María del Consuelo Valle Espinosa

Estimación por intervalo de confianza

(primera parte)

Instituto Tecnológico Superior de Zacapoaxtla

Departamento de Desarrollo Académico

Estimador puntual de la media de una población

Un estimador es un estadístico cuyos valores dependen de la muestra particular extraída. Se utiliza el valor del

estimador, llamado valor estimado, para predecir un valor de un parámetro poblacional de interés.

Un estimador cuyo valor esperado coincide con el parámetro que se desea estimar se dice que es un

estimador insesgado de dicho parámetro

El error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral.

El error estándar proporcionan una medida sobra la incertidumbre de los datos contenidos en la muestra  

Estimador puntual de la media de una población

Denotemos X1, … , Xn como una muestra extraída de una población cuya media µ es desconocida, se puede utilizar la media muestral como estimador de la media poblacional debido a que:

La desviación estándar de la distribución de muestre o es:

También conocida como error estándar del estimador de la media poblacional .

][XE

nXSD

Ejemplo:Par un mismo individuo se han de realizar distintas mediciones de su nivel de potasio en la sangre debido tanto a la imprecisión del procedimiento de medición como al hecho de que el nivel real varia. Se sabe que sus niveles de potasio varían alrededor de un valor medio µ con una desviación estándar de 0.3, con los siguientes datos estime su nivel medio.

El error estándar de este estimador es:

Por consiguiente, se puede tener una confianza en el que el valor de la media no difiera de 3.6 en más de 0.3.

Si se quiere que el estimador tenga un error estándar de 0.05. Esto supone dividir el error estándar por 3, y por ello se debe extraer una muestra con un tamaño 9 veces mayor. Esto es se debe realizar 36 mediciones.

6.34

5.34.39.36.3

15.023.0

nXSD

Estimador puntual de una proporción de una

población

Supongamos que se intenta estimar la proporción de individuos que están a favor de una determinada propuesta. Denotemos por p a dicha proporción desconocida , seleccionemos una muestra aleatoria, entonces:

Siendo X el número de individuos de la muestra a favor de la propuesta y n el tamaño de la muestra, el error estándar de este estimador es:

nX

p

npp

pSD)1(

Estimador puntual de la varianza poblacional

Si la media de una población µ es conocida, el estimador apropiado de la varianza poblacional es:

Cuando por el contrario, si la media de la población es desconocida, el estimado apropiado es:

n

Xin

i

1

2

11

2

n

XXin

i

Una estimación por intervalo de un parámetro poblacional es un intervalo para el que se predice

que el parámetro está contenido en él. La confianza que se da al intervalo es la probabilidad de que el

intervalo contenga al parámetro.

Intervalos de confianza

Intervalo para la media si se conoce la varianza

Este caso que planteamos es más a nivel teórico que práctico: difícilmente vamos a poder conocer con exactitud la varianza poblacional mientras que μ es desconocida.

Sin embargo nos sirve para introducir el método que permite estimar el intervalo de confianza para las medias.

Por el Teorema Central de Límite sabemos que mientras el tamaño de la muestra implicada sea grande y se conozca la varianza poblacional, la media de los datos obtenidos de las muestras asume una distribución de probabilidad normal, con media, la media poblacional y varianza, la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la muestra.

Con la media muestral se puede construir un intervalo de confianza de la media poblacional µ con un grado de certidumbre asociado del (1- α)%.

Es decir, la media muestral es un estimador, tal que haciendo un muestreo repetidamente y aleatoriamente a la población se espera que el (1- α)% de los intervalos numéricos generados contengan µ , eventualmente el α% no lo hará.

Ejemplo:

Se sabe que una estimación puntual no sesgada de µ es 61. Supóngase que por experiencias anteriores se sabe que X está normalmente distribuida, con desviación estándar de 3. Se quiere construir un intervalo de confianza al 95%

1. Consideremos la partición de la curva normal representada en la siguiente figura.

2. Calculemos los valores en el dominio de la función que permiten tener áreas bajo la curva normal de .025 y .975

El intervalo de confianza buscado será:

Se ha construido un intervalo, de tal forma que podemos confiar en un 95 % que la media poblacional está contenida en él.

Referencia:

ESTADISTICA PARA BIOLOGIA Y CIENCIAS DE LA SALUD 

J.SUSAN MILTON

MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A., 2007

ISBN 9788448159962