzos, además de

analizar la interacción de esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos

estructurales, determinando su intensidad.

Específicos

Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos combinados en superficies de

pared delgada, transformación en un punto y superposición de esfuerzo.

Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga axial, por carga de

torsión y por carga de flexión cuando actúan conjuntamente, para determinar el

esfuerzo neto.

Resolver tres problemas prácticos en los que sea aplicable el método de superposición

de esfuerzo.



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ESFUERZOS COMBINADOS

Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del esfuerzo de carga axial,

esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por carga de torsión.

En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los elementos analizados no

están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos

de manera simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en donde la

estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se analiza la interacción de todos los

esfuerzos a los que está sometido el elemento. También es un método para dimensionar y

seleccionar el material adecuado para el elemento.

En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de carga:

Carga axial y

flexión

Carga axial y por

torsión

Carga axial y

flexión

Carga axial,

torsión y flexión




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1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Los recipientes a presión son estructuras cerradas que

contienen líquidos o gases a presión, ejemplo de ello son

los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los

tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y

globos inflados, las calderas de vapor, los tanques de

almacenamiento de líquidos o gases a presión, los tanques

de agua, los tanques de almacenamiento de gramos y las

tuberías entre otros.

Se consideraran recipientes de pared delgada los

contenedores de forma cilíndrica o esférica en los que el

espesor de la pared es pequeño comparado con el radio y

su longitud, y en tales casos se encuentran en la clase

general de estructuras conocidas como “cascarones”.

(Figura 1.0).

Recipientes esféricos sometidos a

presión.

Un tanque de forma esférica es el recipiente ideal para

resistir presión interna. Algunos ejemplos conocidos son

tanques, tubos y cabinas de presión en aeronaves y

vehículos espaciales. Cuando los recipientes a presión

tienen pared delgada en comparación a sus dimensiones

generales, se les incluye dentro de la categoría más

general de cascarones. (Figura 1.0c).

Figura 1.0



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El término de pared delgada no es preciso, pero una regla

general es que la relación de radio al espesor de la pared

debe de ser mayor que 10 a fin que podamos determinar

los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable

mediante únicamente estática. Una segunda limitación es

que la presión interna debe de ser mayor que la externa; de

lo contrario, el cascaron puede fallar por colapso debido al

pandeo de las paredes.

A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente esférico,

cortamos a través de la esfera según un plano diametral

vertical y aislamos la mitad del cascaron junto con su

contenido de fluido como un solo cuerpo libre (figura 1.1-

a). Sobre este cuerpo libre actúan los esfuerzos de tensión

σ en la pared y la presión p del fluido que permanece

dentro del hemisferio. El peso del tanque y su contenido se

omiten en este análisis.

La presión actúa horizontalmente sobre el área circular

plana formada por el corte y dado que la presión en

uniforme, la fuerza resultante de la presión es:

donde es el radio interior de la esfera. Obsérvese que la

presión es la presión interna neta, o presión manométrica

(esto es, la presión por encima de la presión atmosférica, o

presión externa).

Debido a la simetría del recipiente y su carga (figura 1.1-b),

el esfuerzo de tensión σ es uniforme alrededor de la

circunferencia, además como la pared es delgada podemos

suponer con buena precisión que el esfuerzo está

distribuido uniformemente a través del espesor t.

Figura 1.1



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La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más delgado el cascaron, y se

reduce según se vuelve más grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es

, donde es el espesor y es el radio medio del cascaron ⁄ Por

supuesto, dado que nuestro análisis únicamente es válido para cascarones muy delgados,

podemos considerar que ; entonces, la fuerza resultante se convierte en .

Ec. 1.0

Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta misma ecuación para el

esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en cualquier dirección. Por lo

tanto, concluimos que una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión

σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en la (Fig. 1.2b) por el

pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones mutuamente perpendiculares.

En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan esfuerzos normales a la

superficie, por lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que

y son iguales (Fig. 1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se

reduce a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos principales son:

Ec. 1.1

También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero.

Sin embargo, se debe advertir el elemento es tridimensional

y que el tercer esfuerzo principal (en la dirección ) es

cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto, originado

mediante una rotación de del elemento respecto a

cualquiera de los o , es

Ec. 1.2

En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento esforzado tiene los

mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero, adicionalmente, actúa un esfuerzo de

Figura 1.2



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compresión en la dirección , (Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos

principales:

Ec .1.3

El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera del plano (producido

mediante una rotación de alrededor de cualquiera de los ejes y ) es:

Ec. 1.4

Si la relación de ⁄ es suficientemente grande, el último término de esta ecuación puede

omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la misma Ec.1.3, y se puede suponer que el

esfuerzo cortante máximo es constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico

utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la pared, así como varios

accesorios y soportes. Esta característica origina distribuciones no uniformes de esfuerzos que

no pueden analizarse mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan

grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.

Recipientes cilíndricos sometidos a presión.

Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se encuentran en instalaciones

industriales (tanques de aire comprimidos y motores de cohete, en casas de habitación

(extinguidores de incendios y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de

granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de agua y las tuberías de

carga, también se clasifican como recipientes cilíndricos a presión.

Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con extremos cerrados y

presión interna (Fig. 1.3). En la figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son

paralelas y perpendiculares al eje del tanque.

Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada sometido a presión interna.

Los esfuerzos normales en un tanque y que actúan sobre las caras laterales de este

elemento son esfuerzos de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos y son



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esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo se denomina esfuerzo

circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar, es el esfuerzo longitudinal o

esfuerzo axial. Cada uno de estos esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el

empleo de diagramas de cuerpo libre apropiados.

Para determinar el esfuerzo cincunferencial ,

aplicamos dos cortes (mn y pq) perpendiculares al eje

longitudinal y separamos una distancia b (Figura 1.3-a).

Luego efectuamos un tercer corte en un plano vertical a

traves del eje longitudinal del tanque con lo cual resulta el

diagrama de cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este

cuerpo libre no consiste solamente en la pieza longitudinal

del tanque, sino tambien el el fluido contenido dentro de

los cortes. Los esfuerzos circunferenciales y la presion

interna p actuan sobre el corte longitudinal (mnpq).

Los esfuerzos circunferenciales que actuan en la pared

del recipiente tiene una resultante igual a , donde t

es el espesor de la pared. Además, la fuerza resultante de

la presión interna es igual a PdA=2pb , donde es el radio

interior del cilindro. Haciendo equilibrio de las ecuaciones

antes mencionadas se obtiene lo siguiente (El esfuerzo

circunferencial para un cilindro a presión):

Ec. 1.5

El esfuerzo longitudinal se obtiene del equilibrio de

un cuerpo libre de la parte del recipiente a la izquierda de la

sección transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual que en el

análisis anterior no solo la parte del tanque, sino también

su contenido. Los esfuerzos actúan en sentido

Figura 1.3



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longitudinal y tiene la fuerza resultante igual a

. La fuerza resultante la presión interna es

igual a . Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y despejando para p

se obtiene:

Ec.1.6

La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de membrana a través de

las paredes del recipiente eran uniformes.

2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO

La transformación del esfuerzo significa la variación, con la

dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL

estudio de este tema se refiere principalmente a casos

bidimensionales, pero también se dan algunos resultados

importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este

tema es importante en la determinación de los esfuerzos

máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones

de esfuerzos que producen la falla de un elemento.

Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos

planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por

ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente

da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos

cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como

se muestra en la figura 2.1a: Los esfuerzos en planos cortantes

orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes.

Figura 2.1

En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son

diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que

otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente

el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes



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representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a

representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente

perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un

elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de

manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son

iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante

único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos

diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la

figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura

2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes

de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.

Figura 2.2



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El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son

independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y

/están relacionadas

con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes

sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un

punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo.

Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de

las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño

infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura.

(fig.2.3) esta formada por planos cortantes normales a los ejes

de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje

inclinado X´ que forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los

esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y

τx´τy´asociados a las coordenadas x´,y´. Se consideran

cantidades positivas si tienen los sentidos indicados y negativas

si tienen los sentidos opuestos.

Figura 2.3

Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para

los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se

obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara

sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al

plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara

adyacente al ángulo θ tiene áreas dAsenθ y dAcosθ, respectivamente. También se hace uso de las

identidades trigonométricas.

Y finalmente tenemos:

(

) (Ec.2-1)

O, finalmente:

(Ec.2-2)

Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso

bidimensional y dan valores de σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La

componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º.



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Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden

pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos

x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto,

utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es

suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto.

Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura

2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones

estáticas y dinámicas de un cuerpo.

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.

Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal , y el

esfuerzo cortante y varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo . Con

fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para

determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales,

empezamos con la expresión :

(Ec.2-3)

Al tomar la derivada con respecto a e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores

de para los cuales es máximo o e mínimo:

( )

De la cual obtenemos:

(Ec.2-4)

De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de en el intervalo entre . Estos

valores difieren en , estando el valor mas pequeños entre y y el valor mas grane entre

y . Por lo tanto, el ángulo tiene dos valores que difieren en , uno entre y , y

el otro entre y . Para uno de estos ángulos el esfuerzo es un esfuerzo principal



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máximo; para el otro, es un esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de difiere en

, concluimos que los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares.

Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse

fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de en la

ecuación de la transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar

. Mediante este procedimiento podemos conocer también

cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de

los dos ángulos principales

En donde :

√(

)

(Ec.2-5)

Se sustituyen las expresiones para y en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico

mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por :

√(

)

El más pequeño de los esfuerzos se denota por determina por la la condición

Puesto que actúan sobre planos perpendiculares.

√(

)



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Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos

principales:

√(

)

(Ec.2-6)

Este resultado de los esfuerzos principales, designados por

, en función de las componentes de referencia, , , y

. Donde se especificó anteriormente y

. Los esfuerzos principales siempre representan los valores

mayor y menor de , en un punto.

Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos

axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que

(véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores

de son 0° y 90°

Figura 2.5

Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos

principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b),

ya que tan es infinito y, por consiguiente, los dos valores

de son 45° y 135°. Si es positivo, los esfuerzos

principales son y

El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere

únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano

xy(esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos

esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al-

gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.

Figura 2.6



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Mediante un análisis tridimensional más completo, puede

demostrarse que los tres planos principales para un elemento en

esfuerzo plano son los dos planos principales que se han

descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se

muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la

Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo , que es

uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los

esfuerzos principales son , donde y resultan de

la Ec. (2-6) y es igual a cero.

F

Figura 2.7

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO.

La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo

cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la

derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a

cero el resultado. Se obtiene

( )

(Ec.2-7)

Las dos raíces de esta ecuación , se pueden

determinar con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de

esta a 90° de . Así las raíces de y forman 45° entre

ellas, y el resultado es que los planos del esfuerzo cortante

máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45°

con respecto a la posición de un elemento que defina los planos

del esfuerzo principal.

Figura 2.8

Usando cualquiera de las raíces , se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando

los valores trigonométricos de sen y cos en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-

2). El resultado es: √(

)

(Ec.2-8)



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El valor de calculado con la ecuación (2-8) se llama “esfuerzo cortante máximo en

el plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen y

cos en la ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo

cortante máximo en el plano. Se obtiene:

(Ec.2-9)

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO

El circulo de usado para obtener algunas ecuaciones básicas

relativas a la transformación de esfuerzo en un plano. Este

método se basa en consideraciones geométricas simples y no

requiere el uso de ecuaciones especializadas.

Considere un elemento cuadrado de un material sometido a

esfuerzo plano (figura 2-9a), y sean, las componentes

del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de

coordenadas y y un punto Y de coordenadas y

(figura2-9). Si es positivo, como se supone en la figura

2-9 a, el punto X está situado debajo del eje y el punto Y

encima, como se muestra en la figura 2-9 b. Si es negativo,

X se sitúa encima del eje y Y debajo. Uniendo X y Y mediante

una línea recta se define el punto C de intersección de la línea

XY con el eje y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro

XY. Al observar que la abscisa de C y el radio del círculo son

respectivamente iguales a las cantidades y R definidas

por las ecuaciones (2-5, 2-9), se concluye que el círculo

obtenido es el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las

abscisas de los puntos A y B, en donde el círculo interseca el eje

, representan respectivamente los esfuerzos principales y

en el punto considerado.

Figura 2.9



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Se nota también que como tan

,el ángulo XCA

es igual en magnitud a uno de los ángulos que satisfacen las

ecuaciones (2-4). Así, el ángulo que define la figura (2.9)la

orientación del plano principal correspondiente al punto A en la

figura 2.9 puede obtenerse dividiendo entre la mitad el ángulo

XCA medido en el círculo de Mohr. Observe además que si

>0, como en el caso considerado aquí, la rotación

que trae CX a CA es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Pero en ese caso el ángulo obtenido de la ecuación (2-4), el

cual define la dirección de la normal Oaal plano principal, es

positivo; por ello la rotación que trae Oxa Oaes también en

sentido contrario al de las agujas del reloj. Se concluye que los

sentidos de rotación en ambas partes de la figura 2.9 son los

mismos. Si se requiere un giro para llevar CX a CA en el

círculo Mohr, una rotación en sentido contrario al de las agujas

del reloj llevará Oxa Oaen la figura 2.9a.

Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el

mismo círculo puede obtenerse considerando las

componentes, , correspondiente a los ejes de

la figura 2.10a. El punto X' de las coordenadas y ., y el

punto Y´ de coordenadas y están, por tanto, localizadas

en el círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe

ser el doble del ángulo x'Oade la figura 2.10a. Como el ángulo

XCA es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de

la figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el

diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes

, puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo

igual al doble del ángulo formado por los ejes x' y x de la fi-

gura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el

diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual

sentido que la rotación que superpone los ejes xya los ejes x'y'

en la figura 2-10a.

Figura 2.10



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La propiedad que se acaba de indicar puede usarse para

verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante

máximo están a 45° de los planos principales. Ciertamente,

recuerde que los puntos D y E del círculo de Mohr

corresponden a los planos de esfuerzo cortante máximo,

mientras A y B corresponden a los planos principales (figura

2.11b). Puesto que los diámetros AB y DE del círculo de Mohr

están a 90° el uno del otro, se tiene que las caras de los

elementos correspondientes están a 45° la una de la otra

(figura2.11a).

La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se

simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del

elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De

las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante

ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento

en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a

esa cara está colocado por encima del eje el círculo de Mohr.

Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el

elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto

correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje (Fig.

2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención

usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se

gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se

gráfica hacia la izquierda.

a)

b)

Figura 2.11



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3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS

En la práctica de la ingeniería, se usa a menudo el

principio de superposición en la solución de problemas.

Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema

de carga completo que involucra un cierto número de

fuerzas de diferentes tipos, podemos determinar el efecto

de cada fuerza del sistema sobre el miembro

separadamente. Después, los resultados de cada una de

ellas se combinan para obtener la solución del problema.

El principio de superposición es fácil de entender y

aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido

combinar los resultados. Si los resultados combinados no

son lineales, la superposición no es válida.

Existen tres tipos de esfuerzos básicos:

1- P/A solamente se consideran cargas axiales

aplicadas a través del centroide de la sección.

2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de sección

circular.

3- c/I solamente cargas aplicadas perpendicularmente

al eje transversal

Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de

problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando

adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica

frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan

con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son



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válidas como se muestra en las figuras a la derecha las

cuales muestran varios ejemplos de problemas de este

tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse

mediante una combinación adecuada de los métodos ya

estudiados.

Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados:

Axial y flexion.

Flexion y torsión.

Axial y torsión.

En este trabajo solamente se abordaran las dos primeras combinaciones de esfuerzos que se

analizaran por el método de superposición.

SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXIÓN

Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una

carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura

3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial

solamente, sino una combinación de las dos. Si se

descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y

vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas

componentes actúan en las direcciones que permiten

aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente.

La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce

esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras.

La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión

Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o

acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente.

Figura 3.1



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El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción

confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra

pueden calcularse como:

±

(Ec.3-1)

Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión

son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los

esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia

general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las

fibras externas.

Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son

enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se

multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos

casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento

total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el

momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta

conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el

efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas

esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.

FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS

A veces se necesita que los miembros estructurales soporten conjuntamente cargas de

flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de

rotación suelen estar sometidos tantos a momentos de flexión, como a torsión. Tales

condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial

siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender

momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada

resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por



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medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo de esfuerzos en el punto

elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del

CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los

esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de

situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el

diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo

Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra

circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al

eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la

distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática.

Tales resultantes son:

1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L –

x ), donde L es la longitud de la viga;

2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y.

3) Un momento torsionante T. Observe que en este

caso el momento flector se considera positivo

cuando produce tracción en la parte superior de la

viga si ahora examinamos un elemento localizado

en la superficie superior de la barra (Elementos A

en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará

sometido a los esfuerzos de flexión, X Debido a

M y a los esfuerzos cortantes, Debidos a T

(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las

ecuaciones X =

y

Respectivamente,en

el caso de un árbol circular de diámetro d, esta

ecuaciones se convierte en. x=

(Ec.3-2) ;

(Ec.3-3)

Figura 3.2



Página 24

Conociendo x y Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento girado cualquier

ángulo que se desee en el punto A.

Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación.

1,2=

√

) + (Ec.3-4)

Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es:

=

√

) + . (Ec.3-5)

Si se conocen los valores admisibles w y de los esfuerzos normal y cortante

sustitúyanse en la dos ecuaciones anteriores en lugar de 1 y 2 y , y luego despéjese

“d” el diámetro requerido de la barra circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos

máximos cuando el elemento A seleccione al extremo de la barra donde el momento

Flexionante M tiene el valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un

elemento en la parte superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para

analizar los esfuerzos en la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se

producirán por lo general donde los esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte

superior o en l parte inferior de la viga en la sección recta del máximo momento Flexionarte

sin embargo a veces es necesario considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza

cortante V= Q produce un esfuerzo máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente

se debe considerar también un elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje

neutro (Elemento B). Tal elemento se hallará en estado de cortadura pura (figura),

constando el esfuerzo cortante de dos partes:

1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y

2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y

. Los

esfuerzos principales en tal elemento ocurren en planos a 450 con el eje. Estos

esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior

y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar

en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también



Página 25

comparándose los valores obtenidos para los elementos A y B. Si la viga esta

empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es

circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y

compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo

el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los

puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar

razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.

EJEMPLOS TEORICOS

RECIPIENTES DE PARED DELGADA

EJEMPLO 1.1

Cuando se llena a toda su capacidad el tanque no pasteurizado

que se representa en la figura, contiene agua hasta un nivel de

15.5m arriba de su base. Sabiendo que la porción inferior del

tanque tiene un espesor de pared de 16mm encuentre:

a) El esfuerzo normal máximo

b) El esfuerzo cortante máximo del tanque

(La densidad del agua es de 1000 kg/m3)

DATOS



Página 26

Para determinar el Peso específico:

Encontrando la presión del agua en el nivel de 15.5 m arriba de su base

Haciendo un corte en la región media del

recipiente cilíndrico

∑

(

)



Página 27

Esfuerzo longitudinal en el elemento A.

∑

Sustituyendo datos:

(

)

Debe observarse que el tercer esfuerzo principal es cero en la superficie exterior del

cilindro pero en la superficie interna es igual al esfuerzo longitudinal.



Página 28

ESFUERZOS EN UN PUNTO

Ejemplo 1.2

El eje de un automóvil esta sometido a las fuerzas y al par que

se muestra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje solido

es de 1.25in, Determine a) los planos principales en el punto H

localizado en la parte superior del eje b) el esfuerzo cortante

máximo ejercido en el mismo punto.

Encontrando Inercia

Encontrando el momento

∑

Encontrando esfuerzo

Con torsion encontramos el esfuerzo cortante

⁄



Página 29

a) Esfuerzos Principales:

√(

)

√(

)

b) Esfuerzo Cortante Maximo


Ejemplo 1.3

Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un

cigüeñal AB, que se mantiene en equilibrio gracias a un par

giratorio T y a las reacciones A y B. Sabiendo que los cojinetes

se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje,

determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H, J,

K, L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y

horizontal de una sección transversal localizada a 2.5 in a la

izquierda del cojinete B.



Página 30

SOLUCION:

∑

⁄

∑

∑ :

Se reemplaza la seccion B y el par giratorio T por un sistema de

par de fuerzas equivalentes en el centro C de la seccion

transversal que contiene a H, J, K y L.

La fuerza V produce un momento en el eje y:

Las propiedades geométricas de la seccion de 0.9 in de

diametro son:

Usando la ecuacion ⁄ se determinan los esfuerzos

cortantes en los puntos H, J, K, L, se ilustran en la figura a.

DCL Cigüeñal completo

Fuerzas internas en la

sección trnasversal

Esfuerzos producidos por

un par giratorio T.



Página 31

La fuerza cortante V no produce esfuerzos cortantes J y L.

Primero se calcula Q para los puntos H y L para un semicirculo

respecto de un diametro vertical y despues se calcula el

esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V = 250 lb.

Estos esfuerzos se muestran en la figura b.

(

) (

)

Como el par flector actua en un plano horizontal, no

produce esfuerzos en H y K. Con el uso de la ecuación

| |

se determinan los esfuerzos normales en los puntos J y L,

se ilustran en la figura c.

| |

Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los

esfuerzos total normal y cortante en los puntos H, J, K, L.

En el punto H:

En el punto J:

En el punto K:

En el punto L:

Esfuerzos producidos por la

fuerza cortante V.

Esfuerzos producidos por el

par flector My.



Página 32

PROBLEMAS DE APLICACION

RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Problema 1.1

Un tanque de gas propano de la empresa Z Gas con capacidad de 1000 litros, descansa

sobre dos soportes fijos. El tanque esta hecho de ACERO SA GRADO C con longitud L

de 2.253m y consiste de un cuerpo cilíndrico con espesor de placa de 6.35 mm y diámetro

interior de 79 cm. El cilindro esta soldado en los extremos a dos cabezas esféricas con un

espesor de 4.76 mm para cada una. El gas dentro del tanque se encuentra a una presión de

20 PSI. Determine:

a) Los esfuerzos longitudinal y transversal en las cabezas esféricas

b) Los esfuerzos longitudinal y transversal en el cuerpo cilíndrico del tanque

(Considerando que los soportes fijos no ejercen ninguna reacción sobre el tanque)

Solución

Datos

⁄



Página 33

a)

Analizando las cabezas esféricas

∑

- Sustituyendo datos

⁄

⁄

Debido a la simetría de las cabezas el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo tangencial son iguales.



Página 34

b)

Analizando el cuerpo cilíndrico

- Para el eje x

∑

- Sustituyendo datos

⁄

⁄

- Para el eje Z

∑



Página 35

(

⁄ )

⁄

Se puede observar que el esfuerzo transversal es dos veces el

esfuerzo longitudinal

ESFUERZOS EN UN PUNTO

Problema 1.2

Determine los esfuerzos principales y el

esfuerzo cortante máximo en el punto M de

una tuerca de la llanta de un automóvil si se

necesita ajustar para que funcione

correctamente por medio de una llave cruz.

El diámetro de la tuerca es de 16mm.

Sustituyendo la fuerza en A y C en un momento par en D

∑

Encontrando el momento.

∑



Página 36

Encontrando esfuerzos en el plano

Inercia

Encontrando cortante

Obtuvimos:

a) Esfuerzos Principales

√(

)

√



Página 37

b) Esfuerzo Cortante Maximo

ESFUERZOS COMBINADOS.

Problema 1.3

Una lámpara de alumbrado eléctrico público de 16.5 kg,

diámetro 11 in y altura 7 in en la parte inferior y 6.5 in de

diámetro y altura 7 in en la parte superior, esta soportada

por un poste de concreto con una altura L de 240 in y con

diámetro de 10.186 in. La lámpara tiene una

excentricidad de 25.593 in desde la línea central del

poste, y se encuentra conectada al poste a 225 in. arriba

del suelo.

Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos

cortantes máximos en el punto P y Q. (el peso específico

del concreto reforzado es de ⁄ )

Datos



Página 38

Área de la sección transversal del poste

A=

=

- Encontrando el Peso del poste

(Ec.1)

Donde:

(

)

1- Analizando W1 para los puntos P y Q

Siendo W1 =



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2- Analizando W2 para los puntos P y Q

El peso de la lámpara produce una fuerza de compresión

F1= peso de la lámpara =

y un momento:

in) = 1130.8524 lb.in

I =

=

( )

3- Analizando los puntos P y Q para la presión del viento

La presión del viento contra la lámpara produce una fuerza

resultando Fv

( )

La Fv es la fuerza cortante a lo largo del poste

V = Fv = 23.275 lb

Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2

Un par de tensión T



Página 40

Sumando los efectos de cada fuerza tenemos:

- En el punto P:

=

± √

=

+ √

=

- √

-0.3857 psi

= √



Página 41

√(

)

15.9604 psi

- En el punto Q:

=

± √

=-

+ √

=-

- √

-

= √

√(

)

15.6 psi



Página 42

CONCLUSIONES

Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de

estructuras, es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas

soportadas.

Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes

en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el

diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo

es máximo para que la estructura se mantenga estable.

Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso

común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se

someten a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando

tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente

de presión cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos

longitudinal y circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones

determinadas para su resolución.



Página 43

RECOMENDACIONES

Es importante recordar que a la hora del análisis de una determinada estructura el

conocimiento teórico del fenómeno es indispensable, por lo cual se debe hacer una

investigación previa del comportamiento promedio del problema a analizar.

Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la que van

a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del material y el espesor del

mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales.

Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para saber

de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o soportes, para

que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario sufriría una

deflexión que podría deformarla permanentemente (deflexión permanente).



Página 44

BIBLIOGRAFIA

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición

2010. Editorial McGraw-Hill.

Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición,

México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.

James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma.

Edición, 2009. Cengage Learning Editores, S.A de

C.V.

Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988.

Editorial McGraw-Hill.

http://bibciv.ucla.edu.ve/cgi-win/be_alex.exe?Autor=Hibbeler,+R.+C.&Nombrebd=bicvucla

http://bibciv.ucla.edu.ve/cgi-win/be_alex.exe?Editorial=PEARSON+EDUCACION&Nombrebd=bicvucla



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REFERENCIAS

Los ejemplos teóricos fueron plasmados de los libros antes mencionados específicamente de:

Ejemplo 1.1

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 3er edición. Editorial McGraw-Hill.

Capítulo 7

Sección 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada Bajo presión

Ejemplo 1.2

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.

Capítulo 7

TRANSFORMACIONES DE ESFUERZO Y DEFORMACIONES

Ejemplo 1.3

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.

Capítulo 8

ESFURZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA

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