Post on 28-Oct-2014
Academia Preuniversitaria "ADUNI" Ingenieros. Preparación Exclusiva para la UNT…!
Docente: Ing. Miguel Gonzáles López
CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del
plano R2, de tal manera que se mueve manteniéndose siempre
igual a una cantidad constante r (r radio) de un punto fijo C
del plano denominado centro de la misma. Es decir:
2P( , ) R / d (C,P) rx y CELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
L N
L T
B
O E A
U
C r
X
Y
• C Centro de la circunferencia
• CU Radio (CU = r)
• BO Cuerda
• AE Diámetro
• NL Recta Normal
• TL Recta Tangente
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA
1. Forma Canónica: Es la ecuación de la circunferencia con
centro en el origen.
(0 ;0 )
P ( ; )x y
X
Y
r x
y
r
2 2 2rx y
2. Forma Ordinaria: Si el centro de la circunferencia no está
en el origen de coordenadas, sino en el punto C(h; k) y es de
radio r; entonces la ecuación de la circunferencia será:
Y
X
k
r
P ( , )x y
y– kC (h k)
H
E n la figu ra :
C entro : C (h ,k)
R ad io: r
P un to G en érico: P ( , )x y
2 2 2( h) ( k) rx y
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
Si se desarrolla la ecuación ordinaria de la circunferencia se
obtiene la ecuación general:
Para pasar de la ecuación ordinaria a la ecuación general:
2 2 D E F 0x y x y
2 2 2( h) ( k)x y r 2 2 2 2 22 h h 2 k k r 0x x y y 2 2 2 2 22 h 2 k (h k r ) 0x y y y
De donde:
D 2h E 2k 2 2 2F h k r
También:
Dh
2
Ek
2
2 2D E 4Fr
2
Problema Desarrollado
1. Demostrar que la ecuación de la circunferencia, donde los
puntos 1 2A( ; )a a y 1 2B( , )b b
son extremos de uno de los
diámetros, es:
22 2 21 1 2 21 1 2 2 ( )
2 2 4
a b a ba b a bx y
Resolución:
(b ,b )1 2
A (a ,a )1 2
C (h ,k)
r
r
r
Y
X 0
B
Por punto medio del AB , se tiene:
1 1 2 2h k2 2
a b a b
Por distancia entre dos puntos:
2 21 1 2 22r (A,B)d a b a b
2 21 1 2 2
1r
2a b a b
Luego la ecuación de la circunferencia es:2 2
1 1 2 2 2r2 2
a b a bx y
2 22 21 1 2 21 1 2 2
2 2 4
a b a ba b a bx y
Problema por Desarrollar.
1. Demostrar que la ecuación de la circunferencia de centro (h,
k) y que pasa por un punto (a, b) es:
2 2 2 2h kx a y b a b
Resolución:
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GEOMETRÍA
TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Academia Preuniversitaria "ADUNI" Ingenieros. Preparación Exclusiva para la UNT…!PRACTICA
1. Si R = 7 y OA = 25, calcular la ecuación de la circunferencia.Y
X 0
A R
Rpta:
2. En la figura, OP = 12 y O: centro. Calcular la ecuación de la
circunferencia.
r
P X
Y
0 3 0 º
Rpta:
3. La ecuación de una circunferencia es:
223 6 7x y
Hallar el centro y el radio.
Rpta:
4. La ecuación de una circunferencia es:
222 4 9x y
Hallar el centro y el radio.
Rpta.:
5. Hallar el área de la región sombreada.
0
Y
X
( + 1 0 ) + ( – 8 ) = 4x y2 2
Rpta:
6. Hallar el área de la región triangular sombreada.
Y
X H 0
A
B
x + y – 1 6 – 2 0 + 13 9 = 02 x y2
Rpta:
7. Calcular la ecuación de la circunferencia, si el área de la
región triangular equilátera OAB es 24 3u
(P es punto de
tangencia)
A
B
P 0
Y
X
r
Rpta:
8. Se tiene la circunferencia:
2 2 4 6 12 0x y x y
Hallar el perímetro del cuadrado circunscrito a dicha
circunferencia.
Rpta:
9. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C(2,– 2) y
es tangente a la recta: L: 3x + 4y – 8 = 0
Rpta:
10. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (–
1,1) que es tangente a la recta que pasa por (4,0) y (0,– 4).
Rpta:
11. En la figura, OABC es un rombo y P, Q y R puntos de
tangencia. Sabiendo que OL = 10 y OC = 5, calcule la
ecuación de la circunferencia .
0 C
R
P
Q
B
X
Y
A
L
Rpta:
12. En la figura T es punto de tangencia, A = (0 ,8) y B =
(0,2). Determine la ecuación de la circunferencia C .
A
B T
Y
X
Rpta:
13. Se tiene la C : 2 212 16 75 0x x y y
.
Calcule la ecuación de la recta que pasa por el centro de C y el punto P(0,3):
Rpta:
14. En el gráfico, la ecuación de la recta es 3
: 124x
y L, calcule la ecuación de la circunferencia
C .
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X (8 ,1 )
Rpta:
15. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por
el punto A(0,2) y es tangente en el origen a la recta L: y = –
2x.
Rpta:
16. Calcular la ecuación de la circunferencia inscrita en el
cuadrado ABCD si los puntos A(–1,2) y C(7,–6) son los
extremos de una de las diagonales del cuadrado.
Rpta:
17. Hallar el valor de k para que la circunferencia 2 22 2 5k 8 10 0x y x y
, represente a una
circunferencia.
Rpta:
18. Calcular el radio de la circunferencia2 2 ( 4) 0x y n x ny y
, cuyo centro pertenece a
la recta del la ecuación: 3 4 0x y
.
Rpta:
19. Una circunferencia de radio 2 2m
, tiene su centro
en la recta L : 4x + 3y = 2 y es tangente a la recta
1L : 4 0x y . Calcular la suma de las abscisas de los
posibles centros de la circunferencia.
Rpta:
20. En el gráfico, T es punto de tangencia si P Q 6 3
,
determine la ecuación de la circunferencia.
30 º
P
Q T
Rpta:
21. Calcular m, si el punto (2;3) pertenece a la
circunferencia:
2 2 2 25 0x y x my
A) 12 B) 14 C) – 14 D) – 12 E) 16
22. Hallar la ecuación de la circunferencia que es
tangente a la recta 4x + 3y + 2 = 0 y su centro pertenece
a las rectas x + y = 4 y 3x = y.
A) 2 2 9 0x y x y
B)2 2 2 6 7 0x y x y
C) 2 2 5 2 3 0x y x y D)
2 2 2 6 1 0x y x y
E) 2 2 9 0x y
23. En la figura, L: y = 2x – 4. Calcule la pendiente de la
recta 1L .
L 1A (0 ,a )
C (h ,k)
L
2
A) 9/11 B) 5/3 C) 4/3 D) 3/4 E) 1/2
24. En el gráfico R, S y T son puntos de tangencia. Si r = 2
y B(12,0); calcule la ecuación de la circunferencia de
diámetro TC.Y
X
A
B
C
R
0 T
S
A) 2 2 10 24 2 0x y x y y
B) 2 2 14 24 29 0x y x y
C) 2 2 14 14 24 0x y x y
D) 2 2 16 24 28 0x y x y
E) 2 2 14 24 20 0x y x y
25. Según la figura, la BK 74ºm
, OE = EB y KO =
20. Halle la ecuación de la circunferencia C . Y
X K
E
B
0
A) 224 6 18x y
B) 224 8 20x y
C) 226 4 16x y
D) 226 8 18x y
E) 224 6 16x y
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