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7/17/2019 8-Divisibilidad en Z 2012 Primera Parte
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DIVISIBILIDAD EN ( , , , )ℤ + ⋅ ≤ Fundamentos de la Matemática − 2012
Prof. Gustavo Franco - Prof. Daniel Siberio
INTRODUCCIÓN
Pretendemos en esta sección extender a la estructura de los nmeros enteros
varios de los conce!tos vistos ba"o este mismo t#tulo en la estructura de los
naturales$ as# como tambi%n introducir otros conce!tos nuevos. &omen'aremos
!or definir múltiplo ( divisor )
Definición
Dados dos nmeros enteros a ( b$ diremos *ue a es múltiplo de b$ (
notaremos =i
a b si$ ( solo si$ existe un nmero entero q tal *ue = . .a b q
Dados dos nmeros enteros a ( b$ diremos *ue b es divisor de a o *ue b
divide a a $ ( notaremos b a si$ ( solo si$ a es mlti!lo de b.
(1) Prueba *ue si α β α β ∧ ⇒ + ∀ ∈ ℤ$ $ .x a x b x a b
(2) (i) +as relaciones ,es mlti!lo de ( ,divide a definidas en ℤ$ son
relaciones de orden am!lio/
(ii) n + ≤ℕ $ $$ 3 vimos *ue) ∧ ⇔ = .a b b a a b n + ≤ℤ $ $$ 3$ se cum!le
esta !ro!iedad/
(iii) &om!leta !ara *ue la si4uiente sea una !ro!osición verdadera (
demu%strala)
∈
∧ ⇔
ℤ$
...................
a b
a b b a
Definición
&onsideremos ∈ ℤ$ .a b Diremos *ue a ( b son asociados ⇔ ∧ .a b b a
(3) &uáles son los enteros asociados a un nmero entero a /
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Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ
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Definición
&onsideremos a ∈ ℤ dividendo3 ( b ∈ ℤ divisor3$ tales *ue b ≠ 0 ( =
i
.a b
+lamaremos cociente de la división exacta de a entre b$ al nmero entero q *ue
verifica *ue) = . $a b q ( notaremos) = =) o .a
q a b q b
Parece ra'onable continuar !or definir división entera entre nmeros enteros.
5na !osibilidad !uede ser tomar textualmente la definición vista !ara los
naturales. s decir) = +
⇔ <
a b a bq r
r br q
(4) Si consideráramos la !ro!osición anterior como la definición de
división entera en ℤ$ cuál ser#a el cociente ( el resto de la división entera
de 16 entre 7/ &om!ara tu res!uesta con la de tus com!a8eros$ *u%
!uedes observar/
Teore!
∈
>
ℤ$93
0
a b
b
∃ ∈ = + ∧ ≤ <
ℤ13 $ : 0;3
23 ( son nicos
q r a bq r r b
q r
(") &om!leta la si4uiente demostración)
13 De
&onsideremos el con"unto { }= ∈ = − ∈ℕ ℤ: $ conM m m a bx x . <ntentaremos
!robar *ue M tiene m#nimo ( *ue dic=o m#nimo es r . &omo M es un con"unto
de naturales$ !ara demostrar *ue tiene m#nimo utili'aremos el Princi!io de
>uena ?rdenación)
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Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ
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i3 ⊆ ℕM !or @@@@@.
ii3 Para demostrar *ue ≠ ∅$M distin4uiremos dos casos ≥ ∨ <0 0.a a
Si ≥ 0$a !odemos ase4urar *ue @...∈ $M (a *ue @@@@@@@@@..
Si < 0a ⇒ − ......0.a &omo > 0$b a!licando el teorema de Ar*u#medes1
tenemos *ue) ∃ ∈ − ⇒ −ℕ : ..... ..... .n nb a nb a
scribiendo0
$x n = − tenemos *ue)0
..... ..... ............ .x b a a M ⇒ − ∈ ⇒ ∈ℕ
⇒ ∃ P.>.?.
De i3
m#n . ii3 M Al m#nimo de M lo denominaremos r ( !robaremos *ue
verifica las condiciones ex!uestas en la tesis.
= ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∃ ∈ = ⇒ =ℕ ℤm# n ....... : ............... ................r M r r q r a
Falta an demostrar *ue ≤ <0 .r b
≥ 0$r (a *ue@@@@@ Por lo tanto solo *ueda !robar *ue < $r b lo cual
=aremos !or reducción al absurdo.
Su!on4amos *ue ≥ .r b
≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ = ⇒ − ∈ ⇒ = − + ∈ℕ..... ............ ...........3 ......... 13 ......r b a bq a b a k a q b
(#) &uál es la contradicción a la *ue se arriba/
($) Demuestra la unicidad de q ( r .
Definición
Sean ∈ ∧ >ℤ$ 0.a b b Beali'ar la división entera de a entre b es encontrar
∈ ℤ$q r tales *ue) = + ∧ ≤ < 0 .a bq r r b
1 Teore! (%e Ar&'e%e)) +
∀ ∈ ∃ ∈ ⋅ >ℝ ℕ$ $ $a b n n a b
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Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ
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No*!
Puede definirse la división entera !ara cual*uier entero b no nulo no solamente
!ara los !ositivos3 sustitu(endo la se4unda condición !or) ≤ <0 .r b
+-I+O CO+.N DIVISOR / +0NI+O CO+.N +.LTILO
Antes de comen'ar con el tratamiento de los temas de esta sección necesitamos
ver$ !or ra'ones t%cnicas$ al4unos conce!tos de estructuras al4ebraicas referidos
a los anillos.
Definición
&onsideremos + $ $3A un anillo conmutativo ( con elemento unidad$ e I un
con"unto no vac#o incluido en A.
Diremos *ue I es un ideal en + ∈ ∀ ∈
+ ⇔ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
1 2 1 213 $ $
$ $323 . $ $
x x I x x I A
a x I x I a A
() (i) l con"unto de los enteros !ares$ es un ideal en ( )$ $. /+ℤ C el
con"unto de los im!ares/
(ii) >rinda e"em!los de ideales en ( )$ $. .+ℤ
() Prueba *ue si + $ $3A es un anillo conmutativo ( con unidad$ e I un
ideal cual*uiera en + $ $3$A se cum!le *ue)
(i) { }0 ( A son ideales en + $ $3$A cual*uiera *ue sea el anillo de
referencia. Por este motivo se los denominan ideales triviales en A.
(ii) Si ∈ ⇒ − ∈ .x I x I
(iii) 0 ∈ I .
(i) Si ∈ ⇒ =1 .I I A
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Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ
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() { j I es una familia de ideales en $ $3A + ⇒ ∩ j
I es un ideal en $ $3.A +
(i) &onsideremos { }=
1 2$ $...$ pS a a a
un subcon"unto finito deA
( el
con"unto α α =
= ∈ = ∈
∑
1
3 $ $ conp
i i i i
I S x A x a A
ntonces 3I S es un ideal en $ $3$A + al *ue llamaremos ideal
generado !or S .
Definición
Diremos *ue un ideal es principal si está 4enerado !or un con"unto unitario.
As# !or e"em!lo el ideal de los !ares es !rinci!al !ues está 4enerado !or { }2 . Si
un ideal está 4enerado !or { }a anotaremos I a 3 en lu4ar de { }( )I a con el fin de
sim!lificar la notación.
(15) +os e"em!los de ideales en ( )$ $.+ℤ *ue diste en la actividad E3 ii3$
son !rinci!ales/
Teore!
n + ≤ℤ $ $$ 3 todo ideal es !rinci!al.
(11) &om!leta la si4uiente demostración)
De
&onsideremos un ideal I en ( )$ $. .+ℤ Debemos !robar *ue I es !rinci!al.
Distin4uiremos dos casos) { } { }= ∨ ≠0 0 .I I
Si { }= 0 $I entonces @@@@@@@.
{ }≠ 0 $I !robaremos *ue = 3$I I c siendo += ∩ ℤm# n .c I
&omencemos !or !robar *ue existe el m#nimo de +∩ ℤ $I !ara lo cual
utili'aremos el Princi!io de >uena ?rdenación.
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Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ
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13 +∩ ⊆ℤ ℕ$I !ues@@@@@@@@@@@@
23 Probemos a=ora *ue +∩ ≠ ∅ℤ .I
&omo {≠ ⇒ ∃ ∈ ≠0 $ 0.I a I a
Además$ como I es un ideal$ entonces tambi%n − ∈ .a I Por otra !arte$ como
≠ 0$a a o a es !ositivo. n consecuencia@@@@@@... !ertenece a +∩ ℤ .I
Por 13$ 23 ( !or el P.>.?.$ !odemos afirmar *ue +∃ ∩ ℤm# n $I al *ue
denominamos c .
A continuación !robaremos *ue 3 $I c I = !ara lo cual demostraremos la doble
inclusión)
∀ ∈ ⇒ ∈
∀ ∈ ⇒ ∈
i3 3
ii3 3
x I c x I
x I x I c
i3+
∀ ∈ ⇒ = ⋅ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒
= ∩ ⇒ ∈
ℤℤ
ℤ es ideal de
3 ....$ con.......$ ..............
&omo m # n I
x I c x a a ac a
c I c I ℤ
ii3 A=ora debemos !robar *ue ∀ ∈ $x I entonces ∈ 3Hx I c o lo *ue es lo mismo
*ue•
= .x c Para ello reali'aremos la división entera de x entre c (
demostraremos *ue el resto es cero.
= +⇒
≤ <
0
x c x cq r
r c r q
A continuación reali'aremos un ra'onamiento !or reducción al absurdo !ara
!robar *ue r = 0. Su!on4amos *ue ≠ 0.r
( )0Si 0 ........ Ir r r ≥≠ ⇒ ∈
( ) ( )....... como
&omo m # n
es un ideal en $ $. ...... ...... ......
......
x I
r x c
c I c I
I cq cq x cq
q
x cq
ℤ
ℤ
+
∈
= −
= ∩ ⇒ ∈
+ ⇒ ∈ ⇒− ∈ ⇒ + − ∈ ⇒∈
⇒ − ∈ ⇒
ℤ
............ ...... ...... .
q I ℤ
+∈ ⇒ ∈ ∩
(12) &uál es la contradicción a la *ue se arriba/
Por lo tanto) 0 3.x cq r
r x cq x I c = +
= ⇒ = ⇒ ∈ JD
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No*!
n + ≤ℕ $ $$ 3 definimos) ( )M&D $ 3 má x 3 3 $a b d a d b= ∩ ( lue4o demostramos
*uei3
M&D $ 3ii3 $
D a D ba b D
x x a x b x D
∧= ⇔
∀ ∈ ∧ ⇒ ℕ
n $ $$ 3+ ≤ℤ nos es !osible considerar cual*uiera de las dos !ro!osiciones
anteriores como !osibles definiciones de máximo comn divisor. ?!taremos !or
la se4unda !ara allanar el camino !ara cuando el tema sea tratado en
!olinomiosH (a *ue en esa estructura no se dis!one de una relación de orden ,≤
*ue nos !ermita definir el máximo comn divisor en forma análo4a a como lo
=icimos en + ≤ℕ $ $$ 3.
Por lo tanto veamos el si4uiente)
Teore!
2 2i3
Dados $ $ 0 tal *ue
ii3 $
D a D ba b a b D
x x a x b x D
∧∈ + ≠ ⇒ ∃ ∈
∀ ∈ ∧ ⇒
ℤ ℤℤ
(13) &om!leta la si4uiente demostración.
De
&onsideremos el ideal 4enerado !or { }$a b al *ue notaremos) $ 3.I a b
{ }= ∈ = + ∈ℤ ℤ $ 3 $ $ con $I a b x x pa sb p s
&omo en ℤ todo ideal es !rinci!al$ !odemos afirmar *ue = $ 3 3$I a b I d con
= m# n.....................d Demostraremos *ue ,d es el ,D de la tesisH !ara lo
cual debemos !robar)
i3 ∧ .d a d b
ii3 ∀ ∈ ∧ ⇒ℤ$ .x x a x b x d
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i3 ∈ = $ 3 3$a I a b I d (a *ue@@@@@@@@@@@@@@@..
Por lo tanto$ como
•
∈ = ⇒ = ⇒ $ 3 3 ...... ...... .
a I a b I d a a
Análo4amente se demuestra *ue .d b
ii3 ∈ = ⇒ ∃ ∈ =ℤ0 0
3 $ 3 $ tal *ue ....................d I d I a b p s d
Por otra !arte$ ∀ ∈ ∧ ⇒ ⇒ℤ$ ................... .x x a x b x x d
JD
Definición&onsideremos 2 2$ $ 0.a b a b∈ + ≠ℤ Diremos *ue D es máximo común divisor
M&D3 entre a ( b si$ ( solo si) ∧
∀ ∈ ∧ ⇒ ℤ
i3
ii3 $
D a D b
x x a x b x D
(14) ;eniendo en cuenta la demostración del teorema anterior$ !rueba
*ue si D ∈ ℤ
+
es M&D entre dos enteros a ( b no nulos
simultáneamente3$ entonces D se !uede escribir como combinación lineal
de a ( b. s decir) consideremos 2 2$ $ 0.a b a b∈ + ≠ℤ
+∈ ⇒ ∃ ∈ = +ℤes M&D entre ( $ $ .D a b p s D pa sbℤ
l teorema inmediato anterior nos ase4ura la existencia de un máximo comn
divisor entre dos enteros no simultáneamente nulos$ !ero nada nos dice acerca
de su unicidad.
(1") (i) 9alla el máximo comn divisor entre 1 ( 26.
(ii) &om!ara tu res!uesta con la de tus com!a8eros. Ju% observas/
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Teore!
&onsideremos 2 2$ $ 0.a b a b∈ + ≠ℤ Si D ( D son M&D entre a ( b$ entonces D (
D son asociados.
De
D es M&D entre a ( b ∧
⇒ ∀ ∈ ∧ ⇒
ℤ
13
$ 23
D a D b
x x a x b x D
D es M&D entre a ( b ∧
⇒ ∀ ∈ ∧ ⇒ ℤN N 73
$ N 63
D a D b
x x a x b x D
(1#) A !artir de las !ro!osiciones 13 a 63$ demuestra *ue ∧N ND D D D
(1$) Prueba *ue)
⇒
es M&D entre (
N es M&D entre (N asociado a
D a b
D a bD D
(1) A !artir del teorema anterior ( de la !ro!osición de la actividad
1K3$ *u% !uedes afirmar en relación a los M&D entre dos enteros a ( b
no nulos simultáneamente3/ Oustifica.
(1) n la actividad 163 !robaste *ue si D ∈ ℤ+
es M&D entre dos
enteros a ( b no nulos simultáneamente3$ entonces D se !uede escribir
como combinación lineal de a ( b$ sucede lo mismo si D ∈ ℤ/
As# como dimos una definición de M&D inde!endiente de la relación ,≤
=aremos lo mismo con la definición de m#nimo comn mlti!lo.
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Teore!
93 I$a b ∈ ℤ ;3
• •
• • •
= ∧ =
∃ ∈ ∀ ∈ = ∧ = ⇒ =
ℤℤ
i3tal *ue)
ii3 H
m a m bm
x x a x b x m
De
&onsideremos• •
= ∈ = ∧ =
ℤ$ .H x x a x b
(25) (i) erifica *ue H es un ideal en ( )$ $. .+ℤ
(ii) Si H es un ideal en ( )$ $. $+ℤ *u% !uedes afirmar sobre H /
Por lo tanto) ( )$ 3$ con m#n .m H I m m H +∃ ∈ = = ∩ℤ ℤ
(21) Prueba a continuación *ue se cum!len las !ro!osiciones i3 ( ii3 de la
tesis.
DefiniciónSean a ( b dos enteros no nulos. Diremos *ue m ∈ ℤ 3m es mínimo común
múltiplo mcm3 entre a ( b si$ ( solo si)
• •
• • •
= ∧ =
∀ ∈ = ∧ = ⇒ =
ℤ
i3
ii3 $
m a m b
x x a x b x m
Dados dos enteros a ( b no nulos$ el teorema inmediato anterior nos ase4ura la
existencia de un m#nimo comn mlti!loH nada nos dice acerca de su unicidad.
(22) (i) 9alla el mcm entre 12 ( -1. &om!ara tu res!uesta con la de tus
com!a8eros. Ju% observas/
(ii) Ju% !uedes con"eturar con res!ecto a la cantidad de mcm entre dos
enteros a ( b no nulos/ &ómo son entre s# estos mcm/
(iii) Prueba tu con"etura.
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Definición
&onsideremos ∈ ℤ$ .a b Diremos *ue a ( b son primos entre sí si$ ( solo si$ 1
es M&D entre a ( b.
&onsideremos $ 0 1 1.p p p p∈ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ −ℤ Diremos *ue p es primo si$ (
solo si$ { }= − − 3 1$ 1$ $ .d p p p
Teore! %e E'c6i%e
⇒
.( !rimos entre s#
c ab c ba c
De
&omo a ( c son !rimos entre s#$ 1 es M&D entre a ( c . ntonces existen
∈ = +ℤ$ $ 1 .p s pa sc Multi!licando ambos miembros !or b tenemos *ue)
= + .b pba sbc
(23) ;ermina la demostración anterior.
Coro6!rio
∈ ⇒ ∨
$ !rimop pp a p b
p ab
ℤ
(24) Demuestra el corolario anterior.
+7 !c*ii%!%e
( ) Demuestra la si4uiente !ro!osición ) ( !rimos entre s# .
a ba b c
a c b c
1 ⇒
∧
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Divisibilidad en + ⋅ ≤ $ $ $ 3ℤ
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(2) Demuestra)
⇒
es M&D entre ( .
es M&D entre (
a b
D b r r q
D a b
(3) Prueba *ue el al4oritmo de uclides !ara =allar el máximo comn divisor
entre dos naturales$ tambi%n es válido !ara =allar un máximo comn divisor
entre dos enteros.
(4) (i) Anali'a el valor de verdad de la si4uiente !ro!osición)
= ∩ ⇔má x 3 3 es M&D entre ( .
D d a d b D a b
(ii) Si el directo o el rec#!roco es verdadero$ !ru%balo.
(iii) ?curre al4o similar con el mcm/
(") Demuestra *ue si D es M&D entre a ( b$ entonces Dx es M&D entre ax ( bx
( )∈ ℤIcon .x
(#) &om!leta ( demuestra)
⇒
es M&D entre (es M&D entre .....................
D a b D x a
x x b
($) Demuestra *ue si D es M&D entre a ( b
=
⇒ =
N
N
N ( N !rimos entre s#
a Da
b Db
a b
() Prueba *ue si D es M&D entre a ( b −
⇒
− −
es M&D entre (
es M&D entre (
D a b
D a b
() Prueba *ue si m es mcm entre a ( b −
⇒ − −
es mcm entre (
es mcm entre (
m a b
m a b
(15) Demuestra *ue si D es M&D entre a ( b$ ( m es mcm entre a b$
entonces =. . .m D a b