Aritmética IConjuntos Numéricos

Sebastián Lavanderos B.

Contenidos

• Números Naturales• Números Cardinales• Números Enteros• Números Racionales• Números Irracionales• Números Reales• Propiedades• Desafíos y Problemas Numéricos

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Números Naturales

Números Naturales (IN)

• IN = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,…}• Todo IN tiene un sucesor (n+1).• Todo IN tiene un antecesor (n-1).• Excepto el 1.

• Conjunto Infinito

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Pares e Impares

• Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… 2n

• Impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 2n-1

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Pares e Impares

• Par + Par = Par

• Par + Impar = Impar

• Impar + Impar = Par

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Números Primos

• Todos son números impares (menos el 2).

• Sólo se pueden descomponer en 1 y ellos mismos.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

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Divisibilidad

• Para saber si un número “x” es divisible por un número “y” aplicamos las siguientes reglas:

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Divisibilidad

• 2 - Su última cifra es un número par o el cero.

• Ejemplo: – 48 8 es par– 90 termina en 0– 54 4 es par

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Divisibilidad

• 3 – La suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

• Ejemplo: – 42 4+2=6, y 6 es múltiplo de 3

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Divisibilidad

• 4 – Las 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4, o sus 2 últimas cifras son 0.

• Ejemplo: – 708 8 es múltiplo de 4.

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Divisibilidad

• 5 – Termina en 5 ó 0.

• Ejemplo: – 80 termina en 0.– 105 termina en 5.

12

Divisibilidad

• 6 – El número es divisible por 2 y 3 a la vez.

• Ejemplo: – 42 es divisible por 2 (21) y por 3 (14).

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Divisibilidad

• 9 – La suma de sus cifras es múltiplo de 9.

• Ejemplo: – 3.699 la suma de sus cifras es

múltiplo de 9 (3+6+9+9=27, es múltiplo de 9).

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Divisibilidad

• 10 – Termina en 0.

• Ejemplo: – 3.840– 500– 30

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Mínimo Común Múltiplo

• Descomposición prima de todos los números.

• Multiplicación de todos los factores.• El mínimo común múltiplo de dos

números primos es el total de su multiplicación.

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Máximo Común Divisor

• Se calcula entre 2 números.• Calculamos el M.C.M. y multiplicamos

los factores que dividen a ambos números.

• Corresponde al mayor nº. Que los divide sin dejar resto.

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8 30

2*

4 15

4

1 15

15

1

Sólo el 2 multiplica a ambos números, por lo tanto el M.C.D es 2.

Operaciones en Naturales

• Adición (a+b)– Clausura: a+b siempre pertenece a N.– Conmutativa: a+b = b+a– Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c

• No hay elemento neutro.

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Operaciones en Naturales

• Sustracción (a-b)– a > b

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Operaciones en Naturales

• Multiplicación (a * b)– Clausura– Conmutativa– Asociativa

• Elemento Neutro: 1

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Operaciones en Naturales

• División (a / b)– Sólo si a es divisible por b (no existen

los decimales, por lo tanto el resto debe ser 0).

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Números Cardinales

Números Cardinales

• IN + 0.• Adición con elemento neutro.• Multiplicación absorbente (cualquier

cosa multiplicada por 0 es 0).• División: a/b b ≠ 0.

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Números Enteros

Números Enteros

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Operaciones en Enteros

• Adición (a+b)– Igual Signo: Se suman valores absolutos

y se mantiene el signo.– Propiedades• Clausura, Conmutativa, Asociativa• Elemento Neutro: 0• Inverso Aditivo: El número a que

sumado al número b da 0. Es el número con signo cambiado.

Ejemplo: Inverso aditivo de 3 = -326

Operaciones en Enteros

• Sustracción (a-b)– Concepto del Tengo (+) y Debo (-).– No es asociativa ni conmutativa.– Suma Ordenada.

– Ejemplos:• 7-4=3• 4-7=-3

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Operaciones en Enteros

Sustracción (a-b) Método Analítico• Para restar enteros, cambia el signo en el entero que

se va a restar.• Si los dos signos son positivos, el resultado será

positivo.Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20

• Si los dos signos son negativos, el resultado será negativo.Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20

• Si los signos son distintos resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. El signo será el signo del entero que produjo el valor absoluto mayor. Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8 Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8 28

Operaciones en Enteros

• Multiplicación (a*b)

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Operaciones en Enteros

• División (a:b)

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Prioridades

1. Paréntesis (del más interior, al más exterior).

2. Potencias3. Multiplicaciones/Divisiones4. Sumas/Restas

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SIEMPRE de Izquierda a Derecha

Números Racionales

Números Racionales (Q)

• Se pueden escribir como fracción:

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𝑎𝑏

numerador (dividendo)denominador (divisor)

Números Racionales (Q)

• Ejemplos:

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Propiedades de las Fracciones

• Amplificación: Multiplicación del numerador y denominador por el mismo factor

• Simplificación: División del numerador y denominador por el mismo factor

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Estos procedimientos NO CAMBIAN el valor de una fracción

Operatoria de Fracciones

• Suma:

• Producto:

• División:

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Número Mixto

• Forma simplificada de escribir fracciones con numeradores muy grandes.

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No Confundir:

7 ∙23=143

Transformaciones de Racionales

De Fracción a Decimal:• Se divide el numerador por el

denominador.

Ejemplo:

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Transformaciones de Racionales

De Decimal Finito a Fracción:• Se cuentan los decimales, el

denominador de la fracción corresponde a tantos 0 como decimales tenga la fracción, con un 1 al principio.

• El numerador es el número entero sin coma.

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Transformaciones de Racionales

De Decimal Periódico a Fracción:• El numerador es el periodo.• El denominador son tantos 9 como

cifras tenga el periodo.• Los números detrás de la coma se le

suman a la fracción.

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Transformaciones de Racionales

De Decimal Semiperiódico a Fracción:• El Numerador es el número sin la

coma menos lo que está antes del periodo.

• El denominador es un número con tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo.

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Comparación de Fracciones

• Multiplicación Cruzada de las fracciones.

• Se deja el resultado de la multiplicación en la fracción de la cual sacamos el numerador.

• La fracción con número más grande es mayor que la otra.

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Números Irracionales

Números Irracionales

• Decimales que no pueden ser expresados como una fracción.

• Tienen infinitas cifras decimales, pero sin un periodo.

Ejemplos:

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Números Reales

Definición

• Unión de los conjuntos Racional e Irracional.

• Recta numérica en su máxima expresión de infinidad.

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Diagrama de Conjuntos

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Desafíos y Problemas Numéricos

Cuadrados Mágicos

• Cuadrículas de 3x3, 4x4, 5x5… n x n.• Todas las sumas de sus números

(verticales, horizontales o diagonales) tienen el mismo resultado: La Constante Mágica (K).

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Regularidades Numéricas

• Secuencias numéricas que cumplen un patrón.

• Numerador y Denominador: Aumenta de 1 en 1.

• Donde n va a ser el número del término en la secuencia.

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Ejercicios

Ejercicios

• El valor de la siguiente expresión corresponde a:

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8063

Ejercicios

• Si –P es un entero negativo:

I. P es un entero positivo.II. P INIII. P < -P

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo IIId) I y IIe) I, II y III

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Ejercicios

• De la siguientes aseveraciones:

I. 24, 36, 48, 96 son múltiplos comunes de 2, 4 y 8, siendo 24 el MCM.

II. El que un número sea natural nos asegura totalmente que también es entero, sin embargo, lo inverso no es siempre cierto.

III. El MCD entre 6, 9, 12 y 15 es 3.

a) Sólo IIb) I y IIc) I y IIId) II y IIIe) I, II y III

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Ejercicios

• ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre ?

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo IIId) I y IIIe) II y III

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¿Dudas?