Segunda Prueba Selectiva Nacional 2016Guayaquil, viernes 15 de enero del 2016

Problema 1Antonio sube una escalera de 6 escalones, subiendo uno, dos o tres peldanos a la vez en cada paso. ¿De cuantasmaneras puede Antonio subir la escalera?

Problema 2La secuencia de numeros 2, 4, 8, 32, 256, ... cumple que cada termino, a partir del tercero es igual al producto delos dos anteriores. ¿Cual es el dıgito de las unidades del termino que ocupa el lugar 2016?

Problema 3Sea un hexagono ABCDEF tal que las longitudes de sus lados AB, BC, CD y DE son 6, 4, 8 y 9, respec-tivamente. Si se conoce que sus angulos internos miden todos 120o, determinar la longitud de los otros ladosEF,AF.

Problema 4Hallar el valor de la siguiente expresion:

20164 + 4 × 20154

20152 + 40312− 20144 + 4 × 20154

20152 + 40292

Problema 5En el triangulo ABC, ∠CAB = 18o y ∠BCA = 24o. E es un punto sobre CA tal que ∠CEB = 60o y F es unpunto sobre AB tal que ∠AEF = 60o. ¿Cual es la medida, en grados, de ∠BFC?

Problema 6Se tienen tres enteros positivos distintos con suma S y producto P . Se sabe que S es multiplo de cada uno de

estos tres numeros. Demostrar que el cocienteP

Ses un cuadrado perfecto.

Problema 7Los numeros 2, 8, ..., 363 − 1 estan escritos en una pizarra. Se permite borrar dos numeros cualesquiera x y y

que estan escritos en la pizarra y escribir el numeroxy + 1

x + y. La operacion anterior se realiza hasta que queda

un solo numerop

qescrito en la pizarra, donde dicha fraccion es irreducible. Hallar todos los posibles valores de

p + q.

Tiempo de duracion: 3 horasCada problema vale 7 puntos

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