Algoritmos de Propagación - Capi 7 Apt.

Introduccion Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genericos de Iteracion Algoritmos de Propagacion de Restricciones

PROGRAMACION POR RESTRCCIONESALGORITMOS DE PROPAGACION

CAPITULO 7 APT K.

Jhon Trujillo

Universidad Del Valle - Cali

jhon.trujillo@univalle.edu.co - jhon.murdock@gmail.com

29 de mayo de 2014

PlanIntroduccion

Fundamentos Formales DiscretosRelaciones BinariasOrdenamiento ParcialIteracionEstabilizacionConmutatividad

Algoritmos Genericos de IteracionAlgoritmos para Ordenes Parciales ArbitrariosAlgoritmos para Dominios Compuestos

Algoritmos de Propagacion de RestriccionesGeneralidadesAlgoritmo para Nodo-consistenciaAlgoritmo para Hiper arco-consistenciaAlgoritmo para Arco-consistencia DireccionalAlgoritmo para Ruta-consistenciaAlgoritmo para Ruta-consistencia Direccional

PlanIntroduccion

Propagacion De Restricciones

Dado un problema de satisfaccion de restricciones (CSP):

• Propagar : La idea es reducir repetidamente las restricciones y losdominios del CSP hasta llegar a un CPS localmente consistente.

• Algoritmos de propagacion de restricciones: Consisten en laplanificacion de los pasos atomicos(iteraciones) de reduccion.

• El criterio de parada es alguna nocion de consistencia local.

• Los algoritmos de propagacion de restricciones son presentadoscomo casos especiales de algoritmos genericos de iteracion.

Introduccion

• Los algoritmos que logran consistencia locales se llaman algoritmosde propagacion sobre restricciones.

• Vamos a ver varios algoritmos de propagacion sobre restricciones.

• Usando reglas definidas se pueden construir algoritmos iterativos queayudan a reducir un CSP P en otro P ′ equivalente.

• ¿Como organizar la aplicacion de estas reglas ?

• Tener un bajo costo al aplicar las relgas.

• Tener un resultado unico en el menor tiempo.

Introduccion

PlanIntroduccion

Relaciones Binarias

Dada una relacion binaria R sobre un conjunto D :

• reflexiva : si (a, a) ∈ R para cada a ∈ D

Ejemplo

• Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relacion ≤• R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.• Se presenta una relacion reflexiva ya que existen las relaciones

(1, 1), (2, 2), (3, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 1), (2, 2), (3, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 1), (2, 2), (3, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

• irreflexiva : si (a, a) 6∈ R para cada a ∈ D

Ejemplo

• Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relacion <

• R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.• Se presenta una relacion irreflexiva ya que existen las relaciones

(1, 2), (1, 3), (2, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 2), (1, 3), (2, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 2), (1, 3), (2, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 2), (1, 3), (2, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

• Antisimetrica : si para cada a, b ∈ D siempre que (a, b) ∈ R y(b, a) ∈ R entonces a = b

Lo que es equivalente a decir:

• Dada la relacion R(a, b) con a 6= b entonces la relacion R(b, a) noexiste.

Ejemplo

• Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relacion ≤• R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 1)}.• No presenta una relacion Antisimetrica ya que existen las relaciones

(1, 3), (3, 1) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

Relaciones Binarias

Ejemplo

Relaciones Binarias

Ejemplo

Relaciones Binarias

Ejemplo

Relaciones Binarias

• Transitiva : si para todo a, b, c ∈ D siempre que (a, b) ∈ R y(b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R

Ejemplo

• Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relacion ≤• R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1)}.• Representa una relacion Transitiva ya que existen las relaciones

(1, 2), (2, 3)y(1, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 2), (2, 3)y(1, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 2), (2, 3)y(1, 3) en la relacion.

Relaciones Binarias

Ejemplo

(1, 2), (2, 3)y(1, 3) en la relacion.

PlanIntroduccion

Ordenamiento Parcial

• Un orden parcial es una pareja (D,v) que consiste de un conjuntoD y una relacion reflexiva, antisimetrica y transitiva v sobre D.

• Dado un orden parcial (D,v), un elemento d de D es llamado elmenor elemento si d v e para todo e ∈ D.

Descripcion

• Dado el orden parcial : {e1, e2, e3, ..., en} bajo una relacion v• Entonces d v e1, d v e2, ..., d v en

Descripcion

PlanIntroduccion

Iteracion

Dado un orden parcial (D,v) cuyo elemento menor es ⊥ y un conjuntode funciones F = {f1, ..., fk} sobre D:

• Una iteracion de F es una secuencia infinita de valores d0, d1, d2, ...definida por

d0 =⊥dj = fij (dj−1)

donde cada j > 0 y ij ∈ [1..k].

• El resultado de dj depende del valor anterior despues de haberaplicado una determinada funcion fij a dj−1

Iteracion

Dado un orden parcial (D,v) cuyo elemento menor es ⊥ y un conjuntode funciones F = {f1, ..., fk} sobre D:

• Una iteracion de F es una secuencia infinita de valores d0, d1, d2, ...definida por

d0 =⊥dj = fij (dj−1)

donde cada j > 0 y ij ∈ [1..k].

• El resultado de dj depende del valor anterior despues de haberaplicado una determinada funcion fij a dj−1

PlanIntroduccion

Estabilizacion

Dado un orden parcial (D,v) y funciones f ,g sobre D .

• f es inflacionaria si x v f (x).

• f es monotonica si x v y implica f (x) v f (y).

• f es idempotente si ff (x) = f (x).

• f y g conmutan si fg(x) = gf (x).

• f semi-conmutan con g si fg(x) v gf (x).

Estabilizacion

Estabilizacion - Lema

Dados:

• (D,v) cuyo menor elemento es ⊥ y.

• Un conjunto finito F de funciones monotonicas sobre D.

Suponiendo que una iteracion de F eventualmente estabiliza a unfixpoint comun d de las funciones de F . Luego, d es el menor fixpointcomun de las funciones F .

Dados:

Estabilizacion: FixPoint

• Dado un orden parcial (D,v) y una funcion f sobre D, se tiene que:

• a es un FixPoint de f si f (a) = a.(La funcion f no tiene ningun efecto sobre a ).

• a es el menor FixPoint de f si a es el ultimo elemento del conjunto{x ∈ D | f (x) = x}.(Dada una secuencia de FixtPoints = [a1, a2, ..., an] ; an seria

el menor FixPoint) .

• Una secuencia creciente d0, d1, d2... eventualmente estabiliza a d sipara algun j > 0

F (di ) = d para i ≥ 0

• Despues de ejecutar un numero de iteraciones sobre la secuenciad0, d1, d2... ninguna de las funciones genera un efecto o cambiosobre los valores de la secuencia.

• Siempre se va a obtener el valor d .

• Una secuencia creciente d0, d1, d2... eventualmente estabiliza a d sipara algun j > 0

F (di ) = d para i ≥ 0

• Despues de ejecutar un numero de iteraciones sobre la secuenciad0, d1, d2... ninguna de las funciones genera un efecto o cambiosobre los valores de la secuencia.

• Siempre se va a obtener el valor d .

PlanIntroduccion

Conmutatividad

Dados:

• (D,v) cuyo menor elemento es ⊥ y,

• Un conjunto finito F = {f1, ..., fk} de funciones sobre sobre D talesque:

• Cada f ∈ F es monotonica e idempotente.• Cada f , g ∈ F conmutan.

Conmutatividad

Dados:

Conmutatividad

Dados:

Semi-Conmutatividad

Dados:

• Cada fi ∈ F es monotonica, inflacionaria e idempotente.• Cada fi ∈ F semi-conmutan con fj para i > j , esto es,

fi fj(x) v fj fi (x) para todo x .

Se mantiene un orden parcial entre fi fj(x) v fj fi (x).

Semi-Conmutatividad

Dados:

Semi-Conmutatividad

Dados:

Semi-Conmutatividad

Dados:

Semi-Conmutatividad

Dados:

Semi-Conmutatividad

Dados:

PlanIntroduccion

Algoritmos para Ordenes Parciales Arbitrarios

Dado un ordenamiento Parcial (D,v) con un elemento ⊥ y un conjuntode funciones F : {f1, ..., fk} en D.

• Deseamos calcular un FixPoint comun de las funciones en F usandolos conceptos mencionados anteriormente.

• El FixPoint se calcular con el siguiente algoritmo: AlgoritmoIteracion directa .

Algoritmo Iteracion Directa

Algoritmo Iteracion directa

Algoritmo Iteracion Directa

Lema : Algoritmo Iteracion directa

Suponga que (D,v) es un orden parcial cuyo menor elemento es ⊥. SeaF un conjunto finito de funciones monotonicas e idempotentes sobre Dque conmutan entre sı. Luego, el algoritmo de Iteracion Directa siempretermina y calcula en d el menor fixpoint de las funciones en F.

Algoritmo Iteracion Simple

Ahora, consideremos el siguiente algoritmo, en el cual, cada elemento dela funcion F = {f1, ..., fk} es aplicado solamente una ves pero con unorden especifico.

Lema : Algoritmo Iteracion Simple

Suponga que (D,v) es un orden parcial cuyo menor elemento es ⊥. SeaF un conjunto finito de funciones monotonicas ,inflacionarias eidempotentes sobre D tales que se cumple :

fi fj(x) v fj fi (x) para todo x . (Semi-Conmutatividad)

Luego, el algoritmo de Iteracion Simple siempre termina y calcula en del menor fixpoint de las funciones en F.

Algoritmo Iteracion General

• Un caso general, en el cual no hay informacion sobre lasemi-conmutatividad de las funciones es tratado de la siguientemanera: Algoritmo de Iteracion General

• Dados :

• (D,v) cuyo menor elemento es ⊥ y,• Un conjunto funcion F = {f1, ..., fk} de funciones sobre D.

• Dados :

update(G , g , d) : Es el conjunto de las funciones que aun no estabilizana un menor fixpoint y no semi-comuntan.

Lema : Algoritmo Iteracion General

Suponga que (D,v) es un orden parcial cuyo menor elemento es ⊥. SeaF un conjunto finito de funciones monotonicas ,inflacionarias eidempotentes sobre D tales que se cumple :

fi fj(x) v fj fi (x) para todo x . (Semi-Conmutatividad)

Luego, el algoritmo de Iteracion Simple siempre termina y calcula en del menor fixpoint de las funciones en F.

PlanIntroduccion

Dominios Compuestos

Producto Cartesiano de Ordenes Parciales

• En el contexto de programacion por restricciones, las iteraciones sonllevadas a cabo sobre un orden parcial que es el producto cartesianode ordenes parciales.

(D,v) es el producto cartesiano de los ordenes parciales (D1,v1), ..., (Dn,vn)

• Dado (D,v) el cual es el producto cartesiano de los ordenesparciales (Di ,vi )i ∈ [1..n], con unos elementos mınimos ⊥i .

• Entonces podemos decir que : D = Dix , ..., xDn donde cada Di tieneun elemento mınimo ⊥i . (⊥i , ... ⊥n) es el elemento mınimo de D.

Dominios Compuestos

Esquemas

Considere una secuencia de ordenes parciales (D1,v1), ..., (Dn,vn)

• Un esquema en n corresponde a una secuencia creciente deelementos de [1..n] diferentes.

• Dado un esquema s = i1, ..., il en n, (Ds ,vs) corresponde alproducto cartesiano de los ordenes parciales (D1,v1), ..., (Dn,vn).

• Dada una funcion f en Ds , entonces f esta con esquema s y fdepende de i si i es un elemento de s.

• Dada una tupla d = d1, ..., dn de D y un esquema s = [i1, ..., il ] enn, d [s] denota la tupla di1 , ..., dij .

Dominios Compuestos

Esquemas

Dominios Compuestos

Esquemas

Dominios Compuestos

Esquemas

Dominios Compuestos

Esquemas

Dominios Compuestos

Extension canonicaConsidere una secuencia de ordenes parciales (D1,v1), ..., (Dn,vn)

• Considere una funcion f con esquema s. Esta funcion puede serextendida canonicamente a la funcion f + de D a D estableciendoque para d ∈ D.

f +(d) = e

• la funcion f + se aplica sobre todos los elementos de Dindependientemente que tenga un efecto o no sobre estos elementos.

• Llamamos f + la extension canonica de f al dominio D.

Dominios Compuestos

f +(d) = e

Dominios Compuestos

f +(d) = e

Dominios Compuestos

f +(d) = e

Dominios Compuestos

Reglas sobre f +

Considere una secuencia de ordenes parciales (D1,v1), ..., (Dn,vn) y suproducto cartesiano (D,v). Dadas dos funciones f , g sobre esquemas.

• f y g conmuntan si f + y g+ conmutan, esto es si :

f +g+(d) = g+f +(d)

Para todo d ∈ D.

• f semi-conmuta con g, si f + semi-conmuta con g+ esto es si

f +g+(d) v g+f +(d)

Para todo d ∈ D.

Dominios Compuestos

Algoritmo DIRECT ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS(DICD)

Considere el producto cartesiano (D,v) de una secuencia de ordenesparciales y un conjunto finito F0 de funciones con esquemas.

Dominios Compuestos

Algoritmo DIRECT ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS(DICD)

Suponga que (D,v) es un orden parcial que es el producto cartesiano den ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento parai ∈ [1..n]. Sea F0 un conjunto finito de funciones con esquemasmonotonicas e idempotentes que conmutan entre sı. Luego, el algoritmoDICD siempre termina y calcula en d el menor fixpoint de las funcionesde F = f + mın f ∈ F0.

Dominios Compuestos

Algoritmo SIMPLE ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS(SICD)

Dominios Compuestos

Algoritmo Iteracion Simple Dominios Compuestos - Lema(SICD)

Suponga que (D,v) es un orden parcial que es el producto cartesiano den ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento parai ∈ [1..n]. Sea F 0 = {f1, ..., fk} un conjunto finito de funciones conesquemas.Suponga que todas las funciones en F0 son monotonicas, inflacionarias eidempotentes y cada fi semi-conmuta con fj para i > j , esto es

f +i f +

j (d) v f +j f +

para todo d ∈ D. Luego, el algoritmo SICD siempre termina y calcula end el menor fixpoint de las funciones de F = {f +|f ∈ F0}

Dominios Compuestos

Algoritmo Iteracion Simple Dominios Compuestos - Lema(SICD)

Suponga que (D,v) es un orden parcial que es el producto cartesiano den ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento parai ∈ [1..n]. Sea F 0 = {f1, ..., fk} un conjunto finito de funciones conesquemas.Suponga que todas las funciones en F0 son monotonicas, inflacionarias eidempotentes y cada fi semi-conmuta con fj para i > j , esto es

f +i f +

j (d) v f +j f +

para todo d ∈ D. Luego, el algoritmo SICD siempre termina y calcula end el menor fixpoint de las funciones de F = {f +|f ∈ F0}

Dominios CompuestosAlgoritmo GENERIC ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS

Dominios Compuestos

Algoritmo Algoritmo Iteracion Generica Dominios Compuestos -Lema(SICD)

Suponga que (D,v) es un orden parcial que es el producto cartesiano den ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento parai ∈ [1..n]. Sea F 0 = {f1, ..., fk} un conjunto finito de funciones conesquemas.Suponga que todas las funciones en F0 son monotonicas, inflacionarias.Luego, el algoritmo CD siempre termina y calcula en d el menor FixPointde las funciones de F = {f +|f ∈ F0}

Dominios Compuestos

Algoritmo Algoritmo Iteracion Generica Dominios Compuestos -Lema(SICD)

Suponga que (D,v) es un orden parcial que es el producto cartesiano den ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento parai ∈ [1..n]. Sea F 0 = {f1, ..., fk} un conjunto finito de funciones conesquemas.Suponga que todas las funciones en F0 son monotonicas, inflacionarias.Luego, el algoritmo CD siempre termina y calcula en d el menor FixPointde las funciones de F = {f +|f ∈ F0}

PlanIntroduccion

Algoritmos de Propagacion de Restricciones

Generalidades

• Estamos interesados en definir algoritmos de propagacion derestricciones.

• En este enfoque, los algoritmos de propagacion corresponeran acasos especiales de los algoritmos de iteracion vistos en la anteriorseccion.

• A continuacion, relacionamos las nociones fundamentales de losalgoritmos de iteracion con los elementos que conforman un CSP.

Generalidades

Ordenes parciales con elementos menores

• Corresponderan al CSP original y la nocion de consistencia local queeste bajo consideracion.

• Dado un CSP < C1, ...,Ck ; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > se usaran dosordenes parciales.

• C son restricciones.

• X son las variables.

• D los dominios de cada variables.

Ordenes parciales con elementos menores : Primer Orden

• Corresponde al producto cartesiano de los ordenes parciales(P(Di ),⊇), donde i ∈ [1..n].(P(D)) = Conjunto potencia del conjunto D.

• Hace referencia al productor cartesiano (conjunto potencia) de losdominios de las variables.

• Se usa para reducir el tamano de los dominios de las variables en lasrestricciones.

Ordenes parciales con elementos menores: Segundo Orden

• Corresponde al producto cartesiano de los ordenes parciales(P(Ci ),⊇), donde i ∈ [1..k].

• Hace referencia al productor producto cartesiano de los productoscartesianos de las restricciones.

• P(Ci ) : Una restriccion es un subconjunto del dominio del productocartesiano de los dominios de unas variables.

• Se usa para reducir las restricciones en funciones de los dominios delas variables.

Reglas

• Si se esta considerando nodo-consistencia, arco-consistencia, hiperarco-consistencia o arco-consistencia direccional se usara el primerorden.

• Para ruta-consistencia y ruta-consistencia direccional se usara elsegundo orden.

Reglas

• Si se esta considerando nodo-consistencia, arco-consistencia, hiperarco-consistencia o arco-consistencia direccional se usara el primerorden.

• Para ruta-consistencia y ruta-consistencia direccional se usara elsegundo orden.

Funciones monotonicas e inflacionarias con esquemas

• Las funciones corresponderan a las reglas de reduccion de dominio ylas reglas especificas de transformacion que permiten caracterizar lasdiferentes nociones de consistencia local.

• Cada esquema correspondera a las variables usadas en el primerorden parcial o a las restricciones usadas en el segundo orden.

Ejemplificacion

Dadas las variables X, Y y Z y la restriccion : X < Y , entonces elesquema va hacer solo con las variables X y Y sin incluir a Z. Es decir elesquema afecta solo a X e Y.

Ejemplificacion

Fixpoint comunes

• Corresponderan a los CSPs que satisfacen las diferentes nociones deconsistencia.

• Fixpoint : Son todos los CSPS que satisfacen una nocion deconsistencia puntual.

Fixpoint comunes

• Corresponderan a los CSPs que satisfacen las diferentes nociones deconsistencia.

• Fixpoint : Son todos los CSPS que satisfacen una nocion deconsistencia puntual.

Generalidades

• Antes tratabamos de incrementar un valor, ahora vamos a intentarreducir un valor. En este caso el dominio de las variables.

• De esta manera, las funciones con esquemas consideradas seranusadas en la presencia del orden inverso (P(Ci ),⊇).

• Se ordena de acuerdo al tamano de los conjunto.

{1, 2, 3, 4, 5} es menor que {1, 2, 3, 4} en la relacion inversa. (P(Ci ),⊇).

Generalidades

• De esta manera, las funciones con esquemas consideradas seranusadas en la presencia del orden inverso ⊆.

• Considere una funcion f sobre el producto cartesianoP(Ei )x ...xP(Em).

• Dadas las secuencias X = (X1, ...,Xn) y Y = (Y1, ...,Ym) deP(Ei )x ...xP(Em), escribimos X ⊆ Y para denotar que Xi ⊆ Yi paratodo i ∈ [1..m].

Generalidades

inflacionaria

• f es inflacionaria con respecto al orden inverso ⊇ si para todoX ∈ P(E1)x ...xP(Em) se tiene que F (X ) ⊆ X :

De manera Informal : En otras palabras f siempre sera inflacionaria sisiempre pasamos a un conjunto de menor tamano con respecto al quetenıamos inicialmente.

monotonica

• f es monotonica con respecto al orden inverso ⊇ si para todoX ∈ P(E1)x ...xP(Em) para todo X ,Y ∈ P(Ei )x ...xP(Em):

De manera Informal : El hecho de que tenga dos elementos donde uno essubconjunto del otro garantiza que el segundo elemento es subconjuntodel primero.

inflacionaria

monotonica

inflacionaria

monotonica

PlanIntroduccion

Algoritmo para Nodo-consistencia

• Para abordar la nocion de nodo-consistencia, se asume un CSP P enla secuencia D1, ...,Dn de los dominios.

• Se considera, el producto cartesiano de los ordenes parciales(P(Di ),⊇) , donde i ∈ [1..n].

• Los elementos de este orden compuesto son las secuencias X1, ...,Xn

de los respectivos dominios D1, ...,Dn ordenados componente acomponente por el orden inverso de subconjuntos ⊇.

• De esta manera, la secuencia D1, ...,Dn es el menor elemento en esteorden.

• Se considerara la regla de reduccion de dominio usada paracaracterizar la nocion de nodo-consistencia:

NODO CONSISTENCIA

< C; x ∈ D >

< C; x ∈ C ∩ D >

Donde C es una restriccion unaria sobre x.

• La regla NODO-CONSISTENCIA puede ser interpretada comouna funcion sobre el producto cartesiano P(Di )x ...xP(Dn)

• Esto es bastante simple puesto que esta regla puede ser vista comouna funcion que mapea el dominio anterior a un nuevo dominio.

• De esta manera, dada una restriccion unaria C en la variable x condominio D, la regla NODO-CONSISTENCIA puede ser vista comola siguiente funcion π sobre P:

π0(X ) = X ∩ C

Luego, π+0 es una funcion sobre P(Di )x ...xP(Dn).

π0(X ) = X ∩ C

Caracterizacion Nodo-consistencia

• Un CSP < C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > es nodo consistente sii(D1, ...,Dn) es un fixpoint comun de todas las funciones π+

asociadas con las restricciones unarias de C.

• Todas las funciones π0 asociadas con una restriccion unaria C.

• Monotonicas con respecto al orden inverso ⊇,• Idempotentes , y• Conmutan entre si.

Instanciacion Algoritmo

• La nocion de nodo-consistencia es caracterizada mediante funcionesque conmutan.

• De esta manera, para obtener un algoritmo que alcancenodo-consistencia es posible instanciar el algoritmo DICD.

• El conjunto de funciones F0 puede ser definido de la siguientemanera:

F0 = {f | es la funcion π0 asociada con una restriccion unaria de P}

• Igualmente, cada ⊥i corresponde al dominio original Di respectivo.

• El algoritmo resultante es llamado NODE.

Algoritmo NODE

Caracterizacion Algoritmo NODE

• Considere un CSP P =< C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > .

• El algoritmo NODE siempre termina.

• Sea P ′ el CSP determinado por P y por la secuencia de dominioscalculados en d por el algoritmo NODE. Luego:

• P′

es nodo-consistente,• P

′es equivalente P.

• P′

Algoritmo para Arco-consistenciaSe consideraran las reglas de reduccion de dominio usadas paracaracterizar la nocion de arco-consistencia:

ARC-CONSISTENCIA 1

< C; x ∈ Dx , y ∈ Dy >

< C; x ∈ D ′x , y ∈ DY >

donde D′

x := {a inDx |∃b∈Dy (a, b) ∈ C}

ARC-CONSISTENCIA 2

< C; x ∈ Dx , y ∈ Dy >

< C; x ∈ Dx , y ∈ D ′Y >

donde D′

y := {a inDy |∃a∈Dx (a, b) ∈ C}

Algoritmo para Arco-consistencia

• Estas regla puede ser interpretada como una funcion sobre elproducto cartesiano P(D1)x ...xP(Dn).

• De esta manera, dada una restriccion C en las variables x1, ..., xk conrespectivos dominios D1, ...,Dy , para cada i ∈ [1..k] la reglaHIPER-ARC CONSISTENCIA puede ser vista como la funcion πisobreP(D1)x ...xP(Dy ):

πi (X ,Y ) = (X′,Y )

donde X′

i = {a ∈ X |∃b ∈ Y (a, b) ∈ C}

πi (X ,Y ) = (X′,Y )

donde X′

i = {a ∈ X |∃b ∈ Y (a, b) ∈ C}

πi (X ,Y ) = (X′,Y )

donde X′

i = {a ∈ X |∃b ∈ Y (a, b) ∈ C}

• Ası mismo la regla ARC-CONSISTENCIA 2 puede ser vista comola siguiente funcion sobre P(Dx)x ...xP(Dy ).

πi (X ,Y ) = (X ,Y′)

donde Y′

i = {b ∈ Y |∃b ∈ X (a, b) ∈ C}• De esta manera las funciones π

1 y π′

2 son funciones enP(D1)x ...xP(Dn).

πi (X ,Y ) = (X ,Y′)

donde Y′

1 y π′

πi (X ,Y ) = (X ,Y′)

donde Y′

1 y π′

• Un CSP < C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > es arco-consistente si y solo si(D1, ...,Dn) es un fixpoint comun de todas las funciones π+

1 y π+2

asociadas con las restricciones binarias de < C .

• Cada funcion πi asociada con una restriccion binaria < C es:• inflacionaria con respecto al orden inverso ⊇ y• monotonica con respecto al orden inverso ⊇.

1 y π+2

• En general, las funciones πi asociada a diferentes restriccionesbinarias no conmutan ni semiconmutan. Por eso, no es posibleutilizar los algoritmos DICD o SICD.

• Sin embargo, es posible utilizar el algoritmo CD.

• Teniendo en cuenta que para una relacion binaria R se tiene queR t = {(b, a)|(a, b) ∈ R}. Por simplicidad, consideramos todas lasrestricciones y sus contra partes inversas.

• De esta manera, el conjunto de funciones F0 sera equivalente alconjunto de funciones π1 para estas restricciones o relaciones.

• Igualmente, cada ⊥i corresponde al respectivo dominio original Di .

• El algoritmo resultante se denomina ARC.

Algoritmo para Arco-consistenciaAlgoritmo ARC

Algoritmo para arco-consistencia

Caracterizacion Algoritmo ARC

• Considere un CSP finito P =< C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn >.

• El algoritmo ARC siempre termina.

• Sea P ′ el CSP determinado por P y por la secuencia de dominioscalculados por el algoritmo ARC. Luego:

• P′

es arco-consistente.• P

′es equivalente a P

• P′

PlanIntroduccion

Algoritmo para Hiper arco-consistencia

Se considerara la regla de reduccion de dominio usada para caracterizar lanocion de hiper arco-consistencia

HIPER-ARC CONSISTENCIA

C ; x1 < inD1, ...xn ∈ Dn

C ; ..., xi ∈ D′i , ...

donde C es una restriccion sobre las variables x1, ..., xn y∀i∈[1..n]D

i := {a ∈ Di |∃d∈ca = d [xi ]}

• Esta regla puede ser interpretada como una funcion sobre elproducto cartesiano P(D1)x ...xP(Dn).

• De esta manera, dada una restriccion C en las variables x1, ..., xk conrespectivos dominios D1, ...,Dk , para cada i ∈ [1..k] la reglaHIPER-ARC CONSISTENCIA puede ser vista como la funcionπi i sobre P(D1)x ...xP(Dn):

πi (X1, ...,Xk) = (X1, ...,Xi−1,X′

i ,Xi+1, ...,Xk)

donde X′

i = {ainXi |∃d ∈ C ∩ (X1, x ...xXn)(a = d [xi ])}• De esta manera, cada funcion πi esta asociada con una restriccion

especifica C.

πi (X1, ...,Xk) = (X1, ...,Xi−1,X′

i ,Xi+1, ...,Xk)

donde X′

especifica C.

πi (X1, ...,Xk) = (X1, ...,Xi−1,X′

i ,Xi+1, ...,Xk)

donde X′

especifica C.

Caracterizacion Hiper arco-consistencia

• Un CSP < C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > es hiper arco-consistente si ysolo si (D1, ...,Dn) es un fixpoint comun de todas las funciones π+

asociadas con las restricciones de C.

• Cada funcion πi asociada con una restriccion C es:• inflacionaria con respecto al orden inverso ⊇ y• monotonica con respecto al orden inverso ⊇.

Intanciacion Del Algoritmo

• La nocion de hiper arco-consistencia es caracterizada mediantefunciones que no conmutan ni semi-conmutan.

• Por esta razon, para obtener un algoritmo que alcance esta nocionse debe instanciar el algoritmo CD.

Intanciacion Del Algoritmo

• La nocion de hiper arco-consistencia es caracterizada mediantefunciones que no conmutan ni semi-conmutan.

• Por esta razon, para obtener un algoritmo que alcance esta nocionse debe instanciar el algoritmo CD.

• De esta manera, el conjunto de funciones F0 puede ser definido de lasiguiente manera:

F0 = {f |fesunafuncionπiasociadaconunarestriccindeP}

• Ası mismo, cada preceq corresponde a los dominios Di originales.

• El algoritmo resultante es llamado HYPER-ARC.

Algoritmo ARC

Caracterizacion Algoritmo HYPER-ARC

• El algoritmo HYPER-ARC siempre termina.

• Sea P ′ el CSP determinado por P y por la secuencia de dominioscalculados por el algoritmo HYPER-ARC. Luego:

• P′

es hiper arco-consistente,• P

′es equivalente a P.

• P′

PlanIntroduccion

Algoritmo para Arco-consistencia Direccional

Caracterizacion Arco-consistencia Direccional

• Considere un CSP finito P con un orden lineal � sobre sus variables.Sea P� =< C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn >.

• P es direccionalmente arco-consistente con respecto a � sii(D1, ...,Dn) es un fixpoint comun de todas las funciones π+

asociadas con las restricciones binarias de P�.

• Cada funcion π+i asociada con una restriccion binaria C es

idempotente.

• Considere las restricciones binarias de P�,C1 sobre x , z y C2 sobrev , y donde y � z .

• Luego, la funcion de π1 de C1(fx,y ) semi-conmuta con la funcion π1de C2(fv ,y ) con respecto al orden inverso ⊇, esto es, que para todo(X1, ...,Xn) ∈ P(D1)x ...xP(Dn) se tiene que :

f +x,z f +

v ,y (X1, ...,Xn) ⊇ f +v ,y f +

x,z(X1, ...,Xn)

f +x,z f +

v ,y (X1, ...,Xn) ⊇ f +v ,y f +

x,z(X1, ...,Xn)

f +x,z f +

v ,y (X1, ...,Xn) ⊇ f +v ,y f +

x,z(X1, ...,Xn)

• Dado que la nocion de arco-consistencia direccional es caracterizadaa traves de funciones que semi-conmutan, es posible obtener unalgoritmo que alcance esta nocion de consistencia local mediatne lainstanciacion del algoritmo SICD.

• Consider un CSP P con un orden lineal � asociado a sus variables yel correspondiente CSP P�.

• Para poder aplicar el resultado de caracterizacion anterior esnecesario ordenar las funciones π1 de las restricciones binarias de P�.

• Por simplicidad se asume que el CSP P. original esta estandarizado,esto es, que tiene exactamente una restriccion en cada subsecuenciax , y de sus variables. Ası, P�. tambien esta estandarizado.

• Ahora, asumiendo que P� =< C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > . De estamanera x1 � x2 � ... � xn.

• Ci,j denota la unica restriccion de P� sobre xi , xj .

• De esta manera, se considera el siguiente orden para las restriccionesbinarias de P�:

C1,n,C2,n, ...,Cn−2,n,Cn−1,n C1,n−1,C2,n−1, ...,Cn−2,n−1 ... C1,2

y de esta manera, se consideran las funciones π1 asociadas a cadarestriccion en este orden.

• De esta manera, dadas dos funciones π1, f y g , si f precede a g eneste orden, luego f esta asociada a una restriccion Ci,j y g a unarestriccion Ck,l donde l ≤ j , esto es xl � xj .

• Ası, de acuerdo al resultado de caracterizacion f semi-conmuta cong con respecto al orden inverso ⊇.

• De esta manera, dadas dos funciones π1, f y g , si f precede a g eneste orden, luego f esta asociada a una restriccion Ci,j y g a unarestriccion Ck,l donde l ≤ j , esto es xl � xj .

• Ası, de acuerdo al resultado de caracterizacion f semi-conmuta cong con respecto al orden inverso ⊇.

• De esta manera, se instancia el algoritmo SICD con la secuencia defunciones π1 definida anteriormente y con cada �i igual al dominioDi de la variable xi .

• Ası mismo, se reformula las aplicaciones de cada funcion comoasignaciones. El algoritmo obtenido es llamado DIRECTIONALARC CONSISTENCY o DARC.

• De esta manera, se instancia el algoritmo SICD con la secuencia defunciones π1 definida anteriormente y con cada �i igual al dominioDi de la variable xi .

• Ası mismo, se reformula las aplicaciones de cada funcion comoasignaciones. El algoritmo obtenido es llamado DIRECTIONALARC CONSISTENCY o DARC.

Algoritmo DIRECTIONAL ARC CONSISTENCY (DARC)

Caracterizacion Algoritmo DARC

• Considere un CSP estandarizado P con un orden lineal � sobre susvariables.