Estabilidad - Esfuerzos combinados

Ing. Ricardo Manuel Fal ESFUERZOS COMBINADOS

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CAPITULO IX

ESFUERZOS COMBINADOS

9.1. Introduccin

En la prctica profesional las estructuras sometidas a esfuerzos simples como las que se han

estudiado hasta ahora son las menos frecuentes; en general son innumerables los ejemplos de

estructuras en construcciones civiles, de mquinas y otros elementos que se encuentran sometidas

simultneamente a diversos tipos de cargas que generan esfuerzos caractersticos tales como:

axiales, de corte, de torsin y/o de flexin, combinados entre s. En este captulo desarrollaremos los

conceptos bsicos y necesarios para resolver problemas generales de cargas combinadas, lo que

requiere de la aplicacin de conceptos que no sern nuevos sino que por el contrario estarn

fundados en la aplicacin de lo ya estudiado en captulos anteriores. En efecto, los anlisis y

desarrollos antes encarados nos permitirn realizar diseos satisfactorios de estructuras sujetas a

cualquier tipo de cargas superpuestas.

As, los objetivos de este captulo son:

Comprender, reconocer, estimar y mensurar el conjunto de esfuerzos caractersticos o

fuerzas internas combinadas que comprometen una seccin cualquiera de un miembro

estructural o parte de una estructura sometida a cargas.

Determinar las ecuaciones que nos permiten calcular el reparto de las tensiones en

secciones determinadas, especialmente las que ms comprometen al miembro

estructural en estudio, tales como las tensiones principales y las mximas tensiones

tangenciales en los puntos ms relevantes del miembro estructural.

9.1.2. Conceptos Generales

Al abordar esfuerzos combinados es necesario precisar que las teoras para miembros

sometidos a los esfuerzos caractersticos tratados en captulos anteriores, son todas teoras lineales,

tanto desde el punto de vista geomtrico como del comportamiento del material. En consecuencia,

las tensiones o las deformaciones en un punto, en donde los esfuerzos caractersticos normales, de

corte, de torsin y de flexin actan simultneamente en una seccin dada de una estructura,

pueden obtenerse mediante la aplicacin del principio de superposicin, siempre que dicha

combinacin de esfuerzos en la pieza analizada no supere las condiciones de elasticidad, linealidad

y pequeas deformaciones que fueron las hiptesis bases con las que se han desarrollado las

distintas teoras.

Ing. Ricardo Manuel Fal CAPITULO IX

PAGINA 418

As, con fines prcticos, en la tabla 9.1 se presentan las ecuaciones necesarias para abordar

el tema; son las ecuaciones formuladas para la obtencin de tensiones normales y cortantes en

distintos puntos de una seccin transversal de una barra en funcin de los esfuerzos caractersticos

simples que se dedujeron con anterioridad; como as tambin las frmulas para el clculo de las

respectivas deformaciones.

TABLA 9.1. Esfuerzos caractersticos con las correspondientes ecuaciones para la determinacin de

tensiones deformaciones que se generan por stos en secciones transversales de una barra

RESULTANTE DE ESFUERZOS Smbolo Formula Deformacin Captulo

Esfuerzo normal

(compresin o traccin) Nx

A

N xmedx

IV

Esfuerzo de corte puro (plano y z) Q A

Qmed

GA

LQ

.

. V

Momento de torsin

(seccin circular) MT

I

M T . GI

lM T

.

.

VI

Momento de torsin

(seccin rectangular) MT 2.

.

ba

M T

3.

.

ba

M T VI

Momento flector normal Mf yI

M f.

IE

My

f

. VII

Esfuerzo de corte por flexin Qf Ib

SQ f

GA

LQ

.

. VII

FIGURA 9.1. Barra empotrada de seccin cualquiera sometida a flexo traccin oblicua

EA

LPl

.

.


PAGINA 419

Consideremos en primer lugar un miembro estructural de una barra de seccin cualquiera,

como el que muestra la Figura 9.1, empotrada en un extremo y libre en el otro y sujeta a cargas

puntuales exteriores que dan como resultado esfuerzos combinados en una seccin transversal a

dicha barra, seccin que queda definida con los puntos A , B , C .

Dicha consideracin tiene como propsito el poder evaluar algunos puntos cuyos estados

de tensiones son relevantes para dicha seccin. En el anlisis reviste principal inters la aplicacin

del mtodo de superposicin de los efectos causados por los esfuerzos caractersticos actuantes.

Las tensiones resultantes, a ttulo de ejemplo y para fijar conceptos, sern determinadas en los

puntos antes sealados A , B y C de la seccin plana 1-1 considerada (Figura 9.1.). Los puntos A , B

y C estn localizados en la superficie externa de la barra, la que a su vez est libre de fuerzas

externas coincidentes con esos puntos. Sabemos que las tensiones, producto de los distintos

esfuerzos caractersticos actuantes en cada seccin, actuarn punto por punto a lo largo de dichas

secciones y que sus valores como sus direcciones dependern de los planos que se consideren

pasantes por cada punto determinado.

En la barra considerada de la Figura 9.1., observamos primeramente que la superficie libre

en el punto B tiene su normal externa en la direccin del eje y ; a su vez las superficies libres

correspondientes a los puntos A y C tienen su normal externa en la direccin del eje z . Al no

existir fuerzas aplicadas en la superficie libre tampoco puede existir tensin alguna sobre dicha

superficie, por lo que la tensin cortante yx , que supuestamente actuara sobre la superficie libre

yx, debe ser necesariamente igual a cero; y debido a que por el teorema de Cauchy sabemos que

xyyx , se sigue que la tensin cortante xy en el punto B deber tambin ser igualmente nula.

De manera semejante se observa que la tensin cortante en los puntos A y C debern tambin ser

nulas, o sea 0zx , lo que implica por lo ya visto que zx tambin deber ser igual a cero.

Con lo expuesto hemos de analizar ahora distintas posibilidades de combinacin de

esfuerzos caractersticos, de esta manera podemos determinar la distribucin resultante de

tensiones normales y tensiones cortantes en distintas secciones de una barra sometida a un

conjunto de cargas cualesquiera.


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9.2. CARGA AXIAL COMBINADA CON FLEXIN

9.2.1. Generalidad del Problema

Esta combinacin recibe generalmente el nombre de flexin compuesta y la podemos

concebir como la combinacin de un problema de flexin simple acompaado de una fuerza normal

axial, o bien como una fuerza normal excntrica.

9.2.1a. Flexin simple ms fuerza normal

Para el primer caso de flexin simple acompaada de una fuerza normal axial, consideramos

la viga representada en la Figura 9.2 sometida a una carga P inclinada un ngulo con respecto

al eje de la viga y contenida en un plano yx, ; es evidente que este sistema propuesto es

equivalente al representado en la Figura 9.3, donde la carga P inclinada, es reemplazada por sus

componentes vertical yP y horizontal xP , fuerzas que como podemos observar someten a una

seccin como la 1-1 de dicha viga, a un esfuerzo combinado de flexin simple con un esfuerzo

normal de traccin, Figura 9.4.-

FIGURA 9.2. Viga solicitada por una carga inclinada P

FIGURA 9.3. Viga solicitada por las componentes de la carga P


PAGINA 421

FIGURA 9.4. Esfuerzos caractersticos en la Seccin 1-1 de la viga, solicitada por las cargas

Px y Py , componentes de la carga P inclinada con respecto al eje de dicha viga

9.2.1b. Fuerza normal excntrica

Por otro lado, para el segundo caso en el que tenemos una fuerza normal excntrica como

la que muestra la Figura 9.5, problema identificado tambin como compresin excntrica, vemos

que por reduccin de la fuerza al centroide de la seccin, se obtiene una combinacin de un

esfuerzo normal con un esfuerzo de flexin, situacin que se pone en evidencia si en el centroide de

la seccin considerada aplicamos un sistema nulo de fuerzas normales de igual magnitud a la fuerza

excntrica.


PAGINA 422

P

ey

FIGURA 9.5. Viga empotrada solicitada por una fuerza P excntrica en su extremo

Resulta entonces un sistema equivalente compuesto por un par de reduccin ePM . , y

por la fuerza P aplicada en el centroide de la seccin - Figura 9.6.

P

N = P

M = P.e

M = P.e

RE = P

ME = P.e

f

RE = P

ME = P.eN M

P

P

(-)

(-)

M

M

FIGURA 9.6. Sistema Equivalente a la Figura 9.5 y diagramas de esfuerzos caractersticos N y M

Ahora bien, si tenemos en cuenta las dos formas de definir la flexin compuesta es posible

desarrollar y determinar la solucin por caminos distintos, segn sea la filosofa con la que se

enfrente el problema. En uno u otro caso se sobreentiende que es vlido aplicar el principio de

superposicin de los efectos.

Si consideramos que la flexin compuesta es debida a un par flector combinado a una

solicitacin axial, es posible plantear y resolver el problema para la determinacin de las tensiones a

lo largo de una seccin sumando las tensiones generadas por los correspondientes esfuerzos

simples para cada punto de la seccin considerada, o sea aplicando el mtodo de superposicin

cuando as corresponda y sea posible.


PAGINA 423

Contrariamente a ello si partimos del problema de traccin excntrica o compresin

excntrica, la solucin elegida ha de consistir en plantear las condiciones de equivalencia entre la

suma de las fuerzas por unidad de rea (tensiones) con los esfuerzos caractersticos simples que las

generan; ecuaciones que nos permiten la inmediata resolucin del problema.

A partir de ste ltimo planteo es que vamos a encarar nuestro problema de la flexin

combinada con esfuerzo normal, puesto que de los necesarios desarrollos se desprenden

ecuaciones que nos permiten extraer algunas conclusiones importantes, como ms adelante lo

podremos ver. Para nuestro anlisis recurriremos al caso ms general, o sea el de la flexin

compuesta oblicua en rgimen elstico, para luego particularizarlo al caso de flexin compuesta

normal.

Este estudio lo realizamos con la premisa de que el material del miembro, objeto de nuestro

anlisis, tiene similar resistencia tanto a compresin como a traccin (por ejemplo acero de bajo

contenido de carbono); posteriormente vamos a ocuparnos de estudiar y analizar detenidamente el

problema de aquellas estructuras cuyos materiales no admiten tensiones alguna de traccin, como

por ejemplo el de una estructura de suelo granular sin cohesin sometida a un esfuerzo de

compresin excntrica.

9.3.1. FLEXIN COMPUESTA EN RGIMEN ELSTICO

9.3.1.1. Planteo del problema para el caso general de flexin compuesta oblicua

Consideremos una seccin trasversal como la representada en la Figura 9.7, barra solicitada

por una fuerza normal excntrica P de compresin cuya recta de accin intersecta al plano de la

seccin en un punto C , punto al que designaremos como centro de presin. La recta que une el

centro de presin C con el centroide de la seccin G , se denomina lnea de fuerzas y la longitud

CG , del centro de presin al centroide de la seccin, no es sino la excentricidad e . Los esfuerzos

caractersticos resultantes, como ya vimos, provenientes de reducir la fuerza P al centroide de la

seccin, en consecuencia son el esfuerzo axial PN y el momento de flector ePM f . .

En todo nuestro desarrollo vamos a admitir que el material del cuerpo se mantiene dentro del

campo elstico lineal y que se cumplen adems:

1. las hiptesis de Bernoulli - Navier

2. la ley de Hooke


PAGINA 424

Consecuentemente, la seccin girar en torno a una lnea neutra nn de su plano, que en

este caso ya no ser centroidal, debido a la existencia del esfuerzo normal PN , adems de la

flexin simple ePM f . . La distribucin de tensiones normales ser lineal por efecto del esfuerzo

de flexin fM , nulas en las fibras en correspondencia a la lnea neutra y de valores mximos en las

fibras ms alejadas a sta.

Supondremos primeramente que el centro de presin no queda ubicado sobre alguno de

los ejes principales de inercia, de modo que la lnea neutra ocupar una posicin y una direccin

arbitraria y hasta ahora desconocida, constituyendo el caso general de una flexin oblicua

combinada con un esfuerzo normal.

Tomaremos a su vez un punto genrico de un elemento de superficie dA , a una distancia v

de la lnea neutra y a una distancia u de la lnea de fuerzas, sometido a una tensin debida tanto

al esfuerzo normal N como al momento flector fM .

e

s

v' 1

v' 2

v2

v1

n n

2

2

1

1

g

C

G

v

u

v

dA

e

s

0

()mx

(+)mx

g

(N


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Las resultantes de esta distribucin de tensiones a lo largo del rea de la seccin deben ser

equivalentes a la combinacin de los esfuerzos caractersticos correspondientes. Efectivamente,

podemos observar lo expresado a travs de las ecuaciones de equivalencia que deben satisfacer

una condicin de igualdad de proyecciones sobre un eje normal a la seccin, como dos condiciones

de igualdad de momentos con respecto a la lnea neutra y a la lnea de fuerzas, respectivamente.

Las tres condiciones restantes de las ecuaciones de equivalencia enunciadas en el captulo 1

(apartado 1.2.4), conducen a ecuaciones idnticamente nulas al no existir tensiones cortantes en

la seccin considerada. Luego, las expresiones de equivalencia que interesan en el anlisis de

nuestro problema (Figura 9.7.), son las siguientes:

( )' '

0 0

x x

A

x x

A

x x

A

dA N

v dA N s e

u dA N

+

(9.1)

Dado que gg es un eje centroidal el cual ha sido elegido paralelo a la direccin de la

lnea neutra y a una distancia 's de sta, y si denominamos 0 a la tensin en las fibras ubicadas

en correspondencia con dicha lnea neutra, observamos que por una simple relacin de tringulos

resulta:

vs

'

0 (9.2)

Despejando: vs

'

0 (9.3)

Considerando que para el problema as planteado tanto 0 como la distancia 's son

valores constantes y sustituyendo la ecuacin (9.3) en la tercera de las ecuaciones (9.1) resulta:

0'

0 dAvusA

(9.4)

De donde se deduce que para que se cumpla esta igualdad es necesario que:

0 dAvuA

(9.5)

Esta expresin (9.5) se corresponde con el producto de inercia de la seccin respecto de la

lnea neutra y de la lnea de fuerzas, producto de inercia que al ser nulo nos indica que ambos ejes

son de direcciones conjugadas. De esta manera queda establecida la direccin de la lnea neutra.


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Si reemplazamos la ecuacin (9.3) en la primera de las ecuaciones (9.1) resulta:

NdAvs

A

'0 (9.6)

Donde la integral representa el momento de primer orden de la seccin con respecto a la

lnea neutra; operando podemos escribir entonces que:

'sAdAvA

(9.7)

Igualdad que reemplazando en la ecuacin (9.6] nos permite obtener:

NsAs

''

0 NA 0 (9.8)

Luego, despejando 0 , tenemos:

A

N0 (9.9)

La ecuacin (9.9) para el caso de flexin compuesta establece que la tensin en las fibras

situadas sobre una lnea centroidal, paralela a la lnea neutra, es constante e independiente de la

posicin de N , es decir independiente de la excentricidad e , lo que es lgico teniendo en cuenta

que para el esfuerzo de flexin simple las tensiones son nulas en correspondencia a su lnea neutra,

lnea coincidente con el eje centroidal correspondiente.

Por ltimo reemplazando la ecuacin (9.3) en la segunda de las ecuaciones (9.1) se tiene:

( )'''

20 esNdAvs

A

+

(9.10)

En donde la integral representa el momento de inercia del rea con respecto a la lnea

neutra:

nA

IdAv 2

(9.11)

Reemplazando: ( )'''

0 esNIs

n +

(9.12)

Ecuacin en funcin del momento de inercia con respecto a la lnea neutra, lnea de la cual

an no conocemos su posicin, la que adems deber ser determinada para cada caso en particular,

ante ello se hace necesario que la ecuacin (9.12) quede expresada no en funcin del momento de

inercia respecto a la lnea neutra sino en funcin del eje centroidal paralelo a la misma, momento de

inercia que es de inmediata determinacin.


PAGINA 427

Considerando y aplicando el teorema de Steiner desarrollado en el Anexo, tenemos:

2'sAII gn + (9.13)

Donde gI es el momento de inercia con respecto a un eje centroidal paralelo a la lnea

neutra.

Sustituyendo la ecuacin (9.13) en la (9.12), nos permite obtener:

( )'''''

200 esNsAs

Is

g ++

'''''

200 eNsNsAs

Is

g ++

(9.14)

Y como: NA 0 (9.15)

Reemplazando en la ecuacin (9.14), tenemos que:

''''

0 eNsNsNIs

g ++

(9.16)

Y simplificando miembro a miembro tenemos:

''

0 eNIs

g

(9.17)

Luego, si en la ecuacin (9.17) reemplazamos ,

0

s

por su equivalente

v

de la ecuacin

(9.2), resulta: 'eNIv

g

(9.18)

Pero de la Figura 9.7 podemos observar que:

'' svv +

Luego: ' ' ' 'gI N e s N e v + (9.19)

Entonces: ''

''

vI

eNs

I

eN

gg

+

(9.20)

Adems si en la expresin (9.17) sustituimos 0 por su equivalente AN y expresamos gI

en funcin del radio de giro, es decir, hacemos 2

gg iAI , podemos llegar a una importante

relacin:

''

''

220 eNiAAs

NeNiA

sgg

(9.21)


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Que simplificando y reduciendo trminos obtenemos:

''2 esig (9.22)

O bien: 1''

2

gi

es (9.23)

La (9.22) establece que el radio de giro de la seccin respecto a un eje paralelo a la lnea

neutra es media proporcional entre las distancias del centro de presin al eje centroidal y de ste a

la lnea neutra. Se ha llegado de esta manera a una expresin que nos proporciona la posicin de la

lnea neutra, lo que nos permite ubicarla analtica o grficamente.

Continuando con nuestra deduccin y si ahora reemplazamos en el segundo sumando de la

derecha de la ecuacin (9.20) al momento de inercia centroidal gI por su igual 2

giA , resulta:

'.'.

''

2v

I

eN

i

se

A

N

gg

+

(9.24)

Considerando la ecuacin (9.23), resulta:

''

vI

eN

A

N

g

+ (9.25)

O del mismo modo, considerando que senee ' :

'vI

seneN

A

N

g

+

(9.26)

En esta expresin tanto el esfuerzo caracterstico N como la distancia 'v deben ser

introducidos con los signos correspondientes. Dado que en el caso analizado N es un esfuerzo de

compresin y que sabemos que 'v puede adoptar indistintamente signo positivo o signo negativo,

resulta que la expresin (9.26) puede expresarse de la siguiente forma:

'vI

seneN

A

N

g

(9.27)

Se tiene que: MeN (9.28)

Sustituyendo (9.28) en (9.27), tenemos:

'vI

senM

A

N

g

(9.29)


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Para el diseo o verificacin, segn sea el caso que corresponda, nos interesa conocer las

mximas tensiones a las que est sometida la seccin considerada, por lo que es imprescindible

determinar su magnitud. As las tensiones mximas absolutas (positivas de traccin y negativas de

compresin) se correspondern a las fibras ms alejadas a la lnea neutra, es decir para

'

2

'

1 '' vvvv , resultando para nuestro caso:

'

22

'

11 ; vI

senM

A

Nv

I

senM

A

N

gg

+

(9.30)

Las ecuaciones (9.30) nos indica que la tensin normal correspondiente a una fibra

determinada, es resultado de aplicar el principio de superposicin y sumar dos valores de tensiones

normales: '0 + (9.31)

En la cual 0 no es otra que la tensin normal uniformemente distribuida debida al

esfuerzo normal N ; a su vez es la tensin normal de distribucin lineal a lo largo de la seccin y

que es producto del par de momento flector eNM f .

9.3.2. Flexin compuesta oblicua considerada como suma de dos flexiones

normales ms el esfuerzo normal

Consideremos nuevamente una seccin sometida a la accin de una fuerza normal

excntrica N , como muestra la Figura 9.8,

Ln

Ln

2y

1z

g

g

C

e

s

2y

1z

e

s

ey

ez

GO

Ln

Ln

2y

1z

C : Centro de presin

e

s

L. F.

ey

ez

GO

C

Mz

My

M=Ne

g

g // Ln

1z

L.F.

L.F. : Lnea de Fuerza

2y

FIGURA 9.8. Seccin transversal de un slido

Si hacemos coincidir los ejes principales de inercia 1-1 y 2-2 con un par de ejes


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coordenados z e y ; y paralelamente designamos como al ngulo que forma la direccin de la

lnea de fuerzas con el eje principal 1-1, las coordenadas del centro de presin C sern:

cos

z

y

ee

senee (9.32)

Si multiplicamos ambos miembros de las (9.32) por N , y teniendo en cuenta que fM es el

vector representativo del momento del par flexor debido a la excentricidad de la resultante normal

interna, resulta:

zMsenMseneNeN y (9.33)

yMMeNeN coscos z (9.34)

La expresin (9.29) nos muestra que la tensin normal en un punto genrico A (Figura

9.9), es igual a la suma de dos tensiones:

' 0 + (9.35)

2y

1z

C

2y

1z

ey

ez

G

(N)

dAz

y

FIGURA 9.9. Seccin transversal de un slido

1. 0 es debida a la solicitacin axial y es la tensin normal actuando en el centroide G de la

seccin y cuya expresin, vista en el captulo 4 es: A

N0

2. ' es la tensin producto de la reduccin del esfuerzo caracterstico normal N al

centroide G del rea considerada. Esta tensin la generada por la flexin oblicua, y de

acuerdo con lo visto en el captulo 7, la expresin para la determinacin de la tensin

viene dada por: zI

My

I

M

y

y

z

z +'


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Reemplazando las igualdades de 0 y ' en la ecuacin (9.35) resulta:

zI

My

I

M

A

N

y

y

z

z ++ (9.36)

Luego, si sustituimos en (9.36) los valores zM y yM , por sus iguales de la (9.33) y (9.34),

llegamos a:

zI

eNy

I

eN

A

N

y

z

z

y

+

+ (9.37)

Y dado que:

2zz iAI ;

2. zy iAI (9.38)

Podemos reemplazar dichas expresiones en la ecuacin (9.37) y sacando factor comn A

N,

resulta:

++ z

i

ey

i

e

A

N

y

z

z

y

221 (9.39)

Expresin que hace posible obtener la ecuacin analtica de la lnea neutra. Es decir, si nz e

ny son las coordenadas de un punto cualquiera de sta y si tenemos en cuenta que para la misma

las tensiones normales son nulas 0 , aplicando esta condicin en la ecuacin (9.39), tenemos:

++ n

y

zn

z

yz

i

ey

i

e

A

N22

1 0 (9.40)

Como por hiptesis es 0N , entonces, para que se satisfaga la igualdad, la suma

encerrada por el parntesis deber necesariamente ser nula:

ny

zn

z

yz

i

ey

i

e++

221 0 (9.41)

Con lo que queda determinada la ecuacin analtica de la lnea neutra. Podemos observar lo

siguiente:

Si en la expresin anterior hacemos 0nz , obtenemos la coordenada

y

zn

e

iy

2

(9.42)


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Anlogamente, para 0ny , obtenemos la coordenada:

z

y

ne

iz

2

(9.43)

Las ecuaciones 9.42 y 9.43, nos permiten conocer los valores de las distancias entre el

centroide y los puntos en que la lnea neutra corta a los ejes coordenados z e y .

El signo menos (-), que afecta las expresiones anteriores, nos muestra que las distancias ny

y nz a la lnea neutra, se miden a partir del centroide G en sentidos contrarios a las excentricidades

ye y ze , respectivamente.

9.3.3. Reciprocidad entre centro de presin y eje neutro.

La ecuacin (9.39) la podemos expresar de la manera siguiente:

''

''

2v

iA

eN

A

Nv

I

eN

A

N

gg

+

+

+ '

'1

2v

i

e

A

N

g

(9.44)

Para la lnea neutra, se sabe que:

''

0

sv

(9.45)

As, si sustituimos dichos valores en la (9.44):

+ '

'10

2s

i

e

A

N

g

(9.46)

Del cual, despejando, se obtiene:

ctteseig ''2

(9.47)

Esta expresin (9.47) es similar a la obtenida anteriormente, ecuacin (9.22); observamos

que el segundo miembro resulta afectado del signo (-) que indica que s y e son de distinto signo,

deduccin que se puede hacer aplicando la teora de los signos matemticos; es decir, el centro de

presin y la lnea neutra se encuentran ubicados en diferentes lados con respecto al eje centroidal

correspondiente, y sus respectivas distancias a ste ltimo se encuentran en una relacin constante.


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Si observamos el Figura 9.8, inmediatamente nos daremos cuenta de que:

senss

senee

'

' (9.48)

Sustituyendo en la (9.47) tenemos:

sensseneig 2

Despejando tenemos:

cttesen

ise

g

2

2

(9.49)

Aqu, la expresin (9.49) nos indica que si para una lnea dada de fuerzas, desplazamos

sobre sta el centro C de presin, la lnea neutra se desplaza paralelamente a s misma de forma tal

de mantener constante la relacin (9.49).

Si, por otro lado el centro C de presiones se aleja del centroide y pasa a ocupar las

sucesivas posiciones C , C , etc., la lnea neutra se le acerca (posiciones nn , nn ).

Anlogamente, si C se acerca al centroide (posiciones 1C , 2C etc.) la lnea neutra se aleja ( 11 nn ,

22 nn , etc.), segn se observa en la Figura 9.10.

n

n

C

iz G

zn

g

g

n'

n1

n2

n'

n1

n2

C

C

C1

C2

e2

s2

FIGURA 9.10. Reciprocidad entre el centro de presin y el eje neutro

Si hacemos ms detallado el anlisis, observamos que existen dos posiciones lmites para el

centro de presin, estas son:

0

e

e (9.50)


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En el primer caso, para que se satisfaga la (9.49) debemos tener:

0 s (9.51)

El hecho de que 0s nos est indicando que la lnea neutra es centroidal y, por otra parte,

al ser e , la recta de accin de N es la impropia del plano, es decir que estamos ante una

solicitacin de flexin pura o simple, lo cual es evidente.

Si en cambio 0e , resulta s , esto indica que la solicitacin es axial, dado que la recta

de accin de N es centroidal. Por otra parte, s corresponde a una lnea neutra impropia, es

decir que durante la deformacin la seccin gira en torno a una recta impropia y se desplaza

paralelamente a s misma, lo que precisamente constituye la hiptesis de Bernoulli, formulada al

plantear el problema de la solicitacin axial simple.

En conclusin, el centro de presin y la lnea neutra resultan ser polo y anti-polo,

respectivamente, uno de la otra.

Vamos a establecer una serie de conclusiones conceptuales respecto de la lnea neutra, para

luego abordar la determinacin de una propiedad geomtrica importante, tal es la del ncleo

central.

a. Primera propiedad

Abordemos de nuevo la ecuacin de la lnea neutra:

ny

zn

z

yz

i

ey

i

e++

221 0 (9.52)

Para dicha expresin, hemos visto que la ordenada y la abscisa de los puntos en que dicha

lnea corta a los ejes de referencia son, como hemos visto:

y

zn

e

iy

2

y z

y

ne

iz

2

(9.53)

Si a partir de las ecuaciones (9.53), despejamos las excentricidades ze y ye de tal manera

que sean funcin de ny y nz , respectivamente, tenemos:

n

zy

y

ie

2

y n

y

zz

ie

2

(9.54)

Las expresiones (9.53) y (9.54), con la Figura 9.11., muestran que al punto 0C , de

coordenadas nz e ny , si se lo toma como un nuevo centro de presin, le correspondera una lnea

neutra que intersecta a los ejes z e y en los puntos (0, ze ) y ( ye ,0) respectivamente.


PAGINA 435

2y

1z

C

2y

1z

ey

ez

G

(N)

C0

zn

yn

n

n

n0

n0

FIGURA 9.11. 1 Propiedad del Centro de presin

De esto ltimo podemos tambin decir, de acuerdo a la expresin (9.37) la cual

transcribimos a continuacin:

zI

eNy

I

eN

A

N

y

z

z

y++

..

que, si 0C es un punto de la seccin cuyas coordenadas son ( yz, ), pero adems, ze y ye , las

coordenadas correspondientes al centro de presin C , por ser en la ecuacin (9.37) ambos pares de

valores permutables entre s, la tensin en 0C , cuando la fuerza normal N acta en C , es igual a la

tensin en el punto C cuando la fuerza normal acta en 0C . Es decir que, en el problema que nos

ocupa, es vlido y se cumple el principio de reciprocidad de Maxwell que, simblicamente podemos

expresar de la forma siguiente:

00

C

CCC (9.55)

b. Segunda propiedad

Consideremos ahora que el centro de presin C se desplaza a largo de la recta

aa , que intersecta a los ejes principales de inercia de la seccin, en H y L (Figura 9.12).

Sea C una posicin cualquiera del centro de presin. La fuerza normal, es decir, el esfuerzo

caracterstico normal N , admite dos componentes aplicadas en H y L , respectivamente.

Podemos afirmar que la suma de los efectos de las componentes de N , aplicadas en H y L , es

igual a la de N aplicada en C .

Como adems z e y , son ejes principales de inercia, las lneas neutras correspondientes a

los centros de presin H y L (flexin compuesta normal) sern respectivamente paralelas al eje z


PAGINA 436

como al eje y , y se cortarn en un punto como el S , (Figura 9.12.).

y

y

z G

(N)

a

S z'z'z

y'

y'

a

H

L

C

FIGURA 9.12. 2 propiedad del centro de presin

De esta manera, cualquiera sea la posicin de C , sobre la recta HL , siempre existirn

componentes de N en H y L , y el punto S ser un punto de tensin nula por pertenecer tanto a

la lnea '' nn como a la '''' nn . En consecuencia, llegamos a la conclusin de que cuando el centro

de presin se desplaza sobre una recta, la lnea neutra gira en torno a un punto, o tambin podemos

expresar esta propiedad como que lneas neutras que giran alrededor de un punto se corresponden

con centros de presin que se desplazan sobre una recta. Esta relacin entre centros de presin y

lneas neutras la aplicaremos al determinar el ncleo central de una seccin cualquiera.

9.3.4. Ncleo central - Su determinacin

Consideremos la seccin de Figura 9.13 (a), donde 1-1 representa una lnea de fuerzas

cualquiera; consideremos adems la posicin del centro de presin 1C correspondiente a la lnea

neutra 11 nn de manera tal que resulte tangente a la seccin en 2H .

Si tomamos otra lnea de fuerzas, la 2 -2 por ejemplo, existir otro centro de presin 2C , al

que le corresponde una lnea neutra designada por 22 nn , respectivamente, la cual es tangente en

0H . As sucesivamente, para las infinitas direcciones que puede tener la lnea de fuerzas.

Luego, el lugar geomtrico de los infinitos centros de presin concebidos de tal forma

define el contorno del Ncleo Central, y el rea encerrada por el mismo es el Ncleo Central.

Es necesario dejar aclarado que si se estudia una seccin del tipo indicado en la Figura 9.13

(b), para esta y para el correspondiente trazado del ncleo central solo deben considerarse aquellas

lneas neutras que siendo tangentes al contorno no corten la seccin. Este es el caso de la lnea

11 nn , que s bien es tangente en 1A corta a la seccin, razn por la cual debe descartarse para la

determinacin del ncleo central.

HL

CLNNCLNHLN CHCH ...

HL

CHNNCHNHLN CLCL ...

H L CN y N componentesdeN


PAGINA 437

n1

n1

G

C1

C2

n2

H1

H2

C3

n2

n3

n3

H3

1

1

2

2

3

3

n0

n0

n1

G

A1

A 0

A 0

n1

(a) (b)

FIGURA 9.13. Trazado del ncleo central

Consideremos en la seccin de Figura 9.14., para la lnea de fuerza indicada, que el centro

de presin C se encuentre en el contorno del ncleo central, o sea 2C .

La lnea neutra nn tendr una direccin conjugada de la lnea de fuerzas, y por lo que

hemos visto ser tangente al contorno de la seccin. Localizada la lnea neutra, podemos calcular la

tensin en el centroide de la seccin: A

N 0

Tambin podemos representar el diagrama de tensiones normales, para este caso, graficado

en la Figura (9.14.b), este diagrama tiene un solo signo y es el correspondiente a tensiones

normales de compresin, o sea negativo.


PAGINA 438

C2

C1

C3

G

Nc leo

Centra l

(N


PAGINA 439

podremos aplicar la ecuacin general de la flexin compuesta (9.37), mientras que en el segundo

caso, la aplicacin de sta ecuacin sera incorrecta, pues la misma parte de un equilibrio basado en

que las tensiones de traccin (cohesin interna del material) pueden desarrollarse en el material

considerado.

9.3.4.1. Ncleo central en distintas secciones

En la tabla 9.1 se pueden observar distintas dimensiones y formas que toma el ncleo

central para diferentes tipos de secciones, las mismas son determinadas a travs de la ecuacin

9.49, encontrando el permetro de dicho ncleo como centros de presiones iC con excentricidades

ie , cuando s es la distancia, medida sobre la lnea de fuerzas, entre el centroide de la seccin y una

lnea neutra tangente a la seccin, como ya vimos anteriormente.

TABLA 9.1. Ncleo central de diferentes secciones

Tipo de seccin Dimensiones del

ncleo central

Seccin

rectangular

b

h

B=b/6

H=

h/6

11

2

2

6

bB

6

hH

Seccin

Circular llena

r

R=r/4

4

rR


PAGINA 440

Seccin

circular

hueca

re

ri

R=re/4 (1-e2)

( )2er

R 1 ;4

i

e

re e

r

Seccin

triangular

H=h

/6

h

6

hH

9.4. FLEXIN COMPUESTA EN MATERIALES QUE NO ADMITEN TENSIONES

DE TRACCIN

9.4.1. Consideraciones generales

Consideremos un soporte de hormign en masa o de obra con ladrillos, sometido a una

carga de compresin aplicada fuera del ncleo central. Al ser el material del soporte prcticamente

incapaz de resistir tensiones de traccin, en una zona de sus secciones transversales resultarn

tensiones de compresin, mientras que en la otra zona no existir ninguna clase de tensin, all el

material estar separado o fracturado por falta de cohesin. Anlogamente, en la superficie de

contacto de dos cuerpos cualesquiera, como una cimentacin y el terreno, seguramente no habr

tensiones de traccin. En consecuencia, tanto en un caso como en el otro, deben determinarse las

tensiones de compresin admitiendo que, en las secciones consideradas, el material no tiene

cohesin o sea, sin resistencia a la traccin.

En efecto, al verificar secciones sujetas a flexin compuesta en estos tipos de materiales, es

necesario proceder a una revisin de conceptos ya vistos al considerar secciones de materiales

homogneos e istropos y desarrollar una teora partiendo del hecho que, para tales secciones las

condiciones de equivalencias deben ser satisfechas, teniendo en cuanta tan solo las tensiones de

compresin y prescindiendo de las tensiones de traccin que no podrn materializarse.


PAGINA 441

9.4.2. Flexin compuesta normal en secciones sin zona de traccin

Sea la seccin de la Figura 9.11., solicitada por una fuerza normal N de compresin, la cual

esta aplicada en el centro de presin C situado sobre el eje principal de inercia 2-2 y fuera del

ncleo central.

Por ende, el eje neutro, normal a la lnea de fuerzas, cortar a la seccin y en sta se

originaran tensiones de traccin, con un mximo en correspondencia con el punto B , de valor:

c

A

N2g

Bi

e1

Como sabemos, de acuerdo con nuestra hiptesis, dichas tensiones de traccin son

incompatibles con el material, de modo que la equivalencia entre N , esfuerzo caracterstico normal,

y el conjunto de infinitas fuerzas interiores originadas por las tensiones normales , debe

satisfacerse exclusivamente mediante la existencia de tensiones de compresin. Resulta evidente

que el eje neutro correspondiente a un diagrama donde solo tendremos tensiones de compresin

( 0 ), que satisface la premisa anterior, ya no ser el eje n-n correspondiente a la frmula clsica

de la flexin compuesta, sino otro, por ejemplo el n1-n1 que contempla solo tensiones de

compresin en el material. Ver Figura9.15.b.

n

0

(-)

(+)

G

C

2

y=2

(-)

A

B

MX

y0

v1

v2

n

B

A

y

Z dA

n1 n1

e

d

a

(a) (b)

FIGURA 9.15. Seccin de material sin resistencia a la traccin

Supongamos que el diagrama de tensiones normales sea el representado en la Figura

9.15.b.; si tomamos una fibra situada a una distancia y, de 11 nn , la correspondiente tensin

origina una fuerza elemental dA. , y las tres condiciones de equivalencia que se deben plantear,

por estar ante el caso de fuerzas paralelas, sern, con la notacin de la Figura 9.15., las siguientes:


PAGINA 442

0..

).(..

.

0

0

0

0

0

0

0

y

y

y

dAz

ayNdAy

NdA

La tercera ecuacin no es de mayor importancia dado que conduce a establecer que el eje

neutro y la lnea de fuerzas resultan ser direcciones conjugadas.

Considerando que:

y

ymx 0

Expresin de la cual se puede obtener:

0

.y

ymx

Sustituyendo esta expresin de la tensin normal en las dos primeras de las ecuaciones de

equivalencia planteadas, resulta:

0

0 0

y

mx y dA Ny

0

2

0

0 0

( )

y

mx y dA N y ay

(9.56)

Si ahora dividimos miembro a miembro, la segunda ecuacin por la primera tenemos:

0

0

0

0

2

0 )( y

y

dAy

dAy

ay

Finalmente:

d0

1

0

1)( 0 yn

y

n

S

Iay

Esta ecuacin define la posicin del eje neutro en funcin de las caractersticas geomtricas

de la seccin.


PAGINA 443

Si el valor d resulta conocido (y consecuentemente el momento de inercia con respecto a

este eje neutro n1, 0

1

y

nI ) la determinacin de max es inmediata de (9.56):

00

1

.y

I

Ny

n

mx d

(9.57)

La ltima ecuacin (9.57) es similar a la que da la tensin mxima en la flexin simple

normal, por cuanto el producto d.N puede asimilarse a un momento, ya que corresponde a una

fuerza por una distancia.

En el caso de una seccin rectangular tenemos:

3

2

30

20

0

1

0

1

ybI

ybS

x

n

y

n

(9.58)

G

C

2

y=2

z=1 1

(-)

MX

X0

B

A

n1

da

b

h

n1

X0/3N

FIGURA 9.16. Seccin rectangular sin resistencia a la traccin

De donde: 03

2yd (9.59)

Y dado que: d ay0 (9.60)

Conduciendo a: ay 30 (9.61)


PAGINA 444

Consecuentemente, al reemplazar en (9.58) los valores dados por las (9.59), (9.60) y (9.61), el valor

de la tensin mxima resulta ser:

ab

Nmx

3

2

Como 03 xa , haciendo: 00 3 ybabA

Llegamos a que: 0

2

A

Nmx

Dado que el ancho de la seccin es constante, la resultante del volumen de tensiones queda

ubicada, por razones de simetra, sobre el eje principal 2-2 y a una distancia del borde superior igual

a 3

0y , coincidente con C .

9.4.3. Ejemplo

Caso A

La Figura 9.13 muestra el corte de un pequeo dique de concreto para un canal de

irrigacin. Una parte de las especificaciones de diseo condiciona que las tensiones normales que

se produzcan en el suelo a travs de la base AB sean tensiones nicamente de compresin cuando

la altura del agua detrs del dique sea mayor que el valor nominal de mH 00,2 , mostrada en la

Figura 9.17.

H =

2m

3m

1,5m

0,5m

A B

C

FIGURA 9.17. Dique de concreto


PAGINA 445

En el diseo preliminar el dique se puede representar como una mnsula apoyada a lo largo

de la base AB y sometida a la carga producida por la presin del agua en el lado BC .

En efecto, la presin del agua en el dique origina en esta estructura tensiones normales por

flexin, las cuales se pueden combinar con los tensiones normales causados por el peso propio del

dique y de esta manera encontrar la distribucin resultante de las tensiones normales a lo largo de

la base AB . En esta parte del diseo preliminar no se consideran las tensiones cortantes a las que

est sometido el material, cuya resultante admisible debe equilibrar la resultante horizontal debido

a la presin del agua.

Determinaremos, en primer lugar, las tensiones normales a lo largo de la base AB del dique

cuando la altura del agua es mH 00,2 , para verificar el cumplimiento de la condicin de que las

tensiones producidas en la misma, sean solo de compresin. Consideramos un peso especfico para

el concreto de 324 m

kgAH y del agua de 300,1 m

kgagua . Como sabemos, la presin del

agua que acta en la presa, se incrementa linealmente con su profundidad medida a partir de la

superficie libre; por lo que, la presin mxima ocurre al pie de la cara del dique en el punto B .

Cuando la altura es mH 00,2 , el valor de la presin en B es:

23B m

kgs.2000 2mts.

m

kgs.1000 P (9.62)

Para un ancho dado b en la direccin perpendicular al plano del corte mostrado en la Figura

(9.18) la carga por unidad de longitud q (sobre una viga en voladizo de ancho b ) variar

linealmente desde cero en la superficie del agua hasta el valor:

m

kgs.2000b bpq BB (9.63)

El Empuje total por ancho b de muro, resultante de la presin del agua, que acta en el

dique, no es otro que la resultante del rea del diagrama de carga:

kgs. 2000b2b2000 2

1 Hq

2

1R B (9.64)


PAGINA 446

R

QM

N

Tensin de solicitacin por flexin

Tensin de solicitacin de compresin

Tensin de solicitacin resultante

(2/3

)h

-8355,55

-1244,45

A B

A B

A B

A B

a)

b)

c)

FIGURA 9.18. Diagramas de tensiones en la base del dique

La lnea de accin de R pasa por el centroide del diagrama triangular (1/3 de la base),

Figura 9.18, de modo que la reaccin al momento FM solicitante, que acta en la base del dique

BA , es: kgs.mts. .b 333,331 .3

2MF

mtsR (9.65)

El suelo que soporta el dique deber reaccionar con un momento resultante opuesto.

Por consiguiente, la distribucin del esfuerzo normal causado por flexin a lo largo de la base del

dique es:

kgs740,73.y 4)5,1.(.

12

1

..33,1333M

3

Fb

b

yby

I z (9.66)

Donde y es la distancia del centroide a la base BA . Se observa que la dimensin b se

elimina en los clculos. Los valores mximo b , a tensin y compresin con my 75,0 , son

operando kgs55,555.3 y ocurren en los puntos B y A , como se muestra en la Figura 9.14.a. A

estos esfuerzos normales causados por flexin se agregan los esfuerzos normales causados por el

peso del dique.


PAGINA 447

El peso total del dique para un ancho dado b es el rea de la seccin transversal

multiplicado por el ancho b y el peso especfico de 24 kgs/m3. Segn se puede apreciar en las

Figuras 9.18. a, b y c.:

2

s 3)3)(5,05,1(2

1mA + (9.67)

De modo que el peso total es:

. 7200)3( 2400 2 KgsbmbP (9.68)

El esfuerzo axial de compresin uniforme a lo largo de la base BA es:

b 5,1

b 7200w

. 4800w kgs (9.69)

Al sumar los esfuerzos axial y de flexin a lo largo de AB mostrados en las Figuras 9.18.a y

9.18.b se obtiene la distribucin de los esfuerzos mostrada en la Figura 9.18.c, en la cual se ve que

los esfuerzos normales son de compresin a lo largo de la base. El valor mnimo de los esfuerzos

normales de compresin ocurre en el punto B y es igual a 4800kgs.

SUPERPOSICION DE EFECTOS

1. PUNTO DE ESFUERZO MAXIMO


PAGINA 448

2. PUNTO DE ESFUERZO MINIMO

Como se puede apreciar, los valores de los esfuerzos de flexin se incrementan conforme

sube el nivel del agua y cuando sta alcanza un cierto nivel aHH las tensiones combinadas de

traccin y compresin a lo largo de la base, producto de los esfuerzos de flexin y normal, se

contrarrestan y en el caso particular del punto B se anulan. Al incrementarse el valor de aHH

aparecen tensiones de traccin a lo largo de la base. Para determinar el valor de aH se analiza de

nuevo la flexin con las ecuaciones (9.62) a (9.67) para aHH .

La presin en la base ahora es:

(mts) m

kgs.1000 P

3B aH (9.70)

Y la carga es:

aBB H b 1000 bpq (9.71)

La resultante es

aB H q 2

1R

O 2aH 500R b (9.72)

La reaccin al momento flector en la base BA es:

3

a3

F 67,166H 3

1500

3

1R M aa HbH

(9.73)


PAGINA 449

Y el esfuerzo de tensin normal en B causado por flexin:

.,44H444)5,1(

12

1

)75,0(67,166 3

3

3

b kgs

b

bHa

a (9.74)

Cuando mHa 2 , el valor del esfuerzo dado por la ecuacin (9.74) concuerda con el valor

previo de b dado por la ecuacin (9.66) con my 75,0 .

El esfuerzo axial causado por el peso del dique aun lo da la ecuacin (9.69) y el nivel aH se

determina al establecer la condicin de que la suma del esfuerzo mximo de tensin causado por

flexin en el punto B y el esfuerzo de compresin causado por el peso del dique en el punto B

sean iguales a cero. Con las ecuaciones (9.69) y (9.74), se obtiene:

0H,444444800 3 + a (9.75)

o bien 8,10H3 a (9.76)

Por consiguiente

21,2H a (9.77)

As pues, el nivel del agua se puede incrementar solo de mH 00,2 a mH 21,2 ; o sea

21cm ms antes de que la tensin normal en B cambie de compresin a traccin. Se ve que la

altura nominal de 2,00m es aproximadamente el 90 por ciento de la altura de 2,21m y quizs por

ello sea necesario redisear el dique. Por ltimo se observa que los esfuerzos de flexin segn la

ecuacin (9.74) son proporcionales a la tercera potencia del nivel del agua aH . As cuando el nivel

del agua se incrementa de 1,00m a 2,00m los esfuerzos flexin en B se incrementan en un factor

de 8.

A ttulo informativo se explica el clculo de los factores de seguridad tanto para la

posibilidad de deslizamiento como de vuelco del muro:

Falla por deslizamiento del dique, considerado

deslizamientoRe

FSsistencia al deslizamiento

Fuerza de deslizamiento

Falla por vuelco del dique

vuelcoFSMomento anti vuelco total

Momento de vuelco total


PAGINA 450

Caso B

Si se tratara ahora de un muro de seccin rectangular constante a lo largo de toda su altura

como el mostrado en la Figura 9.19. el anlisis sera el siguiente:

h

b

FIGURA 9.19. Dique de seccin rectangular constante

Las tensiones debidas a la flexin sern las mismas, debido a que el momento flector, el

momento de inercia y la distancia y se mantienen para la seccin analizada.

kgs 9,34MF

b yI z

(9.78)

Las tensiones debidas al esfuerzo interno normal, cambian debido a que cambia el volumen

del muro y, por ende, cambia el peso, consecuentemente cambiar la tensin normal en la

seccin.

El nuevo volumen ser:

31,5 3 4,5 mV mts mts b b (9.79)

Y el nuevo peso ser:

2400 4,5 kgs 10800 .T HW V b b kgs (9.80)

Luego, la tensin mxima generada por el peso propio ser:

2w

.7200

5,1

b 10800

cm

kgs

b (9.81)


PAGINA 451

Finalmente para saber si sobre la seccin se desarrollan tensiones de traccin, por tratarse

de un caso de flexin compuesta, podemos aplicar el principio de superposicin puesto que se

cumplen las condiciones necesarias para la aplicacin del mismo.

A

Ny

I z FT

M (9.82)

Al calcularse las correspondientes tensiones se obtiene:

44,3644MF

min +A

Ny

I z (9.83)

55,10755MF

mx A

Ny

I z (9.84)

Si a la ecuacin anterior la igualramos a cero, se podra deducir la ecuacin

correspondiente al eje neutro: Fy (ancho del muro). Posteriormente, para que no se produzcan

tensiones de traccin en la seccin de la base, el eje neutro tiene que ser exterior a la base, es decir:

Y = f (ancho del muro) b/2 (9.85)

De donde se obtiene la anchura mnima del muro para que no se produzcan tensiones de

traccin en los puntos de la base.

CASO C

Si ahora el problema se tratara de un muro de contencin con zapata, como muestra la

Figura 9.16., el diseo debe partir de la correspondiente verificacin para que el muro no falle por

traccin en la seccin A-B.

Q

B

BA

C D

FIGURA 9.16. Zapata


PAGINA 452

Consideremos que queremos dimensionar el muro, siendo el esfuerzo admisible a

compresin del hormign = 120kgs. /cm2 siendo el esfuerzo normal del terreno 3,0kgs. / cm

2.

Supongamos en este caso, adems, que sobre el muro de contencin acta una carga

excntrica Q =2Tns/m como se muestra en la Figura 9.16 a los fines de considerar la posibilidad de

que el dique deba soportar el peso de otra estructura que est por encima de esta. Admitamos para

ello que la carga acta a 0,3mts. Del punto A.

Longitud AB h ;Longitud CD a

Longitud CD a

FIGURA 9.17. Zona comprimida

A los efectos de la practicidad del clculo suponemos ancho unitario:

hmtscm

TnsmtsTnsPQ .14,2.32N

2++ (9.86)

Luego: h 2,72N + (9.87)

Si planteamos:

3

212)3,0(2

2 1 3 4,2)2,72(0MAA ++ h

hhXh

h2,72

93,1h2h6,3

h2,72

33,1)3,0h(2h 6,3X33,1)3,0h(2h 6,3X)h2,72(

222

+

+

+

+++

Adems: admmx (9.88)

admcomp

mxX

N

A

N

3

22 (9.89)

Teniendo en cuenta la expresin encontrada para X , resulta:

( )

( )1200

93,126,33

2,72)2,72(2

2,72

93,126,33

222

+

++

+

+

hh

hh

h

hh

Nadm

Zon

a co

mp

rim

ida

mx


PAGINA 453

( )93,126,3360068,1036,578 22 +++ hhhh

694872001296068,1036,578 22 +++ hhhh

069404,714232,12856 2 + hh

mtsh 95,094,069402

694032,128564)4,7142(4,7142 2

+ (9.90)

Para dimensionar el ancho de la zapata se procede de un modo anlogo al realizado para el

caso del muro donde se considera que mh 95,0 .

ammcm

Tnsmtsmts

cm

TnsmtsTnsWPQ ++++ 114,295,014,232N

22

*

Luego:

a+ 4,284,8N (9.91)

+++

+ 1

3

212)3,0a(2a114,2

2

95,0a95,01 3 4,2X)a4,284,8(0MAA

a4,284,8

179,7a4,4a84,6X33,36,0a2a4,2249,3a84,6X)a4,284,8(

22

+

++++

Sabemos que:

admcomp

mxX

N

A

N

3

22 (9.92)

Teniendo en cuenta la expresin encontrada para X , resulta:

( )

( )1200

179,74,484,63

4,284,8)4,284,8(2

4,284,8

179,74,484,63

222

+

++

+

+

aa

aa

a

aa

Nadm

( )179,74,484,63052,111,37529,156 22 +++ aaaa

37,2151322,20552,111,37529,156 22 +++ aaaa

066,3711,24368,193 2 aa

Finalmente:

mtsh 15,268,1932

66,37168,1934)1,243(1,243 2

+ (9.93)


PAGINA 454

9.5. FLEXION COMBINADA CON TORSION

9.5. 1. Consideraciones generales

FIGURA 9.18. Mz y My son los momentos Flectores y Mx es el momento de torsin

Esta combinacin de esfuerzos es un problema clsico en la ingeniera mecnica,

fundamentalmente en ejes de mquinas, tambin en resortes helicoidales de espiras abiertas, etc.

En la ingeniera civil, se encuentra fundamentalmente en vigas extremas de puentes, en

puentes gras, vigas balcn, y tambin se generan, debido a cargas de sismos o vientos, en

columnas extremas esquineras, por excelencia.

Cuando al reducir las fuerzas que solicitan a un slido al centroide de una seccin

cualquiera del mismo se obtienen dos pares opuestos, cuyo vector momento tiene una direccin

oblicua con respecto a un plano de aquella, estamos ante el caso de una solicitacin de flexin con

torsin.

Aqu, el vector M , puede descomponerse en dos vectores componentes:

a) xM vector de direccin normal al plano de la seccin, correspondiente al momento de

torsin tM , que resulta de tensiones variables distribuidas a lo largo de la seccin.

b) fM , vector de direccin tangencial al plano de la seccin, correspondiente al momento

flector fM , (con componentes en los ejes coordenados tanto en y como en z ), que

resulta de tensiones normales variables distribuidas a lo largo de la seccin.

La combinacin de los tensiones tangenciales y de las tensiones normales , originan un

estado plano de tensin, cuyas tensiones principales son las determinantes en el diseo o

verificacin de las estructuras sujetas a este tipo de solicitacin. La solucin, bsicamente, se trata

de una combinacin o superposicin de los efectos de las tensiones producidas por la flexin y la

torsin, donde la primera puede ser pura o simple (con corte), normal u oblicua.


PAGINA 455

En general, la flexin combinada con torsin se presenta, como hemos dicho, en distintos

casos de la prctica de la ingeniera, pero interesa estudiar el efecto de tal solicitacin en dos casos

particulares y representativos, como son los resortes y los ejes de transmisin.

En el presente libro nos ocuparemos de estudiar este tipo de solicitacin en aquellas

estructuras cuya seccin sean circular, llena o hueca.

9.5.2. Flexo-torsin en las secciones circulares llenas

FIGURA 9.19. Caso de esfuerzo combinado por flexo torsin

Consideremos una seccin trasversal circular llena, de un eje empotrado en un extremo y

libre en el otro, en la cual acta un momento de torsin tM y un momento flector fM .

xz

yx

(-)

(+)

xz

Por efecto del momento de torsin, en una seccin cualquiera se originan tensiones

cortantes , normales al radio de la misma y cuyo valor mximo es:

2

d

I

M

p

t

mx (9.100)


PAGINA 456

Sustituyendo el momento de inercia polar por su valor correspondiente a una seccin

circular llena, tenemos:

3

16

d

M tmx

(9.102)

Como sabemos, este valor mximo se presenta en todos los puntos pertenecientes al

contorno de la seccin.

A su vez, el momento fM genera tensiones normales :

yI

M F (9.103)

El valor mximo de la tensin normal debida al momento flector se origina en las fibras ms

alejadas al centro de la seccin, a la distancia mxy para este caso en particular. Si adems el

momento polar de inercia se expresa en funcin del dimetro d de la seccin, se llega a:

3

32

d

M Fmx

(9.104)

Vamos a considerar, a los efectos de hacer ms claro el anlisis, un elemento infinitesimal

del cuerpo en cuestin, coincidente con una fibra extrema correspondiente al eje y , como se indica

en la figura:

FIGURA 9.20. Elemento esforzado

La solicitacin ser la que se muestra en la Figura 9.20, que como vemos corresponde a un

estado plano de tensiones en el que las tensiones principales valen:

22

2,1 42

1

2xzx

x

+ (9.105)


PAGINA 457

Para el caso de los elementos o puntos ms solicitados de la seccin, que en este caso

particular son los ubicados en los extremos superior e inferior sobre el eje y de la seccin circular,

resulta:

3

32

d

M F

mnmx

(9.106)

3

16

d

M tmxxz

(9.107)

Sustituimos dichos valores en la ecuacin (8.105):

2

3

2

331

164

32

2

116

+

+

d

M

d

M

d

M tFF

(9.108)

2

3

2

332

164

32

2

116

+

d

M

d

M

d

M tFF

(9.109)

O bien, genricamente:

2

3

2

332,1

164

32

2

116

+

d

M

d

M

d

M tFF

Introduciendo el valor 2

1en la raz, se tiene:

+

2

3

2

332,1

164

32

4

116

d

M

d

M

d

M tFF

Luego:

2

3

2

332,1

164

4

132

2

116

+

d

M

d

M

d

M tFF

2

3

2

332,1

161616

+

d

M

d

M

d

M tFF

Sacando factor comn3

16

d:

( ) ( ) 222

332,1

1616tF

F MMdd

M+


PAGINA 458

( ) ( )22332,1

1616tF

F MMdd

M+

Finalmente:

( ) ( )

+

22

32,1

16tFF MMM

d (9.110)

Sabiendo que la frmula de la tensin tangencial mxima corresponde al estado elstico

plano:

2

21

mxabs (9.111)

Y sustituyendo en ecuacin los valores obtenidos anteriormente:

( ) ( )

+

22

3

16tFmxabs MM

d (9.112)

8.5.3. Flexin y torsin en una seccin circular hueca

Si se tratara de piezas cuya seccin sea circular y hueca, las expresiones que se deducen

como podr observarse son similares. La variacin se debe efectivamente al cambio del momento

de inercia debido al propio cambio de la seccin. En efecto, si designamos d y D a los dimetros

interno y externo respectivamente, resulta:

( )

4

43

44

1

3232

D

dD

M

dD

DM FF

mnmx

(9.113)

Y, ( )

4

43

44

1

1616

D

dD

M

dD

DM ttmxxz

(9.114)

Si tomamos la relacin de los dimetros D

d , se tiene que:

( )43 1

32

D

M F

mnmx (9.115)

Y:

( )43 1

16

D

M tmx (9.116)


PAGINA 459

Luego, bajo razonamiento anlogo al de la seccin circular llena, se llega a que:

( )( ) ( )

+

22

432,1 1

16tFF MMM

D (9.117)

Y:

( )

( ) ( )

+

22

43 1

16tFmxabs MM

D (9.118)

9.5.4. Resortes helicoidales de forma circular

En general el estudio de los resortes se generaliza en focalizar el anlisis de dos casos

particulares:

Resortes de espiras cerradas: Se denominan as aquellos resortes cuyo paso de hlice

es reducido con respecto al dimetro del resorte. Figura 9.21:

Resortes de espiras abiertas: son, en cambio, los resortes cuyo paso de hlice es

grande. Para ello obsrvese la Figura 9.22:

D

D

FIGURA 9.21. Resorte de espiras cerradas FIGURA 9.22. Resorte de espiras abiertas

La diferencia entre estos dos tipos de resortes reside en que en los de espiras cerradas

puede despreciarse, como se ver, los momentos flectores que se originan; mientras que en los

resortes de espiras abiertas esto no es posible. En efecto, segn sea el caso, tendremos un cierto

tipo de combinaciones de esfuerzos predominantes.


PAGINA 460

9.5.4.1. Resortes helicoidales con espiras cerradas. Corte con torsin.

Consideremos el resorte de la siguiente Figura 9.23., solicitado por una fuerza axial P :

FIGURA 9.23. Resorte bajo solicitacin por la carga P

Los problemas que deben resolverse son.

a) La determinacin de las tensiones que se desarrollan en el resorte

b) Calculo del alargamiento o acortamiento que experimenta el resorte, segn que la fuerza P

lo extienda o lo comprima, respectivamente.

Resueltos dichos problemas, nos encontraremos en condicin de establecer cules son las

dimensiones necesarias que debe tomar el resorte destinado a soportar la carga P. Se

sobreentiende que las dimensiones de las que se habla son: el dimetro de la seccin del resorte, el

paso y el nmero de espiras.

Al reducir la fuerza axial P al baricentro de una seccin genrica del resorte, s-s por ejemplo,

se origina un momento M cuyo vector representativo es normal al plano definido por el centroide G

y la recta de accin de la carga P (eje del resorte). Dicho momento es constante para cualquier

seccin que se considere.

Se puede observar en la Figura (9.24) que el momento M se puede descomponer en dos

vectores componentes:

MT

Mf M

FIGURA 9.24. Resorte seccionado en 1-1

cos MM t

senMM f


PAGINA 461

Si resulta que el resorte es de espiras cerradas, como inicialmente lo supusimos, la

pendiente de esta es muy pequea, por lo que evidentemente resulta que:

1cos (9.119)

0sen (9.120)

De manera que:

MMM t cos (9.121)

0 senMM f (9.122)

As, la seccin del resorte resulta estar solicitada principalmente por el momento de torsin:

RPDP

MM t

2

(9.123)

Y un esfuerzo de corte cuya magnitud es:

PQ (9.124)

Aqu, el momento de torsin origina una tensin cortante con la distribucin que se

observa en el grfico 9.25.(a), mientras que el esfuerzo de corte origina tensiones tangenciales

segn la Figura 9.25.(b):

z

y

torsin

z

y

(-)

(+)

corte TOTAL

z

y

(-)

(+) =+

(a) (b)

FIGURA 9.25. Diagramas de tensiones

La mxima tensin tangencial debida a torsin vale:

3

' 16 d

M tmx

(9.125)

d : es el dimetro de la barra.

Teniendo en cuenta la ecuacin (9.123), la tensin debida a la torsin toma el valor:


PAGINA 462

3

' 16 d

RPmx

Por otro lado, las tensiones tangenciales debidas al esfuerzo de corte Q podemos suponer

que se hallan uniformemente distribuidas sobre la seccin de la barra y su valor es:

22

'' 44 d

P

d

Q

Ya hemos aclarado anteriormente que esta forma de considerar distribuida la tensin no

se condice con lo real, dado que de ser esto cierto y compatible con la realidad, debera existir una

tensin tangencial con direccin normal sobre la superficie externa del elemento, lo cual se sabe

que es incompatible con el postulado de Cauchy.

El diagrama de tensiones cortantes resultante es el que se estima a travs de la Figura 9.25 y

que se corresponde para un resorte sometido a traccin. La mxima tensin absoluta de corte, se

verifica hacia el interior de la espira en el borde de la seccin y viene definida por:

23

''' 4 16

d

P

d

RPmxmx

+

+

o:

23

''' 4 8

d

P

d

DPmxmx

+

+

Luego:

+

1

242 d

D

d

Pmx

Aqu podemos observar que la tensin mxima de corte ser menor a medida que el

dimetro del resorte en relacin con el dimetro de la barra que lo constituye sea mayor.

9.5.4.2. Resortes de espiras abiertas. Flexin con torsin.

Hemos dicho anteriormente, al comenzar el tratado general y muy somero de los resortes,

que si el paso del resorte es grande con respecto al dimetro de ste, el resorte ser de espiras

abiertas. As, para este caso, el esfuerzo de corte PQ , por su influencia relativa y pequea,

puede despreciarse sin cometer mayor error, y la solicitacin en cuestin resulta ser un problema ya

estudiado: de flexin y torsin combinadas.


PAGINA 463

FIGURA 9.26. Resorte de espiras abiertas solicitado a cargas P

Si bien, resulta que el anlisis de la flexin correspondera ser tratado como pieza de gran

curvatura, tema que no se estudia en este libro, vamos a suponer que el radio de curvatura es muy

grande, de modo tal que pueda admitirse la flexin como si fuera una pieza prismtica de eje recto.

De esta manera, tenemos que:

coscos RPMM t

senRPsenMM f

Si a estos valores los reemplazamos en la ecuacin (9;110), ya deducida:

( ) ( )

+

22

32,1

16tFF MMM

d

Recordemos que esta expresin haba sido deducida bajo consideraciones de una

solicitacin combinada de flexin y torsin, solicitaciones a las cuales se ve sometido el resorte de

espiras abiertas. Luego:

( ) ( )

+

22

32,1cos

16

RPsenRPsenRP

d

Luego:

( )RPsenRPd

32,1

16

Resultando:

( )116

32,1

sen

d

RP

Si consideramos que n es el paso de la hlice:


PAGINA 464

( )22

22

2

Rn

nsen

+

2

412

1

+

n

R

sen

Finalmente, al reemplazar resulta:

+

1

412

116

23

n

Rd

RPmx

9.6. CARGA AXIAL COMBINADA CON TORSION

Corresponde plantear el caso en que una seccin, caso general cuadrada, se encuentra

solicitada por cargas de torsin y axial.

En primer lugar vamos a considerar las cargas aplicadas, axial y de torsin, individualmente;

para luego estudiar el efecto combinado sobre el cilindro, obviamente, haciendo uso del principio

de superposicin de los efectos.

9.6.1. Carga axial.

FIGURA 9.27. Esfuerzos debidos a carga axial

La Figura 9.27 muestra un slido de seccin cuadrada constante a lo largo de su longitud

sujeto a una carga axial xP . Cabe aclarar que estudiaremos una seccin genrica, tratando de

clarificar el concepto de esfuerzos combinados y, dejando en un segundo plano, pero no por ello


PAGINA 465

menos importante, la deduccin analtica de las expresiones que permiten definir las tensiones

normales y cortantes totales. La tensin normal x , debida al esfuerzo normal N, ser considerada

uniforme en la seccin transversal al eje y puede determinarse con la ecuacin deducida en el

captulo 4:

A

Nx

Designaremos la magnitud de esta tensin axial como axial , y la mostramos como una

tensin de traccin en los cubos tensionados con tensiones asociadas en los puntos A y B.

9.6.2. Carga de torsin.

FIGURA 9.28. Esfuerzos debidos a Torsin

En la Figura 9.28, se muestra el slido de seccin cuadrada sujeto a un momento de torsin.

La tensin cortante mxima por torsin se obtiene con la ecuacin 6.58 expresada en el captulo 6:

2ba

MTmx

La direccin de las tensiones cortantes xy pueden establecerse por inspeccin o utilizando

subndices como se demostr en el Captulo 1. Estas tensiones cortantes por torsin vamos a

designarla como tor y las mostramos en los puntos A y B, a mitad de los lados de la Figura 9.28.


PAGINA 466

9.6.3. Carga combinada axial y de torsin.

En la Figura 9.29, se puede observar el slido de seccin cuadrada sujeto a una carga axial y

con una de torsin combinadas. Como las teoras para miembros axiales y bajo torsin de este caso ,

son lineales, el estado de tensin en cada punto, que se puede ver en la Figura 9.29., puede

obtenerse a partir de los estados de esfuerzo para cargas individuales que se muestran en las

Figuras 9.27 y 9.28 utilizando el principio de superposicin, como se detalla en el siguiente grfico

9.29.

FIGURA 9.29. Esfuerzos en carga combinada Axial y de Torsin

Debemos tener en cuenta que no se puede sumar vectorialmente las componentes de

tensin de torsin con las componentes de tensin debido a la carga axial. Esto conduce a plantear

la siguiente pregunta conceptual:

Qu sumamos entonces, es decir qu superponemos?

Lo que superponemos son los estados de tensin debidos a cargas individuales para

obtener un estado de esfuerzo en cargas combinadas.


PAGINA 467

9.7. CARGAS DE FLEXIN SIMPLE, AXIAL Y DE TORSIN COMBINADAS

En esta oportunidad vamos a estudiar el caso de un slido, de seccin cuadrada, sujeto a

cargas de flexin simple.

Eventualmente, primero vamos a considerar la flexin sola en tomo al eje z . Finalmente,

vamos a superponer los resultados determinados a los obtenidos previamente para cargas axiales y

de torsin combinadas.

9.7.1. Flexin en torno al eje z.

FIGURA 9.30. Esfuerzos debidos a la flexin en torno al eje z

En el grfico 9.30 podemos ver un slido de seccin cuadrada sujeto a una carga yP que lo

flexiona en tomo al eje z . El punto B est en la superficie libre, por tanto la tensin cortante de

flexin es igual a cero en ellos. La tensin normal de flexin en el punto B se obtiene con la

ecuacin de Navier:

yI

M

Z

Z

x

La magnitud de esta tensin normal de flexin se designar en lo sucesivo como zflex . y

lo mostramos en los cubos de tensin asociado con el punto B en la Figura 9.30.

El punto A estn en el eje neutral, por lo que La tensin normal de flexin es igual a cero en

esos puntos. La tensin cortante de flexin en el punto A se obtiene con la ecuacin:


PAGINA 468

Z

ZYxy

Ib

SQ

La direccin de La tensin cortante puede determinarse, como ya se indico anteriormente,

por inspeccin o utilizando subndices. Adems, la magnitud de esta tensin cortante de flexin se

representa como zflex . y lo mostramos en los cubos de tensin asociado con el punto A en la

Figura 9.30.

9.7.2. Axial, torsin y flexin combinadas en torno al eje z.

Si ahora superponemos los conceptos y deducciones establecidas, es decir, si

superponemos los estados de tensin para la flexin en los cuatro puntos de la figura 9.30 a los

estados de tensin para las cargas combinadas axial y de torsin en los mismos y correspondientes

puntos mostrados en la Figura 9.30 en la seccin anterior, obtenemos los estados de tensin que

pueden observarse en la siguiente Figura 9.31:

FIGURA 9.31. Esfuerzo axial, de torsin y de flexin en torno al eje z

En la Figura 9.31, en el punto B la tensin normal de flexin es de compresin, mientras que

la tensin axial es de traccin. Consecuentemente, la tensin normal resultante x es la diferencia

entre los dos valores del esfuerzo. Si la tensin normal axial en el punto B es mayor que la tensin

normal de flexin, la tensin normal total en el punto B seguir la direccin (traccin) que se

muestra en la Figura 9.31. Si la tensin normal de flexin es mayor que la tensin axial, la direccin

ser la opuesta (compresin).


PAGINA 469

En el punto A la tensin cortante de torsin es descendente, en tanto que la tensin

cortante de flexin es ascendente. Por ende, la tensin cortante resultante xy es la diferencia entre

los dos valores de tensin. Si la tensin cortante de flexin en el punto A es mayor que la tensin

cortante de torsin, la tensin cortante total en el punto A seguir la direccin ( xy positivo)

descrita en la Figura 9.31. Si la tensin cortante de torsin es mayor que la tensin cortante de

flexin, la direccin ser la opuesta ( xy negativo). Se debe tener en cuenta que en un punto tal

como el C Las tensiones cortantes producidas por el momento de torsin y por la flexin en torno al

eje z se suman algebraicamente. Interesa esto conceptualmente, pues se debe encontrar las

tensiones mximas.

9.7.2.1. DEDUCCIN DE ECUACIONES:

Caso de la seccin circular llena cuando existe esfuerzo normal

Supongamos en esta oportunidad un slido de seccin circular sujeto a torsin, flexin y

esfuerzo axial. En este caso, adems de los esfuerzos de corte (debidos al tM ) y los esfuerzos

normales (debidos al fM ), aparece una tensin normal uniformemente repartida:

2

4

d

N

A

NN

Consecuentemente, el elemento infinitsimo superior se encuentra solicitado como se

muestra en la Figura 9.31.:

As, la tensin resultante normal es:

23

432

d

N

d

M Fx

+

2

3

2

23232

2

3

2

23231

164

432

2

1216

164

432

2

1216

+

+

+

+

+

+

+

d

M

d

N

d

M

d

N

d

M

d

M

d

N

d

M

d

N

d

M

tFF

tFF


PAGINA 470

9.7.2.2. Extensin a la flexin en torno al eje y

Las frmulas para el esfuerzo estn proporcionadas por las ecuaciones:

zI

M

y

Yx ;

y

yZ

xyIb

SQ

Estas expresiones pueden considerarse como extensiones de las frmulas deducidas para la

flexin simtrica en tomo al eje z .

Por otro lado, estas ecuaciones fueron deducidas en el capitulo anterior de Flexin. La

convencin de signos para el momento interno yM y la fuerza cortante zQ en las ecuaciones son,

anlogamente, simples extensiones de zM y yQ .

La direccin del esfuerzo cortante en la ecuacin de arriba se determina utilizando los

subndices o por inspeccin, como lo hicimos para la flexin simtrica en tomo al eje z .

9.7.3. Cargas axial, de torsin y de flexin en torno a los ejes z e y.

Una vez ms, primero consideraremos la flexin en tomo al eje y nicamente, despus

superpondremos los resultados a los obtenidos previamente para axial, torsin y flexin

combinadas en torno al eje z .

9.7.3.1. Flexin en torno al eje y.

FIGURA 9.32. Esfuerzos Debidos a la flexin en torno al eje y


PAGINA 471

En la Figura 9.32 se observa el slido de seccin cuadrada sujeto a una carga que flexiona al

mismo en tomo al eje y .

El punto A est en la superficie libre, por lo que La tensin cortante por flexin es igual a

cero en dicho punto.

La tensin normal de flexin en el punto A se obtiene con la ecuacin ya establecida

anteriormente. La magnitud se representa como yflex. y lo mostramos en los cubos de tensiones

asociados con dicho punto, ver la Figura 9.32.

El punto B est en el eje neutral ( Bz =0 en la ecuacin correspondiente). Por lo tanto, La

tensin normal de flexin es igual a cero en tal punto. La tensin cortante de flexin en el punto B

se obtiene con la ecuacin correspondiente. La direccin de la tensin cortante puede determinarse

por inspeccin o utilizando subndices. La magnitud de esta tensin cortante se representa como

yflex . y lo mostramos en el cubo tensionado asociado con el punto A , ver la Figura 9.32.

9.7.3.2. Axial, torsin y flexin combinada en torno a los ejes y y z.

Los estados de tensin complejo de la Figura 9.33 pueden obtenerse de una manera muy

sencilla: Calculando primero Las tensiones debidos a cargas individuales y despus superponiendo

los estados de tensin en cada punto correspondiente.

FIGURA 9.33. Axial, torsin y flexin combinados en torno al eje y como al z


PAGINA 472

9.8. CASO GENERAL DE CARGAS COMBINADAS

Este caso general de cargas combinadas lo estudiaremos planteando un ejemplo fsico real.

Como ya se justific anteriormente, no se pretende evaluar valores sino dejar claramente definido el

procedimiento a seguir en el proceso de resolucin de una estructura solicitada por un estado

general de cargas. As, estudiaremos el caso general de cargas que solicita un cartel o comnmente

llamado letrero.

En efecto, al soplar el viento sobre el letrero, produce una presin cuya resultante P acta

en direccin y en el punto C, como se muestra en la Figura 9.34.

FIGURA 9.34. Poste empotrado en la base para sostener un letrero

El peso del letrero ( )sW , acta verticalmente aplicado en el punto C, y el tubo de pared

delgada, que sostiene al letrero, tiene un peso total pW .

Vamos a seguir los procedimientos antes descrito para cargas combinadas, en cuyo anlisis

buscaremos calcular las tensiones principales en los puntos A y B, donde la columna del tubo se fija

a la base y donde los esfuerzos caractersticos son los de mayor valor.

Es conveniente tabular las resultantes de esfuerzos caractersticos, las frmulas de tensin,

etc. para no olvidar alguna de las combinaciones posibles. El peso sW contribuye a la carga axial y

tambin produce un momento respecto al eje y. La fuerza P del viento produce un esfuerzo

caracterstico de corte transversal en direccin y , y tambin causa un par de torsin con respecto

al eje x , y un momento flector con respecto al eje z . Es fundamental trazar uno o varios diagramas

de cuerpos libres.


PAGINA 473

Estabilidad - Esfuerzos combinados

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