11

RAZONAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO Y

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Un punto de partida: competencia matemática y LOE. - ¿Para qué tiene que servir dar clase de matemáticas? -¿Qué es razonar?

2. REFLEXIONES METODOLÓGICAS generales.

3. Criterios metodológicos aplicados al razonamiento y la resolución de problemas

4. PROGRAMAS de TRABAJO en aula sobre razonamiento y resolución de problemas

Txerra G. Guirles

22

La competencia matemática es la “capacidad” (destreza, habilidad... ) de

- realizar una TAREA CON ÉXITO (comprender, interpretar, cuantificar, analizar, relacionar, resolver, decidir…),

- UTILIZANDO, RELACIONANDO e INTEGRANDO diferentes conocimientos matemáticos (numéricos, operacionales, geométricos, …),

- en un contexto determinado (APLICACIÓN en situaciones de la vida cotidiana).

1. Un punto de partida: competencia matemática y LOE

33

• A nivel general, se plantea el área más al servicio de la alfabetización matemática: que nos sirva para entender y vivir en la sociedad del conocimiento.

A partir de esta definición podemos adelantar ya algunos elementos novedosos que se plantean en la LOE:

Se prioriza la resolución de problemas en contextos de la vida cotidiana (personales, sociales… )

• Se refuerza el carácter comunicativo de las matemáticas y la importancia de los contextos y los textos culturales matemáticos

Formar alumnos competentes pasa a ser el eje y objetivo central del trabajo escolar, y los contenidos matemáticos son herramientas para conseguirlo, pero no un fin en sí mismo.

44

¿Para qué tiene que servir la clase de matemáticas en Primaria?

• alfabetización matemática

• bagaje matemático y autonomía

• resolver problemas

• razonamiento lógico-matemático (relaciones).

55

El objetivo de las matemáticas NO ES:

- Aprender los algoritmos de sumar, restar, multiplicar y dividir

- Aprender las U, D, C, M,…,

- Aprender fórmulas …

¿Cuántos millares hay en 45.105 centenas?

7/29 : 11/9 =

¿Cuántos kl hay en 140.305 dl?

I N T O X I C A C I Ó N

A L G O R Í T M I C A

66

El razonamiento lógico-matemático lo podemos definir como la capacidad de establecer relaciones matemáticas: numéricas (mayor, menor, doble, ...), operacionales (propiedades y estrategias de cálculo), geométricas (investigación del espacio y sus propiedades), conceptuales diferentes en los problemas (aditivas de cambio, combinación, igualación, comparación; multiplicativas de repetición, comparación escalar, producto cartesiano).

Todas estas relaciones se ponen en juego en la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

-resolver problemas es sinónimo de razonamiento y de competencia matemáticas (pensar, “tener la cabeza amueblada”, hablar con sentido matemático...).

- La resolución de problemas como metodología de trabajo en todos los ámbitos matemáticos favorece el razonamiento matemático (y lo contrario no)

¿Qué es razonar?

77

2. Reflexiones metodológicas en torno a la enseñanza-aprendizaje y la evaluación de la competencia matemática.

2.1. Es diferente saber contenidos matemáticos que ser competente. Saber un contenido matemático, por sí sólo, no nos hace competentes.

La resolución con éxito de tareas complejas, en un contexto más o menos cotidiano y de la vida real, sólo es posible cuando la persona es capaz de activar o hacer funcional “lo que sabe” (integración de saberes).

88

2.2 Es diferente que el EJE del trabajo matemático sean los CONTENIDOS o sea la COMPETENCIA.

- Si el eje son los contenidos:

. los algoritmos son la clave

. primero algoritmos y luego actividades

. secuencias de libro de texto

- Si el eje es la competencia:

. los contenidos no son el eje de la secuencia de aprendizaje

. contextos con situaciones-aprendizaje a solucionar

. investigación de contenidos para solucionar situaciones complejas

. se pueden solucionar problemas sin saber el algoritmo

Las relaciones que hay entre los conocimiento y las competencias no son relaciones jerárquicas (primero aprendo conocimientos y luego los aplico), sino dialécticas y de interacción continua ( la propia investigación genera conocimientos, y los conocimientos que tienen sentido refuerzan la competencia)

99

2.3 Es básico diferenciar entre:

- Enseñar y aprender matemáticas

- Explicar y enseñar…

- Lo que se hace… y lo que se dice (cree, piensa) que se hace.

- El curriculum (social) y lo personal

- La didáctica (saber profesional) y el “adidactismo metodológico”

Todo ello, debe verse reflejado de manera congruente en la utilización de los recursos metodológicos que tenemos a nuestro alcance.

1010

2.4. Cuando hablamos de criterios metodológicos, nos referimos a:

• la tipología y planteamiento de actividades de aula /trabajo que se realiza habitualmente.

• el papel que tanto profesor/a como alumnos/as “juegan” en el aula 

• el tipo de agrupamiento habitual que hacemos

• los tiempos que dedicamos a los diferentes contenidos y actividades

• la organización y el clima de aula que se crea 

• el eje organizador de las actividades (¿contenidos? ¿competencias?)

Evidentemente, las estrategias metodológicas que adoptemos deben ser flexibles y congruentes con respecto a las tareas matemáticas que pretendamos realizar:- No es lo mismo aprender a resolver problemas que las tablas- No es lo mismo investigar estrategias numéricas que hacer divisiones- No es lo mismo interpretar un callejero que dibujar un cuadrado

1111

Trabajar la competencia matemática tiene que ver con:

Si los alumnos no comprenden ni piensan NO ESTAMOS HACIENDO MATEMÁTICAS

proponer actividades abiertas y variadas posibles, que fomenten la comprensión y el pensamiento matemático.

que el rol más habitual del alumno/a debe estar orientado a la investigación y al razonamiento (no la reproducción).

que el rol del profesor debe estar centrado en el planteamiento de buenos problemas e investigaciones (TAREAS COMPLEJAS), más que en la “explicación de todo”.

priorizar la competencia frente a la acumulación.

aprendizaje cooperativo y dialógico favorece la construcción de conocimientos y competencias.

dedicar el “tiempo matemático” a lo más relevante.

• clima de aula de creatividad, especulación e intercambio de ideas (el error como valor de aprendizaje).

evaluar por competencias (funcionalidad de los contenidos)

1212

3. Criterios metodológicos aplicados al razonamiento y la resolución de problemas

3.1. ¿Qué es resolver problemas?

3.2. ¿Cómo trabajarlo en el aula?

ERRORES MÁS COMUNES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Pasar por alto las unidades…2. Intuir lo que se les pregunta…3. Aplicar operaciones mediante asociación lingüística… 4. Operar con los datos numéricos en el mismo orden en el que aparecen… y utilizarlos todos5. Buscar constantemente operaciones… sin pararse a pensar.6. Buscar una solución por absurda que sea.7. Aplicar el último concepto (operación) aprendido en clase….8. Utilizar estrategias incorrectas con números grandes…

Técnicas creativas para la resolución de problemas matemáticos. Pag (55-56).

José Antonio Fernández Bravo (2000). Monografías Escuela Española. CISS Praxis.

¿Estos errores son propios de los alumnos/as o representan la manera de transmitir el profesor/a las matemáticas?

1313

3.1. ¿Qué es resolver problemas?

1º. Comprensión lingüística

• Longitud de las frases• Número de frases empleadas• Complejidad de las palabras • Verbos que utilizamos• Orden de las situaciones y acciones que tienen lugar. • LENGUAJE CONSISTENTE Y LENGUAJE CONGRUENTE

Implicaciones didácticas

“Yo tengo 2 veces la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes, y cuando tu tengas, la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años”

- Cuidado con los enunciados

- Diferentes formatos de problemas: orales, gráficos y escritos

- Necesidad de diferenciar cuándo hay problemas lingüísticos y cuándo son matemáticos

1414

¿Qué es resolver problemas?

2º. Relaciones y codificación matemáticas

• Relación matemática (estructura matemática y dificultad) • Codificación matemática• Operaciones a realizar • Relación con la experiencia de los alumnos/as• Tamaño de los números• Decodificación matemática

Implicaciones didácticas

Sabiendo que la longitud del monstruo de Leganés es de 20 metros más la mitad de su propia longitud, ¿Cuántos metros mide el monstruo?

Si tengo 10 € /1518 €, ¿Cuánto dinero me falta para poder comprarme el balón del escaparate (15 €) / el coche que quiero (6.859 €)?

- Definir relaciones matemáticas básicas

- Trabajar con variadas situaciones y problemas matemáticos

- Inventar problemas

- Debatir

- Trabajar en grupo

Base de las matemáticas

1515

Un relojero recibe la visita de un cliente que le compra un reloj de 35 €. Le paga con un billete de 50€, pero como no tiene cambio manda al empleado que tiene a la farmacia de al lado para que le cambie el billete. Después de hacerlo, el relojero le da la vuelta de 15 € al cliente y éste se va.

A los 10 m viene la farmacéutica diciendo que el billete que le ha dado su empleado es FALSO, y que le tiene que dar uno de curso legal. El relojero así lo hace. Al cabo de un rato, un pensamiento pasa por su cabeza: “¿he perdido dinero?, ¿cuánto?”.

EL RELOJERO

Ane tiene 30 años y una hija de 5 (Jone). Han salido de compras. Ane ha comprado un televisor de 800 € y ordenador de 600 €. Jone ha comprado 10 gominolas y 5 regalices. ¿...?

1616

Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse. 

- Y qué, ¿te casaste?. - Si,  tengo tres hijas preciosas. - ¿Qué edad tienen?. - Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36 y que la suma es el número de la casa de enfrente.

El amigo saca papel y lápiz, hace unos cálculos y al cabo de unos segundos exclama: - Me faltan datos. - Si, claro, la mayor toca el piano.

LOS DOS MATEMÁTICOS

1717

El hombre precavido

Un hombre sale de casa para comprarse un pantalón. Ya en la tienda, y como es un hombre precavido, sólo se gasta en el pantalón la mitad del dinero que tiene. Camino de casa se encuentra con su madre:

 - “Felicidades cariño” - le dice su madre. Ha sido tu cumpleaños y no te he regalado nada. Toma 60 € y te compras lo que quieras.

 Animado con el dinero que le ha dado su madre, decide comprarse también una camisa. Pero, como es un hombre precavido, de nuevo sólo se gasta en la camisa la mitad del dinero que tiene. Al volver a casa se da cuenta que todavía tiene 100 €. ¿Con cuánto dinero ha salido de casa? ¿Cuánto le han costado el pantalón y la camisa?

Resolución de problemas

1818

•¿Cuántos pares de zapatos son 14 zapatos?

• ¿Cuántos pares de patas tienen dos ovejas grandes?

•Tengo 2 docenas de canicas y compro 8. ¿Cuántas me faltan para 3 docenas?

• ¿Cuántos dedos hay en 4 manos derechas pequeñas?

• En una jaula hay 3 canarios. ¿Cuántas patas tiene cada uno?

• Tengo 6 años menos 2 meses. ¿Cuántos años cumplí la última vez?

• Con 4 peras comieron fruta 8 niños a partes iguales ¿Cuántas peras había?

• En un barco hay 26 corderos y 10 cabras, ¿Cuál es la edad del capitán?

1919

¿Qué es resolver problemas?

3º. Resolución (cálculos)

- cálculo mental- calculadora- lápiz y papel.

Implicación didáctica

- La resolución de problemas se puede trabajar independientemente de los algoritmos.

- Priorizar el cálculo mental y la calculadora

-La calculadora es una herramienta de alfabetización matemática

- EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Los 23 socios de una peña de quinielas se reparten 3.335 €. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno???????

2020

4º.Interpretación de la solución

¿Qué es resolver problemas?

496

498

500

502

504

506

Delitos

2008

2009

1

101

201

301

401

501

601

Delitos

2008

2009

Implicación didáctica

“Somos 10 familiares que vamos a una boda. Tenemos que ir en taxi. ¿Cuántos taxis deberemos coger?”

“ Tengo 10 euros para comprar balones de fútbol. Si cada uno cuesta 4 euros, ¿cuántos podré comprar?”

- Situaciones en las que el resultado de la operación no resuelva el problema

- Investigaciones matemáticas

- Comprobación de la solución

-Trabajar con variadas situaciones y problemas matemáticos

- Debatir y trabajar en grupo

- Importancia de estimar y aproximar

2121

Cuando hablamos de resolución de problemas y criterios metodológicos, nos referimos a pensar:

• qué tipos de problemas hacemos en el aula habitualmente.

• qué papel juega tanto el profesor/a como el alumno/a en la resolución de los problemas 

• el tipo de agrupamiento habitual que hacemos: resuelven problemas individualmente, en parejas, en grupos

• qué tiempo semanal/quincenal dedicamos a la resoluc. de problemas

• qué organización y clima de aula se crea en el aula

• cuál es el eje organizador de las actividades (¿contenidos? ¿competencias?): los problemas siguen a los contenidos o son el inicio de ellos.

3.2. ¿Cómo trabajar la rrpp en el aula? ¿Cuáles son las opciones metodológicas que podemos elegir?.

2222

• casi siempre hago problemas escritos y de una solución única.

• normalmente mando problemas del libro para casa. Cada uno lo hace y se corrige en la pizarra con la clase 

• normalmente los problemas los hace cada uno individualmente y no vale copiar

• casi todos los días hago algún problema

• pido resolución individual, silencio y no vale usar la calculadora

• normalmente los problemas van a continuación de algún contenido que ya he explicado.

TENEMOS UN PROBLEMA

Imaginemos una global:

2323

Estas decisiones metodológicas que hemos adoptado no parecen muy congruentes con las implicaciones didácticas de las que hemos hablado al definir y analizar los diferente elementos de un problema.

Tareas

Herramientas metodológicas

APENAS ESTAMOS TRABAJANDO LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

2424

Metodológicamente, situar la competencia matemática como eje organizador de la resolución de problemas en el aula, supone que :

• planteo diferentes tipos de problemas:

- Orales, gráficos, escritos

- Problemas con datos que sobran, que faltan,…

- Con una solución, con más de una solución, sin solución…

- Problemas de elección, de reestructuración

- Problemas que hay que inventar: a partir una pregunta, de una operación, de unos datos…

- Con diferentes niveles de dificultad

- …

2525

• intento plantear problemas interesante e investigaciones (TAREAS COMPLEJAS), más que “explicarlo todo”.

• intento que el rol más habitual del alumno/a esté orientado a la investigación y al razonamiento (comprender y pensar)

• los problemas se hacen en parejas, utilizando siempre la calculadora y se resuelven entre todos de manera dialógica (intercambio de ideas, conversación... como estrategia habitual de trabajo)

• hay días fijos para hacer SESIONES de resolución de problemas

• no mando problemas para casa (no tiene sentido porque nunca sabes quien los ha hecho y te pierdes el proceso de pensamiento y resolución)

• los problemas se pueden trabajar antes que el contenido (investigaciones operacionales, geométricas…).

• intento fomentar una organización y clima de aula donde la creatividad, la especulación y el intercambio de ideas sean valores matemáticos de aprendizaje (incluido el error).

2626

https://sites.google.com/site/txerrab03resolucionproblemas/

4. PROGRAMAS de TRABAJO en aula sobre razonamiento y resolución de problemas

PROGRAMA DE PROBLEMAS ORALES

PROGRAMA DE PROBLEMAS GRÁFICOS

PROGRAMA DE PROBLEMAS ESCRITOS

SITUACIONES DE APRENDIZAJE Y EVALUACIÓN

SITUACIONES DIGITALES

PROTOCOLOS DE TRABAJO

PROGRAMACIÓN

2727

https://sites.google.com/site/txerrab03resolucionproblemas/

PROGRAMA DE PROBLEMAS ORALES

PROTOCOLOS DE TRABAJO

PROGRAMACIÓN

2828

2929

PROGRAMA DE PROBLEMAS GRÁFICOS

PROTOCOLOS DE TRABAJO

PROGRAMACIÓN

https://sites.google.com/site/txerrab03resolucionproblemas/

3030

PROGRAMA DE PROBLEMAS ESCRITOS

https://sites.google.com/site/txerrab03resolucionproblemas/

PROTOCOLOS DE TRABAJO

PROGRAMACIÓN

3131

SITUACIONES DE APRENDIZAJE Y EVALUACIÓN

- Situaciones de la vida cotidiana: creadas por nosotros/as, evaluaciones diagnósticas de otras comunidades, POLAVIDE

- Situaciones de investigaciones geométricas, operacionales, encuestas, proyectos de trabajo…

- Situaciones más competenciales

PROTOCOLOS LOS DE TRABAJO

PROGRAMACIÓN

https://sites.google.com/site/txerrab03resolucionproblemas/

3232

SITUACIONES DIGITALES Y RECURSOS TIC

- Situaciones creadas a partir de los recursos TIC, ODES, APLETS, …

- Situaciones de investigaciones geométricas, operacionales, numéricas, de medida…

PROTOCOLOS DE TRABAJO PROGRAMACIÓN

https://sites.google.com/site/txerab03situacionesmat/

https://sites.google.com/site/

txerrab03odesmat/

PROBLEMAS EDILIM