Post on 26-Jun-2015
pliquemos los conceptos de espacio, punto, recta y plano
Tras conocer las ideas geométricas, las relacionaremos, para determinar aspectos
que son muy importantes de analizar.
Puntos y rectas
a) Vamos a determinar un punto del espacio. ¿Cuántas rectas pueden pasar por él?
o ¿a cuántas rectas pertenece ese punto?
Como las rectas no tienen grosor, obtenemos un dato fundamental de la
geometría: "por un punto del espacio pasan infinitas rectas".
Determinemos un punto del plano y dibujemos rectas que pasen por él.
Recordemos que la línea que hacemos es una representación, porque la recta no
tiene grosor. Hemos obtenido este dibujo:
La conclusión es la misma: "Por un punto del plano pasan infinitas rectas".
b) Ahora elegiremos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos
puntos? Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor.
Conclusión:
"Dos puntos del espacio determinan una sola recta".
Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del plano determinan una sola recta".
c) Veamos qué pasa con puntos que pertenecen a una recta del espacio o del
plano.
Observa este ejemplo:
Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. Si el punto
elegido, llamadoorigen, queda como frontera de los subconjuntos, es decir que C
no pertenece a ninguno de ellos, estamos diciendo que se obtienen
dos semirrectas que simbolizamos así:
En nuestro ejemplo quedan y .
Ahora, otro ejemplo:
Si el punto elegido, origen, es tomado en cuenta para ambos subconjuntos, es
decir que pertenece a ambos, es común, hablaremos de dos rayos. Su símbolo
es , en el dibujo serían y (por eso denominamos rayos a los del Sol,
sabemos que el origen es el astro, pero no donde termina su luz).
Las semirrectas y los rayos son infinitos hacia un extremo (el que lleva flecha); el
otro extremo está limitado por un punto. Si en una recta determinamos dos
puntos, se forma un subconjunto muy importante: el trazo, llamado
también segmento.
Por ejemplo:
El trazo se identifica con el símbolo . En nuestro caso se formó . El trazo es
el único elemento lineal que se puede medir, porque no es infinito, está limitado en
sus dos extremos.
En resumen, de una recta ubicada en el espacio o en el plano, hemos obtenido tres
clases de subconjuntos: semirrectas, rayos y trazos.
lano, puntos y rectas: socios inseparables
Existen relaciones entre el plano, los puntos y las rectas que pueden llegar a
producir interesantes resultados, cuyo análisis nos permite explicarnos varios
aspectos de la realidad.
Plano con puntos y rectas
Estudiemos tres casos:
a) ¿Sabes cuál es la mesa que nunca queda coja? La que tiene tres patas, porque
con "tres puntos del espacio se puede determinar un plano".
b) ¿Qué pasa con el plano y el espacio? El plano queda como frontera de
dos semiespacios.
c) ¿Qué determina una recta en un plano? Forma dos subconjuntos
llamados semiplanos.
Dos rectas
En este caso, comparemos lo que sucede en el espacio y en el plano. Analicemos
distintas situaciones.
a) Si tienen un punto común: quiere decir que su intersección, tanto en el plano
como en el espacio, es un punto. A estas rectas se las llama "secantes":
Hay un caso especial de estas rectas cuando, al intersectarse, forman ángulos
rectos. Aquí nos encontramos con rectas secantes perpendiculares.
Observa este ejemplo:
El símbolo de perpendicular es . En nuestro ejemplo:
Esto lo puedes apreciar en lo que sucede con las líneas verticales y horizontales de
una hoja cuadriculada.
b) Si dos rectas no cuentan con puntos comunes y tienen la misma dirección, ya
sea en el espacio o en el plano, estamos hablando de rectas paralelas. Símbolo
.
Por ejemplo:
En la vida cotidiana, puedes apreciar este principio geométrico en el tendido de los
cables que llevan electricidad, las líneas del cuaderno de composición, etcétera.
c) Rectas sin puntos comunes: también se da el caso de rectas que se cruzan, pero
solamente en el espacio. No se pueden dibujar, pero sí imaginar. Pensemos en una
recta que va de norte a sur cerca del techo y otra que está cerca del suelo, pero
con sentido este a oeste; esas rectas se cruzan.
Estas tres relaciones que se dan entre dos rectas ocurren también entre dos
planos, dos rayos, dos semirrectas o dos trazos, y entre la mezcla de estos
elementos; por ejemplo, un plano y un rayo, un rayo y una semirrecta, etcétera.
Sólo cambian algunos detalles.
Si dos planos son secantes, es decir que tienen intersección, esa intersección no es
un punto, es una recta. Observa con atención:
Todas estas ideas geométricas y sus relaciones son la base que ha utilizado el
hombre para desarrollar la ciencia y la tecnología.
Él ha construido sus viviendas, monumentos y obras de arte, teniendo presente
estos conceptos.
Sólo podemos decir: ¡qué maravillosa es la capacidad de la inteligencia humana!
¡Qué distinto sería nuestro espacio terrestre si todos lo usáramos para construir un
mundo mejor, teniendo como intersección de nuestros actos los planos del respeto,
la solidaridad y la paz!